控制系统的稳态误差是系统控制精度的一种度量,通常称为稳态性能。在控制系统设计 中,稳态误差是一项重要的性能指标。控制系统的稳态误差是由很多因素造成的,系统本身 的结构参数、外部作用的形式以及组成系统的元器件性能不佳等都可能引起误差。其中元器 件的性能不佳包括精度不高、摩擦、间隙以及零点漂移、老化等,这种误差可以通过检测后 针对性地改进,使之减少。本节只讨论由系统结构、输入信号及扰动信号引起的稳态误差。
下面先介绍稳态误差的概念,再介绍反馈控制系统的 “型”别及稳态误差系数。
一、稳态误差
控制系统的典型结构如图4-5所示,图中 R(s)为输入信号,F(s)为扰动信号,当某 个输入信号 作 用 于 一 个 控 制 系 统 时,时 间 响 应 通 常 可 以 分 为 两 部 分:动 态 响 应 和 稳 态 响 应,即
R(s) + E(s) Z(s)
G
c(s) G
p(s)
H(s)
+ + G
f(s)
F(s)
Y(s)
图4-5 控制系统的典型结构
R(s) + E(s) Y(s)
Z(s) G(s)
H(s)
图4-6 控制系统方块图
y(t)=yt(t)+yss(t) (4-26) 式中,yt(t)为动态响应,yss(t)为稳态响应。对于稳定的控制系统来说,有
t→∞limyt(t)=0 (4-27) limt→∞yss(t)=yss(∞) (4-28) yss(∞)与期望输出的差值反映了系统的稳态性能。
对于图4-6中的控制系统,系统误差有两种定义方法。
一种是从输入端定义,定义为输入信号与反馈信号的差,即
e(t)=r(t)-z(t) (4-29a) E(s)=R(s)-Z(s)=R(s)-H(s)Y(s) (4-29b) 这种方法定义的误差通常又称为偏差。由于偏差信号是可以测量的,因此在应用中具有实际 意义。当时间t→∞时,这个差值就是系统的稳态误差,即
ess=lim
t→∞e(t)=lim
t→∞[r(t)-z(t)] (4-30) 下面就采用这种方法定义的误差进行稳态误差分析。
另一种是从输出端定义,定义为期望输出与实际输出之间的差,即
e'(t)=r(t)-y(t) (4-31a) E'(s)=R(s)-Y(s) (4-31b) 两种方 法 得 到 的 误 差 具 有 一 一 对 应 的 关 系, 对 于 单 位 负 反 馈 系 统,H (s)=1,e(t)=
e'(t),且
ess=lim
t→∞e(t)=lim
t→∞[r(t)-y(t)] (4-32) 在图4-5的控制系统中,输出的拉氏变换为
Y(s)= Gc(s)Gp(s)
1+Gc(s)Gp(s)H(s)R(s)+ Gf(s)
1+Gc(s)Gp(s)H(s)F(s) (4-33) 由式(4-29b),误差的拉氏变换为
E(s)=R(s)-H(s)Y(s)= 1
1+Gc(s)Gp(s)H(s)R(s)- Gf(s)H(s)
1+Gc(s)Gp(s)H(s)F(s) (4-34) 上式表明,系统误差不仅与给定输入信号r(t)及扰动信号f(t)有关,还与系统的结 构和参数有关。
在式(4-34)中,第一项对应于给定输入信号r(t)引起的误差,相应的稳态误差称为给 定稳态误差,记为esr,根据终值定理有
esr=lim
s→0
1+Gc(s)Gsp(s)H(s)R(s) (4-35) 第二项对应于外部扰动输入f(t)所引起的误差,相应的稳态误差称为扰动稳态误差, 记为esf,根据终值定理有
esf=lim
s→0
-sGf(s)H(s)
1+Gc(s)Gp(s)H(s)F(s) (4-36) 对于线性系统,当同时受到给定输入和扰动输入的作用时,系统的稳态误差是上述两项 误差的代数和。
对于随动系统,要求系统的输出以一定的精度跟踪给定信号的变化,常以给定稳态误差来衡 量随动系统的控制精度;对于定值控制系统,常以扰动稳态误差衡量定值控制系统的控制精度。
二、反馈控制系统的 “型”
由式(4-35)和式(4-36)可知,无论给定稳态误差还是扰动稳态误差,都与系统的传递 函数有关,尤其是与系统的开环传递函数有直接联系。在工程上,常根据开环传递函数的形 式来定义反馈控制系统的 “型”。为简便起见,先考虑单位负反馈的情况,如图4-7所示。
R(s) + E(s) Y(s)
Z(s) G(s)
图4-7 单位负反馈控制系统 开环传递函数为
G(s)=Y(s)
E(s)=Km(T1s+1)(T2s+1)…
sm(Tas+1)(Tbs+1)… (4-37) 式中,T1,T2,…和Ta,Tb,…为常数;Km为传递函数的放 大 系 数。上式可以写为更一 般的形式
G(s)=Km(1+b1s+b2s2+…+bwsw)
sm(1+a1s+a2s2+…+ausu) (4-38) 式中,a1,a2,…,au,b1,b2,…,bw为常数;Km为传递函数的放大系数。w,u 及a,b的值 对系统稳态误差无影响,s的指数m 是影响稳态误差的主要参数。因此,根据 m 的值来定 义控制系统的 “型”,具体为:
当m=0时,称反馈控制系统是0型系统;
当m=1时,称反馈控制系统是1型系统;
当m=2时,称反馈控制系统是2型系统;
m>2的情况比较少见。对于单位负反馈系统,E 和Y 具有相同的单位,因此,K0是无 单位的,K1的单位为s-1,K2的单位为s-2。不同型别的系统其稳态性能不同。
为了分析不同型的系统在不同类型输入信号下的稳态误差,先回顾拉氏变换中的两个定 理,一个是终值定理
limt→∞f(t)=lim
s→0sF(s) (4-39) 一个是微分定理:在零初始条件下
L
[Dmy(t)]=smY(s) (4-40) 式中,Dmy(t)为y(t)的 m 阶导数。由式(4-37)可得
E(s)= (Tas+1)(Tbs+1)…
Km(T1s+1)(T2s+1)…smY(s) (4-41) 对上式应用终值定理,可得
ess=lim
s→0[sE(s)]=lim
s→0
s(Tas+1)(Tbs+1)…
Km(T1s+1)(T2s+1)…smY(s)
[ ]
=lims→0ss[ mKY(ms)] (4-42)对式(4-40)应用终值定理,可得
lims→0ss[ mY(s)]=lim
t→∞[Dmy(t)]=[Dmy(t)]ss (4-43) 将上式代入式(4-42)可以得到
ess=[Dmy(t)]ss
Km (4-44)
或 Kmess=[Dmy(t)]ss (4-45) 式(4-44)和式(4-45)将稳态误差与输出的导数联系起来,当输出的 m 阶导数Dmy(t)为常 数时,系统的稳态误差也为常数。因此,可以理解系统的 “型”别与输出的关系:
0型系统:定常的驱动信号ess(t)产生定常的被控变量;
1型系统:定常的驱动信号ess(t)产生定常的被控变量变化率;
2型系统:定常的驱动信号ess(t)产生定常的被控变量的二阶导数 (加速度)。
对于单位负反馈,由于 Y(s)= G(s)
1+G(s)R(s)= Km[(T1s+1)(T2s+1)…]R(s)
sm[(Tas+1)(Tbs+1)…]+Km[(T1s+1)(T2s+1)…] (4-46) 因此误差E(s)为
E(s)=Y(s) G(s)= 1
G(s)×G(s)R(s)
1+G(s)= R(s) 1+G(s)
= sm[(Tas+1)(Tbs+1)…]R(s)
sm[(Tas+1)(Tbs+1)…]+Km[(T1s+1)(T2s+1)…] (4-47) 对式(4-47)应用终值定理可以得到稳态误差为
ess=lim
s→0s sm[(Tas+1)(Tbs+1)…]R(s)
sm[(Tas+1)(Tbs+1)…]+Km[(T1s+1)(T2s+1)…]
{ }
(4-48)式(4-48)描述了稳态误差与给定输入信号之间的关系,下面根据这个关系来分析不同型的 系统对阶跃函数输入
r(t)=R0(t), R(s)=Rs0 (4-49) 斜坡函数输入 r(t)=R1t,R(s)=Rs21 (4-50) 抛物线函数输入
r(t)=R2t2
2 ,R(s)=Rs32 (4-51) 的稳态误差。
1.0型系统 (m=0)
在式(4-48)中令m=0,并分别将式(4-49)~式(4-51)代入,可以得到0型系统的稳态 误差分别如下。
对阶跃输入
ess= R1+K00=constant=E0≠0 (4-52) 可见,0型系统在阶跃输入信号作用下是有差系统,其对阶跃输入的响应如图4-8所