第二章中介绍的应用机理分析建立对象及各环节数学模型的方法,具有便于理论上分析 推导、普遍适用等优点,但实际应用中也碰到一些困难。原因在于:①一些工业对象结构复 杂,内部工艺机理尚不完全清楚,经常存在非线性、分布参数等复杂情况;②有些对象虽然 用理论推导可以得到数学模型,但由于模型复杂,不便于实际应用;③在理论推导过程中, 往往需要作一些假设,虽然这些假设有一定的依据,但毕竟不能完全反映实际情况。
解决上述问题的方法便是采用实验测试建模。这是因为对于用机理分析建立的数学模型, 人们仍希望采用实验的办法予以验证;而对于无法用理论推导的情况就更需要通过实验测试的 方法来获取系统的动态特性。在工程应用中,有时机理模型过于复杂,难以直接应用,需要有 一个近似的实用模型。用实验方法虽然结果比较粗糙,但却是了解系统的简易途径。
实验测试法一般用于在实际的工业设备上建立被测对象的输入-输出模型。通过对实际 对象施加典型的输 入 信 号 (常用的有阶跃、方波脉冲、正弦波、矩形波、伪随机方波等信 号),测取输出数据后,加以整理、计算就可得到对象特性。这种方法的局限性在于实验是 针对某一具体的对象,甚至针对具体的实验条件,不具有普遍性。如果要得到较为准确的对 象模型,需要在各种条件下反复测试。
一、常用的实验测试方法
被测系统的动态特性只有当它们处于被激励状态才会表现出来。因此,要获得系统的动 态特性,必须激励被研究的系统。根据加入的激励信号和对结果的分析方法不同,测试动态 特性的实验方法,主要有以下几种。
1. 时域法
由于时域法简单,工作量小,因而在实际工业生产中应用广泛,缺点是其精度不够高。
具体测试方法是:对于渐近稳定的被控系统,在它的某个稳态下快速地改变它的输入量,加 上阶跃或脉冲输入信号,在输出端记录下输出随时间变化的响应曲线;再对曲线进行分析, 确定被测系统的传递函数。为区别于后来发展起来的 “系统辨识”方法,这种方法往往被称 为 “经典测试法”,也是本小节要介绍的方法。
2. 频域法
频域法的测试过程是:对被测系统施加不同频率的正弦波,测出输入信号与输出信号间 的幅值比和相 位 差,从而获得被测系统的频率特性 (即频率传递函数)。这种方法的原理 (将在第六章中详细介绍)和数据处理都比较简单,测试结果的精度比时域法高,但需要专 门的频率测试设备,测试工作量较大。
3. 统计相关法 (系统辨识法)
这种测试方法的主要过程是对被研究系统施加某种随机信号,根据被测系统各参数的变 化,采用统计法确定被测系统的动态特性。该方法可以在被测系统或生产过程正常运行状态 下进行在线辨识,测试结果精度较高,但要求采集大量测试数据,并需用相关仪器和计算机
进行数据计算和处理。有兴趣的读者可参见 “系统辨识”教材或相关文献。
二、输入测试信号
阶跃输入x1(t)及其相应的输出响应曲线如图3-30所示。特别地,若输入信号的幅度 为归一化后的 “1”,则称其为单位阶跃信号。该方法简单易行,但由于施加阶跃信号后将使 对象的某个输出单方向变化或较长时期偏离正常值,有时会影响正常的生产。为避免产生这 种情况,可以将输入信号x2(t)选为方波,相应的输出y2(t)称为方波响应函数,如图3-31 所示。
x
1(t)
O t
x
1(t) y
1(t)
y
1(t)
O t
图3-30 阶跃响应实验示意图
O t y
2(t)
y
2(t) x
2(t)
x
2(t)
O t
∆t
图3-31 方波响应实验示意图
x0
x
2(t)
O ∆t
x(t) y(t)
y
1(t) x
1(t)
x
2(t)
y
2(t) t
图3-32 方波响应与阶跃响应 的关系曲线示意图
方波响应与阶跃响应有着密切的关系。因为从方波响应可以方便地得到阶跃响应。设所 加方波输入的幅度为x0,时间宽度为 Δt,则方波可以认为是两个阶跃输入x1(t)和x2(t) 的叠加,它们的幅值等于x0,只是x2(t)的方向与x1(t)的方向相反,且往后推延了 Δt时 间,如图3-32所示。设方波响应为y(t),阶跃x1(t)的响应为y1(t),阶跃x2(t)的响应为 y2(t),则有
y(t)=y1(t),0<t≤Δt
y(t)=y1(t)+y2(t)=y1(t)-y1(t-Δt),Δt<t
{
(3-163)或
y1(t)=y(t),0<t≤Δt
y1(t)=y(t)+y1(t-Δt),Δt<t
{
(3-164)通过计算机辅助计算可以方便地将方波响应转换为 阶跃响应。
特别要注意的是,由于这种方法不考虑随机因 素的影响,所以在做测试实验时,必须采取措施防 止在实验过程中产生其他干扰,尽可能保证输出仅 受到输入信号的影响。考虑到实际对象中或多或少 存在的非线性,在条件允许的情况下,应选取不同 的负荷进行多次测试;特别是在主要运行工况 (如 额定负荷、平均负荷等),应该重复进行多次测试, 包括提量和减量,以消除偶然因素的影响。
三、实验测试数据的处理
根据测试得到的阶跃 响 应 或 方 波 响 应 数 据 拟 合 传 递 函 数 的 方 法 很 多,所 采 用 的 传 递 函数形式也各有不同。一般来说,可将测 试 得 到 的 阶 跃 响 应 曲 线 与 标 准 的 一 阶 或 二 阶 甚 至更高阶次的阶跃响应曲线相比 较,选 择 相 近 的 传 递 函 数 形 式,然 后 对 实 验 数 据 进 行 处 理,求得相应传递函 数 的 参 数。显 然,对 同 一 条 响 应 曲 线,拟 合 为 低 阶 传 递 函 数 的 数 据 处理简单,但准确度可 能 较 低。因 此 在 满 足 精 度 要 求 的 情 况 下,实 际 的 工 业 过 程 经 常 采 用低阶加纯滞后的模型拟合被控系统。
1. 一阶传递函数模型
测试中常见的一种阶跃响应曲线为图3-33所示的单调曲线。如果将对象模型近似为 G(s)=KeTs+1-τs (3-165) 式中,K 为稳态放大倍数;T 为时间常数;τ为纯滞后时间。设阶跃输入幅值为x0,输 出响应为y(t),其初始值为y0,新稳态值为y(∞),则可求得
K=y(∞)-y0
x0 (3-166)
时间常数T 和纯滞后时间τ 可用作图法确定:在图3-33响应曲线的拐点p 作切线,切线与
y(t)
y( ∞ )
y( ∞ )
B
p
A
*
O τ T
t
图3-33 有延迟的一阶近似示意图 时间轴交于B 点,则OA 对应纯滞后时间τ,AB 对应
时间常数T。响应曲线对应的传递函数为式(3-165)。
纯滞后时间τ也可以根据过程知识和经验人为地 确定,将一个比较值作为纯滞后的比较阈值。具体地 说,就是 在 给 过 程 加 上 输 入 信 号 以 后,将 输 出 响 应 y(t)小于等于该阈值的时间认为是纯滞后时间τ,如
图3-33所示。如设比较阈值为z,则有 y(t)≤z*y(∞),0≤t≤τ
由于图3-33中所示的切线法有较大的随意性,故 T 和τ 的取值精度受到影响。为提高精度,可以采用
两点拟合法。
K 仍如式(3-166),为便于处理,将y(t)作归一化处理,并用y1(t)表示,即 y1(t)= y(t)
y(∞) (3-167)
由式(3-165)所示的传递函数,y1(t)可表示成
y1(t)= 0, t<τ 1-e-(t-τ)/T,t≥τ
{
(3-168)若对于两个任意时刻t1和t2,归一化后的输出值为y1(t1)和y1(t2),则可得以下方程:
y1(t1)=1-e-(t1-τ)/T y1(t2)=1-e-(t2-τ)/T
{
(3-169)假设t2>t1>τ,则通过解方程(3-169),得
T= t2-t1
ln[1-y1(t1)]-ln[1-y1(t2)] (3-170) τ=t2ln[1-y1(t1)]-t1ln[1-y1(t2)]
ln[1-y1(t1)]-ln[1-y1(t2)] (3-171) 若选择y1(t1)=0.39,y1(t2)=0.63,则式(3-170)和式(3-171)可简化为
T=2(t2-t1) (3-170')
τ=2t1-t2 (3-171') 对于计算所得结果,可在
t≤τ, y1(t3)=0 t4=0.8T+τ, y1(t4)=0.53 t5=2T+τ, y1(t5)=0.87 这几个时刻处对阶跃响应曲线的坐标值进行校对。
如果对象纯滞后很小,可以忽略不计,则以上算法变得更为简单。
2. 二阶传递函数模型
如果将被控对象近似成二阶环节加纯滞后模型,则欲拟合的传递函数可写成是两个一阶 惯性环节的串联形式
G(s)= Ke-τs
(T1s+1)(T2s+1) (3-172) 式中对增益K 的计算和对y(t)的归一化处理都仍为式(3-166)和式(3-167),如果对纯滞 后τ先不作考虑,则问题转化为用
G(s)= 1
(T1s+1)(T2s+1), T1≥T2 (3-173) 去拟合已截去纯滞后部分并已化为无量纲形式的阶跃响应y1(t)。
与式(3-173)相对应的阶跃响应为
y1(t)=1- TT1-T1 2e-t/T1- TT2-T2 1e-t/T2
或 1-y1(t)= TT1-T1 2e-t/T1+ TT1-T2 2e-t/T2 (3-174) 由式(3-174),可利用阶跃响应上 [t1,y1(t1)]和 [t2,y1(t2)]两个点的数据确定参数 T1
和T2。例如,可以取y1(t)分别等于0.4和0.8,从曲线上定出t1和t2,如图3-34所示, 就可以得到下述联立方程
t
1t
2t 0
1.0 0.8
0.4 y(t)
图3-34 根据阶跃响应曲线上两个点的数据确定 T1和T2
T1
T1-T2e-t1/T1- TT1-T2 2e-t1/T2=0.6 T1
T1-T2e-t2/T1- TT1-T2 2e-t2/T2=0.2 ì
î í ïï ïï
(3-175)
式(3-175)的近似解为
T1+T2≈ 12.16(t1+t2) (3-176) T1T2
(T1+T2)2≈1.74tt12-0.55 (3-177)
对于用式(3-173)表示的二阶对象,应有
0.32<tt12≤0.46 (3-178) 式(3-172)中纯滞后时间τ的考虑如图3-33所示的阈值方法。
易知,当T2=0时,式(3-173)变为一阶对象,对于一阶对象应有 t1
t2=0.32, t1+tt=2.12T1
当T2=T1时 t1
t2=0.46, t1+t2=2.18×2T1
如果t1/t2>0.46,则说明该阶跃响应需要用更高阶的传递函数才能拟合得更好。例如 可以取成n 个一阶环节串联的传递函数
G(s)= Ke(Ts+1)-τsn (3-179) 如果取作式(3-179)的形式,可仍根据y1(t)=0.4和0.8分别定出t1和t2,然后再根 据比值t1/t2,利用表3-4查出n值,最后再用下式计算式(3-179)中的时间常数T
nT≈t1+t2
2.16 (3-179')
表3-4 高阶惯性对象1/(Ts+1)n中阶数n 与比值t1/t2的关系
n t1/t2 n t1/t2
1 0.32 8 0.685
2 0.46 9
3 0.53 10 0.71
4 0.58 11
5 0.62 12 0.735
6 0.65 13
7 0.67 14 0.75
读者可以考虑,如果采用脉冲信号作为被控系统的输入信号,该如何从获得的输出量求得系统的传递 函数?
本 章 小 结
对于实际的控制系统,人们关心的是当输入 (包括给定输入与扰动输入)信号作用于被 控系统后,系统的输出是否符合要求,也即需要掌握输出随时间变化的情况,因而,本章的 主要内容是在已知被控系统模型的基础上,求解在典型输入信号激励下的微分方程解———系 统输出响应。为了比较分析系统的动态性能,选择二阶系统作为讨论对象,采用典型的单位 阶跃函数作为输入信号,引出分析与评估线性控制系统的动态与稳态的性能指标。为简化对 高阶系统的分析,引入了系统主导极点的概念。本章还讨论了常规的控制规律 (比例、积分 与微分)对系统控制质量的影响。
基于线性系统的状态空间模型,本章介绍了状态转移矩阵的概念及其计算,推导了状态 方程的求解方法。
针对实际应用的需要,在本章的最后,简单给出了被控系统的实验建模方法。