四、 新式振動式陀螺儀控制系統
4.1 狀態觀察器設計
4.1.3 觀察器增益設計
1 × −
1100且dyx相對於dxy有10%(即δ =0.1)的偏差，若此陀螺儀要達到0 o.1 sec. 的估測精度，則兩跨軸阻尼必須小於3.96×10−9N⋅s m，因此兩主軸相對應的品質因子 約 為 10053 與 9139 ， 此 狀 況 下 角 速 度 估 測 精 度 受 兩 跨 軸 阻 尼 不 匹 配 的 影 響 為
. 029 sec .
0 o
± 。
4.1.3 觀察器增益設計
如同一般控制器增益的設計，設計式(4.5)的觀察器增益也可以有許多選擇，這也是 本方法的主要優點之一。如卡曼濾波器(Kalman filter)[36]與順滑模態法(Sliding mode method)[37]等，都可依不同的需求選擇不同的演算法來設計。由於以里昂普諾夫法為基 礎的設計簡單，也易於證明收斂性，一般最常被用來設計控制或觀察器；卡曼濾波器則 是最佳化設計的一種，有收斂速度快、具抑制雜訊等優點。接下來在假設感測介面與電 路無瑕疵的情況下，使用本論文提出之新式設計方法，此方法將可使用里昂普諾夫直接 法來證明其收斂性；而在整合模型的估測中，將使用擴增型卡曼濾波器的演算法來設計 觀察器增益，以獲取其雜訊抑制的特點；再搭配｢記憶褪去法｣(Fading memory)的技巧設 計觀察器，則可增加其對時變參數估測的能力。
4.1.3.1 新式觀察器增益設計
在質量塊未知而感測介面與電路無瑕疵的情況下，針對單一質量塊與退耦式雙質量
資訊，因此Htm和Hem為速度回授，即： 統，則需要改採擴增型卡曼濾波器(Extended Kalman Filter，EKF)[36]的演算法來設計。
根據[36]，EKF 有一套演算流程以計算出觀察器增益。在使用 EKF 之前，連續系 統必須要先被離散化(Discretization)，而所謂的預測方程式(Prediction equation)則可以表 示如下： equation)可以表示如下：
Ak X =Xˆk
(4.14) 共變異數矩陣。以式(4.13)與(4.14)反覆疊代運算，將在每個時間點得到不同的 ，而 計算出來的 將逐漸趨近於
State estimate at tk
(k k)
x |ˆ
State covariance at tk
( )k k P |
State covariance at tk
( )k k P | Evolution
of the system (true state)
Known input (control or sensor motion)
Estimation of
the state State covariance
computation
Evaluation of Jacobians
Evaluation of Jacobians
State prediction covariance (k k) F( ) (kPk k) ( )Fk Q( )k
P +1| = | T+
State prediction covariance (k k) F( ) (kPk k) ( )Fk Q( )k
P +1| = | T+
Residual covariance
( )
Residual covariance
( )
Filter gain
( )
Filter gain
( )
Updated state covariance
( ) ( )
Updated state covariance
( ) ( ) State prediction
(k k) f(k x(k k) ( )uk)
xˆ +1| = ,ˆ | ,
Measurement prediction (k k) h(k x(k k))
z 1| 1,ˆ 1|
ˆ + = + +
Measurement residual (k 1) (zk 1) (zˆk 1|k)
s
Re + = + − +
Updated state estimate
( ) Transition to tk+1
(k ) f(kx( ) ( )k uk) ( )vk
x +1= , , +
Measurement at tk+1
( )
非永久的維持固定。例如：IC 封裝有漏氣或環境溫度改變皆可能造成阻尼的改變、結構 因長時間振動出現劣化也有可能造成彈性係數的變動等。為解決這個問題，可以將該時 變參數視為模型誤差，而採取一般在卡曼濾波器的演算法中，為了補償模型誤差所加入 的修正方法，即所謂的記憶褪去技巧[36]。
在[38]中針對卡曼濾波器的應用問題與相關的改善方法有回顧與介紹，其中提到一 開始的卡曼濾波器由於適用於線性系統的設計，在實際使用上，其模型誤差將可能因為 操作時間拉長造成誤差累積，進而使整個系統產生發散的問題。其中一種解決方法，即 是限制卡曼濾波器的｢記憶｣，將系統過去的歷史資訊權重(Weighting)降低，以降低長時 間操作下的累積誤差。若系統有不可預測的跳躍或飄移，甚至可以動態的改變記憶長度 以調整估測的特性。
依此技巧，被視為模型錯誤的變動系統參數，可利用此記憶褪去的技巧來估測。記 憶褪去方法的使用，需要在式(4.13)的預測方程式中引進遺忘參數(Forgetting factor)，將 時間越久以前的系統資訊乘上較小的權值，而越新的資訊則相對有較大的權值，以利系 統追上變動。因此系統狀態的共變異數矩陣修正如下：
kT k k
k k A P A
P−1 +1
+ =λ (4.15)
其中λ 即為遺忘參數。遺忘參數的選擇可由以下方法選擇：
(4.16)
{ }
k T
T T k k k k
H HP N
H A P HA M
M trace N
trace
−+
=
=
=
1
) ( / ) ( , 1 λ max
另外在[38]亦有介紹不同的方法，但這些都是以理論方式推導出來的選擇方式，實際在 應用的時候，可以藉由模擬結果或實作中手動微調。而在配合適當的遺忘參數的設計 下，此狀態觀察器將可以增加擴增型卡曼濾波器對變動系統參數的估測能力。