通过前面的介绍已经知道对同一个系统的动态特性可以用不同形式的数学模型描述,如 时域中的微分方程和状态空间表达式;复域中的传递函数;图示法的方块图和信号流图等。
虽然数学模型不是系 统 本 身,但它是系统的抽象表示,由此可以针对数学模型进行分析研 究。除了微分方程与传递函数之间的转换外,其他形式的数学模型之间是否可以互相转换 呢? 答案是肯定的。
一、由微分方程转换为状态方程 1. 微分方程右端不含输入量的导数项
设y 为输出变量,u 为输入变量,描述系统动态特性的微分方程模型:
y(n)+an-1y(n-1)+ … +a1y·+a0y =b0u (2-181) 若给定初始条件y(0),y·(0),…,y(n-1)(0)及t≥0的输入变量u,则微分方程(2-181) 的解是惟一的,也即系统的动态行为已经完全确定。取y(t),y·(t),…,y(n-1)(t) 为n 个状态变量,由于它们都是变量的各 阶 导 数,称 其 为 相 变 量 (注 意 与 第 三 节 中 储 能 物 理 状态变量的区别)。
选状态变量为:x1=y(t),x2=y·(t),…,xn=y(n-1)(t),式(2-181)可以改写为状态 方程
x·1=x2 x·2=x3
︙ (2-182)
x·n=-a0x1-a1x2-…-an-1xn+bu
及输出方程 y=x1 (2-183)
用矩阵表示
y= 1 0 0 0[ ]
y= 1 0 … 0[ ]
x
1=y
y=Cx+Du (2-191)
其中,x∈Rn,A∈Rn×n,B∈Rn×m,u∈Rm,y∈Rl,C∈Rl×n,D∈Rl×m。
【例2-39】 设一个两输入两输出系统的动态方程为
将式(2-198)代入式(2-197),得 令式(2-160)的分母为零,即得到该系统的特征方程(2-203)。所对应的传递函数为式(2-195)
G(s)=C(sI-A)-1B+D=Cadj(sI-A)B+ sI-A D
sI-A = sI-T-1AT = T-1sIT-T-1AT = T-1(sI-A)T (2-205) 因为行列式的乘积和乘积的行列式相等,即
T-1(sI-A)T = T-1 · sI-A · T = sI-A (2-206) 故可得
sI-A = sI-A (2-207) 所以进行状态变换后,特征多项式不变,特征方程不变,特征根也不变。
(2)状态变换后传递函数的不变性 状态变换后的系统传递函数为
G(s)=C(sI-A)-1B=CT(sIT-1T-T-1AT)-1T-1B
=CT(T-1sIT-T-1AT)-1T-1B=CT[T-1(sI-A)T]-1T-1B (2-208) 由矩阵理论,若矩阵A、B 均为非奇异阵,则有 (AB)-1=B-1A-1,代入式(2-208),得
G(s)=CT[T-1(sI-A)T]-1T-1B=CTT-1[T-1(sI-A)]-1T-1B
=C(sI-A)-1TT-1B=C(sI-A)-1B=G(s) (2-209) 可见,系统进行状态变换后,其传递函数不变。
四、由传递函数求状态空间表达式
由上面讨论,系统状态方程在经过非奇异线性变换后,其传递函数不变。同一系统,由 于状态变量选择的不惟一,其对应的状态方程表达也就有多种可能。这些不同的方程从物理 意义上来看,代表着不同的结构形式。已知系统的传递函数或微分方程,选用一定的结构形 式和状态变量来表达,在控制理论中称为 “实现问题”。
在不考虑纯滞后、非线性等环节特性的情况下,传递函数为一个有理分式,分子与分母 间没有公因子的有理分式称为不可约有理分式,若分子的阶次小于等于分母的阶次,则叫作 真有理分式,称不可约真有理分式的分母阶次为该有理分式的阶次。
当用状态空间模型来实现由传递函数表达的系统时,由于传递函数的分子、分母可能存 在可约性,实现的维数可能不同,但一定存在一个最小维数的实现,称为最小实现。即使是 最小实现,也存在状态变量选择的不惟一性。下面介绍三种常用的状态空间表达式的最小实 现:便于设计与实现状态反馈的能控标准型、便于设计与实现状态观测器的能观标准型和状 态变量之间完全解耦的正则型 (对角型)。
设系统传递函数
G(s)=Y(s)
X(s)=bnsn+bn-1sn-1+…+b1s+b0
sn+an-1sn-1+…+a1s+a0 (2-210) 应用综合除法,有
G(s)=Y(s)
X(s)=bn+ βn-1sn-1+…+β1s+β0
sn+an-1sn-1+…+a1s+a0=bn+N(s)
D(s) (2-211) 式中,bn 是 直 接 连 接 输 入、输 出 量 的 前 馈 系 数,当 G(s) 的 分 母 阶 次 大 于 分 子 阶 次 时, bn=0。N(s)
D(s)是严格有理真分式,式(2-211)中分子的各系数由综合除法得到 β0=b0-a0bn
β1=b1-a1bn
︙
βn-2=bn-2-an-2bn
βn-1=bn-1-an-1bn
1. 能控标准型
①bn=0 G(s)=Y(s)
X(s)=N(s)
D(s),将N(s)
D(s)分 解 为 两 部 分 相 串 联,如图2-72所示,Z(s)
U(s) 1 Z(s) Y(s)
+
【例2-40】 设有传递函数G(s)=Y(s)
1 y
s域 X1(s)= KTos+1o [F(s)+KcE(s)]