前面几节从系统的微分方程模型出发,分析了系统特别是二阶系统的时域特性。但是对 于高阶系统和多变量系统,仍用前面的方法分析系统就比较困难。从第二章已经知道,微分 方程描述的是系统输入输 出 的 外 部 特 性,采用状态空间模型可以更清楚地刻画系统内部特 征,且可无障碍地推广到描述高阶系统与多变量系统,同时,借助于计算机,求解状态方程 变得非常容易。这一节,介绍控制系统的状态方程求解与分析。
一、线性定常齐次状态方程的解
考虑描述线性定常控制系统 (以后若无特别说明,均指的是线性定常系统)的状态方程
x·(t)=Ax(t)+Bu(t)
x(0)=x0 (3-121) 式中,矩阵A、B 的元素均为常量。为得到系统的时间响应,首先求出齐次状态方程的 解,即先求解控制作用为零 (u=0)时的状态方程
x·(t)=Ax(t) (3-121') 该方程满足初始条件x(t)t=t0=x0的解就代表了系统在初始条件作用下的自由运动。
为得到齐次方程(3-121')的解,先回顾一下求解标量齐次微分方程的方法。对于标量 微分方程 (考虑初始时间t0=0)
x·(t)=ax(t);x(0)=x0 (3-122)
其解为 x(t)=eatx0 (3-123)
对于其他的初始条件,如t0≠0,则其解为
x(t)=ea(t-t0)x(t0) (3-123') 类似地,设齐次状态方程(3-121')有形如 (t0=0初始条件下)
x(t)=eAtx0 (3-124) 形式的解,两边关于t求导,有
x·(t)=AeAtx0=Ax(t) 可见,形如x(t)=eAtx0形式的解满足方程(3-121'),且有
x(0)=eA0x0=Ix0=x0
也满足初始条件。所以,x(t)=eAtx0是齐次方程(3-121')的解。同样,若t0≠0,类似地有 x(t)=eA(t-t0)x(t0) (3-124') 式(3-123)中关于标量a的指数项可以表示为无穷级数
eat=1+at+12!(at)2+13!(at)3+…+1k!(at)k+… (3-125) 类似地,式(3-124)中关于矩阵A 的指数也可以表示为无穷级数
eAt=I+At+12!(At)2+13!(At)3+…+1k!(At)k+… (3-126) 显然,eAt是一个具有与A 阵相同阶次的方阵,称为矩阵指数函数。
回顾求解微分方 程 的 方 法,在此也可采用拉氏变换的方法求解方程(3-121')。对方程 (3-121')两边求拉氏变换,可得
sX(s)-x(0)=AX(s) (3-127) 移项后,即为 (sI-A)X(s)=x(0)
所以,有 X(s)=(sI-A)-1x(0) 取拉氏反变换,可求得方程解为
x(t)=
L
-1[(sI-A)-1]x(0) (3-128) 考虑到(sI-A)-1=Is +A
s2+As3+…
L
-1[(sI-A)-1]=I+At+12!(At)2+13!(At)3+…+1k!(At)k+…=eAt (3-129) 所以 x(t)=eAtx0这正是方程(3-121')的解。在状态空间分析中,矩阵指数函数eAt很重要,它起到了将初始 时刻的状态向量x(0)转移到了t时刻x(t)的作用。
二、状态转移矩阵
1. 状态转移矩阵的基本概念 由前已知,齐次状态方程
x·(t)=Ax(t);x(t0)=x0 (3-130) 的解为 x(t)=eA(t-t0)x(t0) (3-131) 当t=t0时,满足
eA(t-t0)=eA0=I
如果将eAt看作是一个时变的变换矩阵,则上述方程的解可认为是通过变换将t0时刻的 状态向量x(t0)转移到了t时刻的状态向量x(t)。这里的矩阵指数函数eAt起到了状态转移 的作用,因此有以下的定义。
定义:线性定常系统x·(t)=Ax(t)对应的矩阵指数函数eAt决定的矩阵Φ(t,τ)
Φ(t,τ)=eA(t-τ) (3-132) 称为该系统的状态转移矩阵。
在上述定义下,任意初始条件下,系统x·(t)=Ax(t)的响应都可表示为
x(t)=Φ(t,t0)x(t0) (3-133) 特别当t0=0时,有
x(t)=Φ(t)x(0) (3-134) 状态转移矩阵Φ(t,τ)包含了系统自由运动的全部信息。
2. 状态转移矩阵的性质
① Φ(t,τ)满足与系统同样形式的微分方程,即
Φ·(t,τ)=AΦ(t,τ) (3-135)
且有 Φ(t0,t0)=I (3-136)
② Φ(t,τ)具有传递性
Φ(t2,t1)·Φ(t1,t0)=Φ(t2,t0) (3-137)
③ Φ(t,τ)具有逆转性
Φ-1(t,t0)=Φ(t0,t) (3-138)
特别地有 Φ-1(t)=Φ(-t) (3-139)
④ Φ(t,τ)满足结合律
Φ(t1+t2)=Φ(t1)·Φ(t2)=Φ(t2)·Φ(t1) (3-140)
⑤ [Φ(t)]n=Φ(nt) (3-141)
需 要 指 出 的 是,虽然对线性定常系统来 讲, 矩 阵 指 数 函 数 eAt与 状 态 转 移 矩 阵Φ(t, τ) 相等,但两者在概念上有着本质差异。矩阵指数函数eAt只 是 一 个 数 学 函 数, 状 态 转
移 矩 阵 则 带 有 明 确 的 物 理 意 义, 且 具 有 一 般 性, 不 仅 适 用 于 线 性 连 续 定 常 系 统, 而 且 对 离 散 系 统、时变系统 也 仍 然 适 用。 用 状 态 转 移 矩 阵 的 概 念 可 写 出 各 种 系 统 解 的 统 一 形 式。
3. 状态转移矩阵的计算
对于线性定常系统,可利用矩阵指数函数eA(t-τ)与状态转移矩阵Φ(t,τ)的等价关系来 计算Φ(t,τ)。常见的方法有以下几种。
(1)对角形矩阵A 的矩阵指数函数
若矩阵A 为对角阵,则eAt也是对角矩阵,即若
A=diag[λ1 λ2 … λn] (3-142) 容易证明
eAt=diag[eλ1t eλ2t … eλnt] (3-143)
A=
对应于λ2=-1的特征向量v2由方程
由该例可看出,直接计算的方法一般不易获得解析结果,但方法简单,适用于计算机计算。
令t=0,Φ·(t)t=0=AΦ(0)=A·I=A,则有
A=Φ·(t,0)t=0=ddt2e-t-e-2t 2e-t-2e-2t e-2t-e-t 2e-2t-e-t é
ëêê ù
ûúú
t=0= 0 2 -1 -3 é
ëêê ù ûúú 三、线性定常状态方程的解
建立了状态转移矩阵的概念后,下面讨论线性定常系统的非齐次状态方程求解问题。
考虑非齐次的状态方程
x·(t)=Ax(t)+Bu(t) (3-151) 式中,x为n维向量;u为r维向量;A 为n×n阶常系数矩阵;B为n×r阶常系数矩阵。
1. 直接法求解
改写方程(3-151)为 x·(t)-Ax(t)=Bu(t) 在上述方程两边左乘e-At,得
e-At[x·(t)-Ax(t)]=e-AtBu(t) 上述方程左端恰好为d
dt[e-Atx(t)],所以有
dtd[e-Atx(t)]=e-AtBu(t) 欲求x(t),将上式在 [t0,t]区间上积分
∫
tt0dτd[e-Aτx(τ)]dτ=∫
tt0e-AτBu(τ)dτ得 e-Atx(t)=e-At0x(t0)+
∫
tt0e-AτBu(τ)dτ方程两边同时左乘eAt,则有
x(t)=eA(t-t0)x(t0)+
∫
tt0eA(t-τ)Bu(τ)dτ用状态转移矩阵形式表示,则有
x(t)= Φ(t,t0)x(t0)+
∫
tt0Φ(t,τ)Bu(τ)dτ (3-152)式中,等号右边第一项是由初始条件引起的自由响应 (系统齐次状态方程的解);第二 项是由外部输入u(t)引起的状态响应。方程(3-152)有时也称为状态转移方程。
2. 拉氏变换法求解
对方程(3-151)两边取拉氏变换
sX(s)-x(0)=AX(s)+BU(s) 即 (sI-A)X(s)=x(0)+BU(s) 上式等号两边左乘(sI-A)-1,得
X(s)=(sI-A)-1x(0)+(sI-A)-1BU(s) (3-153) 对上式取拉氏反变换,可得
x(t)=eAtx(0)+
∫
t0eA(t-τ)Bu(τ)dτ (3-154)因为是线性系统,上式又可写成转移矩阵的形式:
x(t)= Φ(t,0)x(0)+
∫
t0Φ(t,τ)Bu(τ)dτ (3-155)可见,虽然用了不同的方法,但结果与式(3-152)完全相同 (这里t0=0)。
【例 3-17】 设 系 统 的 状 态 方 程 为 x·(t)= 0 1 -2 -3 é
ëêê ù
ûúúx(t)+ 0 1 é ëêê ù
ûúúu, 其 初 始 条 件 为
x(0)= x1(0)
1 0
J =
∫
0∞(xTQx+uTRu)dt (3-162)式中,R 为正定矩阵;Q 为半正定或正定矩阵。使该性能指标达到最小的控制系统称为 二次型最优控制系统。它的求解是经典的最优控制问题。
需要提及的是,采用状态空间方法分析系统具有许多突出的优点,例如能够揭示系统内 部特性、处理高阶系统和多变量系统、实现状态反馈控制和状态最优控制等。