一个系统的特性取决于构成系统的环节及其参数。当被控系统本身的特性不能满足人们 的要求时,便需要设计控制器。在工业控制领域,PID调节器由于其方便易行,已经存在半 个世纪以上,至今仍应用于基本控制回路的85%以上,被称为常规控制器。下面以二阶系 统为例来分析和讨论PID 控制器的参数以及它们对系统性能的影响。
一、常规控制器的控制规律
控制器的作用是将被控对象的输出值y(t)与给定值r(t)进行比较,根据它们之间的 偏差e(t),按预先设计好的控制规律产生一个使偏差下降的控制作用p(t)施加到被控对象 上,如图3-22所示。
R(s) E(s)
+ G
c(s) G
p(s)
G
f(s)
P(s) + + Y(s)
F(s)
图3-22 带控制器的闭环控制系统示意图
在实际的工业控制中,PID 控制器常用的控制规律是:比例、比例+积分、比例+微 分、比例+积分+微分等。
1. 比例控制规律 P
比例控制器的输出p(t)与偏差信号e(t)之间存在比例关系
p(t)=Kce(t) (3-108) 其传递函数为 Gc(s)=P(s)
E(s)=Kc (3-108') 式中的Kc为控制器的比例放大倍数,故比例控制器实际上是一个可调增益 (放大倍数)的 放大器,其方块图如图3-23所示。控制器的输入e(t)与对应的输出p(t)曲线如图3-24所 示。由图可知,输 出 函 数 p(t)与输入函数e(t)在形状上相似,只是放大了 Kc倍。式 (3-108)和图3-24都表明控制器的输出与输入一一对应,即不等于零的控制器信号,要求
R(s) + E(s) K
cP(s)
Y(s)
图3-23 比例控制器的方块图 有不等于零的偏差信号;若偏差信号等于零,则控制器的
控制信号亦为零。这样,在应用比例控制器的系统中,为 克服干扰所需的控制作用,只有当控制器的输入信号不为 零时才能得到,这就意味着在稳态时系统的输出值和给定 值有偏 差,也 就 是 说,仅 有 比 例 作 用 控 制 器 的 系 统 存 在 余差。
e(t)
0 t
p(t)
0 t
图3-24 比例控制器的输入e(t) 与输出p(t)曲线示意图 2. 比例+积分控制规律 PI
PI控制器的输出p(t)与偏差信号e(t)之间存在以 下关系
p(t)= Kce(t)+KT
∫
ict0e(τ)dτ= Kc[
e(t)+ 1T∫
it0e(τ)dτ]
(3-109) 其传递函数为
Gc(s)=P(s)
E(s)=Kc(1+ 1Tis) (3-109') 式中,控制器除比例放大倍数 Kc外,还有一个重要 参数Ti,称为控制器的积分时间。在 PI控制器中,Kc和 Ti均可以调 整,但 Ti的 改 变 只 影 响 积 分 作 用,而 Kc的
改变却同时影响比例及积分两个部分。
在一定的Kc和Ti下,调节器输入信号e(t)与对应的输出p(t)如图3-25所示。由图 3-25及式(3-109)可得出以下结论。
e(t)
0 t
PI
p(t)
e(t)
p(t)
2K
cK
c0 t
0 t
0 t
P
图3-25 比例积分控制器的输入e(t)与输出p(t)曲线示意图
① 只要有偏差存在,积分作用就会一直进行,直到积分饱和。
② 只有当偏差为零时,积分作用才停止。这时输出信号p(t)的大小是偏差信号曲线下 面从零开始到这个瞬间t所包含的面积。因而偏差信号e(t)为零时,控制信号可以有不等 于零的值,也即可以停止在任何值上 (以模拟调节器为例,在未达到积分饱和时,气动控制 器可以是20~100kPa,电动调节器可以是0~10mA 或4~20mA 之间的任何值),所以应用 了具有积分作用控制器的系统,其控制系统将不存在余差。
3. 比例+微分控制规律 PD
PD 控制器的输出p(t)与偏差信号e(t)之间存在关系
p(t)=Kce(t)+KcTdde(t)
dt =Kce(t)+Tdde(t)
[
dt]
(3-110)其传递函数为
Gc(s)=P(s)
E(s)=Kc(1+Tds) (3-110') 式中,Kc仍为控制器的比例放大倍数,Td称为控制器的微分时间,它们均可调。
设被控二阶系统的开环传递函数为 Gp(s)=Y(s)
P(s)= ω2n
s(s+2ζωn) (3-111) 则加上PD 控制器后的系统闭环传递函数为
Φ(s)=Y(s)
R(s)= ω2n(1+Tds)
s2+2ζdωns+ω2n (3-112) 式中,ζd=ζ+12ωnTd,称为系统的有效阻尼比。比例微分控制不改变系统的自然频 率,但可以增大系统的阻尼比ζ,以抑制振荡。适当选择微分时间常数 Td,可使系统既具 有较好的响应平稳性,又具有满意的响应快速性。
从物理概念上分析,由式(3-112)可得 Y(s)=Φ(s)R(s)= ω2n(1+Tds)
s2+2ζdωns+ω2nR(s)= ω2n
s2+2ζdωns+ω2nR(s)+ Tds
s2+2ζdωns+ω2nR(s) 式中右边第一项对应着典型的二阶系统时间响应,第二项为微分附加项。正是由于附加项的 存在,增加了时间响应中的高次谐波分量,使得响应曲线的前沿变陡,提高了系统响应的快 速性。比例微分控制的二阶系统的时间响应如图3-26所示。
y(t)
y
ss0 t
PD
y
1y
1y
1′
图3-26 比例微分控制二阶系统的时间响应示意图 4. 比例+积分+微分控制规律 PID
PID 控制器的输出p(t)与偏差信号e(t)之间存在以下关系
p(t)= Kce(t)+KT
∫
ict0e(τ)dτ+KcTdde(dt = Kt) c[
e(t)+ 1T∫
it0e(τ)dτ+Tdde(dtt)]
(3-113) 或以传递函数表示为
Gc(s)=P(s)
E(s)=Kcæ1+ 1Tis+Tds è
ç ö
ø
÷ (3-114)
式中,Kc,Ti,Td均如上所述。
PID 控制器是比例、积分、微分的组合,集三种控制作用的优点,因而在常用的控制规
e(t)
0 t
t T
dp(t)
2K
c0
图3-27 PID 控制器的输入e(t) 与输出p(t)曲线示意图 律中是较完善的一种。
PID 控制器在单位斜坡输入e(t)的作用下,输出 p(t)的曲线如图3-27所示。
由图3-27 和 式 (3-113)、 式 (3-114) 可 见, 微 分 作用和偏差变化的速率 成 正 比,所以它能使系统具有 超前作用,可使系统的被控变量提前得到修正,有助 于增加系统 的 稳 定 性 和 控 制 品 质。微 分 时 间 Td表 示 微分作用超前于比例作 用 的 时 间 间 隔,当偏差信号变 化速率等于零时,微分作用也就消失了。微分控制作 用只有在输入信号变化的瞬间有效,不能单独使用。
二、控制器参数对控制过程的影响 1. 比例作用
假设二阶控制系统的方块图如图3-28所示,图中, Gc(s)表示控制器的拉氏变换式。
设控制 器 为 比 例 控 制 规 律,Gc=Kc,则Y(s)与 F(s)之间的系统闭环传递函数为
Y(s)
F(s)= Kf(T2s+1)
(T1s+1)(T2s+1)+KcK (3-115)
F(s) K
fT
1s+1
+ + Y(s) K
(T
1s+1)(T
2s+1) G
c(s) P(s)
R(s) +
图3-28 带控制器的闭环系统示意图
y(t)
0 t
K
c图3-29 控制器放大倍数 对过渡过程的影响示意图 设系统稳定,在幅值为 A 的阶跃干扰F 作用下,其稳态值 (余差)可应用终值定理求得
y(∞)=lim
t→∞y(t)=lim
s→0sY(s)
F(s)F(s)=s· Kf(T2s+1)
(T1s+1)(T2s+1)+KcK×A
s = AKf
1+KcK
(3-116) 式(3-116)再次表明,采用纯比例控制器构成的系统,系统总是存在余差,虽然余差的值随 着控制器的放大倍数Kc的增大会减小,但不能完全消除。
式(3-115)所示的二阶系统,在单位阶跃干扰作 用下的过 渡 过 程 将 由 系 统 特 征 方 程 的 根 或 阻 尼 比 决 定。该系统的特征方程是
T1T2s2+(T1+T2)s+1+KcK=0 或用二阶系统的标准型式表示
s2+2ζpωn+ω2n=0 式中,ωn=1+KcK
T1T2 ;2ζpωn=T1+T2
T1T2 ,即 ζp= T1+T2
2 T1T2(1+KcK) (3-117)
由式(3-117)可见:当Kc较小时,ζp值较大,并有可能大于1。设一开始ζp>1,这时 过渡过程为不振荡过程;随着 Kc的增加,ζp值将逐渐减小,直至小于1,相应的过渡过程 将由不振荡过程变为不振荡与振荡的临界情况直至衰减振荡,并随着 Kc的继续增大,ζp值 继续减小,过渡过程的振荡加剧 (参见图3-29)。随着 Kc的变化,过渡过程各项质量指标 的变化情况如表3-3所示。
表3-3 比例控制作用下Kc变化对过渡过程的影响
放大倍数Kc 小→大 稳定程度 逐渐降低
阻尼比ζ 大→小 最大偏差A 大→小
衰减比B/B' 大→小 余差 大→小
2. 微分作用
若图3-28所示系统的控制器采用比例微分作用,即Gc(s)如式(3-110')所示,则系统 的闭环传递函数为
Y(s) F(s)=
Kf
T1s+1 1+Kc(1+Tds) K
(T1s+1)(T2s+1)
= Kf(T2s+1)
T1T2s2+(T1+T2+KcKTd)s+1+KcK 可见这也是一个二阶系统,其阻尼比为
ζd= T1+T2+KcKTd
2 T1T2(1+KcK) (3-118) 比较式(3-117) 与 式 (3-118), 它 们 的 分 母 相 同, 仅 是 式 (3-118) 的 分 子 多 了 一 项 KcKTd。考虑所研究的系统为稳定系统,Kc,K,Td均 为 正 值,故当 Kc相 同 时,ζd>ζp,
且Td愈大,ζd愈大。ζ值的增加,将使系统过渡过程的振荡程度降低 (衰减比增大),因而 在比例作用的基础上增加微分作用将提高系统的稳定性。为了维持纯比例作用时的衰减比, 使ζd=ζp,需将放大倍数 Kc适当增加。从前面的讨论知道,Kc的增加,将全面提高过渡过 程质量。但微分作用不能加得太大,否则,反应速度过快,反而会引起系统过分的振荡,给 引言带来不利影响。
利用终值定理,可求得阶跃干扰作用下的系统稳态值 y(∞)=lim
t→∞y(t)=lim
s→0sY(s) F(s)F(s)
=s· Kf(T2s+1)
T1T2s2+(T1+T2+KcKTd)s+1+KcK×A
s = AKf
1+KcK
可见系统仍有余差。但如上分析,由于带微分作用时的 Kc值较纯比例作用时的Kc大,因 此余差会比纯比例作用时小。也就是说,微分作用能减小余差,但不能消除余差。
3. 积分作用
若图3-28中的控制器采用比例积分作用,即图中的控制器为 Gc(s)=P(s)
E(s)=Kcæ1+ 1Tis è
ç ö
ø
÷
为了便于比较与分析,假设此时被控系统的调节通道与干扰通道的传递函数分别为 Gp(s)=Y(s)
P(s)= K
Ts+1;Gf(s)=Y(s) F(s)= Kf
Ts+1 这样,系统的扰动通道闭环传递函数为
Y(s) F(s)=
Kf
Ts+1 1+Kcæ1+ 1Tis
è
ç ö
ø
÷ K Ts+1
= KfTis
TiTs2+Ti(1+KcK)s+KcK (3-119)
该二阶系统的阻尼比为
ζi= 1+KcK
2 TKcK/Ti (3-120) 显然,Ti越大,ζi越大,并可能使ζi>1;Ti越小,ζi也越小,亦可能使ζi<1。这说 明当Ti由大到小变化时,系统的过渡过程可能由不振荡到振荡,Ti越小,振荡越剧烈,表 示积分作用越强。这和前面定性分析得到的在比例作用的基础上增加积分作用使过渡过程振 荡加剧的结论是一致 的。不难想象,要维持和纯比例作用时同样的阻尼比或同样的调节质 量,应将比例放大倍数 Kc适当减小。这就是在实际工作中采用比例积分控制器时,控制器 的放大倍数Kc要比纯比例作用时小的原因。当然对于采用比例积分控制器的同一系统,为 了保证相同的调节质量,由式(3-120)可见,Kc和Ti的值可以在一定的范围内作适当的不 同匹配。
若对式(3-119)使用终值定理,可以求得阶跃扰动下系统过渡过程的稳态值为零 (等于 给定值),即
y(t)=lim
s→0s·Y(s)
F(s)F(s)=lim
s→0s· KfTis
TiTs2+Ti(1+KcK)s+KcK×A s =0 可见,积分作用能完全消除余差。这是积分作用最重要的特点。
三、测量滞后对控制过程的影响
前面对控制系统进行分析时,都是着眼于系统被控变量y(t)的实际变化情况,即讨论 的前提是y(t)已知,但实际上控制器所接收到的信号是被控变量的测量值z(t)。测量值 z(t)与真实值y(t)之间的差异主要由测量装置的滞后引起。例如,具有一阶特性的测量
装置
Gm(s)=Z(s) Y(s)= Km
Tms+1
当用它测量一个作阶跃变化的被控变量y(t)时 (设幅值为y0),实际上反映出来的却是 z(t)=Kmy0(1-e-tTm )
即一个呈指数曲线 变 化 的 响 应,按 第 四 节 中 关 于 一 阶 系 统 的 时 域 分 析,要 等 到 3Tm 后, z(t)才接近真实值y0的Km 倍。显然,测量装置的时间常数 Tm 越大,该过渡过程越长。
直观地看,由于控制器接收到的是失真的输出信号,以致系统虽然按照预期的性能指标 进行控制,但实际的结果却并不能完全达到预期的要求。这个差异就是由于测量滞后 Tm 引 起的。由于有此差异,有时虽然仪表上所指示的被控变量的测量值满足工艺要求,但有可能 实际的被控变量已经超出了规定的质量指标。所以在实际的工作中,应选择滞后尽可能小的 测量元件,特别是在控制质量要求高的场合。