數學文字題之相關研究

文字題（word problem），一般稱為應用問題，在數學的學習與符號的表 徵中，扮演重要的角色。文字題的解題過程十分複雜，非單純的數字與符號 的運算，是需結合各項技能的；同時，解題能力是包含複雜心理歷程的整體 數學能力的展現，文字題的功能不僅可以教導學生問題解決的技能，同時亦 可闡明數學概念及加強數學概念的應用，藉此可加深學生對數學概念的瞭解 及數學符號處理的能力，因此，文字題在數學教學中，佔有重要的地位（陳 立倫，1999；黃明瑩，2000；謝慧齡，2004）。

一、數學文字題的意義

當我們要讓兒童學習任何概念，都不適宜直接教學，而是讓兒童在面臨 日常問題後思考解決的辦法，並在解決問題的過中發現概念、發展數學能 力；學習數學概念時所遇到的問題通常較簡單，以發現概念為主，但在日常 生活中所遭遇的問題就較複雜，這類問題通常以文字題形式出現，有時會需 要較多的步驟才能解決（蕭毓秀，2001）。

數學文字題是結合數學知識與語文技巧的問題，一般而言解決應用問題 常須要結合理解能力（comprehension）與計算能力（computation）（Gagne，

1985，引自唐淑華，1995），故解數學文字題是一種整合語文能力與數學能 力的綜合活動。學生在解數學文字題時，不僅要能熟悉計算的過程，還需先 了解問題中的陳述，回憶或激發出相關問題的基模（schemata），理解問題 的要求及連結相關問題的知識結構，並建構出足以表徵此問題的模式，最後

學知識加以統整，並且將所所建構的數學知識靈活的應用在生活中（古明 峰，1998b；林清山，1995；涂金堂，1999；陳世杰，2005）。Jarmila 認為文 字題是對概念錯誤的學生施行再教育及克服學習障礙的一種診斷工具，所以 解數學文字題除了必須了解基本的概念外，更需要一些語文與處理數字的技 巧（引自蕭毓秀，2001）。

二、數學文字題的分類

數學文字題的分類有著不同的標準，蕭毓秀（2001）在其研究中將數學 文字題以「情境」、「語意結構」、「運算」、「教學層面」及「文字題性質的變 項」來作為分類標準，而尚有其他學者有不同的分類法。以下分別介紹此些 分類。

(一) 依「情境」（situation）分類

解題者對於文字題中所描述之情境，會因解題者之舊經驗不同而 有不同程度的理解，因而影響解題者的解題表現（蕭毓秀，2001）。而 Marshall（1995）提出文字題可依下列三種方式進行分類，一是故事情 境的表面特徵（surface feature），例如不同脈絡的故事；其次是故事情 境的語法特徵（syntactic feature），例如故事文章長度、用詞的複雜度、

運算的數字等；第三類則是故事情境中所表達的關係是否相同等。

本研究針對「情境」為標準，將文字題分為「傳統數學文字題」

與「有情境的數學文字題」兩類，此標準即Marshall（1995）所謂的語 法特徵；以故事陳述的方式描述真實情境中的事例，利用情境化的問 題，讓解題者的思路能順利進入真實情境中。

(二) 依「語意結構」（semantic structure）分類

語意結構取向是指根據文字題所呈現的內容、句子語言關係，將 題目歸類為不同的類型。以語意結構分類，分別有研究者提出不同的 看法，如Carpenter 和 Moser（1984）將加減法文字題分成「改變類」、

「結合類」、「比較類」、「使相等」等四類；Marshall, Pribe, 和 Smith

（1987）則將文字題分成「改變類」、「結合類」、「比較類」、「變異類」、

「轉換類」等五類；Fuson（1992）將文字題歸納為「改變類」、「結合 類」、「比較類」等三類；而 Nesher 和 Hershkovitz 將文字題分為「改 變類」、「比較類」、「部分整體/結合類」等三類（引自蕭毓秀，2001）。

綜合上述各種類別，可歸類為「改變類」、「組合類」、「比較類」（凃金 堂，2002；蕭毓秀，2001）。

1. 「改變類」：是屬動態情境的問題類型，整個問題包括三個語意關 係：起始的狀態、數量改變的大小、最後獲得的結果。通常題目 會給兩個已知條件，即「起始量未知」、「改變量未知」、「結果量 未知」，此類題目對小學生而言感覺較簡單。

2. 「組合類」：是屬靜態情境的問題類型，只是集合之間的組合關 係，若以未知數的位置分類，則可分為「組合量未知」與「次集 合未知」；學生解此類問題時，需具備「部分—整體」的概念，知 道部分的總和是整體。

3. 「比較類」：是屬兩個集合相互比較差異的關係，若以未知數的位 置分類，則可分為「比較量未知」、「差異量未知」、「參照量未知」，

此類題目對小學生而言是三類中最難的。

(三) 依「運算」（operations）分類

運算是指解題的過程中使用到的運算種類，這類的題目同時考慮 到四則運算，不限定只用加減或乘除，因此有不少研究者是以此為依 據來對文字題作分類。

1. Vergnaud 模式（引自林碧珍，1991）：從向量空間和向度分析的觀 點為依據可將乘除文字題分為量數的同構型、量數的叉積型及多 重比例型三類。量數的同構型涉及到兩個度量空間直接相比，每 個度量空間均包含兩個相異的數，故其結構是在探討四個值的關

乘法、等分除及包含除；若四個值中有三個值已知，則屬「3 的規 則」問題。量數的叉積型是由兩個度量空間的叉積合成產生第三 個度量空間，如：3 件襯衫和 2 條褲子會有幾種搭配方式？在乘法 問題中以此類題目最難讓學生了解。多重比例型涉及三個度量空 間，是探討四個值之間的關係，依未知數所在位置，可分為乘法、

等分除及包含除。

2. Greer 模式（引自林碧珍，1991）：是以符號 STS、SSS、SRS 乘的 結構將乘除法分類，即以問題的對稱性和不對稱性來分，STS 是 不對稱型，SSS 是對稱型。STS 中的第一個 S 是指最初量經一種 變換 T 成為另一量 S，此結構依未知數的位置分類，ST│S│是乘 法問題， │S│T S 是等分除問題，S│T│S 是包含除問題，每類型 皆可應用於「多重群」、「測量的連加」、「常量的改變」、「比率」

及「度量的換算」；SSS 是由兩個量結合成第三個量，相當於 Vergnaud 量數的叉積型，可應用於「矩形的陣列」、「組合」及「面 積」。

3. Nesher 模式（引自林碧珍，1991）：Nesher 參考 Schwartz 及 Vergnaud 的研究，以問題的組成部分，將乘的模式分為函數規則問題（連 加法）、比較型問題及乘法積叉。

4. Baroody 將加減法文字題整合為「添加型」、「拿走型」、「併加型」、

「追加型」及「比較性類型」，而又再細分為「和未知」、「加數未 知」、「被加數未知」、「差未知」、「減數未知」、「被減數未知」等 共十五型（引自劉遠楨，2003）。

5. Marshall 等人（1987）則以「運算步驟」來區分文字題的類型，

解題時若需經過一個運算步驟是屬於單步驟文字題，若需經過二 個運算步驟則屬雙步驟文字題。

(四) 依「文字題性質」分類

一直以來，有關數學文字題性質的研究，大都在探討句法（syntax）

變項、內容與文理脈絡（content and context)變項以及結構（structure）

變項（Goldin、McClintock，1984；引自蕭毓秀，2001）；而影響文字 題解題行為的變因則有語法、內容與文理脈絡以及結構等三大變項（紀 惠英，1991）。

1. 語法變項（syntax variables）:係指問題中出現之文字與符號的安 排，及此些文字、符號間的關係等，如：句子的長度、句子和數 據的排列順序及問句的位置等。

2. 內容與文理脈絡變項（content and context variables）:內容與數學 問題的本質有關，文理脈絡則關係到數學問題的形式。在內容變 項方面，有數學語意變項與主題變項，目的在探究涉及數學運算 的字彙或關鍵字及問題情境等因素對解題的影響。

3. 結構變項（structure variables）:結構變項係指問題中所有元素間的 數學關係，如解題所使用的運算規則、所需的運算步驟等。問題 中所有元素間的數學關係，有的是從解題所需使用的運算法則，

有些則由解題所需的運算步驟，亦有以「問題空間」的概念來分 析問題的結構，而更有探討此些變項對問題難度或解題後學習遷 移效果的影響。

上述三個變項皆是從問題本身呈現的方式來分析數學問題，屬數 學問題的表層語意結構。

(五) 依 「 教 學 層 面 」（ form a pedagogical perspective ） 分 類 （ Jeremy Kilpatrick，黃敏晃譯，1988）

Kilpatrick 指出 Polya 從「教學層面」角度給了文字題一個很好的 分類方法，從此層面來看，數學問題被當作是數學建構的泉源，數學 教學進行的工具，藉由讓學生解決數學問題而搭起數學的鷹架，其將

究級的問題。

1. 例行性問題（routine problem）：將正在學或討論的規則、運算，

用來作機械式的運用就能解決的問題。

2. 有選擇的應用問題（application with some choice）：需應用以前所 學過之規則或步驟才能解決，且解題者需做一些判斷以選擇適當 的規則或步驟。

3. 選擇一種組合（choice of combination）：解題者須將兩個以上所學 過的規則或例子加以組合運用，才能解出來的題目。

4. 接近研究級的問題（approaching research level）：面對此類題目，

解題者需將兩個以上所學過的規則或例子做創意的組合才能解 決。此種組合會有許多分支，且需有相當高層次的獨立思考的能 力，以及使用到擬真推理（plausible reasoning）。

Polya 認為從第一類到第四類的問題，其題目難度及教育價值（訓練學 生思考方面）越來越增加；以往的數學教育最常出現的是第一類題目，第二、

三類題目偶爾出現，第四類題目很少出現。另外，Kilpatrick 亦分別從社會 人類學及心理學層面來看數學問題。從社會人類學的層面來看，數學問題被 當作是老師給學生的一項任務，以及學生在接受此項任務時產生的微妙關 係，如師生互相猜測對方的想法或以自我觀點來解釋對方的言行而產生的教 室氣氛。而從心理學的層面來看問題時，問題通常是被定義為一個情境，在 此情境中人們想要達到某一目標，但無法直接通往此目標，而人為了達到目 標所做的一些活動即為解決問題；而數學問題則是指在尋求答案的過程中，

必須用到數學概念、原理或方法的問題（Jeremy Kilpatrick，黃敏晃譯，1988）。

必須用到數學概念、原理或方法的問題（Jeremy Kilpatrick，黃敏晃譯，1988）。