t 图 4-10 2型系统对抛物线输入的响应

图4-9 1型系统对斜坡输入的响应

r(t) y(t)

Dr

r(t) y(t)

D

²

r E

0

t

图4-10 2型系统对抛物线输入的响应 由于E0为常数,上式的一阶及二阶导数均为零,因此有R2=Y2和Y1=0,表明2型系统在 抛物线输入下稳态 输 出 与 输 入 具 有 相 同 的 形 状,但存在固定的稳态误差 E0= -Y0,如图 4-10所示。

表4-1列出了稳定的单位负反馈系统在不同输入信号下的稳态响应特点。

表4-1 稳定的单位负反馈系统在不同输入信号下的稳态响应

系统型别m 输入信号r(t) 输出稳态响应yss(t) 误差稳态响应ess(t) 稳态误差e(∞)

0

R0(t) K0

1+K0R0 R0

1+K0

R0

1+K0

R1t K0R1

1+K0t+Y0 R1

1+K0t-Y0 ∞ R2

2t² K0R2t²

2(1+K0)+Y1t₊Y0 R2t²

2(1+K0)-Y1t_-Y0 ∞

1

R0(t) R0 0 0

R1t R1t-R1

K1

R1

K1

R1

K1

R2

2t² R2t² 2 -R2

K1t+Y0 R2

K1t-Y0 ∞

2

R0(t) R0 0 0

R1t R1t _{0 0}

R2

2t² R2t² 2 -R2

K2

R2

K2

R2

K2

【例4-10】 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 G(s)=5(2s+1)s²(s+1),若 输 入 信 号 为

r(t)=1(t)+2t+3t²,试求系统的稳态误差。

解 ① 首先应该判断系统的稳定性。因为若系统不稳定,稳态误差是没有意义的。

系统的闭环特征方程为

s³+s²+10s+5=0 (4-66) 列出劳斯阵列为

s³ s² s¹ s⁰

1 10 1 5 5 0 5 第一列元素均为正值,根据劳斯判据,系统稳定。

② 求稳态误差。根据系统的开环传递函数可知,系统为2型系统,开环放大系数 K2= 5。因此,当输入为r(t)=1(t) 时,ess1=0;当 输 入 为r(t)=2t时,ess2=0;当 输 入 为 r(t)=3t²时,ess3=6/K2,所以系统的稳态误差为

ess=ess1+ess2+ess3= 6K2=1.2 (4-67) 由此可见,根据系统结构特征 (型别)和输入信号的形式,就可以由式 (4-48)直接得 到系统的稳态误差,但需要注意的是:

① 在分析稳态误差之前必须首先判断系统的稳定性;

② 上述规律只适用于对给定输入信号作用下的稳态误差。

系统在扰动作用下的稳态误差的大小,反映了系统的抗干扰能力。由于给定输入与扰动 信号在系统的不同位置上,即使系统对某一给定输入的稳态误差为零,对同一形式的扰动作 用的稳态误差也不一定是零。另外,由于扰动的作用点不同,同一系统对同一形式的扰动作 用的稳态误差也不一定相同。

三、稳态误差系数

由控制系统的型别,可以很方便地计算出系统对给定输入信号的稳态误差。而对控制系 统来说,一个重要的特征是系统以最小的偏差达到期望的稳态输出的能力,因此,定义稳态 误差系数来衡量稳定的单位负反馈控制系统对期望输出的稳态精度。

由式(4-45)可知:输出的导数与稳态误差和一个常数即系统开环增益 K^m成比例。通常, 对于0型、1型和2型系统,这个常数分别称为稳态位置、速度和加速度误差系数。这些名称 最初来源于位置控制系统,即输入或输出信号的物理意义为位置,其一阶、二阶导数分别为速 度和加速度,但在扩展到温度、速度等控制系统时,这些名称的物理意义变得不明确。考虑 到,稳态误差系数与系统的型别独立,其定义针对特定形式的输入信号,即阶跃、斜坡和抛物 线输入,因此,将它们称为稳态阶跃、斜坡、抛物线误差系数更确切。稳态误差系数可以用于 任意型别的系统,其定义如表4-2所示。要注意的是,定义仅适用于稳定的单位负反馈系统。

表4-2 稳态误差系数的定义

误 差 系 数 定 义 值 输入信号形式

稳态位置误差系数Kp [y(t)]ss

ess lim

s→0G(s) R0(t) 稳态速度误差系数Kv [Dy(t)]_ss

ess lim

s→0sG(s) R1t 稳态加速度误差系数Ka [D²y(t)]_ss

ess lim

s→0s²G(s) R2

2t²

1. 稳态位置误差系数Kp

稳态位置误 差 系 数 定 义 为 阶 跃 输 入 下 系 统 输 出 稳 态 值 与 驱 动 信 号 稳 态 值 的 比 值。对

式(4-46)应用终值定理,可以得到输出稳态值为

对上式应用终值定理可得 D²y(t)

[ ]_ss=lim

s→0ss[²Y(s)]=lim

s→0

s³G(s) 1+G(s)×R2

s³

[ ]

^=lim_s→0

[

_1+G(^G(s)_s)R²

]

^(4-80)

类似地,可以得到 ess=lim

s→0

1+G(ss)×R2

s³

[ ]

^=lim_s→0

[

_1+G(¹_s)×^R_s²²

]

^(4-81)

根据稳态加速度误差系数的定义可以得到

Ka= D[ ²y(t)]_ss ess =lim

s→0

G(s) 1+G(s)R²

[ ]

lims→0

1+G(1s)×R2

s²

[ ]

^(4-82)

由于上式不会出现分子、分母同时为0或∞的情况,因此

Ka=lim_s→0s²G(s) (4-83) 由式(4-83)可以得到各型别系统的稳态加速度误差系数

Ka=

0, 0型 0, 1型 K2,2型 ì

î í ïï

ïï (4-84)

0型、1型和2型系统的稳态误差系数和稳态误差如表4-3所示。Kp、Kv和Ka分 别 反 映了系统跟踪阶跃输入信号、斜坡输入信号和抛物线输入信号的能力。稳态误差系数越大, 相应的稳态误差就越小,精度越高。稳态误差系数和系统的型别一样,都是从系统本身的结 构特征上,体现了系统消除稳态误差的能力,反映了系统跟踪典型输入信号的精度。对于稳 定的单位负反馈系统,可以根据稳态误差系数确定其稳态误差。

表4-3 稳定系统的稳态误差系数和稳态误差 系统

型别

稳态误差系数 稳 态 误 差

Kp Kv Ka 阶跃输入R0(t) 斜坡输入R1t 抛物线输入R2

2t²

0 K0 0 0 R0

1+Kp ∞ ∞

1 ∞ K1 0 0 R1

Kv ∞

2 ∞ ∞ K2 0 0 R2

Ka

由表4-3可见,稳态误差系数和稳态误差只有三种值:0、常数和∞,表中位于对角线 上的稳态误差系数和稳态误差为有限常数,对角线以上的稳态误差系数为0,对角线以下的 稳态误差系数为∞,稳态误差正好相反。实际上有一个更一般的结论:一个 m 型的系统能 够以零稳态误差跟踪形式为t^m-1的输入信号;对于t^m形式的输入信号稳态误差为有限常数;

而对于t^m+1形式的输入信号稳态误差为∞。但通常输入信号只持续一个有限的时间段,因 此对t^m+1形式的输入信号可以计算出其最大误差,具体不详述。

根据前面的分析,可以得出减小和消除稳态误差的方法:①提高系统的开环增益,即增 加比例作用;②提高系统的 “型”,即增加系统前向通道中积分环节的个数。对于具体系统, 需要增加几个积分环 节,提高多少开环增益,只要根据所要求跟踪的输入信号形式,由表 4-3即可求出。但这样做会使系统的稳定性变差,应综合考虑。此外,还可以通过复合控

制,即在反馈控制的基础上增加前馈控制来减小稳态误差。

【例4-11】 已知单位负反馈系统的开环传递函数为

G(s)= 50

(0.1s+1)(2s+1) (4-85) 试求稳态位置、速度、加速度误差系数及当输入信号分别为r(t)=2t和r(t)=2+2t+t²时系 统的稳态误差。

解 系统闭环特征方程为

0.2s²+2.1s+51=0

根据劳斯判据可知,系统是稳定的。系统的稳态误差系数分别为 Kp=lim

s→0G(s)=50 Kv=lim

s→0sG(s)=0 Ka=lim_s→0s²G(s)=0

因为系统为0型系统,根据表4-3及线性叠加原理,当系统输入为r(t)=2t及r(t)=2+

2t+t²时系统的稳态误差均为∞。

【例4-12】 已知控制系统如图4-11所示,试确定控制器中 K 和a 的值使系统稳定且稳 态误差不超过输入幅值的24%。

r + e G

c

= K(s+a)

(s+1) G= 1

s(s+2)(s+5)

y

图4-11 例4-12控制系统示意图 解 系统闭环特征方程为1+Gc(s)G(s)=0,即

s(s+1)(s+2)(s+5)+K(s+a)=s⁴+8s³+17s²+(K+10)s+Ka=0 劳斯阵列为

s⁴ s³ s² s¹ s⁰

1 17 Ka 8 K+10 0 b Ka c 0 Ka

其中,b=126-K8 ,c=b(K+10)-8Kab 。根据劳斯判据,若使系统稳定,应满足 K<126

Ka>0

a<(K+10)(126-K) 64K

ì

î í ïï ïï

如图4-12中实线下方的区域。系统为1型系统,根据表4-3可知对于幅值为 A 的斜坡输入 稳态误差为ess= AKv,而 Kv=lim

s→0sGc(s)G(s)=lim

s→0

K(s+a)

(s+1)(s+2)(s+5)=Ka

10,因此若期望 ess≤0.24A,则要满足 Ka≥41.67,即图4-12中虚线上方的区域。为同时满足稳定性和稳

态误差两方面的要求,K 和a 的取值应位于上述两部分区域的交集。

【例4-13】 已知控制系统如图4-13所示,定义误差为e(t)=r(t)-y(t),r(t)=t,试 选择α和τ 的值,使稳态误差ess→0。

解 系统输出y(t)的拉氏变换为

Y(s)= K(τs+α)

(T1s+1)(T2s+1)+KR(s)

45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

a

0 20 40 60 80 100 120 140

K

图4-12 K 和a 的取值范围示意图

r τ s+α + K

(T

1

s+1)(T

2

s+1) y

图4-13 例4-13控制系统示意图 根据题意,误差为

E(s)=R(s)-Y(s)= 1- K(τs+α) (T1s+1)(T2s+1)+K

[ ]

^R(s)

根据系统闭环特征方程可知系统是稳定的,由终值定理可得 ess=lim

s→0s 1- K(τs+α) (T1s+1)(T2s+1)+K

[ ]

^R(s)

=lims→0

s×1 T1T2s²+(T1+T2-Kτ)s+(1+K-Kα) (T1s+1)(T2s+1)+K

由上式可知,若1+K-Ka≠0,必有ess=∞,因此要使ess=0,首先应满足

1+K-Kα=0 (4-86a)

此时

ess=lim

s→0

T1T2s+(T1+T2-Kτ)

(T1s+1)(T2s+1)+K =T1+T2-Kτ K 为使ess=0,要求

T1+T2-Kτ=0 (4-86b) 由式(4-86a)和式(4-86b)可得,当

α=1+KK τ=T¹+T2

K ì

î í ïï ïï 时,系统对单位斜坡输入的稳态误差为零。

【例4-14】 已知控制系统如图4-14所示,定义误差为e(t)=r(t)-y(t),试证明:调节 K2可使系统对斜坡输入的稳态误差为零。

解 设斜坡输入为r(t)=At,R(s)=As²。由图4-14可知,系统闭环传递函数为 G(s)=Y(s)

R(s)= K(K2s+1) s(Ts+1)+K

R(s) K

2

s+1 + K

s(Ts+1) Y(s)

图4-14 例4-14控制系统示意图 显然,不论 K2取何值,闭环系统都是稳定的。误差的拉氏变换为

E(s)=R(s)-Y(s)= 1- K(K2s+1) s(Ts+1)+K

[ ]

^R(s)=sTs+1-KKTs²+s+K ײ A s² 由终值定理可得

ess=lim

s→0s·sTs+1-KKTs²+s+K ײ A

s²=A(1-KK2) K 因此,只要取 K2=1K,即可使系统对斜坡输入的稳态误差为零。

在文檔中 自动控制原理 (頁 162-168)