第二节 根轨迹的绘制方法

j=1∠(s-zj)-_i=1

∑

^{n ∠(s-pi})=2kπ, k=0,±1,±2,… (5-21) 可见,K^􀤱<0时的幅值条件式(5-20)与 K^􀤱>0 时的式(5-17)相同,不同的仅是相位 条件。这类根轨迹被称为零度根轨迹或正反馈根轨迹,将在第三节中详细介绍。

【例5-2】 单位负反馈控制系统的开环传递函数为G(s)= s+1

s[(s+2)²+4](s+5),判断点

Re φ

1

φ

3

φ

4

2

=0 φ

ϕ

1

s

0

Im

图5-4 例5-2的相位条件 s0=-1+j2是否在根轨迹上。

解 将开环传递函数极点和零点标于图5-4所 示的S 平面坐标图中,极点用 “×”表示,零点用

“^○”表示。然后,从零点-1引有向线段至试验点 s0,即为复数向量s0+1,其相位如图5-4中的φ¹ 所示,类似地,4个开环极点到试验点s0的向量分 别为s0、s0+2-j2、s⁰+2+j2和s⁰+5,它们的相 位 分 别 为ϕ1=116.6°,ϕ2=0°,ϕ3=76°,ϕ4= 26.6°,G(s0)的总相位是所有零点向量相位的代

数和与所有极点向量相位的代数和之差

∠G(s0)=φ¹- ϕ( 1+ϕ2+ϕ3+ϕ4)

=90°- 116.6°+0°+76°+26.6°( )

=-129.2°≠(2k+1)π

显见,G(s0)的相位值不满足相位条件式(5-18),所以s0不是根轨迹上的点。

第二节 根轨迹的绘制方法

前面例5-1采用逐点计算方法绘制根轨迹,显然不适用更复杂的情形。本节介绍在对系 统特征方程和相位条件分析基础上归纳出的绘制系统根轨迹的基本法则。运用该法则不仅可 以加快与简化根轨迹的绘制过程,而且为定性分析系统的动态特性提供依据。

在下面的讨论中,假定所研究的变化参数是根轨迹增益 K^􀤱,且 K^􀤱由零变化到无穷大 时,相位遵循 (2k+1)π,因此称为180°根轨迹或者常规根轨迹。当可变参数为其他参数 时,这些基本法则仍然适用。

法则1 根轨迹的起点和终点。根轨迹起于开环极点,终于开环零点。

证明 根轨迹起点是指根轨迹增益 K^􀤱=0时的根轨迹点,而终点则是指 K^􀤱→∞时的 根轨迹点。设闭环传递函数为式(5-13),可得闭环系统特征方程为

∏

ⁿ

i=1(s-pⁱ)+K^􀤱_j=1

∏

^{m (s-zj)=0 (5-22)}

根据根轨迹方程的幅值条件,可得

K^􀤱 =_i=1

∏

^{n s-pi}

∏

^m

j=1s-zj

(5-23)

当m≤n时,可以得到以下结论:

① 当s=pⁱ (开环极点)时,根轨迹增益 K^􀤱=0;

② 当s=zj (开环零点,称有限数值的零点为开环有限零点)或者s=∞ (当 m<n 时,

称无穷远处的零点为开环无限零点)时,根轨迹增益 K^􀤱→∞。

当m>n时 (绘制其他参数变化下的根轨迹时,可能会出现),可以得到以下结论:

① 当s=pⁱ (开环极点,称有限数值的极点是开环有限极点)或者s=∞ (称无穷远处 的极点是开环无限极点)时,根轨迹增益 K^􀤱=0;

② 当s=zj (开环零点)时,根轨迹增益 K^􀤱→∞。

因此,当m≤n时,有n-m 条根轨迹的终点将在无穷远处,即终于开环无限零点;当m>n 时,有 m-n条根轨迹的起点将在无穷远处,即起始于开环无限极点。于是可以说,根轨迹 起于开环极点 (包括无限开环极点),终于开环零点 (包括无限开环零点)。图5-5表示了根 轨迹起点和终点。

Im Im

Re Re

K

^*

→∞

K

^*

→∞

K

^*

→∞

K

^*

=0

K

^*

=0 K

^*

=0

K

^*

=0 K

^*

=0

，

，

图5-5 根轨迹的起点和终点表示图

法则2 根轨迹的分支数、对称性和连续性。根轨迹的分支数与开环有限零点数 m 和有 限极点数n 中的大者相等 [即 max(m,n)],根轨迹连续且对称于实轴。

证明 ① 按照定义,根轨迹是开环系统某一参数从零变到无穷时,闭环特征方程的根 在S 平面上的变化轨迹,因此,根轨迹的分支数必与闭环特征方程根的数目相一致。由特 征方程 (5-22)可见,闭环特征方程根的数目就等于 m 和n 中的大者,所以根轨迹的分支 数必与开环有限零、极点数中的大者相同 [为 max(m,n)]。

② 由于闭环特征方程中的某些系数是根轨迹增益 K^􀤱的函数,当 K^􀤱从零到无穷大连续 变化时,特征方程的某些系数也随之而连续变化,因而特征方程根的变化也必然是连续的, 即根轨迹具有连续性。

③ 因为闭环特征方程的根只可能有实根、纯虚根和共轭复根三种情况。根轨迹是特征 根的集合,因此根轨迹对称于实轴。

根据根轨迹的对称性,可以只绘制出上半S 平面的根轨迹部分,然后利用对称性就可 以得到下半S 平面的根轨迹部分。

法则3 实轴上的根轨迹。实轴上的某一区域,若其右边开环实数零、极点个数之和为 奇数,则该区域必是根轨迹。

证明 设开环零、极点分布如图5-6所示,s0是实轴上的某一测试点,φ^j(j=1,2,3,4, 5)是各开环零点到s0点向量的相位,θi(i=1,2,3,4,5,6)是各开环极点到s0点 向 量 的 相

位。由图5-6可以看出:

① 复数共轭极点和复数共轭零点到实轴上任意一点 (包括s0点)的向量相位和为2π, 因此,在确定实轴上的根轨迹时,可以不考虑复数开环零、极点的影响;

②s0点左侧开环实数零、极点到s0点的向量相位为零;

③s0点右侧开环实数零、极点到s0点的向量相位为π。

如果令∑φ^j代表s0点右边所有开环实数零点到s0点的向量相位和,∑θⁱ代表s0点右边 所有开环实数极点到s0点的向量相位和,那么根据相位条件,s0点位于根轨迹上的充分必

Im

p

₆

p

₅

p

₄

p

₁

Re

p

₃

s

0

p

₂

5 4

3 2

1 5

=0

ϕ ϕ

4

=0

ϕ

3

ϕ

2

θ

2

θ

3

1

=π

6

=0 ϕ

θ θ

₅

=0 θ

₄

=0 θ

₁

=π

图5-6 实轴上的根轨迹 要条件是下列相位条件成立

∑φ^j-∑θⁱ=(2k+1)π (5-24) 由于s0点右边所有开环实数零、极点到s0 点的向量相位均为π,而 π与-π代表相同的角 度,因此式(5-24)中减去π等价于加上π,于是s0点位于根轨迹上的等效条件为

∑φ^j+∑θⁱ=(2k+1)π (5-25) 式中 (2k+1)为奇数,本法则得证。

【例5-3】 设单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=K(s+2)(s+6)

s(s+4)(s+9),试绘制系统的 根轨迹。

解 ① 系统开环有限零点为z1=-2,z2=-6,有限零点数 m=2;

系统的开环有限极点为p1=0,p2=-4,p3=-9,有限极点数n=3。

② 根轨迹有 max(m,n)=max(2,3)=3条分支。

③ 实轴上的根轨迹区间:(-∞,-9],[-6,-4],[-2,0]。

根轨迹如图5-7所示。

Im

Re K ↑ 

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

图5-7 例5-3的根轨迹

法则4 根轨迹的渐近线。当开环有限极点数n 大于有限零点数m 时,有n-m 条根轨 迹分支沿着与实轴交角为φ^a、交点为σ^a的一组渐近线趋向无穷远处。

φ^a=(2k+1)π

n-m ; σa=_i=1

∑

^npi-_j=1

∑

^mzj

n-m

证明 渐近线就是s值趋于无穷大时的根轨迹,因此渐近线一定对称于实轴。由根轨迹 方程(5-15)可以得到,当s趋于无穷大时

lims→∞G(s)H(s)=lim

s→∞K^􀤱_j=1

∏

^{m (s-zj)}

∏

ⁿ

i=1(s-pⁱ)=lim

s→∞

K^􀤱

s^n-m =-1 (5-26) 由于K^􀤱是一个变量,因此式(5-26)必须满足以下条件

-K^􀤱=s^n-m (5-27) 幅值条件 -K^􀤱 = s^n-m (5-28) 相位条件 ∠-K^􀤱=∠s^n-m=(2k+1)π (5-29) 由于∠s^n-m=(n-m)∠s,所以式(5-29)可以重写为

∠s=φ^a=(2k+1)π

n-m , 当s→∞ (5-30) n-m 条根轨迹的渐近线与实轴的交点为σa的证明较为繁琐,此略。

法则5 根轨迹的分离点和分离角。两条或两条以上根轨迹分支在S 平面上相遇又立即 分开的点,称为根轨迹的分离点,分离点的坐标d 是下列方程的解

∑

ⁿ

i=1

d-p1 ⁱ=_j=1

∑

^m _d-z¹j (5-31) 或者在特征方程中,若令 W (s)=-K^􀤱,则分离点坐标d 可以由下列方程求得:

dW (s)

ds s=d=0 (5-32)

分离角定义为根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的切线方向之间的夹角,当l条根 轨迹分支进入并立即离开分离点时,分离角可由(2k+1)π/l来决定,显然,当l=2时,分 离角必为直角。

证明 由根轨迹方程

1+K^􀤱_j=1

∏

^{m (s-zj)}

∏

ⁿ

i=1(s-pⁱ)=0 得闭环特征方程为

D(s)=_i=1

∏

^{n (s-pi)+K􀤱}_j=

∏

^m₁^{(s-zj)=0 (5-33)}

根轨迹在S 平面上相遇,说明闭环特征方程有重根出现。设重根为d,根据代数中重根 条件,有

D^·(s)= dds

[

_i=1

∏

^{n (s-pi)+K􀤱}_j=1

∏

^{m (s-zj)}

]

=0 (5-34) 式(5-33)和式(5-34)又可以分别写成

∏

ⁿ

i=1(s-pi)=-K^􀤱_j=

∏

^m₁^{(s-zj) (5-35)}

dsd_i=1

∏

^{n (s-pi)=-K􀤱}_ds^d_j=1

∏

^{m (s-zj) (5-36)}

将式(5-36)除以式(5-35)得

dsd_i=1

∏

^{n (s-pi)}

∏

ⁿ

i=1(s-pi)=

dsd_j=1

∏

^{m (s-zj)}

∏

^m

j=1

(s-zj)

dln_i=1

∏

^{n (s-pi)}

ds =

dln_j=1

∏

^{m (s-zj)}

ds (5-37)

又由于

ln_i=1

∏

^{n (s-pi)=}_i=1

∑

^{nln(s-pi) 和 ln}_j=1

∏

^{m (s-zj)=}_j=

∑

^m₁^ln(s-zj)

所以式(5-37)可以重写为

∑

ⁿ

i=1

dln(s-pi)

ds =_j=1

∑

^{m dln(s-z}_ds ^j)

∑

ⁿ

i=1

s-p1i=_j=1

∑

^m s-z¹j

从上式中解出s,即为分离点d。

另外,也可以从另外一个角度证明式(5-32)。首先绘制各种实轴上的根轨迹与根轨迹增 益K^􀤱之间的关系 (复平面上根轨迹与 K^􀤱之间的关系类似),如图5-8所示。

Min

Max

Min

Max Max

Min

K

^*

K

^*

→∞

K

^*

→∞

K

^*

→∞

K

^*

→∞ K

^*

→∞

K

^*

→∞

K

^*

→∞ K

^*

= ∞ K

^*

=0 K

^*

= ∞ K

^*

=0 K

^*

=0

K

^*

=0 K

^*

= ∞

K

^*

=0 K

^*

=0

K

^*

= ∞ K

^*

= ∞

K

^*

σ

σ

图5-8 实轴上的根轨迹与根轨迹增益 K^*之间的关系

由图5-8可以看出,分离点坐标可以通过求解特征方程中 K^􀤱的极值来获得,即令 W (s)=-K^􀤱

则分离点坐标d 为

dW (s)

ds s=d=0 若dW (s)

ds s=d=0,…,d^(k-1)W (s)

ds^k-1 s=d=0,则表示有k条根轨迹在d 点相遇又分离,且 两条相邻根轨迹分支进入d 点的夹角为λd=±360°k ,进入d 点的根轨迹分支与相邻的离开d 点的根轨迹分支的夹角为θd=±180°k 。如图5-9所示。

实质上,根轨迹的分离点坐标就是 K^􀤱为某一特定值时,闭环系统特征方程的实数重 根或复数重根的数 值。因 为 根 轨 迹 是 实 对 称 的,所 以 根 轨 迹 的 分 离 点 或 位 于 实 轴 上,或 以共轭形式成对出现在复平面中。一 般 情 况 下,常 见 的 根 轨 迹 分 离 点 是 位 于 实 轴 上 的 两 条根轨迹分支的交点。如果 根 轨 迹 位 于 实 轴 上 两 个 相 邻 的 开 环 极 点 之 间 (其 中 一 个 可 以

Im

Re K

^*

↑

θ

d

λ

d

图5-9 开环传递函数为G(s)H(s)= K^􀤱

(s+2)(s+4)(s²+6s+10)的根轨迹图

是无限极点),则在这两个极点之间至少存在一个分离点;同样,如果根轨迹位于实轴上 两个相邻的开环零点之间 (其中一个可以是无限零点),则在这两个零点之间至少有一个 分离点。

【例5-4】 设系统结构图如图5-10所示,试绘制其概略根轨迹。

R(s)

G(s)= K(s+2) s(s+4)(s+9)

Y(s)

图5-10 例5-4系统的结构图 解 系统的开环传递函数为

G(s)= K(s+2) s(s+4)(s+9)

① 系统开环有限零点为z1=-2,有限零点数 m=1;

系统的开环有限极点为p1=0,p2=-4,p3=-9,有限极点数n=3。

② 根轨迹有 max(m,n)=max(1,3)=3条分支。

③ 实轴上的根轨迹区间:[-9,-4],[-2,0]。

④ 根轨迹的渐近线有n-m=2条,根轨迹渐近线与实轴的交点为

σa=_i=1

∑

^npi-_i=1

∑

^mzi

n-m =(0-4-9)- (-2)

3-1 =-5.5 渐近线与实轴的交角为

φ^a=(2k+1)π

n-m =(2k+1)π 2 =±π2

⑤ 根轨迹的分离点d:解分离点方程_i=1

∑

ⁿ d-p^{1 i}=_j=1

∑

^m d-z¹j ,即 d+1 1

d+4+ 1 d+9= 1

d+2; 2d³+19d²+52d+72=0 因为实轴上的分离点在-9与-4之间,初步试探时取d=-6.5,得到

d+1 1 d+4+ 1

d+9=-0.15; 1d+2=-0.22

因方程两边不等,所以重取d1=-6.27,方程两边近似相等,利用长除法求出分离点 方程的另外2个根d2,3=-1.62±j1.77,因为这2个根不在根轨迹上,舍去,因此分离点 为d1≈-6.27。

分离角为 (2k+1)π

l =(2k+1)π 2 =±π2 根轨迹如图5-11所示。

Im

1 Re 2 3 4 5 6 7 8

9 0

K ↑

图5-11 例5-4的根轨迹

【例5-5】 已知系统的开环传递函数G(s)H(s)=K(s+4)

s(s+2),试绘制闭环系统的根轨迹。

解 ① 系统开环有限零点为z1=-4,有限零点数 m=1;

系统的开环有限极点为p1=0,p2=-2,即n=2。

② 根轨迹有 max(m,n)=max(1,2)=2条分支。

③ 实轴上的根轨迹区间:(-∞,-4],[-2,0]。

④ 根轨迹的渐近线有n-m=1条,根轨迹渐近线与实轴的交点为

σa=_i=1

∑

^npi-_i=1

∑

^mzi

n-m =(0-2)- (-4) 2-1 =2 渐近线与实轴的交角为

φ^a=(2k+1)π

n-m =(2k+1)π 1 =π

即渐近线与实轴上根轨迹区域 (-∞,-4]重叠。所以在n-m=1的情况下,不必再确定 根轨迹的渐近线。

⑤ 根轨迹的分离点d:解分离点方程_i=1

∑

ⁿ d-p^{1 i}=_j=1

∑

^m d-z¹j ,即 d+1 1

d+2= 1

d+4; 得d1=-1.2,d2=-6.8 分离角为

(2k+1)π

l =(2k+1)π 2 =±π2 根轨迹如图5-12所示。

图5-12中的A 点是2条根轨迹随着 K 的增大从复平面进入实轴的重合点。在A 点,根 轨迹会合后再分开,故 A 点又常被称为是根轨迹的会合点,其求法与分离点无殊。

由图5-12可以看出,其复数根轨迹部分是一个圆。可以证明:由2 个 极 点 (实 数 极 点 或复数极点)和1个有限零点组成的开环系统,只要有限零点没有位于2个实数极点之 间,当 K^􀤱从零变到无穷时,闭环根轨迹的复数部分,是以有限零点为圆心,以有限零点 到分离点的 距 离 为 半 径 的 一 个 圆 或 圆 的 一 部 分。下 面 以 零 点 和 极 点 均 为 实 数 为 例 进 行 证明。

Im

Re 0

9 8 7 6 5 4 3 2 1

A K ↑

图5-12 例5-5的根轨迹 假设开环系统的传递函数为

G(s)H(s)= K^􀤱(s-z1)

(s-p1)(s-p2) (5-38) 其中,z1、p¹、p²均为实数,假设s=α+jβ为闭环系统根轨迹上的点,则该点满足闭环特 征方程1+G(s)H(s)=0,即

(α+jβ-p¹)(α+jβ-p²)+K^􀤱(α+jβ-z¹)=0 (5-39) 令式(5-39)两端实部相等和虚部相等,得到

(α-p1)(α-p2)-β²+K^􀤱(α-z1)=0 (5-40) (α-p1)β+(α-p2)β+K^􀤱β=0 (5-41) 当β=0时,α+jβ表示实轴上的根;当β≠0时,α+jβ表示复数部分的根。考虑闭环根轨迹 的复数部分,即β≠0,由式(5-41)得

K^􀤱=-(α-p1)-(α-p2) (5-42) 将式(5-42)代入式(5-40),并整理得

α²-2z1α+β²=-z1(p¹+p2)+p¹p2

(α-z1)²+β²=(z1-p1)(z1-p2) (5-43) 式(5-43)中,当z1不在p1和p2的中间时,表示以 (z1,0)为圆心,以 (z1-p1)(z1-p2)为 半径的圆。再考虑分离点d 的方程 1d-z1= 1d-p1+ 1d-p2,并化简得

d²-2z1d+z1(p1+p2)-p1p2=0

(d-z1)²=(z1-p1)(z1-p2) (5-44) 比较式(5-43)和式(5-44),可以得到

(α-z1)²+β²=(d-z1)² (5-45) 式(5-45)表示以 (z1,0)为圆心,以|d-z1|为半径的圆。得证。

图5-13给出的是具有2个开环极点和1个开环零点系统的根轨迹例子。

需要特别指出的是,如果开环系统无有限零点,则在分离点方程式(5-31)中,应取

需要特别指出的是,如果开环系统无有限零点,则在分离点方程式(5-31)中,应取

在文檔中 自动控制原理 (頁 176-184)