面積學習

本節文獻依面積概念、面積迷思概念、幾何教學理論三個部份來說明：

壹、面積概念：

譚寧君（1998）指出面積概念的發展從保留概念的形成到測量概念的建立是 逐步發展，而估測概念更是面積教學中不可或缺的一部份。國內外面積教學的相 關研究分析，均強調學童在學習面積時，要有足夠的面積覆蓋經驗，才能形成測 量概念，進而才能運用直線測量及公式來計算面積。教學除了包含保留概念、測 量概念之外，量感的培養也是教學的重點之一，故教學應讓學童有估測的經驗，

讓學童從單位的比較去了解面積的概念，培養量感，如此的教學才真正的達到意 義。面積為二維的量，指的是對某一特定的區域被覆蓋範圍的大小，也就是從覆 蓋活動後所獲得的抽象概念。包含了二個條件，即（1）面積是有周界的，故覆 蓋物不能超過給定的邊界；（2）面積是從一維到二維掃描的結果，故覆蓋物不 能重疊。即面積是包圍在周長裡的表面大小（葉偉文譯，2004）。

本面積概念分成「面積基礎概念」、「面積保留概念」、「面積估測概念」

與「面積測量概念」四個部份來說明：

一、面積基礎概念

面積基礎的概念包括認識垂直、平行、畫出和給定直線垂直、平行的 直線及認識形狀的區分。讓學童以非形式幾何活動提供孩子們去探索、感 覺、觀看、建造和分解、藉以觀察生活周遭的形狀，該活動包括：建構、

想像、比較、轉換及分類幾何圖形，其活動多半是實作的、有趣的進行（張

英傑、周菊美譯，2005）。

二、面積保留概念

（一）保留概念

保留概念指的是物體不因大小、方向、位置的改變而改變，此概念是 無法透過教學活動而建立，必須經過多次的經驗累積才逐步形成。皮亞傑 曾進行物體量保留概念的研究，認為面積保留是指兒童認知物件經過某種 轉換（如位置、形狀改變）後，其面積仍然保持不變的能力。例如：將一 黏土球搓成條狀，問兒童從球狀搓成條狀後黏土變多了？還是變少了？還 是沒變？結果發現五歲兒童約有 33％具有此保留概念，但將此黏土切成 好幾塊再問同樣的問題，到九歲兒童仍有許多人認為變多了，可見變形活 動與切割活動對兒童而言屬不同層次。面積保留概念是對某一封閉平面圖 形，不論形狀、位置如何改變，其面積恆常不變的認知能力。面積保留概 念包含二個不同的層次：一是基本面積保留，二是互補面積保留。基本面 積保留代表任何封閉範圍內面的大小，不因位置改變而有不同，也就是說 圖形的面積不會因為移動、轉動或切割而改變其面積大小，例如表示一個 正方形是由兩個三角形組合而成，如果移動其中一個三角形至另一側，此時 兩者面積不會因為平移或旋轉活動而有所改變；互補面積保留是指在面積 相等的二個平面上，減去形狀不同但面積相同的兩塊小平面後，其所剩下 的面積仍然相等，亦即等量減等量結果相等。

（二）計數單位量的個數：

計數單位量的個數是指在給定的圖形內，點數單位面積（平方單位格）

的個數。當圖形都是整數格，可直接點數，若圖形含有非整數格時，則需 利用面積的補償關係。

三、面積估測概念

估測是一種可以訓練猜測的活動，它能在未知數量前，進行估量的活動。

在發展量感中，估測活動是不可或缺的方法，如猜猜看黑板大概要用幾張圖 畫紙才能蓋滿？估測之後再實際去測量檢驗。可以利用自然工具，包括目測 或手量的感覺去估測單位數，然後發現單位數與單位量之間的關係，再用公 式去檢驗，此種先猜後檢驗的活動，比較能夠引起學童參與的興趣。估測可 以讓學童檢查算出來的答案是否正確，在進行面積教學時，對於面積量感的 培養，應先透過估算活動後再進行測量活動，如此才能讓學童真正掌握面積 的量感。

四、面積測量概念

（一）單位量的轉換

個別單位是測量的基本單位，但不同單位量之間的轉換，要有效掌握 單位量與單位數之間的概念。單位面積概念可透過覆蓋、拼湊、比較或切 割等活動來進行測量，其過程涉及單位數的累加與單位量的比較跟轉換。

例如有一個大正方形需 4 個小□才能蓋滿，則此大正方形面積為 4 個平 方單位，如果以⊿來覆蓋需 8 個才能蓋滿，則此時大正方形面積為 4 個 平方單位。同一個正方形，但單位量不同（一為□，一為⊿），則單位數

（一為 4，一為 8）則不同。

（二）面積公式的運用

一平面經過切割後形成獨立的封閉區域，可以分別利用直線面積測量 公式計算後組合而成，在此直線測量指的是單位在數學上的相乘關係。一 般所謂的面積公式如長方形面積等於長乘以寬，三角形面積等於底乘以高 除以二，都屬於此範圍。此範圍除了特定的面積公式之外，也包含作圖、

單位量的測量與轉換、及面積的包含關係（譚寧君，1998）。例如將等腰 三角形，分割重組為長方形，也就是將圖形重整為更容易估測的區域。由 此可知，三角形、平行四邊形、梯形面積是建立在長方形面積概念的基礎 上，再透過切割與拼湊，然後察覺出三角形、平行四邊形、梯形面積與長

方形面積相同；另外，兩個全等三角形，亦可拼成一平行四邊形，故此三 角形是長方形面積的一半；還有兩個全等梯形亦可拼成一個平行四邊形，

由此可導出梯形面積公式。如果只是記憶面積公式既多且雜，透過關係性 的了解，就會發現彼此間均是脈絡相連的。

貳、面積的迷思概念

學童對於面積所指的封閉區域內的平面大小，在學習上容易產生一些迷思概 念，包含「面積定義的誤解」、「對面積與周長的不了解與混淆」：

一、對面積定義的誤解

學童常誤以為「面」即是「區域」，不了解「區域」和「量」的關係；

學童認為有規則、有底、有高的圖形才有面積，對於不規則圖形是沒有面積 的，學童對於是否有面積常會難以辨別；有些學童也認為面積一定是很平的 平面， 像是曲面不是平平的或是立體的物體，便不具有面積；誤認為圖形 要正擺成高是鉛直或是水平才有面積；採「視覺」策略，從圖形的外觀做為 判斷的依據及缺乏等量減法的概念；在面積的初步概念，若以圖形呈現，則 學童會比對文字敘述來的容易理解（陳人豪，2011）。面積保留概念易受圖 形裁剪與擺放方式不同而產生迷思概念；兩圖形疊合比較面積大小時，學童 通常以視覺判斷面積大小；受單位量影響判斷面積的大小（李國禎，2010）。

二、對面積與周長的不了解與混淆

在面積與周長的概念，學童若對試題概念無法清楚判斷時，常以「視覺 感官」、「直覺」及「猜測」來作答；對於周長或面積等量放大後，面積或 周長的變化為何，無法做出正確判斷。錯誤類型集中在周長放大幾倍，面積 同時會放大幾倍；面積放大幾倍，周長也同時放大幾倍。在周長與面積的測 量概念方面，學童會因為誤用公式、對周長與面積概念的混淆、認為等面積 一定等周長，等周長也一定等面積及單位的認知不清等，而產生錯誤；在周 長與面積的估測方面，學童的概念偏低，學童對於估測，大多只憑藉視覺感

官做直接的判斷，而缺乏估測的量感與技巧。在周長與面積的解題應用方面，

常會忽略重要的線索或無法理解題意，而產生解題上的疑惑（陳人豪，2011）。 對於單位方格非 1 平方公分時，易忽略其單位量，而以 1 平方公分來計算；

對於題目只指出單位方格的邊長，求面積時，學童會將單位數乘以邊長；將 長度單位關係和面積單位關係混淆，而認為 1 平方公尺等於 100 平方公分；

混淆周長與面積，誤認為周長和面積相同，或受題目中無關條件的影響，會 有誤用面積公式情形；誤認為高一定要在鉛直線上或水平線上、或圖形的高 均是從頂點到底的距離；量感掌握不好，會將小面積圖形的面積高估，大面 積的物件低估；點數不規則圖形面積方格時會將不滿一格的部分或面積較小 的部分省略不計；因缺乏單位換算的概念，認為 200 平方公分比 1 平方公 尺大的錯誤想法（許嵐婷，2003）。在周長的意義上有迷思，許多學童認為 周長一定是要直線；學童在周長與面積間有錯誤的直觀迷思概念；許多學童 將周長與面積混淆，並用線性單位測量（李國禎，2010）。

叁、幾何教學理論

一個好的幾何課程應該著重在「關係和理解的發展；不是只狹隘的著眼於辨 識形狀、列舉特色、和背誦專有名詞和定義。」根據 Suydam（1985）的理念，

幾何學教學應包括：發展邏輯思考能力、對空間的直覺觀察力，教導相關的數學 知識、能閱讀並從數學上論點做解釋。（引自謝如山、謝名起、謝名娟譯，2002）

一、皮亞傑認知概念理論

皮亞傑（Piaget, 1896-1980）是瑞士的教育心理學家，他的認知發展理 論（cognitive development） 是近代認知心理學中最重要的理論之一。皮亞 傑根據他長期對於兒童的觀察與研究，認為兒童的認知發展係依照感官動作 期（sensory-motor period）：出生到一歲半、前運思期（preoperational period）：

約一歲半到七歲、具體運思期（concrete operation period）：約七歲到十一 歲、形式運思期（formal operation period）：約十二歲到十五歲， 循序發展

而來的。任何人的成長都需經歷此四個階段，其成長的快慢可能因為個人或 文化的背景不同而有差異，但因每一階段的發展都是後一階段發展的基礎，

而來的。任何人的成長都需經歷此四個階段，其成長的快慢可能因為個人或 文化的背景不同而有差異，但因每一階段的發展都是後一階段發展的基礎，