四、 新式振動式陀螺儀控制系統
4.1 狀態觀察器設計
4.1.1 系統觀察性
微分項作線性化，再代入特定時間的狀態值，若矩陣為滿秩(Full rank)，則該時間下系
q
統在該狀態值附近為局部可觀察(Locally observable)。
質量已知、感測電路無瑕疵之陀螺儀系統
文獻上針對振動式陀螺儀設計的控制器皆有的共同假設，即質量塊質量已知且量測 質量塊位移或速度的介面與電路無瑕疵，控制模型一般假設兩軸質量塊大小相等但未指 明其設計，以下使用單一質量塊設計為例說明，而詳細模型建構則不再贅述。另外，在 常見的適應控制法中，正確地估測系統參數所需的條件是由｢持續刺激｣(Persistent excitation)的方法證明。在本方法中，同樣可以對如此假設下的系統作設計，並且同樣可
Wtsp && &&
&& 秩(Full rank)，因此系統動態為可觀察，其秩又與狀態無關，因此為全域可觀察(Globally observable)，換句話說，在適當的觀察器設計下將可以得到：
Cts x x& y y& kxx⋅kyy ≠kxy2 Cts
y y x x y y x
xˆ→ ˆ→ &ˆ→ & &ˆ→ &
而 為其他系統參數的觀察性矩陣，由列向量來觀察：以第二行為例，若系統狀態僅 存在一個頻率(如：
Wtsp
) sin( t
x&= ω )，則再兩次微分之後( ) )會回到與原本僅
差倍數的關係，而第三行亦相同(如： )，如此一來，第
四中第五與第一個元素的倍數關係會與第二行中第五與第一個元素的倍數關係相同(其 他行亦同)，因此，若系統狀態只有一個頻率，則 的秩最多為4，而無法達成滿秩的 狀況，也因此系統狀態將成為不可觀察(Unobservable)；以同樣觀察可知，若系統狀態有 兩個頻率，(如：
2sin(
) 3
( t
x =−ω ω ) cos(
)
cos( t y(3) 2 t y& = ω → =−ω ω
Wtsp
→ +
=sin( 1t) sin( 2t)
x& ω ω sin( ) 2sin( 2 )
1 2 2
1 t t
x&&=−ω ω −ω ω
& ，y 亦相同)，列向
量將皆線性獨立於彼此，若 與 各自頻率不相同亦然。再由行向量來觀察，除了兩個 頻率的條件以外，只要 和其微分項與 和其微分項不完全相同，則可使 為滿秩，
系統參數則為可觀察。事實上只要系統初始狀態並非是完全相等的特殊情況，即 且
x y
x y Wtsp
) 0 ( ) 0 ( y
x = x&(0)= y&(0)，就不會造成x(t)= y(t)的問題，而且要用控制將兩軸控制成都 要有兩個頻率且完全相同需要特殊設計，一般狀況不容易造成此結果，但若要主動控制 避免這個問題，可以透過下一節要介紹的外加訊號來解決。因此，適當的控制器設計使 受控狀態有兩個(含)以上頻率的條件下，以適當的觀察器設計將可透過狀態觀察器作系 統參數估測。
以下用幾個狀況的數值模擬，以觀察性矩陣的奇異值分解來總結上述討論：狀況 一，耦合阻尼係數相同(dxy =dyx)且系統動態僅含有一個頻率( x= sin(2π×3000)、 y =sin(2π×3000))；狀況二，耦合阻尼係數相同(dxy =dyx)但系統動態含有兩個頻率 (x=sin(2π×3000) +cos(2π×5000)、y=cos(2π×3000) +cos(2π×5000))；狀況三，耦合 阻 尼 係 數 不 同( ， 因 此 滿 秩 的 狀 況 其 秩 應 為 8)但系統動態含有兩個頻率 (
yx
xy d
d ≠
=
x sin(2π×3000) +cos(2π×5000)、y= cos(2π×3000) +cos(2π×5000))。將以上數值代 入觀察性矩陣可得以下模擬結果：
(a) (b) (c)
圖 4.1： 三種不同狀況下，質量已知且感測電路無瑕疵之單一質量塊陀螺儀系統觀察性 矩陣(Wtsp)之奇異值分解。(a) 狀況一；(b) 狀況二；(c) 狀況三。
以上模擬可知，在系統動態僅含有一個頻率的狀況一，對應系統參數的觀察性矩陣將無 法呈滿秩，並且與分析相同，其秩為4；而在系統動態含有兩個頻率的狀況二則可以使 此觀察性矩陣滿秩；而在狀況三中，縱使系統動態已含有兩個頻率，但由於兩軸耦合阻 尼係數不同(dxy ≠dyx)，仍無法使觀察性矩陣呈滿秩。
質量未知、感測電路無瑕疵之陀螺儀系統
假設感測介面與電路無瑕疵，以速度回授為例，同樣以(4.5)檢驗單一質量塊與退耦 式雙質量塊兩種設計下的振動式陀螺儀模型，觀察性矩陣如下：
[ ] [ ] [ ] [ ]
⎥⎦⎤⎢⎣
=⎡
×
×
×
×
8 8 4
8
8 4 4
4
0
0
tmp tm
tm W
W C (4.7)
[ ] [ ] [ ] [ ]
⎥⎦⎤⎢⎣
=⎡
×
×
×
×
10 10 4
10
10 4 4
4
0
0
emp em
em W
W C (4.8)
其中
⎥⎥
W && && &&
&&
論。在單一質量塊的設計中，狀況一，系統動態僅含有一個頻率(x=sin(2π×3000)、
=
y sin(2π×3000) ) 但 控 制 訊 號 中 僅 有 狀 態 回 授 並 無 不 同 於 系 統 狀 態 的 訊 號 ( ， 其 中 與 為 任 意 常 數)；狀況二，系統動態含有兩個頻率 (
y c x c u
utx = ty = 1 + 2 c1 c2
=
x sin(2π×3000)、y =sin(2π×5000))但控制訊號中僅有狀態回授並無不同於系統狀態 的訊號(utx =uty =c1x+c2y )；狀況三，系統動態含有兩個頻率(x= sin(2π×3000)、
=
y sin(2π ×5000) ) 且 控 制 訊 號 中 亦 含 有 不 同 於 系 統 狀 態 的 訊 號 (utx =uty =c1x+c2y +sin(2π×500))。將以上數值代入 並做奇異值分解與矩陣判定 可得以下結果：
Wtmp
(a) (b) (c)
圖 4.2： 三種不同狀況下，質量未知但感測電路無瑕疵之單一質量塊陀螺儀系統觀察性 矩陣(Wtmp)之奇異值分解。(a) 狀況一；(b) 狀況二；(c) 狀況三。
以上模擬可清楚看到，同時要使用狀態觀察器估測陀螺儀振動質量塊質量的狀況下，除 了系統動態須滿足兩個頻率以外，控制訊號中還需要含有非狀態回授的訊號才得以使系 統觀察性矩陣呈滿秩，如狀況三所示。而狀況一亦如分析，其秩同樣為4。同樣將上述 三個不同狀況代入退耦式雙質量塊設計中的Wemp，可得以下結果：
(a) (b) (c)
⎥⎥
W && && &&
&&
⎥⎥