面積的估算教材概念分析

本研究以九年一貫正式課程綱要的數學領域能力指標「能以適當的正方形單位，對 曲線圍成的平面區域估算其面積」設計一套完整的數位指導教材、診斷測驗試題，以下 將針對面積的估測概念及其相關研究、面積概念的迷思分別探討。

壹、 面積的估測概念及其相關研究 一、面積的估測概念

估測可以分為估算(computational estimation)和估量(estimating measures and

estimating numerosity)兩種。估算是一種猜出合理近似值的技能；估量則是在不使用工 具的情形下，以某種方法推論出該度量的過程(Bright,1976)。而 James(1981)則認為估量 是用以前所形成的標準進行比較，形成標準必須靠經驗。因此，Hall(1984)認為估測是 一種可以訓練、培養的猜測活動，它能在未知數量前，進行估量的活動。由此可知，建 立一連串的舊經驗，對估測來說是非常重要的事。

面積的估測就是為了建立面積量感所從事的培養活動。例如：透過操作活動，學童 經驗到 1 公分的正方形，面積是 1 平方公分；百格板用了 100 個邊長 1 公分的正方形才 能蓋滿，所以一個百格板的面積為 100 平方公分；1 平方公尺則用了 100 個百格板才能 蓋滿，所以 1 平方公尺的面積是 100 個 100 平方公分組合起來，也就是 10000 平方公分。

透過訓練活動，使得單位間的轉換不再是「記憶公式」，而是單位量之間的「量感的轉 換與描述」。學童就容易瞭解平方公尺等於 10000 平方公分的意義，並且會選擇適切的 單位量進行面積的測量。如：測量地板面積會用平方公尺為基本單位，測量課本封面的 面積為以平方公分為基本單位（國立編譯館，1999；教育部，2000）

二、面積量感的培養與估測活動

測量在實測領域中的教學重點除了實測外，還包含了量感的培養，而進行估測活動 就是一個培養量感過程的重要方法，所以面積的估測活動在教材中應不可缺少。如猜猜 看，黑板大概要多少張圖畫紙才能蓋滿？由於兒童已經有覆蓋經驗，就能透過任何一種 包括目測和用手量的自然工具，感覺到估測一個單位量與單位數的關係；又如猜猜看，

一張色紙有多大？最後再進行實際測量，以檢驗先前的估測活動，這種先猜後檢驗的活 動，一方面既能引起兒童參與的興趣，另一方面又能培養估測能力。因此，倘若不在課 程中提供估測的教材，將更不容易培養兒童的量感，也不容易產生有意義的學習（譚寧 君，1995）。

三、面積估測概念的研究

高敬文（1989）的研究認為：面積的估測問題對學童而言，因經驗較少，故通過率 只有 32.7％。

周武男（1988）的研究指出：國中生面積估測的概念，通過率約 63％。而英國 CSMS 研究 11 至 16 歲學童的面積估測概念通過率，也只有 40％左右(Hart，1981)。

陳鉪逸（1997）的研究認為：國小高年級學童量感稍嫌不足。

譚寧君（1998）的研究指出：估測活動在一般課堂中較少進行。因此即使提供簡單 的長方形，甚至限制不可使用工具估測，通過率仍只有 60%。

陳建誠（1998）的研究發現：學童在不規則形狀的估測能力表現較差，而規則圖形

（如長方形）的估側策略大多採用直線測量法，亦即先估出長和寬的長度，兩者相乘得 出結果。

戴政吉（2001）的研究發現：四年級學童估測概念的通過率平均約 50％左右，而 且面對較大面積時，估測錯誤率較高；學童對於 1 平方公分的量感不足而導致高估面積 而錯誤。學童在進行估測時有「刪除不可能的答案」、「先估測長、寬，再以面積公式求 出」、「實際畫出單位方格，再行點數」與「先估測相鄰兩邊的單位格子數，再相乘」等 解題策略。

莊維展（2001）的研究發現：五年級學童在面積、長度、容積與重量的估量能力表 現，長度、容量與重量的估量表現優於面積的估量。

王選發（2002）的研究指出：學童對於公分或 1 平方公分的量感掌握不佳，常造成 低估物件面積的現象。若給定的面積是以平方公尺來表示，要求學童找出相對大小的物 件，則學童因單位換算錯誤，常有高估物件面積的情形發生。

綜合以上所述，學童在面積的估測問題之通過率約在 40%～70%之間；在不規則形 狀的估測能力表現較差；對於 1 平方公分的量感較差，而有低估或高估面積的現象發生。

貳、面積概念的迷思

迷思概念指的是學生在某一特定學科中，對某件事或現象所持一些有別於目前科學

家所公認的想法（謝青龍，1995）。迷思概念是思考與判斷錯誤所造成的，也是造成學 習障礙的最大原因（陳鉪逸，1996），因此教師必須瞭解學童的迷思概念，透過學童的 表現、解題策略中觀察他們的真實狀況，依照實際的情形，設計補救教學，用以導正學 生的迷思概念。

根據許多研究的資料顯示，國中、小學童在學習面積概念時，經常出現一些迷思概 念，整理如下：

一、缺乏面積的保留概念：學童容易受到視覺或圖形旋轉的影響，而無法了解面積的保 留性質，學童的面積保留概念會隨著年級的增加而有上升的趨勢，但是面積保留概 念的錯誤觀念是確實存在的。

二、面積單位的錯誤：學童對於面積單位常會和長度單位混淆，有學生將面積單位以長 度單位方式表示。學生解題的錯誤類型：單位弄錯、漏寫或單位轉換錯誤（洪義德，

2001）。

三、不了解單位與測量的關係：王選發（2002）的研究發現，六年級學生在提供單位方 格用以測量面積時，只有約三分之一的學童能察覺並掌握單位量的變化，約有三分 之二的學童沒有發現給定單位方格的大小，而直接以點數圖形的單位格子作為其面 積。

四、學童估測與實測的能力不足：學童的估測經驗或量感不豐富，導致估測能力不足，

常會有高估面積較小的規則圖形情形發生。

五、解題時依賴面積公式及不了解面積公式：高年級學童有時會為了遷就欲使用的公 式，自行更換題目中已知的條件。甚至是誤用面積公式（如該用平行四邊形面積公 式卻用成三角形面積公式）及受到題目中無關的訊息影響，選擇不相關的數字進行 運算。

六、不了解不規則圖形的面積計算：戴政吉（2001）的研究指出，四年級學童在點數圖 形面積時，會將未滿一格的圖形當成一格，或者會將未滿一格的圖形省略不計算。

綜合以上所言，譚寧君（1999）指出，往往在課本類似的題目上，不易發現學童的

面積迷思概念，教師唯有透過關鍵性的問題、加強師生互動、明白學童問題所在，才能 瞭解學童的迷思概念。