數感的探討

Dehaene（2001）與 Wynn（1992）發現，即使是 3、4 個月大的嬰兒就具有 數感、就能分辨 1＋1＝2、2－1＝1，也就是研究發現在年幼的孩子就已經開始發 展數感（莊麗娟，2008）。Griffin（2004）針對一年級及幼稚園的學生所做的數感 計畫，認為數感是可以教的。透過文獻對「數感」的探討進一步瞭解，分為四個 數常識（李茂能、李威進、楊清德，2006）；數感（林素微，2002；應雅鈴，2007；

張慧貞，2005；陳美惠，2006）等,由此發現近年來都是使用數感，因此本研究也 Resmck

（1987）

數感無法明確的定義，然而，列出幾個重義特徵卻是容易的，當 我們要做時，我們會注意到雖然無法明白地定義它，但是當數感 發生時我們可以辨識出來。

Gagn'e 等人（1993） 數感是指：使數與數系統產生意義的概念（idea）

Resnick（1989） 1.數感非算則化的。

2.數感是複雜的。

26 表 2-4（續）

Reys（1994） 數感不是一個有或無的實體，但卻是一個顯著經驗及 是發展及成 熟的歷程。

Trafton（1989） 數感是一種展現（somedning that unfold）而不是一種可以直接被 教的事（something that is taught directly）

Sowder（1992a） 數感和問題解決同樣的地方是兩者都在呈現一種特定的思考方式 而非一種可以由他人傳輸的知識本體。

Thompson 與 Ratmell（1989） 數感包含

1.數的意義與關係 2.數的相對數量 3.數運算的相對效果

4.生活環境中，各種事物的數量參照標準 資料來源：林素微（2002：14-15）

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總而言之，數感是一個廣泛的概念和能力的表現，能夠真正對數字意義的理 解與運用，並且能在不同的情境、形式下對數的瞭解與判斷，以及運用有效的策 略。

此外美國加州針對幼兒在接受幼稚園教育後，應該瞭解日常生活中較小的整 數、量和簡單的圖形，他們進行數數、比較和分類描述等，發展出學習的內容和 方式，在數學概念數感的教學目標如下表示（California Dept of Education, 2003）：

（一）學生要瞭解數與量彼此間的關係。

1.從一樣多，比較多或比較少的量詞比較兩組以上個體間的數量(每組在 10 以內)。

2.對物體數數、辨認、描述、命名和利用數字排序(30 以內) 3.知道使用較大的數字來表示群體中的物品數量。

4.學生要瞭解和敘述簡單的加、減法。

5.運用具體物來回答兩數之間加減問題的答案(10 以內) 6.學生利用 1-10 數字進行判斷和解決問題的策略。

7.辨認出合理的判斷。

國內學者李威進、李茂能、楊德清在 2006 年所做的「完成九年一貫第一階 段學童數常識表現之研究」所歸納的數感理論架構：1.瞭解數與運算的基本意 義；2.數與運算的多重表徵；3.數字的分解與合成；4.運算結果的合理性判斷；

5.比較數字的相對大小等。

綜合各學者的觀點，發現非常著重經驗與運用、理解與表達，與國內學者 的見解也有相同的精神，因此本研究將採用李威進、李茂能、楊德清（2005）

所做的「完成九年一貫第一階段學童數常識表現之研究」所歸納的數感理論架 構：1.瞭解數與運算的基本意義；2.數與運算的多重表徵；3.數字的分解與合成；

4.運算結果的合理性判斷；5.比較數字的相對大小等，以此架構為數感的觀察研 究內容。

（二）數感的重要性

目前國內數感的相關教材不多，而且國內的國小數學教學仍然以紙筆計算為 主，常使學生不會將所學的數學知識跟生活情境做結合，進而對學習數學喪失興 趣，有趣的數感教學活動可以使學生更了解數字的意義，並且能使數字跟生活中 的數字兩者連結，數感的教學要在日常生活中持續不斷的進行，使學童領悟到數 字和生活是密不可分的。吳明隆、王玉珍(2005)在國小三年級學童數感表現之個

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案詮釋研究中提到：「樂於參與討論，而且能夠堅持參與活動的學生，數感表現 進步最多，良好的學習態度亦會影響學習的成效」。九年一貫課程綱要（教育部，

2003）數學領域之精神強調數學教學應生活化，應該培養學生帶著走的能力，注 重學生的創新表現、思考、溝通推理等能力，並將數學運用於日常生活中，而數 感的學習精神，正是提供學生如此的學習空間。

Ekenstam（1977）表示：缺乏數字感代表什麼意義？表示有無法超越的障 礙去學習數學。就像會唱數到 100 的幼兒，不代表他就瞭解 10 的意義。根據美 國國家數學教師協會（National Council of Teachers of Mathematics，NCTM）在 1989 年出版的「學校課程評量標準」中指出具有良好數感的兒童應具有以下特 質：

1.對於數的意義有充分的理解。例如：能說出 5 比 3 多 2 或 5 與 3 之間還有 的數。

2.發展出數與數之間多重的關係。例如：能理解 3＋2＝5 和 2＋3＝5 是一樣 的。

3.辨識數的相對大小。例如：知道 6 比 3 大，所以 3 比 6 小。

4.知道數運算對數字的影響。例如：10-2 比 10 大或小？

5.發展出生活中參照基準：哥哥買一個小熊要 4 元，和一個玩具要 9 元，哥 哥要拿多少元出來？可用 5 元和 10 元做一個參照基準。

NCTM 又在 2000 年出版的「學校數學原則與標準」中，在幼稚園至十二 年級的數學教學中，希望培養學生具有下列能力：（1）透過溝通來組織與鞏固 思考。（2）能與同儕、老師和其他人調理分明溝通數學思考。（3）可以分析他 人的數學思考和解題策略。（4）能以數學語言明確表達數學概念。提到發展數 感是數學教育中的核心課題之一，並且在「數與計算」課程標準中明白指出：

這個標準主軸在於發展學生數感的能力，可見對其數感發展的重視。

三、數感的相關研究 

Griffin（2004）針對一年級及幼稚園的學生所做的數感計畫，認為數感是可 以教的，只要了解學生數感的發展層次，並給予較高層次的數學學習，學生將會 獲得數感，並且提到三項教學目標：1.豐富的活動來連結：提供豐富的活動使學 生接觸數學的三個領域---數量、計算、符號，並且提供多樣的機會讓學生連結這 三個領域的關係。2.探索和描述：每個孩子主動的參與活動，利用口述或是寫下

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的方式描述他們的活動，並在教師的指導下促進對話。3.合適的概念順序：使學 生能使用他們正確的瞭解，在下一階段建構新的瞭解。

Bruner（1997）研究指出，大部分的兒童在進入幼稚園之前透過父母和兄弟 姊妹的互動而非正式地習得此概念結構，其他尚未習得此概念的兒童則需要透過 正式教育來習得。例如剛進入幼稚園的幼兒，數感的程度不同，在面對問題的解 決方法就會出現差異，例如：午餐後拿取水果小番茄的數量 5 顆，能力比較好的 就可以正確拿取，尚未有此概念的就會出現多於 5 或少於 5 的情況。

Griffin 等（1994）發現數數能力相當，而且也都透過視覺化教具的練習後進 行簡單的加法問題，在剛上幼稚園的學童對於「5 和 4 哪一個數較大？」的表現 有相當的差異，高社經家庭的幼兒正確回答比率為 96%，而來自低社經家庭的幼 兒答對比例僅有 18%。因此也可以看出數學能力在不同的環境下，對幼兒的能力 表現有明顯的差異。

從 Peterson、Fennema 與 Carpenter（1991）的認知引導教學（Cognitively Guided Instruction, CGI）方案中發現，一年級的教師運用認知科學（尤其是兒童如何解 決加法和減法的問題）的知識來重新結構他們的數學，這樣不同的改變，整個數 學成為學生本位的教學而不是教科書或課程本位。兒童沒有學習運算規則的程 序，但是對在第一年學習的兒童明顯對數學的理解有深度的發展，並會運用他對 數的理解，以自己的策略解決數學的問題（引自林素微，2002；33）。

楊德清（1999）進行數感的調查研究，發現學生的數感能力並不會隨著計算 能力精進而成長。也就是說計算能力好的學生，不見得數感表現就好，這也就是 過於偏重記憶與計算的精熟，而比較缺乏引導學生去發現數字的關係與運用。研 究者看到一位學生，已經學習到國小四年級的數學程度，考試表現也在 90 分以 上，可是在生活中面對一塊板子，要畫成 49 格的西洋棋盤，這時候他不知道該怎 麼進行？只要將需要的長度除以需要的格數、再進行測量，做記號畫出格線即完 成，其中除法的技巧早在二、三年級就已經教過了，但是卻不會加以運用，所以 在數學課程發展中，除了計算能力的技巧之外，更應該加強對數的理解與使用，

如此更能讓學生發現「數」是拿來生活中使用的，而不只是考試用。

從幼兒開始培養其關心週遭事物的態度，並從日常生活中觀察事物的變化及人類 的行為，以提升幼兒思考的能力，並運用數學相關概念解決生活中的問題，則是 幼兒教育不可缺少的一環（盧美貴，2003）。根據曹雅玲（2006）整理 Gurganus

（2004）提供可促進數感發展的方法，研究者將針對幾項在研究場域也可能會發

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生的相關活動進行說明：1.從日常生活的經驗中舉出成對的數。例如一輛腳踏車 有兩個輪子，三輪車有三個輪子、轎車有四個輪子，像這樣有意義的物品，可以 幫助兒童瞭解數字、數字的大小；2.語言可以逐步的將數與符號結合。例如一隻 青蛙四條腿，兩隻青蛙八條腿；3.以「數數」做為課程進行前的暖身活動。例如 從 1 數到 10，在從 10 數回 1，或從 30 到 40 等，先往上數再往回數的活動，可以 建立對數關係及其大小的瞭解；4.從數的規律延伸數數活動。例如「5、10、15、

20…….」規律是什麼；5.設計估算的經驗。根據不同的情境給予學生經驗進行估 算，以產生合裡的估算值；6.使用數表（number chart）。例如將 1 到 100 的數以 10 為一行，構成一百的數字表，學生可以觀察質數的相關概念，及其組成之關係；

7.使用各種與數或數相關的工具。例如骰子、骨牌、紙牌、硬幣、鐘或尺等，都 是非常適合進行學生數數，瞭解數的形式、數的運算以及數的比較；8.閱讀書籍。

7.使用各種與數或數相關的工具。例如骰子、骨牌、紙牌、硬幣、鐘或尺等，都 是非常適合進行學生數數，瞭解數的形式、數的運算以及數的比較；8.閱讀書籍。