數感的組成要素

壹、數感的組成要素

NCTM 在其課程標準（1989）中，將數感分成五個部分：（1）理解數的意義

（2）透過具體物發展數字多重表徵的關係（3）理解數字的相對大小（4）透過 直覺預測數字運算後的結果（5）瞭解日常生活中常用的量。

Sowder（1992）認為數感能力包含於數量、心算、估算與對運算結果合理性 的評估等四個數學學習課題上，而此四個學習課題所包含的數感能力大致為，理 解數字的意義、發展數與數間的多種關聯、理解數的相對與絕對大小，以及運算 對數的影響。

McIntosh 等 （1992）指出數感主要由數、運算與情境三個領域相互連結而 構成，其組成要素主要有六個：（1）對數字意義的理解（2）比較數字大小（3）

理解與運用數字的多重表徵形式（4）理解運算的意義及其對數字的影響（5）善 用參考點做心算或估算（6）發展出多元的計算策略，並能知道結果的合理性。

楊德清（2002）則將數感的組成要素分為：（1） 瞭解數字的基本意義（2）

比較數字大小（3） 瞭解運算對數字的意義和影響（4）發展並靈活運用參考點

（5）發展估算策略，以及能夠判斷運算結果之合理性。

Berch（2005）綜覽自 1954 年數感（number sense）被提出後，相關的國外研 究文獻，整理出了對數感要素的 30 種說法：對數字與數量的直覺；數量比較與 數字分解能力；估算能力；發展解決複雜問題有效策略的能力；透過瞭解運算符 號關聯理解十進位系統；透過使用數字和數量的方法與人溝通；擁有對各種層次 的計算結果合理性的判斷直覺；透過發現新知識與舊經驗關係，對數字情境產生 有意義的連結；瞭解運算對數字產生的效果；具有靈活運用數字的能力；能理解 數字的意義與數字間複雜的關聯；可以識別基準數字和數字模型；可以識別總量 的數值誤差；能理解和使用數字的等價形式和表徵；可運用數字來衡量生活情境 中的事物；能將生活情境中的數量與數學上所使用的數字兩者作靈活的轉化；可

以發展出新的解題策略；能根據情境與目的以多種方式表徵相同的數字；能以直 覺代替精確計算的方式來思考和討論數字問題與表徵方式；產生對數字具有實用 性與數學具有規律性的想法；一種對於數字不具有算則的想法；對於數字與運算 間產生有組織的概念網絡；一種透過數學關係、數學原理和數學程序間環環相扣 所形成的概念結構；一種在相似的數量表徵上可以操作的內在心理數線；一種非 語言的，古老進化而來能處理近似數值的先天能力；一個關於數字的知識或技 能，而不是一種內在的過程；一個隨著經驗和知識增長而發展的過程。

劉曼麗與侯淑芬（2006）根據學者們對數感成分的定義、數學性質與小學四 年級數學教材範圍，將數感的組成要素分為（1）瞭解整數的位值概念與比較大 小（2）分解或合成數以便於運算（3）使用參考值以便於解題（4）瞭解運算的 性質與運算對數的影響。

Jordan 等 （2009）認為數感包含了數數、數知識、估算和數學運算等能力，

而數感能力的發展始於精確的描述較小的數字，並透過估算的方式瞭解較大的數 量。

Faulkner（2009）以教學的觀點討論數感組成的要素是以語言為中心，連結計 算、等式、十進位、數字形式、等比的推理、代數與幾何的思考，以及數量等七 個向度。

綜合上述研究者的分類，以及本研究所涉及的國小一年級南一版第一冊數學 的正整數教材，分析出本研究的數感組成要素為：暸解並辨別數字的意義、比較 數字大小、透過數的合成與分解進行運算、暸解運算性質對數的影響、運用參考 值判斷解題結果的合理性等五個，並將此五個要素作為研究學童數感能力的重 點。

貳、本研究數感要素內涵

配合本研究的研究範圍，以及參考國小一年級南一版第一冊正整數教材內

容，將各數感要素內涵說明如下：

一、 瞭解並辨別數字的意義：

Howden（1989）曾詢問一年級的學童有關「24」的意義，學童給予他的回 答有「二毛錢四分」、「四個五分錢和四個一毛錢」、「二打鉛筆」等迥異的答 案。由此可知，不同的學童對於數字會有不同的解讀。

以正整數而言，當它作為一個「基數」時，意指用正整數表達一特定群體中 個體的個數；若把它作為一個「序數」時，意指用正整數來表達一個事物序列中，

某特定事物的順序位置（甯自強，1992a）。所以，數字具有「基數」與「序數」

兩種不同的意義，此兩種意義在日常生活中隨著情境的不同而不斷的轉換，學童 必須要能夠分辨此兩種意義的不同，並將之靈活的運用於解決生活問題才算是真 正理解數字的意義，而且有良好數感的學童能辨別使用何種數字意義的時機（吳 明玲，2003）。

學童以語音反覆唱出正確的數詞序列以熟悉數詞序列，即「唱數」；再透過 一對一對的方式將被計數物和標準數詞序列作對應，進行計數具體物的活動，即

「數物」，也就是將所唱數的數字與數量作連結，經由一再經驗上述兩個過程後，

察覺兩個過程的聯結，以暸解數字與數量的關係，並能再次透過數字表達出正確 的數量，才算具有數概念，日後才能進行數的演算活動（甯自強，1992a）。數感 能力佳者，不但能夠將各種符號與數概念作連結以利於解題，也能夠透過演算活 動提升數感能力（吳明玲，2003；McIntosh 等, 1992）。

除了「基數」與「序數」外，對「位值」的掌握也是培養良好數感的基礎，

具備位值概念，才能對數字進行分解與大小比較（McIntosh 等, 1992；Sowder, 1992）。

因此本研究除了讓學童瞭解「基數」與「序數」的意涵，並將之與生活情境 聯結外，也著重培養學童的「位值」概念，以強化學童對數字意義的暸解。

二、 比較數字大小：

數字的比較大小包含比較數字的相對大小，例如：知道 7 大於 6，以及知道

6 比 5 大但是比 7 小；與依數字大小，將數字排序，例如：5→6→7→8 等二種類 型的數字比較能力（楊德清，2002；Markovits ＆ Sowder, 1994）。

在比較活動中，透過兩類具體物件的數量所進行的比較活動較能讓學童理 解數字大小與數量大小的關係，因此對於數字大小的比較，學童大多會把數字與 數量進行連結而進行比較。但是要能真正進行數的大小比較則必須透過「標準數 詞序列」進行，瞭解小數是蘊涵於大數之中，也就是小數與大數是「部分和全體」

的關係。例如：5 和 7 兩數，7 是一個包含 1、2、3、4、5、6 等數為其一部分的 全體，5 包含於其中，因此 7 大於 5（甯自強，1992b）。

然而以國小一年級學童，此時期的數字大小概念發展水準而言，6 歲左右的 學童已經能將數數與數量內化為一個心理數字量尺（mental number line）以進行 數字大小的比較，且已具備：透過數量理解數字大小；理解問題中與比較大小相 關語詞的意義；知道數字的位置與數序是固定的，而且愈晚數到的數字愈大；數 數時，前後數字間的數量差 1 等數知識，這些知識對於其往後數感能力的發展有 著密切的關聯性（郭民，2009）。

因此本研究除了引導學童利用數量進行數字的大小比較外，也引導學童透過 標準數詞序列對 50 以內的數字進行數字的相對大小比較和依數字大小將數字排 序。

三、 透過數的合成與分解進行運算：

學童最初是將數作為表徵量的數值，經過量的合成和分解與數值化的過程完 成數的合成與分解活動，但在過程中，數與數之間是無關係可言的。當學童瞭解 兩數間的部分-全體關係（內嵌關係），便能運用「標準數詞序列」透過往下數和 往上數方式解決數的分解與合成問題，亦即此時期的學童已具備「累進性合成運 思」能力，真正理解能加減法情境的意義（甯自強，1992c）。而 McIntosh 等 （1992）

則認為數的合成與分解可以經由數的「等值」概念進行，並透過數字的多重表徵 方式呈現。數感佳者進行數字的合成與分解時能夠流暢的轉換不同表徵方式，並 選擇最適當的表徵方法（Sowder, 1992）。

因此本研究除了引導學童面對加減法運算問題時，不僅能夠透過量進行數的 合成與分解，也能運用往上數與往下數或其他符號表徵方式解決數的合成與分解 問題，進而能視問題情境靈活運用各種表徵方式完成加減法計算。

四、 瞭解運算性質對數的影響：

楊德清（2002）認為瞭解運算性質對數的影響就是，瞭解運算在不同的數字 系統下（包括有理數與整數），和不同情境下所產生的影響。對國小一年級學童 而言，其所使用的運算符號為「＋」 、「－」與「＝」。學童不僅必須瞭解「＋」 、

「－」與「＝」符號的語意，也必須瞭解這三種符號在數字間所建立的關聯，而 且要能視問題情境，正確的利用運算符號表徵數字間的關係（甯自強，1992c）。

因此本研究要讓學童瞭解，數字透過運算符號聯結後，其結果與原本未經聯結前 之間的差異性，例如：10 經過「－」運算之後，其結果一定會比 10 小。

五、運用參考值判斷解題結果的合理性：

參考值（benchmark）指的是用以檢驗其他數值或解題結果的參考指標（楊 德清，2002；McIntosh 等, 1992）。參考值的參照標準依照問題情境可分成數值 與數量兩種，學童要能根據題意，選擇適當的參考值對數量或數字做估算與判 斷，並檢視解題結果的合理性。估算與數感能力之間有著極高的相關性，估算能 力佳者，其數感能力相對也愈佳（支毅君，1997；方惠珍，2005；張雋，2009；

Reys, 1985）。而掌握住數「量」感，則是培養數感的基礎（Wagner & Davis, 2010）。 因此配合本研究教材範圍與研究對象，在參考值部分，本研究要學童能採用數量

Reys, 1985）。而掌握住數「量」感，則是培養數感的基礎（Wagner & Davis, 2010）。 因此配合本研究教材範圍與研究對象，在參考值部分，本研究要學童能採用數量