第二章 文獻回顧
2.3 模糊多目標規劃相關文獻回顧
2.3.5 模糊數學規劃法
本研究的目標之一，是以模糊數學規劃法，求解模糊環境下的最佳化問題，
以下將回顧以模糊數學規劃法求解最佳化問題之相關文獻，據以確立本研究之研 究方法。
不確定性問題的處理方法
不確定性問題對於最佳化問題及決策問題有極重大的影響，而現實決策環境 中，確實存在許多的不確定性，唯有將不確定性也一併納入模式考慮，才能使發 展出的模式更符合現實世界的需要。一般而言，處理數學規劃模式參數不精確的 問題可概分為下列三類，簡要說明如下：
（一） 事後最佳化分析(a post-optimization)
傳統上用以處理參數不精確問題的主要方法是事後最佳化分析，乃透過敏感 度分析(sensitivity analysis)，影子價格(shadow price)及參數規劃法(parametric programming)加以處理，然而以上三種方法對於參數不精確所造成的影響皆無法 適當地進行全面性分析。其中，透過敏感度分析可以產生最佳化環境下的替選方 案；影子價格可以反應資源項變動對目標函數造成的影響；參數規劃法可以反應 數個參數同時變動對結果的影響，但以上三種方法都無法指出何者為最佳方案。
（二） 隨機規劃(stochastic programming)
隨機規劃係假設其參數為隨機變數(random variables)，並假設隨機變數屬 於某種統計分配，是故要精確地決定隨機變數值是相當困難的，由於隨機規劃模
式結構相當複雜，過去較少有學者從事這方面的研究，但近年來為了使模式構建 更符合現況，有越來越多的學者進行相關的研究。
（三） 模糊數學規劃法
模糊數學規劃法是以概念化的求解架構，來處理具有複雜性、不精確性及模 糊性的問題，利用簡化問題的方式，試圖降低模式的複雜度，以近似方法反應現 實世界的決策問題，使模式能更彈性地處理現實世界中的決策問題。
模糊數學規劃法
模糊數學規劃法發展至今，仍以線性規劃相關研究最多。茲將數學規劃模式 表示如下：
數學公式(2.90、2.91) 符號說明
xn x x
x= 1, 2,L, ：決策變數向量
(
k k kn)
k C C C
C , , ,
2
1 L
= ：是目標函數 fk的參數 (ai ai ain)
A= 1, 2,L, ：為限制式g的參數 (b b bm)
b= 1, 2,L, ：是限制式資源項之值 目標式
min / Max
( )x c
[
f (x c ) (f x c ) fk(x ck)]
f ; 1 ; 1, 2 ; 2 ,L, ;
∆=
限制式 (x a ) b i m
g ; 1 ⊗ i, =1,2,L, ⊗：可表示<、≤、=、≥、>等運算符號 由以上模式可知，參數A、b、c和目標式四項皆可為模糊或不精確的，因 此模糊數學規劃模式可概分為下列四種，以下分述之。
（一） 模糊限制式問題
模糊限制式相關文獻中通常一併整理模糊限制式與目標函數模糊問題，多目 標線性規劃模式如公式所示。
數學公式(2.92、2.93) 符號說明
Zimmermann 是首位將模糊理論導入多目標規劃問題的學者，並且同時處理 模糊限制式與目標函數模糊的問題，結果顯示以模糊線性規劃所求者多為有效 解。以下即以多目標線性規劃最大化問題說明 Zimmermann 處理模糊限制與目標 函數模糊問題的方法。
Zimmermann 進一步將上式的模糊多目標問題改為下列的單目標問題：
數學公式(2.100、2.101、2.102) 符號說明 目標式
(1)Sakawa 和 Yano 法(1985，1986)
Sakawa 和 Yano 引進決策者目標偏好之隸屬函數值
( )
µˆfi ，以 MinMax 法在決 策者偏好隸屬值( )
µˆfi 下，由下列的擴增 MinMax 問題，求得局部柏拉圖最佳 解。數學公式(2.103～2.107) 符號說明
Sakawa 和 Yano(1987)將 MinMax 法應用在求解線性規劃問題，使得模糊規劃法 的各目標間或限制式問題的總計方法，不再挶限於 Zadeh(1970)的 MaxMin 法。
Sakawa 和 Yano(1987)之方法如下：
數學公式(2.108、2.109、2.110) 符號說明
µzi：為目標 i 的隸屬函數
(3)Ostermark(1988)
Ostermark 直接由決策者決定各目標的期望隸屬值(µzi)，而以 MinMax 法求解。
數學公式(2.111、2.112、2.113、2.114) 符號說明
µzi：為目標 i 的隸屬函數
Narasimhan(1980)、Rubin 和 Narasimhan(1984)等人認為目標之重要對決策者 而言只是模糊的概念，不應以明確的數值表示，故使用巢式優先次序方法，來處 理目標之間優先順序問題，並利用 MaxMin 法將多目標線性問題轉變成單目標線 性規劃問題。
3. 確定性權重
Hannan(1981)綜合目標規劃以及模糊理論，發展出模糊目標規劃(fuzzy goal programming)，在各目標優先順序相同時，則由決策者給予不同權重，目標式如
4. 參數規劃法
Chanas(1983)使用參數規劃法來處理多目標線性規劃模糊目標問題，其目標 的隸屬函數假設為線性，採用之參數規劃法如公式(2.116～2.119)所示。
數學公式(2.116、2.117、2.118、2.119) 符號說明
1*
1. Tanaka 和 Asia 利用 h 值的概念來表示模糊不等式的關係。首先假設模糊參數
2. Ramik 和 Rimanek(1985)採取較嚴格的限制來處理模糊數之不等關係，其概念 如下：若a，b兩模糊數的α截集(α-cut)表示為aα，bα，則a~ b~
3. Buckley(1989，1990)使用可能性理論定義模糊不等式的關係，並依α 的可能性 概念將模糊不等式轉為明確不等式，其模糊不等關係基本概念說明如下：以 poss[x∈F]表示x為可行解的可能性，則α 的可能性概念可表為 poss[x∈F]>α ， 0<α <1。依此概念，當⊗表示≤或<時，其模糊不等式可表示如(式 2.126)；當⊗表 示≥或>時，則(式 2.127)成立。
數學公式(2.126) 符號說明
4. Lai 和 Hwang(1992)採用 Ramix 和 Rimanek(1985)的基本概念並加入模糊數中間 值的限制，處理模糊參數可能性分怖的不等關係。模糊參數a，b的三角形可能 性分佈分別以
(
am,ap,ao)
及(
bm,bp,bo)
表示，並將a~ ≤b~的模糊不等式轉為下列明 確不等式，如(式 2.128～2.130)。數學公式(2.128、2.129、2.130) 符號說明
⎪⎪ 同，各有其意義，以 Buckley(1989，1990)、Ramik 和 Rimanek(1985)相比較，可 以發現 Buckley 採取較樂觀的法則，可行解空間較大，但相對地其所冒的風險也 較大。規劃者應視需要，採取適當概念來處理模糊不等關係。
（四） 模糊參數與模糊目標問題
此類問題同時考慮了參數與目標的模糊性，複雜度較高，尤其是多目標規劃 問題。Zimmermann(1978)首度將模糊理論應用於多目標規劃問題，並同時處理 了模糊目標與模糊限制式的問題。其後許多學者沿用或修改 Zimmermann 的模 式，發展出許多模糊多目標規劃模式，如 Llena(1985)應用於目標規劃法；
Chanas(1983，1989)結合參數規劃法；Tanaka 和 Asai 則擴充至模糊目標、模糊參 數A，b，c的線性規劃問題。當模糊參數的隸屬函數或可能性分佈型態為非對 稱型或非線性時，則此類的問題顯得更為棘手，對於此類問題，Sakawa 和 Yano(1989)、Buckley(1989)則使用α截集(α -cut)法，求得α 柏拉圖最佳解。Sakawa 和 Yano(1989)應用多目標非線性規劃問題，將模糊規劃模式轉為下列明確模式 (式 2.131～2.132)求解，但文中並沒有交待α -cut 後如何處理區間值的問題。
數學公式(2.131、2.132) 符號說明
c：為目標參數
b：為限制式參數
fi ：為決策者對目標 i 的偏好值 目標式
Min v
限制式 (xc ) f v
fi , i − i ≤ ，i=1,2,L,k
( )b,c ∈Lα
( )
b~,c~( )b
x x∈
( ) {
( ) ( )µ α ( )µ( )
α}
α = ≥ js ≥
ir b
c c b c c
c b c b
L ~,~ , ~ ; , ~
k
i=1,2,L, ；r=1,2,L,pi；
m
j=1,2,L, ；s=1,2,L,qj
Buckley(1989)則將模糊參數表為可能性分佈，發展單目標可能性線性問題的求解 方法，並說明α-cut 後模糊不等關係的處理原則，Buckley(1990)繼續將可能性規 劃觀念擴充至多目標線性規劃。