图2-31为控制系统组成部分的示意图。前面主要讨论了如何建立被控对象的微分方程 模型或状态空间模型,为了对整个控制系统的动态行为进行分析与研究,还必须建立控制系 统其他组成部分的数学模型。本节通过例子简单介绍工业控制器、测量元件以及执行机构的 数学模型。可以发现,本质上,建模的方法与前面介绍的是相通的。
+ e
r u y
图2-31 控制系统组成部分示意图 一、控制器的数学模型
图2-31所示的控制系统中,控制器的功能是将测量元件检测到的对象输出值y 与给定 值r 进行比较,若存在偏差e,就按照事先设计好的控制规律计算出欲施加到执行机构上的 控制作用u 作用于被控对象;继续检测、比较控制,直至偏差e至零 (或在允许范围内)。
控制器可以用硬件 (如调节器仪表)实现,也可以用软件实现 (如计算机控制系统中的控制 策略)。在控制系统组成后,系统运行的质量很大程度上取决于控制规律的选择。
1.PID 控制器
在自动 控 制 领 域,最 常 用 的 控 制 规 律 为:比 例-积分-微分 (proportionalplusintegral plusderivative)作用或其中的一部分,取它们英语单词的第一个字母,简称为 PID 控制器
或PD、PI等。实际上,已经存在半个多世纪的 PID 控制器可以看作是对具有丰富经验的熟 练操作工的动作模仿,其含义是控制器输出的控制作用u 是对偏差e 进行比例、积分和微分 的综合。图2-31中设测量元件的传递函数为1,则有
e(t)=r(t)-y(t) (2-141) u(t)= Kc
[
e(t)+ 1T∫
it0e(τ)dτ+Tdde(dtt)]
(2-142)式中,Kc为比例系数;Ti为积分时间;Td为微分时间。
式(2-142)即为 PID控制器的数学模型,其输入为偏差e,输出为控制作用u。在实际 应用时,要根据被控对象的特性合理地选择 Kc、Ti和Td值 (选择这3个参数的过程称为
PID 控制器的参数整定),以达到满意的控制效果。
2. 一步模型算法控制 MAC
目前,计算机控制系统已经在工业控制领域非常普及,控制器的数学模型实际上就是用 软件实现的控制规律。利用计算机强大的计算功能,有可能实现考虑得更为周全的先进控制 算法与多变量控制算法。这里仅举一种最为简单的单变量预测控制算法 “―步模型算法控制 MAC (ModelAlgorithmControl)”为例,其控制器输出表达式为
u(k)= 1g1
{
(1-α)[w-y(k)]+gNu(k-N)+i=1∑
N-1(gi-gi+1)u(k-i)}
(2-143) 式中,k为当前采样时刻;u(k)为欲求的控制器当前控制作用;u(k-i)为前k-i步 所采取的控制作用;g1,g2,…,gN 为如图2-32所示的实际测定的被控对象脉冲响应的系 数;w 为给定值,y(k)为即时的输出采样值;α是一个根据实际情况可调整的参数值。k=t T g
Ng
2g
12 1 0 y
图2-32 系统的离散脉冲响应示意图
注意到,式(2-142)和式(2-143)表现形式不同,前者为连续时间 PID 控制器的数学模 型,若要用于计算机控制系统,还需要将其离散化;后者则为离散时间系统的控制器,可直 接用于计算机控制系统。
二、测量元件的数学模型
实际的控制系统中,一些工艺变量通过检测装置得到测量值,然后再经过变送器转换为 可以远传的电信号或气信号送往控制器。由于工艺参数众多,测量元件也各不相同,这里不 可能一一涉及,仅举一些典型例子来了解测量元件的动态特性。
1. 测速发电机
测速发电机是运动控制系统中用于测量角速度并将它转换成电压量的常见装置,常用的 有直流的和交流的测速发电机。
【例2-21】 图2-33是永磁式直流测速发电机的原理图。测速发电机的转子与待测量的 轴相连接,在电枢两端输出与转子角速度ω 成正比的直流电压,即
u(t)=Ktω(t)=Ktdθ(t)
dt (2-144)
u TG
ω
图2-33 测速发电机示意图
式中,θ(t)是转子角位移;ω(t)=dθ(t)/dt是转子角速度;Kt是测速发电机输出斜率, 表示单位角速度的输出电压。其传递函数为
电压与角速度 Gω(s)=U(s) Ω(s)=Kt 电压与角位移 Gθ(s)=U(s)
Θ(s)=Kts 2. 热电阻测量元件
【例2-22】 图2-34表示一个热 电 阻 测 温 元 件 插 入 温 度 为 T 的 被 测 介 质 中。 假 设 导 线 向 外 传 出 的 热 量Q 可 以 忽 略, 电 阻 体 温 度 为 TR 且 分 布 均 匀。 热 电 阻 测 温 原 理 是:
TR 与 电 阻 体 电 阻R 存 在 一 一 对 应 关 系,R 随 TR 的 变 化 而 变 化。 根 据 能 量 守 恒 关 系, 对 电 阻 体 有
McdTdt =QR in-Qout=Aα(T-TR) (2-145)
即 Mc
Aα·dTdt +TR R=T (2-146) 式中,M 为热电阻质量;c为热电阻体比热容;A 为热电阻体表面积;α 为热电阻与介 质间的热导率。
L
T
T
R图2-34 热电阻示意图
T
RT T
a图2-35 有套管的热电阻示意图
显然,式(2-146)具有一阶特性,McAα为时间常数。对一个现成的热电阻体来说,Mc/A 是常数;所以时间常数反比于热导率α。由于α和介质的物理性质和流动状态等有关,所以 即使是同一个热电阻,在用于不同的场合时,其测量的动态时间常数也可能有所不同。
在大多数工业现场,都需要在热电阻外加上保护套管,以延长其使用寿命,其结构如图 2-35所示。设保护套管插入被测介质较深,由上部传出的热损耗可以忽略,并且保护套管
具有均匀的温度Ta。若介质温度为T,则对保护套管有 M1c1dTa
dt =α1A1(T-Ta)-α2A2(Ta-TR) (2-147) 式中,M1为保护套管质量;c1为保护套管比热容;α1为介质与保护 套 管 间 的 热 导 率;
α2为保护套管与热电 阻 体 间 的 等 效 热 导 率;A1为 保 护 套 管 有 效 表 面 积;A2 为 热 电 阻 体 表 面积。
对于热电阻体,有
M2c2dTR
dt =α2A2(Ta-TR) (2-148) 式中,M2为热电阻体质量;c2为热电阻体比热容;TR 为热电阻体温度。
式(2-147)和式(2-148)为具有保护套管热电阻体的动态特性。若令 R1= 1α1A1,R2=
α21A2,C1=M1c1,C2=M2c2,联立式(2-147)、式(2-148),可得以 T 为输入、TR 为 输 出 的输入输出数学模型
T1T2d2TR
dt2 +(T1+T2+R1C2)dTdt +TR R=T (2-149) 式中,T1=R1C1,T2=R2C2,均为时间常数。注意到,式中一阶导数项前的系数为 T1+T2+R1C2,与例2-7两个串联液体储槽的二阶数学模型式(2-62)相比多了一个 R1C2
项。表明保护套管传送给热电阻体的热量和它们的温差有关,热电阻体的温度改变时,会影 响套管对热电阻的给热;而不包括该项的式(2-62)表明,第二个储槽液位会受到第一个储 槽流出的流量影响,但第二个储槽的液位不会反过来影响到第一个储槽。
三、执行机构的数学模型
自动控制系统中的执行机构种类很多,工业控制中使用得最多的是控制阀,用于控制介
p
iR
p V
q
图2-36 气动控制阀示意图 质的流 量。常见的控制阀有电动、气动、液动等,这
里介绍气动控制阀的建模过程。
【例2-23】 图2-36为一个薄膜式气动控制阀的结 构示意图。它由上部的薄膜式气室、刚性弹簧及下部 的阀体组成。膜室中气压p 的变动引起阀杆成正比地 上下移动,从而改变阀座和阀芯之间的开启面积,以 改变介质流过的流量q。由于阀体开启面积的改变基本 无惯性地使 介 质 流 量q 发生改变,所以控制阀的动态 特性主要取决于执行机构的膜室气容和阻力R。
若膜室 体 积 为V,并 设 阀 杆 上 下 移 动 距 离 较 小, 膜室体积 近 似 不 变,因而可以视作一个压力容器,其 输入是加到膜室的气压pi,输出是介质的流量q。
单位时间进入膜室的气体质量增量
ΔGin=V dΔγdt (2-150) 式中,Δγ是膜室中气体密度的增量。
由流体力学原理,流过阀的气体流量增量 ΔGin和 阀 前 后 的 压 差 的 开 方 值 pi-p成正 比,即Gin=αf pi-p。
当pi变化不大时,线性化后得压差与空气流量的变化关系近似为
ΔGin=1R(Δpi-Δp) (2-151) 因为气体压力不高,膜室中气体可近似看作是理想气体,则有
pV=nR T (2-152)
式中,n为膜室中气体分子的物质的量;R 为通用气体常数;T 为膜室中气体的热力学 温度。
式(2-152)中的p 应使用绝对压力。由式(2-152),得nV =p R T,故
γ=nV·M= pR T·M (2-153) 其中,M 是膜室中气体的平均分子量。对式(2-153)两边求导,有
dγdt=M R Tdp
dt (2-154)
或 dΔγ
dt =M R TdΔp
dt (2-154')
将上式与式(2-151)代入式(2-150),得 VM R TdΔp
dt +1
RΔp=1
RΔpi (2-155)
或 VMR
R Tdp
dt+p=pi (2-155') 设阀体呈线性特性,则有q=-Kp,故得
VMRR Tdq
dt+q=-Kpi (2-156) 此为气动薄膜控制阀的数学模型。
实际工业控制中,习惯上也常将控制器称为调节器,将控制阀称为调节阀。