系統穩定性分析

一般的適應控制是將參數估測與系統控制共同透過一里昂普諾夫候選函數證明穩 定性，而本論文提出的新式控制系統設計，本論文以不同的方法設計，但同樣可以透過 里昂普諾夫直接法證明其收斂性與系統穩定性。

‹ 質量未知、感測電路無瑕疵之陀螺儀系統—單一質量塊設計

依單一質量塊設計的模型，可以得到以下的估測誤差動態(Error dynamics)為：

(

)

若 時，P 為正定(Positive definite)。使用式(4.11)的觀察器增益，里昂普諾夫

由於上式等號右邊的每一項都是有限值，因此V 也是有限值。根據巴氏的引理(Barbalat’s lemma)[39]，當時間趨近於無限大時，可以得到 ，因此：

=

∫

tm

Mtm由估測動態( , , , )與控制輸入 組成，由上一節的控制設計，皆為單純的

弦波訊號，因此

xˆ yˆ x&ˆ y&ˆ Ut

Mtm為有限值，利用三角不等式(Triangle inequality)可以得到：

∞ ∞

∞ ≤ + ⋅

∫0 K_tm~e1dt M_tm^Tρ~_tm0 M_tm^T ρ~_tm0 (4.37)

由於上式等號右邊皆為有限值，因此可知：

~ 0 lim 1 →

∞

→ e

t

再由式(4.34)可以得到：

~ 0 lim →

∞

→ T tm

t Mtmρ (4.38)

根據上式，ρ~ 中的每一項都要收斂到零的必要條件為tm 的｢列｣必須線性獨立，以求

解方程式的角度來看， 的｢列向量｣的組合僅能有唯一零解。而這個條件可以透過以

下矩陣的秩是否等於8來檢驗

Mtm

Mtm

ρ~ 的收斂性：tm

[

]

以上的矩陣與上一節中針對單一質量塊的設計，在位移回授下，可得到的觀察性矩陣的

轉置 類似。因此滿秩的條件也是需要兩個以上的頻率，並須在控制訊號中加入輔

助訊號

T

Wtmp₁

ηx與ηy以確保質量塊估測的正確性。

因此，使用式(4.11)的觀察器增益將可以正確地估測到所有系統狀態，即e→0。在

使用上一節所介紹的任何一個控制設計下，則可以將系統動態控制成穩定的弦波，因此 系統可證明為穩定。

‹ 質量未知、感測電路無瑕疵之陀螺儀系統—退耦式雙質量塊設計

依退耦式雙質量塊設計的模型，可以得到以下的估測誤差動態(Error dynamics)為：

展開如下：

小將與設計的動態範圍(Dynamic range)有關，在本系統中，若欲量測的角速度值小於 與 的設計，則在後續證明為收斂之下，表示本新式陀螺儀系統將可；相反地，若欲

確地估測到所有系統狀態，即e→0，在使用上一節所介紹的任何一個控制設計下，也 之外，若要進一步增加收歛性，可以使用疊代式卡曼濾波器(Iterated Kalman filter，

IKF)[43]，但缺點是疊代式卡曼濾波器需要的運算量將更加龐大。前面章節已經證明了 本論文提出的振動式陀螺儀整合感測架構模型之系統穩定性，在擴增型卡曼濾波器設計 出來的觀察器增益可以正確地估測出所有系統狀態下，系統將為穩定。