s
1s
3β =arccos
图3-10 共轭复极点示意图 式中,A1=[(s-s1)P(s)
Q(s)]s=s1以及ϕ=angleof A1+90°,σ=-ζωn,以及ωd=ωn 1-ζ2。由于s1
是复数,故 A1也 是 复 数。如果这对共轭复根具有 负实部,σ=-ζωn,阻尼比ζ>0,则式(3-50)在S 平面上的 零 极 点 分 布 可 用 图3-10 表 示。从 图 中 可 以很直观地看出阻尼比ζ、自然频率ωn与拉氏变换 式的零极点位置的关系。其暂态响应参见图3-7。
【例3-4】 若一系统的输出拉氏变换式为 Y(s)=P(s)
Q(s)= 10
(s2+6s+25)(s+2) 求其零初始条件下时间响应。
解 将系统的输出拉氏变换式写成零极点形式 Y(s)=P(s)
Q(s)= 10
(s2+6s+25)(s+2)= A1
s+3-4j+ A2
s+3+4j+A3
s+2 式中:
A1= (s+3-4j) 10
(s2+6s+25)(s+2)
[ ]
s=-3+4j=0.303∠-194°ϕ=angleofA1+90°=-194°+90°=-104°
A3=[(s+2) 10
(s2+6s+25)(s+2)]s=-2=0.59 由拉氏反变换可得系统时间响应
y(t)=2 A1 eσtsin(ωdt+ϕ)+A3es3t=0.606e-3tsin(4t-104°)+0.59e-2t 如果由已知的输出拉氏变换式直接查拉氏变换表也可得到相同的结果
y(t)=10 e-ct
(c-a)2+b2+ e-σtsin(bt-ϕ) b (c-a)2+b2 é
ëêê ù
ûúú
ϕ=arctan bc-a=0.606e-3tsin(4t-104°)+0.59e-2t
第四节 控制系统的性能指标及时域分析
一、控制系统的时域性能指标
对控制系统的设计师及使用者来说,由微分方程模型得到系统的时间响应还远远不够,
他们必须要知道控制系统运行的质量如何。而要评价和比较控制系统性能的优劣,必须建立 定量的标准。常用的标准有两类:一类是基于系统单位阶跃响应 (过渡过程)给出的反映系 统动态性能的指标,如超调量 (最大偏差)、调节时间、峰值时间、上升时间等;另一类是 基于误差计算的性能指标,如平方误差积分、时间乘平方误差积分、绝对误差积分等,它们 主要用于优化设计与分析比较。下面分别讨论这两类指标。
1. 以单位阶跃响应 (过渡过程)表示的质量指标
在保证系统稳 定 的 前 提 下,控 制 系 统 的 优 劣 体 现 在 系 统 的 “调 整” 能 力 上,即 当 外 界输入发生变化之 后,系 统 能 否 及 时 地 作 出 响 应? 系 统 最 大 的 波 动 幅 度 是 多 少? 到 达 或 恢复到新的平衡 状 态 需 要 多 少 时 间? 是 否 存 在 稳 态 误 差? 等 等。一 般 认 为,阶 跃 输 入 对 系统来说是最为严峻的一 种 工 作 状 态,若 系 统 在 阶 跃 输 入 下 的 动 态 性 能 可 以 满 足 要 求 的 话,在其他输入作用下也就能满足,这就 是 系 统 的 动 态 性 能 指 标 通 常 用 单 位 阶 跃 响 应 的 特征量来描述的原因。
为便于分析和比较,假定系统在单位阶跃输入作用前都处于静止状态,而且系统输出量 及其各阶导数都等于零 (即零初始条件,对于大多数系统而言,该假设符合实际情况)。控 制系统的单位阶跃响应曲线如图3-11所示。
M
p1.0 0.9
0.5
0.1 0
T
r1T
rT
pT
st
e
ss2 B′
1.0+δ σ
1.0 δ
y(t)
T
dy(t)
图3-11 系统单位阶跃响应及动态性能指标示意图 根据图3-11展示的响应特性,定义如下的系统动态性能指标。
① 上升时间Tr 对具有衰减振荡的过渡过程曲线,Tr定义为系统响应从初始平衡状态 (图中坐标原点)开始,第一次达到系统最终平稳状态 (图3-11中虚线所示)所需的时间;
对于非振荡过渡过程曲线,则一般把从原稳态值的10%上升到最终平稳状态值的90%所需 要的时间定义为上升时间,如图3-11中的Tr1 (图中未画出非振荡曲线)。上升时间Tr是系 统响应速度的一种度量,Tr越短,表明响应速度越快。
② 峰值时间Tp 峰值时间是过渡过程曲线达到第一峰值所需的时间。如图3-11中的 Tp。Tp愈小,表示系统反应愈灵敏。
③ 超调量σ与最大偏差 超调量σ是指系统响应的最大偏离量 Mp [即y(Tp)]与终值 y(∞)之差,通常用百分比的形式表示,即超调量占最终稳态值y(∞)的百分比
σ%=y(Tp)-y(∞)
y(∞) ×100% (3-52) 若Mp<y(∞),即响应无超调。假设系统无稳态偏差,y(∞)为1,超调量就可直接如图
3-11那样在响应曲线上标注出来。这个指标表示了被控变量偏离给定值的程度,超调量σ越 大,表示在峰值时间偏离生产规定的状态越远,往往这是不希望看到的。
对 于 定 值 系 统,给定值r(t) 不 变, 因 干 扰 输 入 而 引 起 的 过 渡 过 程 在 结 束 后 应 该 仍 然 回 到 原 给 定 值,因此常用最大偏差 B 来 表 示 响 应 偏 离 给 定 的 最 大 值。 将 图 3-11 稍 加 变 形,该值就是第一个波形的峰值与给 定 值r(t) 的 差, 即 为 B=Mp-r(t)。 对 于 连 续 生 产 过 程 的 定 值 控 制 系 统 而 言, 最 大 偏 差 指 标 非 常 重 要。 特 别 是 在 一 些 有 危 险 条 件 限 制 时,往往对该指标 有 直 接 的 要 求, 如 反 应 器 中 化 合 物 爆 炸 的 压 力 极 限、 催 化 剂 的 温 度 极 限 等。
④ 调节时间 Ts 又称回复时间或过渡 过 程 时 间。 它 是 系 统 在 输 入 作 用 下, 被 控 变 量 从 一 个 稳 态 过 渡 到 另 一 稳 态 所 需 的 时 间。 理 论 上, 输 出 达 到 新 的 稳 态 值 需 要 无 限 长 的 时 间;在工程上,通常将被控变量 进 入 新 稳 态 值 的 一 个 区 间 [y(∞)±δ] 并 不 再 越 出 认 为 是 已 达 到 新 稳 态 值, 相 应 进 入 该 区 间 所 需 要 的 时 间 就 称 为 调 节 时 间 Ts, 如 图 3-11所示。
⑤ 延迟时间Td 指阶跃响应从运动开始到第一次到达其稳态值的50%所需要的时间。
⑥ 衰减比n 这是一个直观的工程常用指标。在定值系统中,它是过渡过程曲线上同方 向的两个相邻波峰 之 比。在图3-11中,n=σ/B',通常它也表示为n∶1的形式。当n=1 时,过渡过程为等幅振荡;当n>1时,n愈小,过渡过程的衰减程度也愈小,反之n 愈大, 过渡过程越接近非振荡过程。n 究竟多大合适,没有严格的规定,需要根据具体对象分析。
若只从过程进行得快的角度考虑,过程接近非周期临界情况最快,这时n将趋于∞,但这种 过程可能并不是最好。比如在控制某种产品某个质量指标时 (如浓度),若n 很大,一旦被 控变量偏离给定值,由于系统处于非振荡状态,意味着整个过渡过程的产品指标都过高 (或 过低),该段时间内都生产了不合格的产品;但如果n 适中,系统具有振荡的过渡过程,则 产品指标在超过给定值后不久又会低于给定值,经混合后,其质量会远远优于非振荡过程生 产的产品质量。不仅如此,振荡过程还会给操作人员心理上带来安慰,因为当操作人员看到 被控变量偏离给定值 后,他希望快点看到控制系统产生作用,使输出迅速回复到给定值附 近。对一个振荡过程来说,只要将最大偏差控制在允许范围内就可以让操作者十分放心;而 对于非振荡过程,在被控变量偏离给定值后,操作者只能看见被控变量慢慢地趋近给定值且 越来越慢,这种现象容易让操作者着急。故连续工业生产过程一般希望控制系统的过渡过程 稍带振荡,约对应于4∶1~10∶1的衰减比,尽管并不一定是最优的,但的确是实际生产过 程操作人员希望看到的。
⑦ 稳态误差ess 它是过渡过程结束后新稳态值与给定值之差 (又称余差)。这是一个 稳态性能指标,相当于生产中允许的输出变量与给定值之间长时间存在的偏差。由于这是一 个很重要的质量指标,往往会在设计控制系统时一起提出。设控制系统期望的输出与实际的 输出分别为r(t)和y(t),定义误差 (或称偏差)e(t)为
e(t)=r(t)-y(t) (3-53) 则系统的稳态误差为
ess(t)=e(∞)=lim
t→∞e(t)=r(∞)-y(∞) (3-54) 稳态误差可以由式(3-54)求,也可先求出误差传递函数GER(s)=E(s)
R(s),再运用拉氏变 换的终值定理求得 [注意前提条件是:系统在S 右半平面及虚轴上 (原点除外)无极点]。
2. 误差性能指标
误差性能指标是体现系 统 动 态 特 性 的 一 种 综 合 性 指 标,一般以误差函数的积分形式表 示。在最优控制系统设计中,可以通过最小化误差性能指标得到对应的最优系统参数。下面
介绍4种常用的这类指标形式。
① 平方误差积分指标 (ISE)的定义是
J1=
∫
0∞e2(t)dt (3-55)其中积分上限∞可以选择足够大的T 来代替 [意味着当t>T 时,e(t)可忽略]。对应于指 标J1极小时的系统参数称之为 “最优参数”。
【例3-5】 已知标准二阶系统的数学模型为 d2y(t)
dt2 +2ζωndy(t)
dt +ω2ny(t)=ω2nr(t)
在t=0时,输入r(t)作单位阶跃变化。现用平方误差积分指标,确定系统特征参数ζ的最 优值。
解 以误差信号e(t)=r(t)-y(t)作参量,系统的数学模型为 d2e(t)
dt2 +2ζωnde(t)
dt +ω2ne(t)=d2r(t)
dt2 +2ζωndr(t) dt 因为r(t)为单位阶跃,代入上式
d2e(t)
dt2 +2ζωnde(t)
dt +ω2ne(t)=0 显然,这上一个二阶常系数齐次线性微分方程式,它的解是
e(t)=C1es1t+C2es2t
其中,两个根为s1,2=-ζωn±ωn ζ2-1;积分常数C1、C2根据初始条件决定。
将方程解代入式(3-55),则得平方误差积分的值
J1=
∫
0∞e2(t)dt=∫
0∞[C21e2s1t+2C1C2e(s1+s2)t+C22e2s2t]dt=C21 1 2s1e2s1t ∞
0 +2C1C2 1
s1+s2e(s1+s2)t ∞
0 +C22 1 2s2e2s2t ∞
0
由于s1、s2具有负实部,当t→∞时上式中各指数值等于零,所以 J1=-C21
2s1-2C1C2 s1+s2-C22
2s2=C21s2+C22s1
2ω2n +C1C2
ζωn 因为t=0时,y(0)=0,r(0)=1,则有
e(0)=r(0)=1和de(t) dt t=0=0
据此可求得积分常数C1、C2。即由C1+C2=1和C1s1+C2s2=0,得 C1= ss2-s2 1,C2= -ss2-s11
将C1、C2代入平方误差积分式中,有 J1=C21s2+C22s1
2ω2n +C1C2
ζωn =ζωn+ 14ζωn 因为最优的ζ值应使J1为最小,所以令dJ1
dζ =0的ζ值即为最优ζ 值,因而由 dJ1
dζ =1 ωn- 1
4ζω2n=0
得ζ>0的最优值是ζ=0.5。可以证明,对二阶系统来说,当阻尼比ζ从0.5~0.7变化时, J1的值变化不大,说明ISE准则的灵敏度不很高。
② 时间乘平方误差的积分指标 (ITSE)的表达式为
J2=
∫
0∞te2(t)dt (3-56)此时,最优系统就是使这个积分减至极小的系统。使得积分指标J2最小的二阶系统的阻尼 比ζ为0.595,其灵敏度比ISE高得多。
③ 绝对误差积分指标 (IAE)的定义是
J3=
∫
0∞ e(t)dt (3-57)用解析的方法计算该积分值较为困难,但用计算机很方便。使积分指标J3最小的二阶系统 的阻尼比ζ在0.7左右,此时,在单位阶跃作用下,系统具有较快的过渡过程和不大的超调 量 (约为5%),所以它是一种常用的误差性能指标。
④ 时间乘绝对误差的积分指标 (ITAE)的定义是
J4=
∫
0∞te(t)dt (3-58)该指标的灵敏度很高。同样,应用这个指标设计的系统超调量较小,过渡过程衰减振荡且衰 减较快。
总之,按这些性能指标设计的二阶系统皆能得到较满意的过渡过程。但在高阶系统中所 起的作用还不甚清楚。但至少这些指标可以作为控制系统质量比较的基准之一。
二、控制系统的时域分析 1. 一阶系统
一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。除了实际中存在许多一阶系统外,工程上为了 处理上的方便,常用带纯滞后的一阶系统来近似表征一些高阶系统。无纯滞后的一阶系统的 微分方程模型具有形式
a1dy(t)
dt +a0y(t)=b0r(t) (3-59) 式中,y(t)和r(t)分别是系统的输出信号和输入信号。
如图3-12所示的RC 串联电路是典型的一阶系统,其微分方程模型 TdvC(t)
dt +vC(t)=e(t) (3-60) 式中,T=RC 为一阶系统的时间常数,代表了系统的惯性。T 越小,系统响应过程越 快。vC(t)和e(t)分别是系统的输出信号和输入信号。其方块图如图3-13所示。
e(t) ～ +
C
R R
2(t)
C
图3-12 RC 串联电路
1 Cs 1 R
V
C(s) V
C(s) E(s)
E(s) +
1 Ts+1
(a) RC (b)
图3-13 RC 串联电路与单位反馈一阶系统方块图
具有如式(3-59)形式的所有一阶线性系统,对同一输入信号的时间响应是相同的,只 是响应的各参变量代表的物理意义不同而已。
(1)一阶系统的单位阶跃响应
如图3-13所示,一阶系统的传递函数为 1Ts+1,单位阶跃函数的拉氏变换式为1s,故其 零初始条件下的单位阶跃响应为
y(t)=
L
-1{
Ts+1×1 s1}
=1-e-Tt, t≥0 (3-61)因此,一阶系统的单位阶跃响应是一条初值为零、以指数规律上升到终值为yss=1的非周
因此,一阶系统的单位阶跃响应是一条初值为零、以指数规律上升到终值为yss=1的非周