对于常微分方程模型表示的定常线性系统,有两种方法可以得到系统的时间响应。一种 是经典的常微分方程时域求解法,在分别求得特解 (相应于稳态响应)与通解 (相应于暂态 响应)后,将它们相加得到全响应。另一种是拉普拉斯变换法求解,先对微分方程求拉氏变 换,得到输出的复频域表达式后,再求其拉氏反变换,得到方程的时域解。
一、系统的稳态响应求解
稳态响应是指稳定系统在时间趋于无穷大时达到的稳定状态。稳态响应决定了系统稳态 误差的大小,且与输入信号密切相关。在考虑系统的稳态响应时将第一节中的典型输入分为 正弦函数与多项式函数两大类讨论。
1. 正弦输入
假设系统的输入是正弦函数,记作
r(t)=Bcos(ωt+α) (3-9) 由欧拉恒等式
ejωt=cosωt+jsinωt 可将输入写成
r(t)=Bcos(ωt+α)=[Bej(ωt+α)]的实部=Re[Bej(ωt+α)]
=Re(Bejαejωt)=Re(Rejωt) (3-10) 式中的 “Re”表示复数的实部,R=Bejα,为一具有幅值B 和相位α 的矢量。幅值B 代 表了输入r(t)的最大值,为简单起见,经常选择α=0°进行分析。
设系统的微分方程模型为
avDvy(t)+av-1Dv-1y(t)+…+a0D0y(t)+a-1D-1y(t)+…+a-wD-wy(t)=r(t) (3-11) 式中,y(t)为系统输出;r(t)为系统输入;ai是 微 分 方 程 的 常 系 数; “D”为微分算 子,其指数的正阶次形式表示微分,负阶次表示积分。
将式(3-10)代入式(3-11),欲使等式(3-11)成立,稳态解yss(t)一定具有如下形式 yss(t)=Ccos(ωt+ϕ)=Re(Cejϕejωt)=Re(Yejωt) (3-12) 式中,Y=Cejϕ,为一具有幅值C 和相位ϕ 的矢量。输出yss(t)对时间t的n 阶导数为
Dnyss(t)=Re[(jω)nYejωt] (3-13) 将yss(t)和它的导数式(3-12)、式(3-13)代入式(3-11),得
Re[av(jω)vYejωt+av-1(jω)v-1Yejωt+…+a0Y+a-1(jω)-1Yejωt+…+a-w(jω)-wYejωt]
=Re(Rejωt) (3-14)
从方程两边消去ejωt,解出Y 为
Y(jω)= R(jω)
av(jω)v+av-1(jω)v-1+…+a0+a-1(jω)-1+…+a-w(jω)-w (3-15) 式中,Y(jω)为一输出矢量,具有幅值C 和相位ϕ,且C 和ϕ 均为频率ω 的函数。相似 地,用R(jω)来表示输入为正弦且是频率ω 的函数。
比较时域表达式(3-11)和频域表达式(3-14),可以看出,两个方程之间存在某种联系, 很容易相互转换。比如,在时域方程(3-11)中,用jω 代替D,用Y(jω)代替y(t),以及用 R(jω)代替r(t),则得到频域方程(3-14)。反过来也一样,并且与方程的阶次无关。
由方程(3-14),可得到 G(jω)=Y(jω)
R(jω)= 1
av(jω)v+av-1(jω)v-1+…+a0+a-1(jω)-1+…+a-w(jω)-w (3-16) 此式称为频率传递函数,又称为频率特性。从正弦输入的稳态响应式(3-12)出发,推导出 了表征系统动态特性的频率传递函数G(jω),这在实际应用中非常有意义,为系统的建模提 供了一种方法。频率特性是经典控制理论中的重要内容,将在第六章中作详细介绍。
由式(3-12),可以得到系统的稳态时间响应 (又常称为频率响应)
yss(t)=Re(Yejωt)= Y cos(ωt+ϕ) (3-17) 可见,当输入为正弦信号时,系统的输出是频率与输入相同的正弦信号,只不过幅值与相位 发生了变化。
【例3-1】 考虑 【例2-1a】给出的RLC 串联电路的频率特性。
解 在例2-1a中已经得到电路系统的微分方程模型是式(2-7),即 T1T2d2vC(t)
dt2 +T2dvC(t)
dt +vC(t)=e(t)
若输入e(t)为正弦信号,则由式(3-17)知,输出vC(t)达到稳态后的输出vCss(t)是与输 入同频的正弦信号,其频率特性为
G(jω)=VC(jω)
E(jω)= 1
T1T2(jω)2+T2(jω)+1
显然上式为复数,可进一步写成幅值与相位的形式,且幅值与相位都是频率ω 的函数。
本质上,频率特性是传递函数的特例,其物理意义反映了系统对正弦信号的三大传递能 力:同频、变幅、相移。
2. 多项式输入
多项式输入的一般形式为
r(t)=R0+R1t+R2!t22+…+Rk!tkk (3-18) 式中输入的最高阶次项为Rktk/k!,且对于t<0,r(t)=0。现要求出在此多项式输入下,方 程(3-11)的稳态解yss(t)。由微分方程求解方法,假设稳态解yss(t)具有多项式的形式
yss(t)=c0+c1t+c2t2
2! +…+cqtq
q! (3-19)
式中,系数c0,c1,…,cq待定,阶次q由下列方法决定。
将输入式(3-18)和假设的稳态解 (3-19)代入原微分方程(3-11),令方程(3-11)等号 两边关于t的相同阶次相等,可以求得式(3-19)中的系数c0,c1,…,cq。因为,方程右边输 入端t的最高阶次为k,方程左边也必须出现tk,它由最低阶的导数项 D-wy(t)产生,且 等于q加上最低导数项的阶次w,所以,出现在稳态解中t的最高阶次应为
q=k-w,q≥0 (3-20)
式中,k为输入多项式函数中t 的最高阶次;w 是出现在微分方程(3-11)中输出y(t) 的导数最低阶次。要注意的是,式(3-20)仅对正值的q 有效。当 w=0时 [即方程 (3-11) 中不含积分项],q=k。
(1)阶跃函数输入r(t)=R0
考虑输入为阶跃函数,即输入式(3-18)中k=0,显然由式(3-20)有 w=0,q=0,再 由式(3-19)可得
yss=c0 (3-21)
代入式(3-11),有
avDvy(t)+av-1Dv-1y(t)+…+a0D0y(t)=R0
令方程两边关于t的同阶次项相等,得阶跃输入下的稳态响应
yss=c0=Ra00 (3-22) (2)单位斜坡函数输入r(t)=t·1(t)
在单位斜坡函数输入下,因 Dr(t)=1(t),即式(3-18)中k=1,由式(3-20)有 w=0, q=1,再由式(3-19)可得
yss(t)=c0+c1t (3-23) 将Dyss(t)=c1,D2yss(t)=0,代入式(3-11),得关于t的相同阶次项
t1:a0c1=1,c1=1a0
t0:a1c1+a0c0=0,c0=-a1c1
a0 =-aa021
由此可得,单位斜坡函数输入下的稳态响应为
yss(t)=-aa021+1a0t (3-24) (3)单位匀加速函数输入r(t)=t2!2·1(t)
采用与前面完全相似的方法,可得到匀加速函数输入下的稳态响应为
yss(t)=-a21
a30-aa220-aa120t+12×1
a0t2 (3-25) 二、微分方程的暂态响应求解
1. 特征根及暂态响应
对线性系统来说,微分方程的通解 (即系统的齐次方程解)相应于系统的暂态响应,其 完全取决于系统特征方程的根。考虑描述系统的微分方程模型具有齐次方程
avDvy(t)+av-1Dv-1y(t)+…+a0D0y(t)+a-1D-1y(t)+…+a-wD-wy(t)=0 (3-26) 设方程通解 (暂态响应)的一般形式为
y(t)t=∑Aλeλt (3-27) 式中,λ是待确常数,也即特征方程的根。将式(3-27)代入式(3-26),得
Aλeλt(avλv+av-1λv-1+…+a0+a-1λ-1+…+a-wλ-w)=0 对所有t≠0,式中的 Aλeλt不可能为零,故后面括号里的多项式为零,即
Q(λ)=avλv+av-1λv-1+…+a0+a-1λ-1+…+a-wλ-w=0 (3-28) 此为特征方程,含有v+w 个根 (即特征根)。特征根可分为三种情况,分别考虑如下。
① 所有的根均为单实根,方程解含有v+w 项Aλeλt,暂态解具有以下形式
yt(t)=A1eλ1t+A2eλ2t+…+Akeλkt+…+Av+weλv+wt (3-29) 式中每一项eλkt均是暂态响应的一部分,描述了系统的一个模态。
② 若特征方程中有一个根λq为p 重实根,方程暂态解中相应项的形式为
Aq1eλq1t+Aq2teλq2t+…+Aqptp-1eλqpt (3-30) 由于上述暂态解中的系数必须由初始条件确定,故必须已知v+w 项初始条件。
③ 若特征 方 程 中 存 在 复 数 根 λk,λk+1 (它 们 总 是 成 对 地 以 共 轭 复 数 的 形 式 出 现),即
λk=σ+jωd, λk+1=σ-jωd (3-31) 式中,σ称为衰减系数,ωd称为衰减振荡频率。相应于复根λk,λk+1的暂态响应项为
Ake(σ+jωd)t+Ak+1e(σ-jωd)t=eσt(Akejωdt+Ak+1e-jωdt) (3-32) 应用欧拉恒等式 e±jωdt=cosωdt±jsinωdt
即有
eσt(B1cosωdt+B2sinωdt)=Aeσtsin(ωdt+ϕ) (3-33) 式中,A= B21+B22,ϕ=arctanB1/B2,其中的常数通常由初始条件得到。由式(3-33), 可以方便地绘制出该暂 态 项 的 响 应 曲 线 如 图3-7所示,称作指数衰减正弦曲线,其频率为 ωd、幅值为 Aeσt。若衰减系数σ (共轭复根的实部)为负数,则为稳定系统,暂态响应随时 间增长而呈指数衰减,直至最终消失。图3-7中的±Aeσt构成了正弦曲线的包络线 (如图中 虚线所示)。若衰减系数σ大于零,暂态响应将随时间增加而越来越大,系统不稳定,这在 实际生产中是不允许的。控制系统设计时必须保证系统总是稳定的。
2. 阻尼比ζ与自然频率ωn (1)阻尼比ζ
当特征方程(3-28)具有一对共轭复根λ1,2时,意味着特征方程中一定含有二次项因子:
a2λ2+a1λ+a0,可求得该因子的根的具体表达式为 λ1,2=-a2a21±j 4a2a0-a21
4a22 =σ±jωd (3-34) 其中实部σ是e的指数,ωd是由这对复数特征根产生的如式(3-33)所示的振荡频率。
式(3-34)中的a1 是 系 统 的 有 效 衰 减 常 数。如果式(3-34)中平方根号内的分子为零,
O y(t)
y
0Ae
σ tAe
σ tAe
σ tt
sin(ω
dt+φ)
图3-7 指数衰减正弦曲线 即有a'1=2 a2a0,称为衰减常数的临界值。
此时,二次项因子的根为2个相等的负实根, 处于振荡与不振荡的临界状态。
阻尼比ζ定义为实际的衰减常数与衰减 常数的临界值之比
ζ=实际的衰减常数 临界的衰减常数 =a1
a'1= a1 2 a2a0
(3-35) 对二次项来 说,阻尼比ζ 非常重要,根据其 具体的值,人们就可大概知道系统的时间响 应情况。参见图3-7。
① 当ζ>0时,系统稳定,暂态响应由具有负实数指数的项组成,随着时间增加,输出 响应逐渐接近新的稳态值。
● 当0<ζ<1时,特征根为一对共轭复根,暂态响应为具有式(3-33)形式的衰减正弦, 称为欠阻尼振荡响应,如图中衰减振荡的实线所示。
● 当ζ>1时,特征根为2个不等的负实根,暂态解中含有2个负实指数项,称为过阻 尼响应,如图中单调下降的实线所示。
② 当ζ=0时,特征根为一对幅值相等的共轭虚根,暂态响应为无阻尼的等幅振荡。此 为稳定与否的临界状态。
③ 当ζ<0时,特征根具有正实部,系统不稳定,暂态响应中含有2个正实指数项,它 们随时间而增加,最后趋于无穷大。
(2)自然频率ωn
所谓自然频率ωn是指暂态响应在没有衰减情况下持续振荡的频率。定义为
ωn= aa02 (3-36) 系统的有效衰减常数a1=0意味着暂态响应不会随时间而消失,它是一个具有固定幅值的正 弦振荡。
阻尼比ζ与自然频率ωn可以完全表征二次项因子的特征,因此欠阻尼系统 (0<ζ<1) 通常用这2个参数来表示。考虑二次项因子:a2λ2+a1λ+a0,每一项同除以a0,有
a2
a0λ2+aa10λ+1=1ω2nλ2+2ζωnλ+1 (3-37) 式(3-37)中每一项同乘ω2n,得
λ2+2ζωnλ+ω2n (3-38) 式(3-37)和式(3-38)被称为是二次项因子的两种标准型式,其根为
λ1,2=σ±jωd=-ζωn±jωn 1-ζ2 (3-39) 因此,式(3-33)表示的欠阻尼系统的暂态响应可用阻尼比ζ与自然频率ωn表征,即
Aeσtsin(ωdt+ϕ)=Ae-ζωntsin(ωn 1-ζ2t+ϕ) (3-40) 式中,ωd=ωn 1-ζ2称为衰减自然频率。从上式可以清楚地看到ζ与ωn对暂态响应的 影响:ζωn越大,暂态消失得越快;它们同时也影响到ωd,其关系是ωd与ωn成正比、与ζ 成反比。
微分方程的稳态解与暂态解之和即为系统的时间全响应。
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 t=T
e
1图3-8 指数e-αt曲线示意图 三、暂态响应的时间常数
“时间常数”这个词已经在第二章建模时碰 到过,知道它具有时间单位的量纲,那么其物 理意义是什么? 又如何确定呢?
对稳定 系 统 而 言,设暂态项 Aeλt中 的λ 为 单根,且λ=-α<0。当 A=1时,Aeλt的 形 式 如图3-8所示。则时 间 常 数 T 的 定 义 是:使 e 的指数项等于-1所需的时间,用公式表示有
-αT=-1, 则T=1α
其物理意 义 是,从 0~T 的时间间隔里,指数 项eλt的值从e0t=1降到e-1=0.368。从几何上 看,曲线 Ae-αt在t=0处的切线与时间轴相交 的点即为时间常数T。
若λ为复数根,且λ=σ±jωd,暂态项中将含有Aeσtsin(ωdt+ϕ)项 (参见图3-7)。在这 种情况下,±Aeσt构成了正弦曲线的包络线,时间常数可采用参数σ来定义
T= 1σ
用阻尼比与自然频率来表示的话,时间常数是T=1/ζωn。由此可知,ζωn越大,暂态项消失 的速率越大,达到新稳态越快。