數學解題之相關理論

數學教學的主要目的之一是培養學生具有解決問題的能力，亦即培養學 生能有獨立思考並進行有創造性活動的能力。1989 年美國數學教師協會

（NCTM）在「學校數學課程與評量標準」中就提到解題是數學學習的重點，

我國在八十二年版的課程標準及九年一貫課程綱要中也強調解題的重要 性，而解題與閱讀理解能力的相關性，是本研究的一個重點，另外本研究亦 探究城鄉地區學生及不同性別學生與解題表現的關係。以下分別介紹數學解 題歷程及數學解題的模式。

一、數學解題的歷程

解題歷程是指解題者在解數學問題時，經閱讀理解題目、計畫解題的策 略、使用解題的策略、求出解答及驗證答案的整個運算過程（涂金堂，1999）。 對於數學解題歷程的研究，數學家與心理學家各從本身所專精的領域發展出 兩種不同的研究取向，以下針對此不同的研究取向來介紹數學解題的歷程：

(一) 數學取向的解題歷程

1. Polya 的數學解題歷程模式（玻利亞，1945；蔡坤憲譯，2006）

Polya 是最早有系統提出解題策略的學者，在其所著的「怎樣 解題」（How to solve it）的書中，將解題歷程分為四個階段，第 一階段是了解問題，需清楚知道，什麼是我們要尋找的答案；第二 階段是擬定計畫，要了解問題中存在的各個關係，在擬定一個計 畫；第三階段是執行計畫，動手執行計畫，即進行數學計算；第四 階段是驗算與回顧，驗算答案，討論其意義。他並建議解題的過程 應採用啟發法。（表2-3-1）

表2-3-1 Polya 解題活動的四個階段

整理自（玻利亞，1945；蔡坤憲譯，2008）

隨後有許多的學者皆致力於研究Polya 的解題四階段並發展出 其他的解題歷程模式，但內容皆是以Polya 的解題四階段為主要精 神。Glass 和 Holyoak（1986）將 Polya 的解題歷程以一個通則性的 流程圖表示（圖2-3-1）。

圖2-3-1 問題解決模式（Glass＆Holyoak，1986）

嘗試計畫，

此流程圖包括四個重要的部份：形成問題表徵即理解題目，是 解題的第一個步驟，也是最重要的過程。解題者在理解後將題目的 敘述，以不同形式的表徵呈現，不同的表徵會導致不同的解題策 略，所以正確地理解題意，形成正確表徵是成功解題的第一步；嘗 試計畫，以尋求答案即較複雜的題目，在理解題意形成表徵之後，

需擬定解題計畫，計畫是一個有階層性的歷程，擬定計畫後，解題 者按著計畫一步步地分析找出答案；重新陳述問題即解題時，在採 用上述二個步驟仍無法解決時，便需重新考慮建立表徵的方式；必 要時便需重新理解題意，並回想相似的解題經驗。因為有些題目表 面上看起來不盡相同，但從其相似性卻可很快找到解決的方法，這 種相似性的架構，便是基模（Schema）。認知學派的學者認為，

使學生獲得一個題目的基模是成為優秀解題者的重要關鍵，所以教 師教學應以此為目標（Glass 和 Holyoak，1986）；執行計畫並檢 查結果，這是問題解決的最後步驟，解題者需運用程序性知識

（procedural knowledge）來進行運算。

Polya 建 議 解 題 的 過 程 中 應 採 用 啟 發 式 教 學 法 （ heuristic teaching），其特徵為在問題解決的過程中，教師必須帶動討論氣 氛；在解題過程中，教師需鼓勵學生使用啟發式的推理思考；教師 需幫助學生成為具有獨立思考與推理能力的解題者。啟發式教學法 早在Polya 之前就有學者討論，但因認知心理學強調學習歷程比結 果重要，啟發式教學法才再受到重視；Polya 的啟發法以現代的形 式呈現，即其所提出之解題四階段，也是當今數學教育及認知心理 學理論很重視的一套教學策略（玻利亞，1945；蔡坤憲譯，2008）。

2. 曹宗萍（1988）將 Polya 的解題四階段中所使用之解題提示加以修 改，更適用國小的學童。第一步瞭解問題，即是問題告訴我們什 麼？他們之間的關係如何？問題要求什麼？第二步擬定計畫，即 是問題裡告訴我們的與所要求的之間有什麼關係？是否有解過類

似的問題？是否可以畫一個圖形，來幫助解題？是否可以畫一個 圖表，來幫助解題？是否可以簡化題意，看出規律，進行找出公 式？是否將問題中所告訴我們的全部都派上用場了？第三步實行 計畫，即是實行你所擬定的計畫，校核每一個步驟。第四步回顧 答案，即是結果合理嗎？你能用不同的方法得出結果嗎？你能把 這個結果或方法應用到別的問題上去嗎？。

3. 劉秋木的數學解題歷程

劉秋木（1996）根據 Polya 的理論，將解題歷程分為理解問 題、擬定計畫、執行計畫、檢討與回顧四個步驟。

（1）了解題意：解題的第一步是理解問題，在強調如何建構 對問題情境初步的問題表徵，解題過程是不斷重組結構的歷程，當 我們完全理解一個問題情境結構時，也就是能夠解決該問題的時 候。而要建構初步的問題表徵，首先要了解文字的意義、應用相關 的知識、分析問題中的目標與條件、轉換不同的表徵，所以劉秋木 認為理解與解題是不可分的。

（2）運用策略：面對複雜的問題時，需要思考策略才能發現 問題所隱含的結構。這個階段是訓練如何發現結構的思考策略。解 題的一般性策略包括條件目的分析；應用算術式；應用代數式；畫 圖；作資料；簡化問題；尋找組型；猜測與檢核；發現關係；推理。

（3）執行計畫：擬定計畫與執行計畫的過程是密不可分的。

當解題者有一個想法，便想將這個想法實現出來使它更具體化，則 這個想法便含有執行計畫的活動。此步驟包含計算：根據已列出算 式計算、求得結果。測量：利用工具測得某一物體的量。作圖：能 利用工具畫出所構想的圖形。

（4）完成答案：此階段主要的思考策略包括評估解題過程的

題，故劉秋木認為此階段是認知結構的重組。

4. Lester 的數學解題歷程

Lester（1980）將解題歷程區分為六階段：察覺問題、理解問 題、分析目標、發展計劃、執行計劃及執行程序和評估答案。Lester 認為影響解題表現的因素有問題本身，如問題的內容、格式等；解 題者，如解題者自身的經驗、知識等；解題歷程，如解題時的表徵、

策略等；解題環境，如教學時的各種因素。Lester（1985）融合 Polya 的解題模式與Flaell & Wellman 的後設記憶（metamemory）概念，

提出一個認知—後設認知的模式。他認為解題有四個認知因素和三 個後設認知因素，關係如圖2-3-2。

圖2-3-2 Lester 的數學解題—認知模式

根據上述的解題歷程，可了解大多以Polya 所提出的四個步驟為基 礎。其中Lester（1985）及劉秋木（1996）與 Polya 同樣是將解題歷程 分成四個步驟。且 Lester 與劉秋木二者同時將後設認知理論，融入整 個解題的歷程中。整體而言，數學取向的解題歷程，主要將整個解題 歷程區分為了解問題、擬定計畫、執行計畫及驗證解答等四步驟。

(二) 心理學取向的解題歷程

後設認知成分

個人變項

工作變項

策略變項 認知成分

導引

組織

執行

驗証

有些心理學家從問題表徵的觀點，探討解題歷程（Amarel，1983，

1986；Enright & Beattle，1989；引自陳成恭、陳嘉甄、吳南真和蔡隸 關，2002）。而心理學取向解題歷程研究，重心在於解題者在解題的歷 程中，如何將問題敘述（語言形式）轉換成數學運算敘述（符號形式）。 Mayer 從認知心理學的觀點將解題歷程分為兩個歷程，四項成分及五種 知識類型，分述如下（引自王瑞慶，2002；涂金堂，1996；楊瑞智，

1994）（表 2-3-2）：

1. 問題轉譯（problem translation）：應用語言知識與事實知識，將每 一個陳述遽轉變為個人能理解的內在心理表徵。

2. 問 題 整 合 （ problem integration ）： 利 用 基 模 知 識 （ schematic knowledge）整合問題的資料成連貫的問題表徵，過程中解題者需 有辨別問題的能力。

3. 解題的計畫與監控（Solution planning and monitoring）：運用策略 知識協助解題者擬定計劃及監控計畫，將問題分為幾個子目標，

逐步達成。

4. 執行解題（solution execution）：需以程序知識準確且有效的執行解 題的計畫。

心理學取向的解題歷程，較重視問題的表徵，亦即將數學題目中的每一 個句子轉譯成解題者能理解的心理表徵，並把每個句子整合成連貫一致的結 構。數學解題是以一種統整的概念來進行歸納與演繹的理解過程，且在解題 中特別重視解題的歷程與推理、有意義的學習及概念理解（許美華，2003）。

從上述多位學者所提出的研究發現，解題歷程大致可分為六個階段：遭遇問 題、理解問題、擬定計劃、執行計劃、體驗解題結果和回顧解答（許美華，

2003；楊瑞智，1994）。學生在遇到數學文字題時，必須先理解題意，進而 發展出相關的問題結構，並試著建構出能代表問題的表徵模式，再依此表徵 得出結果。

二、數學解題的模式

數學解題的模式大約可以分為「階段型」、「成分型」及「問題表徵轉換 型」三類。階段型強調解題過程中的各個階段；成分型是列舉解題過程中的 各種能力或行為；問題表徵轉換型則重視問題表徵的不同系統間的運作（楊 瑞智，1994）。

楊瑞智（1994）認為影響數學解題歷程的有五個重要成分：對問題的知 覺、了解與表徵；相關數學知識或概念的理解；擬定解題策略與執行；察覺 並監控策略的執行；回顧解答。依此分法，可知Polya 的解題模式類型是屬 階段型，包含對問題的知覺、了解與表徵，擬定解題策略與執行及回顧解答，

缺乏相關數學知識或概念的理解及察覺並監控策略的執行。Lester 的解題模 式類型是屬成分型，包含對問題的知覺、了解與表徵，擬定解題策略與執行，

察覺並監控策略的執行及回顧解答，缺乏相關數學知識或概念的理解。Mayer

察覺並監控策略的執行及回顧解答，缺乏相關數學知識或概念的理解。Mayer