數學學習相關理論

根據教育部（1993）所提出的國小數學新課程，其教育理念強調數學 知識是建構與理解，因此數學學習的理論與建構理論有密切的相關，而建 構理論和鷹架理論也有其關聯性，本節依建構理論、建構學習理論和鷹架 理論加以闡述說明。

壹、建構理論

建構主義是西方近數十年來興起的一套認識理論，主張不論是個人私 有或公眾共有的知識，均係由人類所建構出來的；提供人類如何學習與認 知本質的解釋，認為學習是主動參與及發展的過程。此過程 是由學習者主 動自環境中獲取知識，及應用知識的歷程。每個人都會建構出他自己對周 遭環境的心智模型（或基模）（張春興，1996），並且用他現有的心智模型 來解釋和了解新的經驗。科學知識或數理概念架構是暫時性的，會不斷地 被修正和成長（郭重吉，1993；黃萬居，1997）。

建構主義基本上是在解釋「知識是什麼？」和「學習是什麼？」的一 種理論模式，張靜嚳（1995）將建構主義整理為三個基本原理：1、知識是 認知個體主動的建構，不是被動的接收或吸收。2、認知功能在適應，是用 來組織經驗的世界，不是用來發現本體的現實。3、知識是個人與旁人經由 磋商和解的社會建構。建構主義雖有不同的主張，但大體來說可區分為三 大派別：傳統建構主義（trivial constructivism）、個人建構主義（radical constructivism）和社會建構主義（social constructivism）（張世忠，2000；

張靜嚳，1996）。

曾志朗（1997）指出「老師說，學生聽」的傳統教學法並不能保證學

輔助學童建構數學知識的一種教學策略，利用孩子協助孩子影響其數學習 的成效。

貳、建構學習理論

建構主義的學習理論在於學生如何以自己原先的知識基礎來進行新事 物的學習，學習是經由主動參與及發展的過程，學生主動自環境中學得新 知識及應用知識的歷程（黃世傑，1995）。

建構主義的基本觀點是指從個體本身既有的舊經驗中建構與外在互動 學習的結果，將知識建構有意義的行為模式上（陳嘉彌，2003）。曾志華

（1997）則將建構主義的科學學習觀歸納為強調學習者的經驗、注重以學 習者為中心、製造衝突的學習情境、尊重個人意見或原始想法、注重互動 的學習方式等五項。陳嘉彌（2003）指出建構主義的學習觀點包括情境學 習、反思學習、合作式社會互動學習、學習型組織等四項。根據以上所述 建構主義的學習觀點重視學習前既有的先備知識，在既有的經驗上，透過 主動式的學習、反省思考，營造有利的學習情境，並和同儕合作互動，形 成學習型組織，進而建構自我的知識體系。

建構主義的學習主要強調以「學習者」為中心的主動學習， 強調重視 學習者與環境間的互動，並重視學習者原先的先備知識。陳品華（1997）

指出建構式的學習歷程為一衍生式的學習。方建良（2003）認為應鼓勵學 習者依自己的經驗主動建構知識。

建構主義認為學習者是主動的，其經驗是學習者認知的要件，鼓勵學 習者在認知過程的主動參與，當兒童生活經驗逐漸開展時，一層一層的概 念就在先前概念的基礎上被建構。Glastersfeld (1995) 認為人的知識形成，

是經由認知主體主動建構而來，而非被動接受。主動的學習方式提高學習 者的動機，並養成他們主動學習的能力，因為他們擁有學習的所有權。

建構主義的教學策略，簡單地說就是以學生為主的教學活動，在教學 過程中強調學生與學生、學生與情境以及學生與老師的互動關係，讓學生 主動參與，在這種學習歷程中，學生以原有的經驗為基礎來進行新事物的 學習，亦即透過同化或調適的認知歷程而達到真正的學習（黃世傑，1995；

劉錫麒，1993）。建構主義以學生為本位，著重學生數學態度的培養，強調 的是一種全人的教育，使其產生有意義的學習，以及配合社會需求等趨勢 彼此相互呼應（周筱亭，1995）。個體要學習到有意義的知識，這種知識必 須來自當事者相關的情境，同時依靠適當的情境來連結整（陳嘉彌，2003）。

甯自強（1993）指出，透過溝通可引發學童尋求共識，進一步形成約 定俗成的產品，透過不同解題活動類型的比較，則可尋求更具效率的而且 有意義的特定活動。陳嘉彌（2003）主張透過合作互動學習，利用時間和 耐心培養彼此之間的關係默契，成員之間相互依賴、支持、協助、鼓勵，

使學習者在活潑化的學習過程中建構知能。

學習型組織要義以美國管理學家 Peter Senge 在 1990 年所發表的《第 五項修練：學習型組織之藝術與實務》為宗，提出以「系統思考」、「自我 超越」、「改善心智模式」、「建立共同願景」、「團隊學習」等五項修練為內

能力外，近年來也開始著重溝通、討論及連結等能力的培養，而且強調應 讓學生在具體情境中去實際經驗並建構自己的知識。每一個人所建構的知 識，與其個人經驗有關，而個人經驗的學習過程又與其學習媒介及他人間 的互動，有著極為密切的關聯，也就是學習與知識發展不應是互為獨立的，

而是一種複雜的組合過程（Fosnot, 1996）。所以應用建構理念實施教學，

首先要瞭解知識是可以由學童自行建構，並且重視學生學習前的先備知識 與舊有經驗，結合其生活經驗及體會，透過同儕的互動來營造有意義的學 習情境，激勵學童主動學習的意念，並強調知識建構的學習歷程，使學習 者在有意義的情境中主動去探索與解決問題，建構自我的知識架構。

參、鷹架學習理論

Bruner、Wood 和 Ross（1976）延伸 Vygotsky 的「近側發展區」（Zone of Proximal Development, ZPD）的概念，提出了「鷹架（Scaffolding）」一 詞，而所謂「近側發展區」指的是學童的能力有實際發展能力和潛在發展 能力兩種，而每一個學童在實際發展能力和潛在發展能力之間，所存在的 一段待發展的距離，就是所謂的「可能發展區域」（引自李曉嵐，2005）。

Dyson（1990）認為應該包含「垂直」與「水平」兩個層次，「垂直鷹 架」，就是將學習內容配合學習者的需求加以結構化處理，並在教學互動中 鼓勵學習者認知的複雜化，以培養其應用能力，亦即教師在教學前須先了 解學習者的真實發展區之所在，規畫課程及設計學習內容，並在學習活動 進行中根據教師教材的內涵提供協助；而「水平鷹架」，則是強調學習的內 容，應配合學習者的社會背景和經驗，而不是孤立的教學支持（引自陳育 琳、徐照麗，2007）。由此可知，水平和垂直學習鷹架理論是基於考量學習

者的意願，並透過教師及同儕的協助與合作，加強和延伸學習者的學習及 思考，而能促進學習者可能發展區的發展。主張同儕之間的對話，透過溝 通進一步審視學習者自身的認知概念，進而強化或澄清原先的知識結構。

Doolittle（1998）提出可能發展區的動態發展，他認為在學習的歷程 中，教師與同儕的協助提供了鷹架的作用，激發學生在可能發展區的學習，

此時的可能發展區在師生的互動中，處於不斷發展前進的歷程，到了末期 的學習，學生的可能發展區可以超越任務所要求的水準，不再需要教師或 同儕的協助，也就是說個人已具備獨立完成任務的能力（引自徐椿樑，

2001）。

Cazden（1988）就 Vygotsky 的「近側發展區」概念提出教學活動時，

教師及學生對學習工作責任分配之基本架構圖（參見圖 2-1），指在通過可 能發展區時，由教師提供暫時性的支持為導引，來協助學生能力的發展，

這暫時性的支持可能是一種教學策略或教學工具，在個人的可能發展區不 斷發展的歷程中，教師應隨時監控學生的學習，提供適當的協助，並隨著 學生能力的提昇，逐漸將學習責任轉移至學生身上，最後讓學生能主導學 習，並經由學習建構出屬於自己的知識，因此，隨著鷹架的撤除，學習的 責任也由教師遷移到學生身上（引自李長燦，2003）。

圖 2- 1 鷹架概念學習責 任分配的基 本架構 資料來源：李長燦 （ 2003： 43）

鷹架理論與認知學徒制中的部份理念有相關，促使學習者不斷地成 長。Collins、Brown 與 Newman（1989）認為認知學徒制的教導方法應藉 由示範、指導、反省、闡明、探索之步驟來進行（引自田耐青 1996；何俊 青，2004）；而它也反映出建構主義的幾個精神：（1）認知學徒制強調社會 互動，由有經驗的教師提供學習者主動建構知識的參考架構。（2）闡明的 過程是一個自我實踐的歷程，由學生獨立完成思考活動有助於將學習活動 內化至研究者的認知架構中。（3）認知學徒制主張反思與探索，由反思與 探索的過程中，學習者可以持續的對學習活動的內容賦予新的意義（陳嘉 彌，2006，2007）。

練習或 應用

由老師承擔 責任 師生共同承 擔責任 完全由學生 承擔責

完成工作的 責任比例

教學示範展 現

逐漸釋放責 任

引導練習

學習是個體同化內在的結構知識，教學活動的進行就是要有意義地促 進學習的活動。因此，只注重以教師為主的教學活動，在忽略學童認知發 展的情況下，是無法讓學童真正瞭解學習的價值、知識的意義。基於建構 主義及鷹架學習理，強調以學生為主體、由學生自行建構知識，提升學在 教學活動中的地位，讓教與學二者並重並行，並透過教師的引導和同儕之 間互動合作，教與學的過程中結合學生的先備知識，形成個體的認知結構，

如此才能創造有意義的學習。建構主義和鷹架學習理論均符合同儕教導與 學習的理念和方法。