五、 角速度量測陀螺儀控制系統模擬
5.3 角速度量測陀螺儀控制系統—時變系統參數估測
卡曼濾波器具有良好的雜訊抑制能力，在搭配記憶褪去的技巧下得以估測時變參 數。以
測結果，其中感測電路 輸出
理論證明演算法的收斂性的缺點外，因演算法複雜，需要的運算量較大。在本節的 模擬中需要用到10 MHz 的取樣頻率來操作才得以讓觀察器收斂，這在即時控制的實現 上將造成阻礙。另外，若僅以最簡單的擴增型卡曼濾波器演算法來設計，由式(4.14)可 以發現，在求得Lk+1時的最後一項為反矩陣，這在運算過程有可能會遇到奇異點的問 題，若要在實作中使用，將需要進一步改良。
(4.13)與(4.14)設計觀察器增益，並搭配阻尼補償的回授控制。以單一質量塊設計 為例，系統一開始以1 rad/sec 的角速度轉動，在 36 ms 時隨即以斜率 15 rad/sec2飄移；
x 軸的電壓偏移一開始為 10 mV，在 45 ms 以 3 mV/sec 的速度快速飄移；y 軸的電壓偏 移一開始為12 mV，在 45 ms 以 3.5 mV/sec 的速度快速飄移。遺忘參數選擇為 1.00014，
在位移量測訊噪比為 100 的狀況模擬如下。本模擬中假設實際系統參數偏離設計值 10%，因此觀察器的估測初始值設定為實際系統參數的 90%。
圖 5.11 為具有電壓偏移誤差的感測電路輸出與系統動態估
可看出雜訊的影響，假設輸出電壓與實際位移量的關係不變下，觀察器估測到的系 統動態已將此偏移量的影響消除，而與實際運動的軌跡吻合。圖5.12 為狀態觀察器估測 的系統參數，在加入記憶褪去的技巧後，轉動角速度與感測誤差訊號在快速飄移的狀況 下，觀察器皆可跟上變動。在45 ms 後角速度量測的標準差為 5.63 °/sec。在這個模擬條
件下，45 ms 以後，參數(Φ 、x Φy、k 、xx kyy、kxy、d 、xx dyy、dxy)估測相對於正確 值的誤差為(4.5×10−4、4.7 −4、 .1× −5、 9×10 6、5 10− 1.36 10−2、1.19×10−2、
−2
×
×10 1 10 8. − × 5、 )。
× 10
4 . 1
(a) (b)
設計觀察器增 圖 5.11： 在阻尼補償控制下，以擴增型卡曼濾波器搭配記憶褪去的技巧
益，感測電路輸出與系統動態估測。(a) 感測電路輸出，x 軸與 y 軸偏壓分別為 10 mV 與12 mV；(b)估測系統動態。
圖 5.12： 在阻尼補償控制下，以擴增型卡曼濾波器搭配記憶褪去的技巧設計觀察器增
為了更深入了解上述 更進一步以不同頻率的
益，狀態觀察器估測到之系統參數。
方法對於變動角速度的追蹤能力，以下
角速度變動來測試。以同樣的模擬條件，但量測偏移值保持固定(10 mV 與 12 mV)下，
僅改變轉動角速度的頻率，模擬結果如圖5.13。由圖中可以發現，在頻率超過 30 Hz 之 後，估測角速度開始出現較明顯的相位與大小的誤差，並且在40 Hz 與 45 Hz 的例子中 也可以看到明顯的相位落後。雖然本例未使用低通濾波器，但在特定的模擬條件下(如 量測雜訊大小與遺忘參數的設計等)，以擴增型卡曼濾波器設計出來的觀察器增益也有 一定的估測效能。由模擬中可以了解，在這個模擬條件下，狀態觀察器的頻寬約超過30 Hz。相較於以開路操作之理想陀螺儀，以共振頻率為2π×3200rad/sec.、品質因子 804 來計算，在感測電路有誤差且系統參數都未知的情況下，量測頻寬改善可達十倍。
圖 5.13： 在阻尼補償控制下，以擴增型卡曼濾波器搭配記憶褪去的技巧設計觀察器增
5.4 質量已知、感測電路無瑕疵之陀螺儀角速度控制系統—不同回授控制
本節將以單一質量塊設計為例，使用表5.1 的參數，並以本論文提出之新式觀察器 設計做參數估測。為了可以在相同的基礎下，比較不同的回授控制設計對系統的影響，
益，狀態觀察器估測到不同頻率變動下之角速度。
設計比較
將如大部分文獻一樣假設陀螺儀振動質量塊的質量已知且感測電路無瑕疵。
5.4.1 適應控制法
以下使用適應控制法對陀螺儀作控制與參數估測，參考模型的兩個頻率設定為 3 kHz 與 5 kHz，若系統於 0.2 秒與 0.6 秒時分別以 1 rad/sec 與 -3 rad/sec 的角速度轉動，
質量塊在兩軸的振動設定為1 mµ ，在 噪比為 1000 的情況下
本模擬中假設實際系統參數偏離設計值
速度量測訊 ，以表5.1 的參
數模擬結果如下(為節省篇幅，未將推導過程列出，以下模擬為使用適應性順滑模態控
制所設計[39])。 20%，因此觀察器的估測初始值
設定為實際系統參數的80%。
圖 5.14： 以適應控制法控制下之陀螺儀質量塊運動軌跡，X Y 為旋轉座標。
上圖 型
法，在控制器作用下，從旋轉座標看起來的軌跡持續與參考模型相同，運動軌跡並不會 受到轉動的影響。此外，由軌跡可以看出：(1) 系統動態必定不止存在一個頻率，此為 陀螺儀系統中要正確地估測出系統參數必須的條件；(2) 質量塊振幅一直維持在 1
、
為控制器作用下，相對於旋轉座標之陀螺儀質量塊運動軌跡，由於是使用參考模
µm， 這使柯氏加速度項(在 y 軸為2Ωzx&)中的速度得以在固定振動下維持在系統設定的最大 值，藉此提高感測的精度。
圖5.15 為使用參數適應律估測的參數，各個參數皆在 0.02 秒以內收斂完成。由於 模擬中假設速度量測含有雜訊，因此對阻尼項與角速度估測的影響甚鉅，而對彈性係數 估測的影響相對小很多。在這個模擬條件下，0.8 秒以後，角速度估測的標準差為 171.8
°/sec，而參數(k 、xx kyy、kxy、d 、xx dyy、dxy)估測相對於正確值的誤差為(3.1×10−4、 10 4
1 .
2 × − 、 、 、 、 。為了取得更精確的角速度值，再將估測角 速度以低通濾波器過濾，其中低通濾波器系統階數設計為三階且通帶為 10 Hz，如圖 5.16。
10 3
2 .
1 × − 0.29 0.24 1.93)
圖 5.15： 以適應控制法設計的參數適應律估測之系統參數。
圖 5.16： 三階、通帶為 10 Hz 之低通濾波器頻率響應圖。
圖 5.17 的上圖為過濾後的估測角速度，而為了檢驗估測精度，我們也做了長時間
的估測並以同樣的低通濾波器過濾，如圖5.17 下圖。由圖 5.17 上圖可見，使用低通濾 波器過濾後之估測角速度已收斂至正確值，在角速度變動下，估測收斂時間約0.1 秒，
雖然低通濾波器的使用也造成了相位落後，但仍可保有頻寬約10 Hz 的感測能力；另外，
由圖5.17 下圖的長時間模擬中，系統於 1 秒時開始以 5 °/sec 轉動，結果顯示在這個模 擬條件下，兩秒後的角速度量測的標準差為2.84 °/sec。
圖 5.17： 以適應控制法設計的參數適應律估測之角速度，並以低通濾波器過濾之結果。
5.4.2 以本論文提出之控制系統搭配參考模型法
與上一節相同的條件下，使用本論文提出的新式控制器對陀螺儀作瑕疵補償，也同 時用狀態觀察器估測系統狀態。參數估測所需的兩個頻率同樣設定為3 kHz 與 5 kHz，
系統於0.2 秒與 0.6 秒時分別以 1 rad/sec 與 -3 rad/sec 的角速度轉動，以ltm31 =ltm42 =100 的設計，質量塊在兩軸的振動設定為1 mµ ，在速度量測訊噪比亦為100
表5.1 的參數模擬結果如下。本模擬中同樣假設實際系統參數偏離設計值 20%，因此觀 察器的估測初始值設定為實際系統參數的80%。
圖5.18 為控制器作用下，在旋轉座標上之陀螺
0 的情況下，以
儀質量塊的運動軌跡，與前例類似，
在完成控制的狀況下，從旋轉座標看起來的運動軌跡維持固定，並不會受到轉動的影 響，此軌跡即可視為本方法中的｢參考模型｣，縱使回授控制設計中並未設計讓系統動態 跟上此軌跡。此外，系統動態中必定不只一個頻率，與適應控制法控制的質量塊軌跡相
比，最大的不同在軌跡稍複雜，且y 軸的振幅較小。
圖 5.18： 以本論文的方法搭配參考模型的概念設計回授控制下，陀螺儀質量塊之運動
圖 5.19 為使用狀態觀察器估測到的系統動態，因為收斂的速度快，圖中顯示估測 值與
、
軌跡，X、Y 為旋轉座標。
實際值幾乎重疊，另外，由X 與 Y 也可以看出，其補償後的動態 x 軸與 y 軸的振 動頻率分別為3 kHz 與 5 kHz。圖 5.20 為使用狀態觀察器估測的系統參數，各個參數亦 皆在0.02 秒以內收斂完成，速度量測的雜訊也對阻尼項與角速度估測有顯著影響，而對 彈性係數估測的影響相對不明顯。在這個模擬條件下，0.8 秒以後，角速度估測的標準 差為 40.1 °/sec，而參數(k 、xx kyy、kxy、d 、xx dyy、dxy)估測相對於正確值的誤差為 (1.1×10−4、6.2×10−5、3.9×10−4 0.09、0.07、0.83)。
圖 5.19： 以參考模型法作回授控制下，狀態觀察器估測之系統動態。
圖 5.20： 以參考模型法作回授控制下，狀態觀察器估測之系統參數。
同樣可以將估測角速度以圖5.16 中的低通濾波器過濾，如下圖所示。由圖 5.21 上 圖，角速度估測亦會收斂至正確值，收斂時間約0.1 秒，而低通濾波器的使用也同樣會 引起些微相位落後。由圖5.21 下圖的長時間模擬中，系統於 1 秒時開始轉動，結果顯示 在這個模擬條件下，兩秒後的角速度量測的標準差為0.88 °/sec。
圖 5.21： 以參考模型法作回授控制下，狀態觀察器估測之角速度以低通濾波器過濾後 之結果。
5.4.3 以本論文提出之控制系統搭配不同回授控制比較
與上一節相同的條件下，僅補償阻尼的回授控制，以本論文提出的新式觀察器設計 作 即 時 參 數 估 測 ， 系 統 以 1 rad/sec 的 等 角 速 度 轉 動 ， 觀 察 器 增 益 則 設 計 為
。為了比較不同回授控制設計下參數估測的效能，本節假設量測無雜訊。
本模擬中同樣假設實際系統參數偏離設計值20%，因此觀察器的估測初始值設定為實際 系統參數的80%。模擬結果如下：
12
42
31 = tm =
tm l
l
圖 5.22： 以狀態觀察器搭配阻尼補償作控制回授下，觀察器估測之系統動態。
上圖為使用狀態觀察器估測到的系統動態，估測值在0.002 秒以內即收斂到正確值。由 X 與 Y 可以看出其補償後的動態在 x 軸與 y 軸的振動頻率不同外，各自仍有低頻訊號，
以阻尼補償下之系統的解析解可知，兩個較高的頻率應是由不匹配的兩軸彈性係數與耦 合彈性係數造成(或由開路系統模擬可知，兩軸的共振頻率已偏移到 2.893 kHz 與 3.758 kHz 附近，由上圖也可判斷出 X 的頻率略小於 3 kHz，而 Y 的頻率則略小於 4 kHz)，而
以阻尼補償下之系統的解析解可知，兩個較高的頻率應是由不匹配的兩軸彈性係數與耦 合彈性係數造成(或由開路系統模擬可知，兩軸的共振頻率已偏移到 2.893 kHz 與 3.758 kHz 附近，由上圖也可判斷出 X 的頻率略小於 3 kHz，而 Y 的頻率則略小於 4 kHz)，而