H(s) 图 5-3 控制系统 - 自动控制原理

③ 随着 K 的增加,在0≤K<0.25,2个根均在实轴上并彼此靠近,当 K=0.25时,2个根重合于-0.5。

④ 当 K>0.25后,K 继续增加的结果是2个根从实轴-0.5处分离,产生共轭复根:实部不变,虚部以近似 K 的平方根的速率增加或减少,最后虚部的模趋于无穷。

⑤ 图中虚线与根轨迹的交点对应于阻尼比ζ=0.5的根,此时s^1,2=-12±j3

2,由特征根的公式可以得到K=1。

从控制系统设计的观点看,在这个例子中,通过选取增益 K,可使闭环极点落在根轨迹上的任何位置。换句话说,如果根轨迹上的某一点能够满足对系统动态特性的要求,则可通过计算此点的参数K 值完成设计;如果根轨迹上找不到可以满足系统动态特性的点,则必须考虑补偿环节 (也即设计控制器),这些内容将在以后介绍。

考虑一般情况,设控制系统如图5-3所示,其闭环传递函数为

R(s) Y(s)

G(s)

H(s)

图5-3 控制系统 Φ(s)= G(s)

1+G(s)H(s) (5-1) 闭环系统的特征方程为

1+G(s)H(s)=0 (5-2) 假设被控对象的开环传递函数G(s)H(s)是实有理函数,其分子多项式和分母多项式分别为 K^􀤱b(s) 和 a(s),即

G(s)H(s)=K^􀤱b(s)/a(s)=K^􀤱GGH(s) (5-3) 其中b(s)和a(s)分别为 m 阶和n 阶首一多项式,即

b(s)=s^m+bm-1s^m-1+ … +b1s+b0= (s-z1)(s-z2)…(s-z^m)=_j=

∏

^m₁⁽^s-z^j⁾

a(s)=sⁿ+an-1s^n-1+ … +a1s+a0= (s-p1)(s-p2)…(s-pⁿ)=_i=1

∏

ⁿ ⁽^s-pⁱ⁾

(5-4)

zj和pi分别为系统的开环零点和开环极点。对于一个物理可实现系统而言,总有n≥m。

则闭环系统的特征方程(5-2)可以表示为以下几种恒等的形式

1+K^􀤱GGH(s)=0 (5-5) 1+K^􀤱b(s)

a(s)=0 (5-6)

a(s)+K^􀤱b(s)=0 (5-7) K^􀤱=- 1GGH(s) (5-8) 这些方程均具有相同的根轨迹。

二、闭环零、极点和开环零、极点之间的关系

由于开环零、极点是已知的,因此建立开环零、极点与闭环零、极点之间的关系,有助于闭环系统根轨迹的绘制,并由此导出根轨迹方程。

设控制系统如图5-3所示,在一般情况下,前向通路传递函数G(s)和反馈通路传递函数H(s)可分别表示为

G(s)= KG(τ1s+1)(τ²₂s²+2ξ²τ2s+1)…

s^v(T1s+1)(T²2s²+2ζ²T2s+1)…= KG^􀤱 _i=1

∏

^f ⁽^s-z^G,ⁱ⁾

∏

i=1(s-p^G,ⁱ) (5-9) 式中,K^G为前向通路增益;KG^􀤱为前向通路根轨迹增益,它们之间满足如下关系

KG^􀤱=KGτ1τ²2…

T1T²₂… (5-10)

以及 H(s)= KH^􀤱 _j=

∏

^l₁⁽^s-z^H,^j⁾

∏

j=1(s-p^H,j) (5-11) 式中,KH^􀤱为反馈通路根轨迹增益。于是,图5-3系统的开环传递函数可以表示为

G(s)H(s)= K^􀤱 _i=1

∏

^f ⁽^s-z^G,ⁱ⁾_j=

∏

^l₁⁽^s-z^H,^j⁾

∏

i=1(s-p^G,ⁱ)_j=

∏

^h₁⁽^s-p^H,^j⁾ ^(5-12)

式中,K^􀤱=KG^􀤱KH^􀤱称为开环系统根轨迹增益,对于有m 个开环零点和n 个开环极点的系统,必有f+l=m 和q+h=n。将式9)和式12)代入系统闭环传递函数式 (5-1),得

Φ(s)=

KG^􀤱_i=1

∏

^f ⁽^s-z^G,ⁱ⁾_j=1

∏

^h ⁽^s-p^H,^j⁾

∏

i=1

(s-pG,i)_j=1

∏

^h ⁽^s-p^H,^j^)+K^􀤱_i=1

∏

^f ⁽^s-z^G,ⁱ⁾_j=1

∏

^l ⁽^s-z^H,^j⁾

KG^􀤱_i=1

∏

^f ⁽^s-z^G,ⁱ⁾_j=

∏

^h₁⁽^s-p^H,^j⁾

∏

ⁿ

i=1(s-pⁱ)+K^􀤱_j=1

∏

^m ⁽^s-z^j⁾ ^(5-13)

比较式(5-12)和式(5-13),可得以下结论。

① 闭环系统根轨迹增益,等于开环系统前向通路根轨迹增益。对于单位反馈系统,闭环系统根轨迹增益就等于开环系统根轨迹增益。

② 闭环零点由开环前向通路传递函数的零点和反馈通路传递函数的极点所组成。对于单位反馈系统,闭环零点就是开环零点。

③ 闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益 K^􀤱均有关。

根轨迹法的基本任务在于:如何由已知的开环零、极点分布以及根轨迹增益,通过图解

的方法找到闭环极点。一旦确定闭环极点后,闭环传递函数的形式便不难确定,因为闭环零点可以由式(5-13)直接得到。在已知闭环传递函数的情况下,闭环系统的时间响应可利用拉氏反变换的方法求出。

三、根轨迹方程

对于如图5-3所示系统,当开环系统有m 个开环零点和n 个开环极点时,开环传递函数式(5-12)可以表示为

G(s)H(s)= K^􀤱 _j=

∏

^m₁⁽^s-z^j⁾

∏

ⁿ

i=1(s-pⁱ) (5-14) 式中,zj为已知的开环零点;pⁱ为已知的开环极点。将式(5-14)代入闭环系统特征方程1+G(s)H(s)=0,得

K^􀤱_j=1

∏

^m ⁽^s-z^j⁾

∏

ⁿ

i=1(s-pⁱ)=-1 (5-15) 称式(5-15)为根轨迹方程。应当指出,只要闭环特征方程可以化成式(5-15)的形式,就可以绘制根轨迹。式中处于变动地位的参数,不限定是根轨迹增益,也可以是系统中其他变化参数。

当K^􀤱>0时,可将根轨迹方程式(5-15)表示为以下向量方程

K^􀤱 _j=1

∏

^m ⁽^s-z^j⁾

∏

ⁿ

i=1(s-pi)e^j∠

∏^m

j=1(s-zj⁾

∏ⁿ

i=1(s-pi⁾=e^j(2k+1)π (5-16)

即 K^􀤱 =_i=1

∏

ⁿ ^s-pⁱ

∏

j=1s-zj

(5-17)

∑

j=1∠(s-zj)-_i=1

∑

ⁿ ^∠(^s-pⁱ)= (2k+1)π, k=0,±1,±2,… (5-18) 式(5-17)、式(5-18)分别被称为幅值条件和相位条件。因为 K^􀤱的取值范围是0~+∞

间的任意值,故对任意s,幅值条件总能满足,所以绘制根轨迹图时先不考虑该条件,而是通过判断S 平面上的某点是否满足相位条件来判断该点是否在根轨迹上。因此,闭环系统的根轨迹可以视为是为所有满足相位条件式(5-18)的s值在S 平面上构成的轨迹。

当K^􀤱<0时,可将根轨迹方程式(5-15)表示为以下向量方程

|K^􀤱| _j=1

∏

^m ⁽^s-z^j⁾

∏

ⁿ

i=1(s-pⁱ)e

j π+∠∏^m

j=1(s-zj⁾

∏ⁿ

i=1(s-pi⁾

æ è

ç ö

=e^j(2k+1)π (5-19) 幅值条件和相位条件分别为

K^􀤱 =_i=1

∏

ⁿ ^s-pⁱ

∏

j=1s-zj

(5-20)

∑

j=1∠(s-zj)-_i=1

∑

ⁿ ^∠(^s-pⁱ)=2kπ, k=0,±1,±2,… (5-21) 可见,K^􀤱<0时的幅值条件式(5-20)与 K^􀤱>0 时的式(5-17)相同,不同的仅是相位条件。这类根轨迹被称为零度根轨迹或正反馈根轨迹,将在第三节中详细介绍。

【例5-2】单位负反馈控制系统的开环传递函数为G(s)= s+1

s[(s+2)²+4](s+5),判断点

Re φ

φ

=0 φ

ϕ

s

Im

图5-4 例5-2的相位条件 s0=-1+j2是否在根轨迹上。

解将开环传递函数极点和零点标于图5-4所示的S 平面坐标图中,极点用 “×”表示,零点用

“^○”表示。然后,从零点-1引有向线段至试验点 s0,即为复数向量s0+1,其相位如图5-4中的φ¹ 所示,类似地,4个开环极点到试验点s0的向量分别为s0、s0+2-j2、s⁰+2+j2和s⁰+5,它们的相位分别为ϕ1=116.6°,ϕ2=0°,ϕ3=76°,ϕ4= 26.6°,G(s0)的总相位是所有零点向量相位的代

数和与所有极点向量相位的代数和之差

∠G(s0)=φ¹- ϕ( 1+ϕ2+ϕ3+ϕ4)

=90°- 116.6°+0°+76°+26.6°( )

=-129.2°≠(2k+1)π

显见,G(s0)的相位值不满足相位条件式(5-18),所以s0不是根轨迹上的点。

在文檔中自动控制原理 (頁 173-176)