第二章 文獻探討
第一節 等差數列
一、等差數列教材
國中數學包含了數、量、形等主題，由於課程的銜接問題，對於剛升上國中 的學生而言，似乎是一個不易摸索的學科。而學校受到教學進度的壓力，使得課 程的編排順序上，在學生對於算數式還不甚熟悉時，又接觸了代數式的推導，尤 其是國中八年級此階段的學生，在學習「等差數列單元」時，恰為算數式與代數 式的磨合期，在學習與吸收上往往不易了解，尤其要以符號代表數時，其常數與 變數之間的符號替換，常造成學生混淆的使用（李仲鈞，2008），而等差數列單 元不僅涉及數形模式的轉換，更需要學生具有代數式的運算能力，有時雖然學童 可發現問題中的數形轉換模式，但對於代數式的運算能力較低時，將可能造成學 習困難或教學目標無法達成的窘境。因此，在教材媒體設計時，不僅需呈現出等 差數列的相關概念，也需加強代數運算的方法；但教學時間有限，有關等差數列 的教學與代數運算方法的教學，在教學時間的分配上是需要在教學現場的教師去 衡量的。
教育部（2003）編訂之「九年一貫數學領域課程綱要」將數學分成五大主題：
分別為「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」、「連結」等五大主題。並把 九年國民教育區分為四個階段：階段一為一到二年級，階段二為三到四年級，階 段三為五到六年級，階段四為國中一到三年級。其能力指標即依上述原則來編定，
能力指標共3 碼，其中第一碼表示主題，分別以字母 N、S、A、D 表示「數與 量」、「幾何」、「代數」和「統計與機率」四個主題；第二碼表示階段，分別以 1, 2, 3, 4 表示第一、二、三和四階段；第三碼則是能力指標的流水號，表示該細 項下之指標序號。此外，九年一貫課程綱要的能力指標雖依主題及階段學習能力 而訂定，但是多數指標須採分年進階式的教學才能達成其教學目標。因此，由階 段能力指標演繹出更細緻的分年細目及詮釋，以利分年進階式的教學。分年細目 亦以三碼編排，其中第一碼表示年級，分別以1，…，9 表示一至九年級；第二 碼表示主題，分別以小寫字母n、s、a、d 表示「數與量」、「幾何」、「代數」和
「統計與機率」四個主題；第三碼則是分年細目的流水號，表示該細項下分年細 目的序號（引自教育部，2003）。等差數列單元的正式課程在九年一貫課程綱要 的安排是在八年級實施，而我國學童在小學五、六年級時就會接受簡單的「數型 與形型」的規律察覺訓練，卻在學童學習完整數、分數的運算、數線、解一元一 次方程式、解二元一次聯立方程式等單元後，再一次的介紹等差數列，這是為符 合螺旋課程的設計方式，在八年級所進行的等差數列單元，比五、六年級所進行 的課程更深、更廣，而且需要用到更多的先備知識才能順利解題，因此，將其安 排在八年級時教學，以下將與等差數列相關課程之發展順序整理如圖2-1-1。
六年級：
能用符號代表數、數的運算、等 量公理的應用與解題、使用符號 代表數
七年級：
整數的運算、分數的運算、一元 一次方程式、二元一次聯立方程 式、一元一次不等式、
八年級上學期：
一元二次方程式
八年級下學期：
等差數列
圖 2-1-1 等差數列相關課程之發展順序
另外，將數學領域中，與等差數列相關的分年細目、能力指標整理如下表2-1-1。
表 2-1-1 等差數列單元相關的分年細目、能力指標（續）
利用首項、公差計算出等差數列的每一項。其詳細解釋如表2-1-2。為達到分年 細目表所述之能力，各常見教科書並把等差數列單元進一步細分成若干個更短程 的教學目標，研究者期望自編教材與診斷測驗能與學校教材進度配合，遂分析各 大版本教科書與市售參考書在本單元的教學內容，作為自編教材的參考，其分析 內容如表2-1-3 所示。
表 2-1-2 等差數列單元之分年細目解釋（教育部，2003）
編號 內 容
8-n-05 能在日常生活中，觀察有次序的數列，並理解其規則性。
說明： 數列常見於高速公路里程標示、火車座位號碼、計程車計費碼表等。
從某些簡單、具規則的數列如：179，182，185，…和 2，4，7，11，
16，…等練習數列的相關名詞，並理解其規則性。
8-n-06 能觀察出等差數列的規則性。
說明： 觀察等差數列的樣式時，如；
樣式一：1，2，3，4，5，……，n 樣式二：3，6，9，12，15，……，3n 樣式三：5，8，11，14，17，………，3n+2 樣式一有一規律：後一項都是前一項加1。
樣式二與樣式三都有一規律：後一項都是前一項加3。
樣式二與樣式一的關係為：樣式二的各項是樣式一的3 倍。樣式三與 樣式二的關係為：樣式三的各項比樣式二多2。如此，樣式三與樣式 一的關係為：樣式三的各項是樣式一的3 倍多 2。
例：等差數列80，77，74…中，求首項，公差與第 14 項。
例：若三數成等差數列，等差中項為 7，求前後兩項之和。
表 2-1-2 等差數列單元之分年細目解釋（教育部，2003）（續）
表 2-1-3 各大版本教科書與市售參考書在等差數列單元之教材分析 版 本 單 元 教 學 目 標 與 內 容
康 軒 等差數列
1.能在諸多數列中分辨出何者是等差數列。
2.能在等差數列中求出首項、公差、項數、第 n 項。
3.能了解等差中項的代數意義及幾何意義。
南 一 等差數列
1.培養學生觀察有次序的數列，並察覺其規律性。
2.能由代數符號描述數列的項。
3.能寫出等差數列的一般項公式。
4.能利用首項、公差（或其中某兩項的值）計算出等差數列的 每一項。
翰 林 等差數列
1.能觀察生活中的有序數列，理解其規則性，並認識「數列、
首項、第n 項、末項」等名詞。
2.能察覺不同的數列樣式彼此間的關係。
3.能觀察出各種不同的等差數列的規則性，求出其第 n 項，並 認識「公差、等差數列」等名詞。
編號 內 容
8-n-07 能利用首項、公差計算出等差數列的每一項。
說明： 例：己知一等差數列的首項為 5，公差為 7，求第 8 項。
例：己知一等差數列的首項為 a，公差為 7，求第 8 項。
例：己知一等差數列的首項為 a，公差為 d，求第 8 項。
例：已知一等差數列的首項為 a，公差為 d，求第 n 項。
表 2-1-3 各大版本教科書與市售參考書在等差數列單元之教材分析（續）
版 本 單 元 教 學 目 標 與 內 容
翰 林 等差數列
4.能觀察出等差數列 a1、a1＋d、a1＋2d、…的規則性，進而推 導出其第n 項公式 an＝a1＋（n－1）d。
5.能運用等差數列公式 an＝a1＋（n－1）d 解題。
6.能應用等差數列解決生活中的問題。
7.能知道 a、b、c 三數成等差數列，則 b 稱為 a、c 的等差中項，
並能應用公式b＝（a＋c）÷2 解題。
市售參
考書 等差數列
1.能找出圖形數量模式的規律性。
2.能找出數列的規律性。
3.能判別等差數列。
4.能填寫等差數列的各項。
5.能求第 n 項與首項。
6.能求公差及項數。
7.運用解聯立方程式求首項與公差。
8.等差中項的意義與應用。
9.三、四數成等差數列的假設。
10.瞭解插入項問題。
11.等差數列與不等式。
根據上述等差數列之文獻探討與教材分析，研究者編製出等差數列單元學童 所需學習之子技能與分年細目，並再與5 位具有教學經驗之教師、專家學者進行 討論與修改，以完成最後的定稿，部分內容摘要如表2-1-4，其子技能的編碼第 一碼均為S，表示 Skill，其後加上一數字，為流水號，如 S01，表示第一個子技 能，完整內容請見附錄一。
表 2-1-4 等差數列單元分年細目與子技能摘要表
單元 編號 分年細目 / 子技能
8-n-05 能在日常生活中，觀察有次序的數列，並理解其規則性。
8-n-07 能利用首項、公差計算出等差數列的每一項。
8-n-06 能觀察出等差數列的規則性。
S01 能辨別何謂數列
S02 瞭解數列的一般表示法及相關名詞 S03 能辨別有限、無限數列
S04 能由所給定的數列，算出一般項公式 等
差 數 列
S05 能由數列的一般項公式算出數列中某些項
本研究之自編教材與教學多媒體便是以表2-1-4 為編輯大綱，而將表 2-1-4 中，具有上下位關係的子技能以有方向的箭頭連結，便是專家的知識結構，可參 閱圖3-2-2，其箭尾所連接之子技能為箭頭所連接之子技能的下位概念，即箭尾 所連接之子技能為箭頭所連接之子技能的先備知識。
二、等差數列之錯誤類型與迷思概念
許多有關學童概念理解的研究顯示，學生在他開始學習一個新概念之前，他 已經由日常生活的經驗中，發展了自己的想法，並且會利用這些概念來解釋教師 所教授的知識。但這些想法，往往跟專家學者或科學的概念有所差距，我們稱為 錯誤概念、迷思概念、迷失概念或另有概念，而國外學者稱之為misconceptions
（浣麗蓉、曹雅玲，2005）。
迷思概念在字典中的解釋是指出現在一個人、一種現象、或組織周遭未經證 實、或錯誤的一種信念。若要探討迷思概念（misconceptions）的理論起源，應 該是源自於建構主義。建構主義理理論認為，學生總是以已有的知知識經驗為基 礎來建構新知識的理解，而不同的學生對同一概念可能會有不同的理解，在學習 中學生可能記住了科學概念的定義，但没有真正理解科學概念的實質，存在着一
些模糊甚至是錯誤的觀念。因此，一般認為數學迷思概念就是指學生在接受數學 教育之前或在數學的學習過程中，通過自己的觀察、親身經歷和對各種數學現象 與數學概念的理解與認識。它是基於日常經驗對於事物或現象做出的解釋,這種 解釋往往沒有科學依據且與數學概念相違背。而迷思概念的存在會影響學生對新 概念的正確理解，進而造成學生學習的困難。
本單元的教材內容，涉及許多數形模式的轉換，有許多的概念是一般上課中 難以表達的，尤其是國二學生剛接觸到以符號代表數，當學生同時使用多個文字 符號，或是進行代數式中將數代換成算數式的運算，對於國中二年級的學生而
本單元的教材內容，涉及許多數形模式的轉換，有許多的概念是一般上課中 難以表達的，尤其是國二學生剛接觸到以符號代表數，當學生同時使用多個文字 符號，或是進行代數式中將數代換成算數式的運算，對於國中二年級的學生而