數學學習的相關理論探討

有關於數學的學習理論中，以吸收論與建構論的觀點來看數學；「吸收論」基 本上是屬於行為主義觀（Behaviorist Theories），以為代表人物桑代克（Edward L.Thorndike）、斯金納（B.F. Skinner）、葛聶（Robert Gagne）（Post, 1988; Van De Walle, 1990）。持吸收論者視數學是一組事實（facts）與技能，數學學習之主要目的乃在 獲得這些事實與技能。「建構論」是屬於心理學派的論點，主要代表人物是皮亞傑

（Jean Piaget）、卡密（Constance Kamii）、狄恩斯（Zoltan Dienes）、布魯納（Jerome Bruner）等人，建構論者認為數學是一組「關係」，這種關係必須由學習者內在心 靈去創作，因此在教學上十分強調理解，認為學習的過程重於學習結果的獲得（周 淑惠， 2007）。研究者進ㄧ步將兩者的差異進行整理如下：

表 2-3 吸收論與建構論比較

吸收論 建構論

代表人物 桑代克（Edward L.Thorndike）

斯金納（B.F. Skinner）

葛聶（Robert Gagne）

皮亞傑（Jean Piaget）

卡密（Constance Kamii）

狄恩斯（Zoltan Dienes）

布魯納（Jerome Bruner）

認為數學 事實（facts）與技能 數學是一組「關係」

教材組織 透過工作分析（taskanalysis），有組 織、有順序地呈現， 要的角色，俄國 Vygotsky 是統整這兩種力量的主要理論學家（王珮玲，1997）。

本研究因以學習區的學習環境佈置為主，因此在有限的文字中，僅以 Piaget 的建 構論及 Vygotsky 的社會建構論為探討的重點，做為觀察學習區幼生的學習表現提 供不同幼兒的學習需求，老師的角色可以依照幼兒的個別差異進行不同程度的介

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入或引導。以下就針對相關理論進行探究：

一、闡述 Piaget  之建構論 

建構論的代表 Piaget 是近代教育貢獻極大的認知發展論者，在學校課程，教 學方法、臨床心理學、學習理論等都有重要的影響，他一直在日內瓦進行研究的 工作，1896 年出生直到 1980 年去逝享年 84 歲，他運用生物學的基礎將心理學的 理論歸納於生物學的理論之中，並且運用臨床心理學的技巧來探討這些問題，為 心理學、教育等奠立深厚的理論基礎。

（一）認知發展階段與特徵

皮亞傑的認知發展理論中重視自我協調，自我協調代表人在面對不能理解 的事物時，一種主動找尋新的推動模式的認知本能。自我協調是促進孩童認知

成長的原動力，也是人在學習及瞭解新事物時的認知模式。其中最為重要的即 是同化（assimilation）與調適（accomodation）。皮亞傑認為孩童在成長的過程 中不斷的與外界環境互動產生刺激，例如物理經驗的獲得在人與人之間的交 流，對外界的事務進行主觀的解釋與選擇等，在加以配合新的情境進行認知的 調適。這些外來的刺激會使幼兒本身的認知基模產生不協調的現象，當接觸到 新的經驗時，舊有的知識觀念就必須同時做適當的調整，頭腦中便會根據舊有 的知識去解釋這些外來的訊息，整合到原有的基模或認知結構中，這便是同化 的過程。但是若與原來的知識資訊產生衝突時，大腦中便會開始修正原有的認 知結構再進行重新解釋外來的訊息，這便是「調適」的過程。「同化」與「調 適」之間是並存而且是雙向的，當外來的資訊不斷藉由自我協調的作用加以整 合時，學童的認知結構便不斷的改變而成長（黃湘武等，1991）。

Piaget 認為人在認知的過程中，不單只是被動的接受外來的訊息，而是主 動反應，以實際或想像來操縱它的變化，他強調「嘗試錯誤」的必要性，認為 一個完整的認知過程應該包含三項步驟（歐陽鍾仁 1995）：

1.了解問題的需要。

2.建立解釋的假設。

3.進行試驗以證實或修改假設。

皮亞傑根據他長期對於兒童的觀察與研究，認為兒童的認知發展係依照感 覺動作期（sensory-motor period）、運思前期（preoperational period）、具體運思 期（concrete operation period）和形式運思期（formal operation period）循序發 展而來的（Piaget,1974）。任何人的成長都需經歷此四個階段，其成長的快慢可

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能因為個人或文化的背景不同而有差異，但因每一階段的發展都是後一階段發 展的基礎，本研究將以具體運思期以前的範圍進行探討。

運思前期（二歲至七歲）：

在此階段，語言的能力持續的快速發展，逐漸的發展出表達概念的詞語，

例如輕重（重量）、大小（尺寸）、早晚（時間）、方形圓形（形狀）等。

另一個重要的特徵是「自我中心」（centration）。當物質改變了外型或改變 放置的地方，幼兒會以為物質的數量也隨之改變。例如將兩個相同量的液體放 在細長型以及寬短型的容器中，問幼兒：「細長型的容器裝的液體多還是寬短 型的容器裝的液體多？」幼兒通常會回答「高的瓶子比較多」，此時他的焦點 已經擴散開來了，有時只會注意到高度的改變，有時則只會注意密度的改變。

當物質外觀改變時，他們無法記住物體原本的樣貌，這是因為缺乏「可逆性運 思」（reversility），也就是不能在心中回想改變的過程。缺乏「保留」（conservation）

是前運思階段一個重要的特徵。但此階段所使用的計數、一對一對應、形狀、

空間和比較的概念，會逐漸發展成為「保留」的概念。亦可說這些概念是幼兒 具備「保留」能力的先備知識。此外在此階段幼兒已發展出了排序（seriation）

和分類（classification）的能力。

具體運思期（七歲至十一歲）：

在此階段的兒童已發展出「保留」的概念，遇到物體外觀有所改變時，可 以在心中回想出物體原來的樣子。在這個階段能從事邏輯的思考但仍須透過具 體事物的幫助。能夠理解數學上的可逆性，可以由甲大於乙推知乙比甲小。因 為已經具有數字的保留概念，因此，幼兒可以處理數字符號並瞭解數學運算的 實質意義。除此之外，在此階段兒童還會發展出分類、列序、數量的具體運思 能力。

（二）Piaget 認為影響認知發展的因素：

影響認知的重要因素有 1.成熟：由於基因（gene）與環境交互作用而成的 一種發展，像是神經系統的成長與內分泌系統的發展等，兒神經系統的成熟僅 止於某個階段，整體發展的可能或不可能，其可能係仍須仰賴特殊社會的安 排，始知與環境發生交互作用；2.物理經驗：稱為「簡單的抽象作用」（simple abstraction）、「證驗的抽象作用」（empirical abstraction），係指兒童對環境中的 物體、不斷採取行動，以探索其特性而言。也就是說，經驗的資料必須以較廣

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的知能為參照體系，予以解釋，才能成為知識；3.數理經驗：亦可稱為反省的

「抽象作用」，可以從行動的組織歷程中、行動的協調中，獲悉物體與物體間 存在的抽象關係，其兩項顯著的特性：第一、數理經驗仰賴物理經驗而來，去 超越了物理經驗；第二、數理經驗促使兒童進一步認識所生存的環境，增進生 活充實，因此強調兒童必須自己從事學習的理由；4.社會交互作用與傳遞：主 要是指社會關係、教育與語言的運用而言。舉凡父母未子女解惑、兒童自行閱 讀所獲得的知識、在班級中老師進行教學、同儕間互相討論都是，運用語言、

文化、教育等媒介在社會上形成的相互作用以及社會傳遞。會因時代不同而有 所不同，若兒童的態度趨向主動類化，則社會化作用的效果會更理想。5.平衡 作用：以同化與調整係位於活動的兩端，構成「正」、「反」的一類，最後由於 平衡作用的影響，得以「合」成穩定的狀態，也就是說平衡作用是由於認知結 構與外界環境二者之間的不平衡，而試圖維持穩定狀態的 一種調節作用（王 文科，1983）。

（三）Piaget 對數學的看法：

對於數概念的獲得，Piaget 指出：「假定幼兒只是從教學中獲得數概念和其 他數學概念，那是一個極大的錯誤，相反，在相當程度上，幼兒是自己獨立地、

自發地發展這些觀念和概念」，也就是說，幼兒頭腦中的數概念不是來自書本，

也不是來自教師的解釋，而是來自當幼兒對其生活的現實進行邏輯數理化時的 思維，是在邏輯數理經驗上透過反省抽象而建構的（朱家雄，2006）。

二、後皮亞傑（post-Piaget）的觀點 

兒童的數學教育，皮亞傑的建構論一直佔有極大的影響 （Kamii,1985），但 是過去二十多年來許多研究者開始重新解釋許多皮亞傑提出的的概念。Gelman 以及 Gallistel 對幼兒數概念發展與 Piaget 不同的地方在於，如果只知道學前幼兒 是否通過保留概念的測驗是沒有意義的。他認為，沒有通過保留概念的孩子，不 代表在該年齡不具備數概念，其對數的理論著重在兒童具備的數字能力與知識。

Gelman 與 Gallistel 透過給予三、四歲的幼兒玩具老鼠，並且改變老鼠之間的距 離長度，結果發現幼兒在三、四歲時也可以對物體數目持恆。根據 Gelman 的說 法，有些幼兒無法通過保留概念的測驗，是因為孩子很有可能是受了情境或是其 他因素的影響，導致幼兒只注意一些無關的特徵，反而對於相關的數量關係沒有 注意（周淑惠，2007）。

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再以皮亞傑典型的數量保留試驗為例，兒童要到四至五歲才能對數字感有所 認識：梅勒（Jacques Mehler）與畢佛（Tom Bever）在一九六七年發表的研究成 果指出，皮亞傑的數字保存試驗因內容或兒童動機程度的不同而出現極大的差 異，研究人員給相同的二至四歲兒童進行兩種不同的試驗，在頭一個試驗中實驗 人員將兩排彈珠排在桌上，一排較長一排較短，較短的一排有六顆彈珠，但是較 長的一排只排四顆，當兒童被問及哪排彈珠較多時，大多數的三至四歲兒童會答 錯；在第二項實驗中梅勒與畢佛將彈珠換成可口誘人的巧克力糖粒，同時，兩位 科學家也不問兒童複雜的問題，只讓他們挑選兩排中的一排吃下，這項過程可排 除語言理解障礙，且能提高而同挑選較多巧克力糖的動機，果不其然，一換成糖

再以皮亞傑典型的數量保留試驗為例，兒童要到四至五歲才能對數字感有所 認識：梅勒（Jacques Mehler）與畢佛（Tom Bever）在一九六七年發表的研究成 果指出，皮亞傑的數字保存試驗因內容或兒童動機程度的不同而出現極大的差 異，研究人員給相同的二至四歲兒童進行兩種不同的試驗，在頭一個試驗中實驗 人員將兩排彈珠排在桌上，一排較長一排較短，較短的一排有六顆彈珠，但是較 長的一排只排四顆，當兒童被問及哪排彈珠較多時，大多數的三至四歲兒童會答 錯；在第二項實驗中梅勒與畢佛將彈珠換成可口誘人的巧克力糖粒，同時，兩位 科學家也不問兒童複雜的問題，只讓他們挑選兩排中的一排吃下，這項過程可排 除語言理解障礙，且能提高而同挑選較多巧克力糖的動機，果不其然，一換成糖