國小六年級學生在情境式數學文字題與一般文字題解題表現差異之研究

國 立 臺 中 教 育 大 學 數 學 教 育 學 系 碩 士 論 文

指導教授：謝闓如 教授

國小六年級學生在情境式數學文字題

與一般文字題解題表現差異之研究

研究生：籃彗玲 撰

中 華 民 國 九 十 八 年 六 月

國小六年級學生在情境式數學文字題與一般文字

題解題表現差異之研究

摘 要

本研究旨在探究國小六年級學生對數學文字題解題表現之相關因素，及 學生對傳統數學文字題和有情境的數學文字題解題表現之相關性。以臺中 縣、彰化縣以及南投縣國小九所國小，共十四個班級合計 356 位六年級學生 為主要研究對象，研究設計是採取量的研究，透過四項評量工具施測，一為 傳統數學文字題、二為有情境的數學文字題、三為有情境的數學文字題解題 態度問卷、四為閱讀能力測驗工具，資料的分析以量為模組，探討學生解決 數學文字題上相關的因素及其態度是否會對解題表現有所影響。 從研究的結果可歸納出五點結論，分述如下： 一、 學生在傳統文字題的解題表現優於有情境的數學文字題。 二、 城市學生在數學文字題（含情境與傳統）的解題表現優於鄉村學生。 三、 男、女學生在數學文字題（含情境與傳統）的解題表現無顯著差異存在。 四、 學生的閱讀能力愈好，解數學文字題（含情境與傳統）的表現愈佳。 五、 學生解有情境的數學文字題態度與解有情境的數學文字題表現有顯著 低相關。 關鍵字：傳統數學文字題、有情境的數學文字題、解題態度、閱讀能力。

Research on the Differences of 6

th

Graders’

Performances in Solving Regular and Situated

Mathematics Word Problems

Abstract

This research was to explore the factors in solving the mathematics word problems, and the relation between solving the traditional word problems and the situated word problems for 6th grade elementary school students in Taiwan. The subjects were 356 students (14 classes) from 9 elementary schools in Taichung, Changhua and Nantou counties. This research was a quantitative research, and four evaluation instruments were used, which measured students’ performances on traditional mathematics word problems, and situated mathematics word problems, their attitude of solving the situated mathematics word problems, and the reading ability.

The findings concluded from the research results were as follows:

1. Students did better on the traditional word problems than on the situated mathematics word problems.

2. Students from urban areas did better on the mathematics word problems (both the traditional and situated mathematics word problems) than those from rural areas.

3. There were no significant differences between gender on the performance of solving the mathematics word problems (both the traditional and situated mathematics word problems).

4. Students with better reading abilities did statistically significantly better on solving both traditional and siturated mathematics word problems.

5. There was a positive correlation between students’ attitude and their achievement on solving the situated mathematics word problems.

目 次

第一章　 緒 論... 1 第一節 研究動機 ... 1 第二節 研究目的 ... 5 第三節 研究問題 ... 5 第四節 研究限制 ... 6 第五節 名詞釋義 ... 6 第二章 文獻探討... 9 第一節 國小數學課程分析 ... 9 第二節 數學文字題之相關研究 ... 12 第三節 數學解題之相關理論 ... 21 第四節 情境學習理論之探討 ... 28 第五節 影響解題之相關因素探討 ... 32 第三章 研究方法... 39 第一節 研究設計 ... 39 第二節 研究步驟與過程 ... 40 第三節 研究對象 ... 43 第四節 研究工具 ... 45 第五節 資料處理方式 ... 51 第四章 研究結果... 53 第一節 國小學童解數學文字題之表現 ... 53 第二節 相關因素對學生解數學文字題(含情境與傳統)能力描述與比較.. 67 第五章 討論與建議... 73 第一節 結論與討論 ... 73 第二節 建議 ... 77 參考文獻... 79 中文部分 ... 79 英文部分 ... 87

附 錄... 91 附錄一 傳統數學文字題...91 附錄二 有情境的數學文字題...95 附錄三 解題態度量表...100 附錄四 閱讀理解測驗...101 附錄五 原作者同意書（柯華葳）...105 附錄六 原作者同意書（黃俊仁）...106

表 次

表 2-3-1 Polya 解題活動的四個階段 ... 22 表 2-3-2 Mayer 的解題歷程與知識的關係... 26 表 3-3-1 研究對象... 44 表 3-4-1 試題分析... 46 表 3-4-2 「傳統試題」難度與鑑別度... 48 表 3-4-3 「情境試題」難度與鑑別度... 49 表 3-4-4 有情境的數學文字解題態度量表... 51 表 4-1-1 解傳統數學文字題之各題情形... 53 表 4-1-2 解有情境數學文字題之答題情形... 53 表 4-1-3 不同城鄉地區傳統題及情境題答對率... 55 表 4-1-4 低中高分組學生解題表現情形... 65 表 4-1-5 不同程度學生解數學文字題成績變化情形成對樣本 t 檢定摘要表... 67 表 4-2-1 城鄉、性別在兩個依變項之二因子多變量變異數分析摘要表... 68 表 4-2-2 不同城鄉地區之男女學生解數學文字題摘要... 69 表 4-2-3 閱讀能力測驗各分數之人數分佈情形... 70 表 4-2-4 閱讀與解題之相關情形... 70 表 4-2-5 解有情境的數學文字題態度與解題之相關情形... 71

圖 次

圖 2-3-1 問題解決模式（Glass＆Holyoak，1986）...22

圖 2-3-2 Lester 的數學解題—認知模式...25

圖 3-1-1 研究架構 ...39

第一章　 緒 論

本研究的主要目的是探究國小學生在「傳統數學文字題」與「有情境的 數學文字題」的解題情形及其相關的研究，在這一章節中會針對研究的動 機、目的、以及所要研究的問題、範圍及其限制作一詳細說明，並對研究中 所提及之相關名詞作明確的定義及解釋。全章共分為五節，其組織依序如 下：第一節為研究動機，第二節為研究目的，第三節為研究問題，第四節為 研究範圍與限制，第五節為名詞釋義。

第一節 研究動機

教育在我國社會邁向現代化的過程中，扮演著極為重要角色，包括人才 的培育、國家競爭力的提升、社會風氣的轉移及文化的傳承（張明輝，1999）。 除此之外，《2000 年大趨勢》一書中亦指出，在新的世界經濟體系下，誰 在教育投資得多，誰就有較強的競爭力。隨著新時代的來臨，教育需調整其 自身的結構及內容，以因應現代化對教育的需求，故在教育觀念、形式、內 容、相關措施，都需有相對應的改革，因此，教育成為我國現階段配合國家 發展的主要改革重點（張明輝，1999）。我國的課程規劃從開始到現在，已 有將近一百年的時間，其中進行了多次的課程改革（教育部，1993），比較 近期的有 82 年版及 92 正式綱要，值得注意的是，在這二次的課程改革中都 特別提到應該要激發學生對數學的興趣，進而可以應用在日常生活中；可是 有研究指出，經過這些改革，在面對數學這門課程時，大多數的學生依舊缺 乏學習的興趣，甚至會感到害怕恐懼（李宗祐，2008）。

根據 1994 年國際數理成就評量（International Assessment of Educational Progress，[IAEP]）的結果，發現台灣地區的學生在概念理解與計算能力的 表現均屬高分，而在解題過程及推理能力的表現上卻不甚理想（曹銘宗， 1994）；此外，在 2008 年國際教育成就發展委員會（International Association for the Evaluation of Educational Achievement，IEA）所公佈的國際數學與科

學 教 育 成 就 趨 勢 調 查 （ Trends in International Mathematics and Science Study，[TIMSS]）結果，我國的八年級學生的數學平均成績在全球排名第一， 四年級學生的數學平均成績在全球排名第三，然而在自信心方面的調查結 果，四年級生學習數學的信心指標，全球倒數第二，八年級倒數第四，特別 是四年級學生數學的「正向態度」（學習興趣）指標在全球三十六國排名最 後（李宗祐，2008）。這種現象說明了學習數學對大多數的台灣學生而言， 就只是為了應付考試，而對於數學成就的養成，仍偏重於數學知識（公式） 的記憶與計算過程，大多數的學生只會用老師教過的方法解題，缺乏自己的 想法與分析問題的能力，因此無法有效地將學校所學的知識活用到日常生活 中。 數學知識的本質源自於解決人類生活的問題（黃幸美，2001），例如生 活中買賣的活動，所以數學本身就是一種解決問題的活動。美國數學教師協 會（National Council of Teachers of Mathematics, [NCTM]）在 1980 年所提出 的中小學數學課程行動綱領建議中小學數學課程的設計，應該在「基本概念 培養」與「數學教材中應用」之間維持平衡，故中小學的數學教材應強調數 學與生活之間的連結性，在其 1989 年的「學校數學課程與評量標準」中就 強調解題是數學學習的重點（NCTM，1989）。 在我國 82 年版和九年一貫課程改革中，都強調數學要與學生生活做連 結（黃俊仁，2003；教育部，2003a），目前我國正實施的九年一貫課程， 提到「學生能力的發展始於流利的基礎運算及推演、對數學概念能理解，然 後懂得利用所得到的推論去解決數學問題，包括理解和解決日常問題，以及 在不熟悉解答方式時，懂得自己尋求解決問題的途徑」（教育部，2003 a， p20），因此「課程的發展應以生活為中心，選擇適當有趣的題材與活動， 鼓勵學生積極參與」（教育部，2003a，p5、62），「教師應協助學生感受 體驗生活情境與數學的連結過程，培養學生能以數學的觀點考察周遭事物的 習慣，並培養學生觀察問題中的數學意義與關係，養成以數學的方式，學習

策略的過程中，加深對數學概念之理解」（教育部，2003 a，p62-63）。因 此，數學教育應該將數學的學習還原於人類的生活，教師應盡量選擇與學生 日常生活經驗相關的問題來引導學生（玻利亞，1945；蔡坤憲譯，2006）。 國小教育是所有正式學校教育的重要基礎，在學童知識建構的過程中扮 演著相當重要啟發角色，因此國小教育需提供學童進行有效教學的機會，以 期學童能主動積極的學習（王春展，1996）。台灣教育一直都是由考試制度 領導教學，加上保守的教學課程與情境，在此種環境下，學生所習得的知識， 是一種無法運用於解決日常生活問題的「僵化知識」。為了解決「僵化知識」 的問題，部分學者提出「情境學習理論」在教學上的應用（王春展，1996； 徐新逸、辜華興，1999）；在情境學習理論下，學習需要融入實際社會文化 及情境脈絡中，才能建構出有意義的知識（王春展，1996）；學習新知識時 要以既有的知識為基礎，建立新知識與原有知識之間的連結，才能有效地吸 收，因此，學校教育需重視學生已有的生活經驗及加強與實際生活情境結合 （黃家鳴，1997）。美國數學教師協會在 2000 年出版了學校數學方針與標 準（Principles and Standars for School Mathematics），其中除了強調培養學 生數學溝通、推理與思考的能力，同時也強調數學情境化的重要性（NCTM， 2000）。 解決問題時如果能夠結合生活情境，更能引起學生的解題動機，因此生 活情境變成了許多數學題目的佈題背景（黃家鳴，1997），但是數學問題與 日常生活的應用常常有一些差別（黃家鳴，1998），例如：爸爸喝了 5 4 公升 的牛奶，哥哥喝了 9 2_{公升的牛奶，兩人共喝了多少公升的牛奶？而日常生活} 中，並不會特別用這樣的方式計數，而是會用喝一瓶牛奶或一杯牛奶的方 式。心理學家桑代克（Edward L. Thorndike）在其所著的《算術心理學》中 提到算術學習牽涉到不同的連結，需透過練習來強化，此類的練習若能設計 得有趣且接近實際生活應用，則效果會更佳（引自黃俊仁，2003）。亦即， 課堂中教師佈題的情境是相當重要且越接近學童的真實生活越好。

在情境學習理論部分，較令研究者感興趣的是美國的范登堡大學 （Vanderbit University）的認知科技群（Cognition and Technology Group at Vanderbilt，[CTGV]）為了提供學生一個較真實的故事性學習環境，來學習 和應用數學，以「情境學習」的理論為基礎，結合多媒體科技所產生的教學 設計，提出錨式情境學習理論（徐逸新，1995a，1995b，1998，1999；陳國 泰，1997；徐逸新和辜華興，1999）。國內黃俊仁（2003）依錨式情境理論 的精神針對高屏地區國小五年級的學生進行研究，發現此類情境題對於低分 組的學生似乎較有幫助；此外，故事情境問題亦常出現在中部縣市數學考題 中（測驗卷評比網站，2006），故事情境問題測驗學生的文字題解題能力對 中高成就的學生是否有所影響，為本研究者想進一步了解的，研究者也想了 解其他地區的學生表現是否亦如此，故針對此主題進行相關研究。 一般而言，學者、家長和教師都有一致的共識，認為文字題可以作為考 驗學生的數學解題能力（黃家鳴，1997），然而，在所有數學問題中，文字 題也是最令國小學童感到困惑與難解的（許家驊，1994；黃家鳴，1997）。 板橋教師研習會在國小科學教育環境調查報告中指出：「國小學生解文字題 的能力比基本計算能力差」（引自劉湘川、許天維和林原宏，1993），可見 我國學生對解數學文字題感到困難，其原因可能是不清楚題意、忽略對題目 的理解或因為從語文式的數學變成形式數學的過程中涉及許多的轉換（翁嘉 英，1988；黃敏晃，1986；鄭昭明，1993；謝毅興，1991），所以改善數學 文字問題的解題能力之研究．應是當務之急（唐淑華，1995）。 一般人可能會認為男生解應用問題能力優於女生，城市地區的學生亦會 優於鄉下學生；台灣師範大學心理與教育測驗研究發展中心經過抽樣研究發 現，國中基本學力測驗的數學測驗中，女生對於簡單測驗的表現比較好；但 如果進階到比較難的試題，男生的表現則優於女生。持續追蹤三年之後，這 群學生參加學測和指考的數學成績，無論社會組還是自然組，都是以男生的 表現比較好（陳映竹，2008）。而根據多位研究者的研究顯示，性別與數學

世杰，2005；黃俊仁，2003；曹宗萍，1988；蔡宗玫，1995；Marshall，1981）， 值得再深入研究。 台灣師範大學心理與教育測驗研究發展中心研究發現，城鄉學生在學習 上的確有落差，以 2004 到 2008 年間的基本學力測驗成績比較，城鄉學生在 總平均量尺分數的落差在 45 到 54 分之間（薛荷玉，2008）；除此之外，張 芳全（2008）的研究中也發現學校的規模越大，學生的數學成就越高。因此， 政府在 1995 年度試辦「教育優先區」，以弱勢族群為實施對象，其目的在縮 短城鄉學生的學習差距，更在 1996 年度擴大實施，列入十項指標，受惠對 象更廣；而實施至今已逾十年，此計劃仍持續進行，其成效雖各有褒貶，但 政府仍常召集教育學者針對實施成效進行評估與改革，其未來的結果應是可 期待的（教育部，2003b，2005，2008b；許添明，2006）。因此，研究者依 錨式情境學習理論的精神編制試題，對不同城鄉地區的學生進行施測並研究 不同性別及閱讀能力與學生解題表現的關係。

第二節 研究目的

依據前述之研究動機，本研究期望達到的目的包括： 一、 瞭解國小學生在「傳統數學文字題」與「有情境的數學文字題」中的解 題情形。 二、 探討影響國小學生文字題的解題表現之相關因素。 三、 探討國小學生解「傳統數學文字題」與「有情境的數學文字題」的解題 表現之相關性。

第三節 研究問題

根據上述之研究目的，本研究的問題如下： 一、 國小學生（含全體及低、中、高分組學生）在傳統數學文字題與在有情

境的數學文字題中的解題表現為何？ 二、 不同城鄉背景及性別的學生是否在解傳統數學文字題與解有情境的數 學文字題的表現上有所差異？ 三、 閱讀程度對國小學生解傳統數學文字題與解有情境的數學文字題的能 力是否有相關？ 四、 學生解有情境的數學文字題態度與解情境的數學文字題表現是否有相 關？

第四節 研究限制

一、研究對象 本研究僅以臺中縣、彰化縣以及南投縣國小九所國小，共十四個班級合 計 356 位六年級學生為主要研究對象，考慮研究者的時間、人力及行政支援 之限制，無法親自至該班進行施測，委由該班任課教師進行施測，所以施測 過程的狀況不一，有可能會影響研究結果。 二、教材內容 本研究所使用之數學問題的範圍，主要是以教育部 92 年所頒訂的九年 一貫數學課程綱要中一年級至五年級的能力指標為主。如前所述，因為選取 樣本有其地域性限制，故推論的結果不宜過度解釋，研究結果若要推論至其 他地區的學生，需更謹慎。

第五節 名詞釋義

為使意義更為明確，避免混淆，便於討論，茲將本研究所涉及之相關特 定名詞的界定及說明如下： 一、傳統數學文字題

地位，通常是提供學生運用計算能力於各種情境的機會，用語文的 型態來描述的數學問題情境，本研究以「傳統問題」稱之。 二、有情境的數學文字題 以日常生活事件為材料，以一個故事為主軸，用語文的型態來描述 問題，讓學生理解情境後，進行文字題的運算，本研究以「情境問 題」稱之。 三、解題表現 傳統問題與情境問題的解題表現，每一題評分的標準皆參考唐淑華 （1995）改編 Putt（1978）及 Polya 解題四個步驟而來。評分標準如： 完全未作答或列式錯誤得 0 分，列式正確、答案不正確得 1 分，完 全正確得 2 分。 四、解題相關因素 本研究欲探討可能影響解題之相關因素為學生之閱讀能力、性別、 城鄉差距以及解情境問題的態度對「傳統問題」、「情境問題」的解 題表現是否有影響。 （一）學生的閱讀能力： 本研究以閱讀理解為範疇，使用柯華葳（1999）之「閱讀理解 困難篩選測驗—國民小學四、五、六年級」為本研究閱讀能力測驗 工具。測驗主要在測量學生閱讀理解能力，得分愈高，表示該學生 閱讀理解能力愈佳。 （二）城鄉差距： 本研究依據學校之總班級數進行城鄉分類，研究樣本中，班級 總數在 13 班（含）以上的學校所在位置均為都市或都市外圍，交通 較便利，資源較多，故歸類為城市學校；班級總數在 12 班（含）以 下的學校，較屬鄉村，資源較少，則歸類於鄉村學校。 （三）解有情境的數學文字題的態度：

本研究數學態度量表主要在測驗學生解數學故事文字題所抱持 的解題態度，本研究所使用的有情境的數學文字解題態度量表，係 由黃俊仁（2003）所編制，受試者在這測驗上所得的總分即代表整 個解有情境的數學文字解題態度的得分，得分愈高代表個人解有情 境的數學文字解題態度愈正向，反之，則愈消極。

第二章 文獻探討

本研究欲探究國小學生在「傳統數學文字題」與「有情境的數學文字題」 中的解題情形，本章就本研究中相關理論進行探討，首先先對我國現行的課 程進行分析，再針對數學文字題的意義、分類及相關研究進行探討，接著對 數學解題的相關理論進行了解，最後描述情境學習及影響解題之相關因素的 部份。各節內容分別為，第一節針對近來幾次國小數學課程變革進行介紹分 析；第二節數學文字題之相關研究；第三節數學解題之相關理論；第四節情 境學習理論之探討；第五節影響解題之相關因素探討。

第一節 國小數學課程分析

波特指出在國際競爭中，高級而專業化的人力資源較豐富的天然資源更 為重要（引自張明輝，1999）；聯合國敎科文組織於 2000 年也提到：「教育 是一項基本人權，也是參與 21 世紀迅速全球化的社會與經濟必不可少的手 段」（引自陳益興、王先念，2007）。教育一直被視為創造國家經濟成長、傳 遞政治、文化的有效工具，因此在這個競爭激烈的時代，全世界各國都不斷 地在進行教育改革，各國政府對教育投資均不遺餘力（施明儀，2008；顏宏 成，2003）。 雖然我國教育普及，國民知識水準普遍提高，但是多年來教育的發展也 出現了許多問題，成為影響我國教育品質提升的阻礙因素，因此，教育是我 國現階段配合國家發展的主要改革重點，有關教育的內容、重點和方法都必 須加以改變。我國近幾次的數學課程改革的時程分別為六十四年版的國民小 學課程標準、八十二年版的國民小學課程標準、2001 年頒布的九年一貫暫 行綱要及現行的九年一貫正式綱要。六十四年版的國民小學數學課程標準使 用期間由1976 年至 2000 年，共使用 24 年，為目前使用最久的課程標準， 現今多數家長和學校教師均接受此課程標準之教育；在此課程標準下，全國 都使用國立編譯館經過大規模的實驗後編製的課本（部編本），此階段的教

科書內容特色在於有系統地安排課程進度，並且強調教具的操作；此外，並 要求教師逐年進行研習課程，以熟悉課程內容；但其缺點在教材太多、教學 時間不夠、部分教材太難（許修豪，2004）。 為了改善六十四年版課程標準的缺點，教育部於 1993 年頒布國民小學 數學課程標準，使用期間由民國1996 至 2004 年，共使用 9 年，以符合學生 認知的解題方式來呈現數學概念，強調學生主動地從自己的經驗中建構與理 解數學概念的重要性，並開放民間版本的教科書；提倡以數學語言溝通、討 論、講道理和批判事物的精神，特別強調引導學生認識數學在生活中的功 用，以提高學習的興趣，並培養主動學習的態度及欣賞數學的能力。由於八 十二年版教科書的教材結構及教學方法和六十四年版有極大的差異，特別是 希望教師能夠容許學生的不同解法（一題多解），但在部份教師的錯誤解讀 下，演變成教師要求每一題皆要學生利用多種方法解決，導致學生與家長無 法接受（林宜臻、林沂昇，2007；教育部，1993；許修豪，2004）。 在九十年頒布的九年一貫暫行綱要，自九十學年度一年級全面實施，九 十一學年度一、二、四、七年級同步實施；其特色是強調學生的認知階段， 將九年國民教育區分為四個階段：階段一為一至三年級，階段二為四、五年 級，階段三為六、七年級，階段四為八、九年級，其中將六、七年及劃分為 同一階段，是為突顯國中小課程銜接的重要性，而打破國中小學制的框架， 並強調「連結」的能力；數學課程的發展以生活為重心，配合各階段學生的 身心發展歷程，提供適合的學習方式，課程規劃則期望「80％的學生能夠學 會」；至於教科書部份是一大變革，九年一貫暫行綱要只提供課程綱要，而 未提供部編版教材，開放民間版本的教科書；而因頒布到實施時間很匆促， 在實施過程中發現一些問題，如：因「強調 80％的學生能學會」的理念， 課程設計較簡單，而導致學生的計算能力較不足，以及教材內容之進度與舊 課程及其他國家的數學課程較落後、上課時數較八十二年版減少等，因而重 新審視做了修訂，即現今所實施的九年一貫正式綱要。

正式綱要於 2003 年頒布，九十四學年度從國小一年級及國中一年級逐 年實施，正式綱要與暫行綱要相同之處是均強調數學能力與估算能力的培 養，使用數學來解決日常生活和其它領域的問題；在幾何部分，則較強調數 量上的計算推理，也較強調比例尺；統計與機率的教學仍以概念性的介紹為 主，在國小階段仍以資料的整理、統計圖形的認識與資料的報讀為主；而連 結指標則未做任何更動。 相較於暫行綱要，正式綱要在課程深度及能力指標上做了調整，至於上 課時數則於「彈性學習節數」酌予安排數學補強教學活動，每學期大約 15 節；而暫行綱要只以階段來劃分能力指標，正式綱要將每一條能力指標再細 分為各年級的分年細目，並且正式綱要的課程內容比暫行綱要的還要來得 多，根據教育部公佈的資料顯示，在國小階段學習暫行綱要課程的學生與學 習正式綱要課程的學生相比，一共少學13 條能力指標，以及 18 條分年細目， 這 18 條分年細目是依據能力指標細分出來的教學重點；所以接受暫行綱要 的學生必須接受銜接課程，才能順利與國中課程銜接。在觀念初建立時，會 給予較充裕的時間紮實發展，課程的安排會有較多的時間處理學生較有困難 的題材，如：因數、倍數及分數等的學習（教育部，1993；2003a；許修豪， 2004）。 課程的改革，強調的是要重視每位學生的學習，這不僅是九年一貫的基 本理念，也是國家教育政策既有的理念；課程理念需以生活為中心，國民教 育階段的課程設計應以學生為主體，以生活經驗為重心，培養現代國民所需 的基本能力，如：主動探索與研究，即激發學生的好奇心及觀察力，並積極 運用所學的知能於生活中。課程的編制與教學方法上都強調應以學生為學習 的主體，學校教育應提供學生做有意義及有效率學習的機會，並且鼓勵學生 願意「主動積極參與」教學活動，使學生能學好重要的核心數學題材，因為 這些重要的數學概念和精熟的演算能力，是九年一貫所強調「帶著走」的能 力（教育部，2003a）。

觀察課程改革的過程可發現在八十二年版的課程標準中開始情調情境 的重要，一直到目前所實施的九年一貫正式綱要，都是強調重視學生的生活 經驗、教材與課程接近生活化，本研究本著相同的精神，依此理念編制試題 進行研究。

第二節 數學文字題之相關研究

文字題（word problem），一般稱為應用問題，在數學的學習與符號的表 徵中，扮演重要的角色。文字題的解題過程十分複雜，非單純的數字與符號 的運算，是需結合各項技能的；同時，解題能力是包含複雜心理歷程的整體 數學能力的展現，文字題的功能不僅可以教導學生問題解決的技能，同時亦 可闡明數學概念及加強數學概念的應用，藉此可加深學生對數學概念的瞭解 及數學符號處理的能力，因此，文字題在數學教學中，佔有重要的地位（陳 立倫，1999；黃明瑩，2000；謝慧齡，2004）。 一、數學文字題的意義 當我們要讓兒童學習任何概念，都不適宜直接教學，而是讓兒童在面臨 日常問題後思考解決的辦法，並在解決問題的過中發現概念、發展數學能 力；學習數學概念時所遇到的問題通常較簡單，以發現概念為主，但在日常 生活中所遭遇的問題就較複雜，這類問題通常以文字題形式出現，有時會需 要較多的步驟才能解決（蕭毓秀，2001）。 數學文字題是結合數學知識與語文技巧的問題，一般而言解決應用問題 常須要結合理解能力（comprehension）與計算能力（computation）（Gagne， 1985，引自唐淑華，1995），故解數學文字題是一種整合語文能力與數學能 力的綜合活動。學生在解數學文字題時，不僅要能熟悉計算的過程，還需先 了解問題中的陳述，回憶或激發出相關問題的基模（schemata），理解問題 的要求及連結相關問題的知識結構，並建構出足以表徵此問題的模式，最後

學知識加以統整，並且將所所建構的數學知識靈活的應用在生活中（古明 峰，1998b；林清山，1995；涂金堂，1999；陳世杰，2005）。Jarmila 認為文 字題是對概念錯誤的學生施行再教育及克服學習障礙的一種診斷工具，所以 解數學文字題除了必須了解基本的概念外，更需要一些語文與處理數字的技 巧（引自蕭毓秀，2001）。 二、數學文字題的分類 數學文字題的分類有著不同的標準，蕭毓秀（2001）在其研究中將數學 文字題以「情境」、「語意結構」、「運算」、「教學層面」及「文字題性質的變 項」來作為分類標準，而尚有其他學者有不同的分類法。以下分別介紹此些 分類。 (一) 依「情境」（situation）分類 解題者對於文字題中所描述之情境，會因解題者之舊經驗不同而 有不同程度的理解，因而影響解題者的解題表現（蕭毓秀，2001）。而 Marshall（1995）提出文字題可依下列三種方式進行分類，一是故事情 境的表面特徵（surface feature），例如不同脈絡的故事；其次是故事情 境的語法特徵（syntactic feature），例如故事文章長度、用詞的複雜度、 運算的數字等；第三類則是故事情境中所表達的關係是否相同等。 本研究針對「情境」為標準，將文字題分為「傳統數學文字題」 與「有情境的數學文字題」兩類，此標準即Marshall（1995）所謂的語 法特徵；以故事陳述的方式描述真實情境中的事例，利用情境化的問 題，讓解題者的思路能順利進入真實情境中。 (二) 依「語意結構」（semantic structure）分類 語意結構取向是指根據文字題所呈現的內容、句子語言關係，將 題目歸類為不同的類型。以語意結構分類，分別有研究者提出不同的 看法，如Carpenter 和 Moser（1984）將加減法文字題分成「改變類」、 「結合類」、「比較類」、「使相等」等四類；Marshall, Pribe, 和 Smith

（1987）則將文字題分成「改變類」、「結合類」、「比較類」、「變異類」、 「轉換類」等五類；Fuson（1992）將文字題歸納為「改變類」、「結合 類」、「比較類」等三類；而 Nesher 和 Hershkovitz 將文字題分為「改 變類」、「比較類」、「部分整體/結合類」等三類（引自蕭毓秀，2001）。 綜合上述各種類別，可歸類為「改變類」、「組合類」、「比較類」（凃金 堂，2002；蕭毓秀，2001）。 1. 「改變類」：是屬動態情境的問題類型，整個問題包括三個語意關 係：起始的狀態、數量改變的大小、最後獲得的結果。通常題目 會給兩個已知條件，即「起始量未知」、「改變量未知」、「結果量 未知」，此類題目對小學生而言感覺較簡單。 2. 「組合類」：是屬靜態情境的問題類型，只是集合之間的組合關 係，若以未知數的位置分類，則可分為「組合量未知」與「次集 合未知」；學生解此類問題時，需具備「部分—整體」的概念，知 道部分的總和是整體。 3. 「比較類」：是屬兩個集合相互比較差異的關係，若以未知數的位 置分類，則可分為「比較量未知」、「差異量未知」、「參照量未知」， 此類題目對小學生而言是三類中最難的。 (三) 依「運算」（operations）分類 運算是指解題的過程中使用到的運算種類，這類的題目同時考慮 到四則運算，不限定只用加減或乘除，因此有不少研究者是以此為依 據來對文字題作分類。 1. Vergnaud 模式（引自林碧珍，1991）：從向量空間和向度分析的觀 點為依據可將乘除文字題分為量數的同構型、量數的叉積型及多 重比例型三類。量數的同構型涉及到兩個度量空間直接相比，每 個度量空間均包含兩個相異的數，故其結構是在探討四個值的關

乘法、等分除及包含除；若四個值中有三個值已知，則屬「3 的規 則」問題。量數的叉積型是由兩個度量空間的叉積合成產生第三 個度量空間，如：3 件襯衫和 2 條褲子會有幾種搭配方式？在乘法 問題中以此類題目最難讓學生了解。多重比例型涉及三個度量空 間，是探討四個值之間的關係，依未知數所在位置，可分為乘法、 等分除及包含除。 2. Greer 模式（引自林碧珍，1991）：是以符號 STS、SSS、SRS 乘的 結構將乘除法分類，即以問題的對稱性和不對稱性來分，STS 是 不對稱型，SSS 是對稱型。STS 中的第一個 S 是指最初量經一種 變換 T 成為另一量 S，此結構依未知數的位置分類，ST│S│是乘 法問題， │S│T S 是等分除問題，S│T│S 是包含除問題，每類型 皆可應用於「多重群」、「測量的連加」、「常量的改變」、「比率」 及「度量的換算」；SSS 是由兩個量結合成第三個量，相當於 Vergnaud 量數的叉積型，可應用於「矩形的陣列」、「組合」及「面 積」。

3. Nesher 模式（引自林碧珍，1991）：Nesher 參考 Schwartz 及 Vergnaud 的研究，以問題的組成部分，將乘的模式分為函數規則問題（連 加法）、比較型問題及乘法積叉。 4. Baroody 將加減法文字題整合為「添加型」、「拿走型」、「併加型」、 「追加型」及「比較性類型」，而又再細分為「和未知」、「加數未 知」、「被加數未知」、「差未知」、「減數未知」、「被減數未知」等 共十五型（引自劉遠楨，2003）。 5. Marshall 等人（1987）則以「運算步驟」來區分文字題的類型， 解題時若需經過一個運算步驟是屬於單步驟文字題，若需經過二 個運算步驟則屬雙步驟文字題。 (四) 依「文字題性質」分類

一直以來，有關數學文字題性質的研究，大都在探討句法（syntax） 變項、內容與文理脈絡（content and context)變項以及結構（structure） 變項（Goldin、McClintock，1984；引自蕭毓秀，2001）；而影響文字 題解題行為的變因則有語法、內容與文理脈絡以及結構等三大變項（紀 惠英，1991）。 1. 語法變項（syntax variables）:係指問題中出現之文字與符號的安 排，及此些文字、符號間的關係等，如：句子的長度、句子和數 據的排列順序及問句的位置等。

2. 內容與文理脈絡變項（content and context variables）:內容與數學 問題的本質有關，文理脈絡則關係到數學問題的形式。在內容變 項方面，有數學語意變項與主題變項，目的在探究涉及數學運算 的字彙或關鍵字及問題情境等因素對解題的影響。 3. 結構變項（structure variables）:結構變項係指問題中所有元素間的 數學關係，如解題所使用的運算規則、所需的運算步驟等。問題 中所有元素間的數學關係，有的是從解題所需使用的運算法則， 有些則由解題所需的運算步驟，亦有以「問題空間」的概念來分 析問題的結構，而更有探討此些變項對問題難度或解題後學習遷 移效果的影響。 上述三個變項皆是從問題本身呈現的方式來分析數學問題，屬數 學問題的表層語意結構。

(五) 依 「 教 學 層 面 」（ form a pedagogical perspective ） 分 類 （ Jeremy Kilpatrick，黃敏晃譯，1988）

Kilpatrick 指出 Polya 從「教學層面」角度給了文字題一個很好的 分類方法，從此層面來看，數學問題被當作是數學建構的泉源，數學 教學進行的工具，藉由讓學生解決數學問題而搭起數學的鷹架，其將

究級的問題。

1. 例行性問題（routine problem）：將正在學或討論的規則、運算， 用來作機械式的運用就能解決的問題。

2. 有選擇的應用問題（application with some choice）：需應用以前所 學過之規則或步驟才能解決，且解題者需做一些判斷以選擇適當 的規則或步驟。

3. 選擇一種組合（choice of combination）：解題者須將兩個以上所學 過的規則或例子加以組合運用，才能解出來的題目。

4. 接近研究級的問題（approaching research level）：面對此類題目， 解題者需將兩個以上所學過的規則或例子做創意的組合才能解 決。此種組合會有許多分支，且需有相當高層次的獨立思考的能 力，以及使用到擬真推理（plausible reasoning）。 Polya 認為從第一類到第四類的問題，其題目難度及教育價值（訓練學 生思考方面）越來越增加；以往的數學教育最常出現的是第一類題目，第二、 三類題目偶爾出現，第四類題目很少出現。另外，Kilpatrick 亦分別從社會 人類學及心理學層面來看數學問題。從社會人類學的層面來看，數學問題被 當作是老師給學生的一項任務，以及學生在接受此項任務時產生的微妙關 係，如師生互相猜測對方的想法或以自我觀點來解釋對方的言行而產生的教 室氣氛。而從心理學的層面來看問題時，問題通常是被定義為一個情境，在 此情境中人們想要達到某一目標，但無法直接通往此目標，而人為了達到目 標所做的一些活動即為解決問題；而數學問題則是指在尋求答案的過程中， 必須用到數學概念、原理或方法的問題（Jeremy Kilpatrick，黃敏晃譯，1988）。 而Thomas 將數學問題分為認知的問題即為認知或回憶特殊事實、定義 或定理敘述之問題；運算法則的問題即為可以一步一步用運算規則或程序解 出來的問題；應用問題即為可以將問題化為符號式，再解此代數式的問題； 探索式問題（open-search）即為不含解題策略提示的問題；情境問題（problem

situation）即提出一個問題的情境，然後要學生思考，或自行提出問題而後 回答（引自古明峰，1994；孫達剛，1992）。

Greeno 分析了許多問題，歸納出三種不同類型的問題，此三類型亦可對 應到解題時所需的認知操作與技巧。首先是引發結構的問題（problems of inducing structure），這些結構包括問題中各個組成間的關係，如「類比問題」 （analogy problems），Greeno 認為解決這種問題所需要的主要能力是一種解 題經驗的了解；接著是轉換問題（transformation problems），經過一連串的 運作，將目前所呈現的狀態轉成所欲達到的目標狀態而選擇適用的方式， 如：「魔術方塊」就屬此類問題，根據Greeno 的看法，這類問題所需要的主 要認知方法是「方法—目的分析」，方法—目的分析是指解題者察覺到目前 的狀態與所欲達到的狀態有所差異，進而發展出能減少這些差異的的解題行 動；最後是安排問題（arrangement problems），解題者根據某些效標重新組 合問題，如「字謎」就屬此類，解題者需要建構式地搜尋，嘗試各種可能性， 直到找到答案（黃秀瑄和林瑞欽編譯，1991）。 黃敏晃（1991）在「淺談數學解題」中將數學問題分為例行性問題與非 例行性問題兩類。例行性問題就是我們熟悉解法的問題。這類的題目可能是 課本上的例題，或是老師講解過，或是家人教過，或是曾自行練習過，或者 是這類題目的類似題；這類題目重視熟練一些固定的技巧，或模仿，而非將 已學過的知識應用在不熟悉的地方。而非例行性問題這類題目在我們剛看到 時，無法立刻知道如何解，或者曾聽他人講過，或者曾經解過，但因時間久 遠已全然忘記。面對此類問題時，解題者需將所學過的知識經過一番檢查整 理，然後找出可使用的部份應用在新情境上（學習轉移）。這是較高層次的 認知活動，甚至有學者認為只有在面對非例行性問題時，解題的行為才會發 生。 因文字題複雜的特性，故以上各種分類方式，無論是哪一種都無法涵蓋 所有的文字題；而透過此些分類方式，可加強我們對文字題的了解，不同的

文字題類型，是影響解題表現的重要因素之ㄧ。 三、文字題的相關研究 文字題是數學教學裡最高層次的認知活動（陳忠立，1991），比一般的 算術需要更複雜的的認知過程，能成功的答題往往需結合各項不同技能；而 又因文字題的複雜特質，常造成學生解題上的困難。有些學者認為大多數的 學生無法成功地解題，原因常是學生在缺乏適當的問題基模下，只以問題的 表徵作為解題的依據，即問題的理解表徵甚於問題解決，如在比較類的題目 中，「比多」及「比少」此類之關鍵字常被學生利用來作為解題的依據（Lewis 和Mayer，1987；引自古明峰，1998a；謝毅興，1991）。 Fischbein、Deri、Nello 和 Marino 等人（1985）根據其他人的研究，對 學生乘除的表現提出「暗隱模式」（implicit model）或「直覺模式」（intuitive model）：每一運算，皆連接著一種暗隱模式，是源於直覺的，人們面對文字 題時，是透過此模式來決定運算符號的；Fischbein 等人認為因暗隱模式的影 響而造成學生在乘除法文字題上的錯誤認知：「乘法的結果會變大」、「除法 的結果會變小」，即因乘法暗隱模式是連加，除法之包含除暗隱模式是連減； 而此暗隱模式的產生原因其一是整數運算教學時，某些概念無法適當的調適 同化，以至於無法重整，另一是人類的心靈活動，常源於直覺的基本知識。 學生在解文字題時，若常犯明顯的規則性問題或系統性錯誤，則顯示學 生對問題情境有迷思概念，對於問題的內容語意不了解，而未能充分掌握問 題的真正意思（De Corte & Verschaffel，1991）；而 Webb 研究發現文字題的 內容、文裡脈絡及描述的句法若不同則會影響問題的難度，會連帶影響學生 的解題（引自蕭毓秀，2001）。 侯鳳秋（1998）針對 140 位學生做研究，發現數學題目的陳述以較具體 的文句敘述會有助於學生的解題。文字題的情境對學生解題的影響也是一個 重要因素，學生在解有情境的題目時，學生的表徵會較多樣，情境化的題目 中正式的數學語言也較少，對學生而言，會較容易接受；而在真實生活情境

下的數學問題對於學生而言較有意義，學生也較能說出合理的解，學生解題 時的表現會較好（DeFranco 和 Curcio，1997；Eisenberg，1991）。 文字題本身包含豐富的內涵，不同的研究者依其目的會採用不同類型的 題目或分類標準，本研究兩份試題是以情境與非情境來分類，兩者在語法上 並不相同；在內容運算方面兩份試題亦涵蓋各類型的題目，本研究以此兩份 試題進行研究，以了解學生在不同類型試題的表現。

第三節 數學解題之相關理論

數學教學的主要目的之一是培養學生具有解決問題的能力，亦即培養學 生能有獨立思考並進行有創造性活動的能力。1989 年美國數學教師協會 （NCTM）在「學校數學課程與評量標準」中就提到解題是數學學習的重點， 我國在八十二年版的課程標準及九年一貫課程綱要中也強調解題的重要 性，而解題與閱讀理解能力的相關性，是本研究的一個重點，另外本研究亦 探究城鄉地區學生及不同性別學生與解題表現的關係。以下分別介紹數學解 題歷程及數學解題的模式。 一、數學解題的歷程 解題歷程是指解題者在解數學問題時，經閱讀理解題目、計畫解題的策 略、使用解題的策略、求出解答及驗證答案的整個運算過程（涂金堂，1999）。 對於數學解題歷程的研究，數學家與心理學家各從本身所專精的領域發展出 兩種不同的研究取向，以下針對此不同的研究取向來介紹數學解題的歷程： (一) 數學取向的解題歷程 1. Polya 的數學解題歷程模式（玻利亞，1945；蔡坤憲譯，2006） Polya 是最早有系統提出解題策略的學者，在其所著的「怎樣 解題」（How to solve it）的書中，將解題歷程分為四個階段，第 一階段是了解問題，需清楚知道，什麼是我們要尋找的答案；第二 階段是擬定計畫，要了解問題中存在的各個關係，在擬定一個計 畫；第三階段是執行計畫，動手執行計畫，即進行數學計算；第四 階段是驗算與回顧，驗算答案，討論其意義。他並建議解題的過程 應採用啟發法。（表2-3-1）

表2-3-1 Polya 解題活動的四個階段 Polya 解題的四個階段 解題提示 1.了解問題 什麼是未知數？什麼是已知數？有哪些已知條件？ 2.擬定計畫 你是否使用了所有的已知數？你是否使用了全部的 條件？ 3.執行計畫 檢查每個步驟。你能清楚地看出此步驟是正確的 嗎？你是否可證明他是正確的？ 4.驗算與回顧 你可以驗算答案嗎？你可以驗算過程 嗎？ 整理自（玻利亞，1945；蔡坤憲譯，2008） 隨後有許多的學者皆致力於研究Polya 的解題四階段並發展出 其他的解題歷程模式，但內容皆是以Polya 的解題四階段為主要精 神。Glass 和 Holyoak（1986）將 Polya 的解題歷程以一個通則性的 流程圖表示（圖2-3-1）。 圖2-3-1 問題解決模式（Glass＆Holyoak，1986） 嘗試計畫， 以尋求答案 形成問題的 初步表徵 嘗試重新 陳述問題 執行計畫， 並檢查結果 遇到困難，停頓， 重新回到（3） 做出答案 執行 計畫 失敗 失敗 成功 成功 計畫無效 （2） （4） （3） （1）

此流程圖包括四個重要的部份：形成問題表徵即理解題目，是 解題的第一個步驟，也是最重要的過程。解題者在理解後將題目的 敘述，以不同形式的表徵呈現，不同的表徵會導致不同的解題策 略，所以正確地理解題意，形成正確表徵是成功解題的第一步；嘗 試計畫，以尋求答案即較複雜的題目，在理解題意形成表徵之後， 需擬定解題計畫，計畫是一個有階層性的歷程，擬定計畫後，解題 者按著計畫一步步地分析找出答案；重新陳述問題即解題時，在採 用上述二個步驟仍無法解決時，便需重新考慮建立表徵的方式；必 要時便需重新理解題意，並回想相似的解題經驗。因為有些題目表 面上看起來不盡相同，但從其相似性卻可很快找到解決的方法，這 種相似性的架構，便是基模（Schema）。認知學派的學者認為， 使學生獲得一個題目的基模是成為優秀解題者的重要關鍵，所以教 師教學應以此為目標（Glass 和 Holyoak，1986）；執行計畫並檢 查結果，這是問題解決的最後步驟，解題者需運用程序性知識 （procedural knowledge）來進行運算。 Polya 建 議 解 題 的 過 程 中 應 採 用 啟 發 式 教 學 法 （ heuristic teaching），其特徵為在問題解決的過程中，教師必須帶動討論氣 氛；在解題過程中，教師需鼓勵學生使用啟發式的推理思考；教師 需幫助學生成為具有獨立思考與推理能力的解題者。啟發式教學法 早在Polya 之前就有學者討論，但因認知心理學強調學習歷程比結 果重要，啟發式教學法才再受到重視；Polya 的啟發法以現代的形 式呈現，即其所提出之解題四階段，也是當今數學教育及認知心理 學理論很重視的一套教學策略（玻利亞，1945；蔡坤憲譯，2008）。 2. 曹宗萍（1988）將 Polya 的解題四階段中所使用之解題提示加以修 改，更適用國小的學童。第一步瞭解問題，即是問題告訴我們什 麼？他們之間的關係如何？問題要求什麼？第二步擬定計畫，即 是問題裡告訴我們的與所要求的之間有什麼關係？是否有解過類

似的問題？是否可以畫一個圖形，來幫助解題？是否可以畫一個 圖表，來幫助解題？是否可以簡化題意，看出規律，進行找出公 式？是否將問題中所告訴我們的全部都派上用場了？第三步實行 計畫，即是實行你所擬定的計畫，校核每一個步驟。第四步回顧 答案，即是結果合理嗎？你能用不同的方法得出結果嗎？你能把 這個結果或方法應用到別的問題上去嗎？。 3. 劉秋木的數學解題歷程 劉秋木（1996）根據 Polya 的理論，將解題歷程分為理解問 題、擬定計畫、執行計畫、檢討與回顧四個步驟。 （1）了解題意：解題的第一步是理解問題，在強調如何建構 對問題情境初步的問題表徵，解題過程是不斷重組結構的歷程，當 我們完全理解一個問題情境結構時，也就是能夠解決該問題的時 候。而要建構初步的問題表徵，首先要了解文字的意義、應用相關 的知識、分析問題中的目標與條件、轉換不同的表徵，所以劉秋木 認為理解與解題是不可分的。 （2）運用策略：面對複雜的問題時，需要思考策略才能發現 問題所隱含的結構。這個階段是訓練如何發現結構的思考策略。解 題的一般性策略包括條件目的分析；應用算術式；應用代數式；畫 圖；作資料；簡化問題；尋找組型；猜測與檢核；發現關係；推理。 （3）執行計畫：擬定計畫與執行計畫的過程是密不可分的。 當解題者有一個想法，便想將這個想法實現出來使它更具體化，則 這個想法便含有執行計畫的活動。此步驟包含計算：根據已列出算 式計算、求得結果。測量：利用工具測得某一物體的量。作圖：能 利用工具畫出所構想的圖形。 （4）完成答案：此階段主要的思考策略包括評估解題過程的

題，故劉秋木認為此階段是認知結構的重組。 4. Lester 的數學解題歷程 Lester（1980）將解題歷程區分為六階段：察覺問題、理解問 題、分析目標、發展計劃、執行計劃及執行程序和評估答案。Lester 認為影響解題表現的因素有問題本身，如問題的內容、格式等；解 題者，如解題者自身的經驗、知識等；解題歷程，如解題時的表徵、 策略等；解題環境，如教學時的各種因素。Lester（1985）融合 Polya 的解題模式與Flaell & Wellman 的後設記憶（metamemory）概念， 提出一個認知—後設認知的模式。他認為解題有四個認知因素和三 個後設認知因素，關係如圖2-3-2。 圖2-3-2 Lester 的數學解題—認知模式 根據上述的解題歷程，可了解大多以Polya 所提出的四個步驟為基 礎。其中Lester（1985）及劉秋木（1996）與 Polya 同樣是將解題歷程 分成四個步驟。且 Lester 與劉秋木二者同時將後設認知理論，融入整 個解題的歷程中。整體而言，數學取向的解題歷程，主要將整個解題 歷程區分為了解問題、擬定計畫、執行計畫及驗證解答等四步驟。 (二) 心理學取向的解題歷程 後設認知成分 個人變項 工作變項 策略變項 認知成分 導引 組織 執行 驗証

有些心理學家從問題表徵的觀點，探討解題歷程（Amarel，1983， 1986；Enright & Beattle，1989；引自陳成恭、陳嘉甄、吳南真和蔡隸 關，2002）。而心理學取向解題歷程研究，重心在於解題者在解題的歷 程中，如何將問題敘述（語言形式）轉換成數學運算敘述（符號形式）。 Mayer 從認知心理學的觀點將解題歷程分為兩個歷程，四項成分及五種 知識類型，分述如下（引自王瑞慶，2002；涂金堂，1996；楊瑞智， 1994）（表 2-3-2）： 1. 問題轉譯（problem translation）：應用語言知識與事實知識，將每 一個陳述遽轉變為個人能理解的內在心理表徵。

2. 問 題 整 合 （ problem integration ）： 利 用 基 模 知 識 （ schematic knowledge）整合問題的資料成連貫的問題表徵，過程中解題者需 有辨別問題的能力。

3. 解題的計畫與監控（Solution planning and monitoring）：運用策略 知識協助解題者擬定計劃及監控計畫，將問題分為幾個子目標， 逐步達成。 4. 執行解題（solution execution）：需以程序知識準確且有效的執行解 題的計畫。 表2-3-2 Mayer 的解題歷程與知識的關係 歷程 成份 知識類型 轉譯 語文知識 事實知識 問題表徵 整合 基模知識 計劃及監控 策略知識 問題解決 執行 程序性知識 答案 引自王瑞慶（2002）

心理學取向的解題歷程，較重視問題的表徵，亦即將數學題目中的每一 個句子轉譯成解題者能理解的心理表徵，並把每個句子整合成連貫一致的結 構。數學解題是以一種統整的概念來進行歸納與演繹的理解過程，且在解題 中特別重視解題的歷程與推理、有意義的學習及概念理解（許美華，2003）。 從上述多位學者所提出的研究發現，解題歷程大致可分為六個階段：遭遇問 題、理解問題、擬定計劃、執行計劃、體驗解題結果和回顧解答（許美華， 2003；楊瑞智，1994）。學生在遇到數學文字題時，必須先理解題意，進而 發展出相關的問題結構，並試著建構出能代表問題的表徵模式，再依此表徵 得出結果。 二、數學解題的模式 數學解題的模式大約可以分為「階段型」、「成分型」及「問題表徵轉換 型」三類。階段型強調解題過程中的各個階段；成分型是列舉解題過程中的 各種能力或行為；問題表徵轉換型則重視問題表徵的不同系統間的運作（楊 瑞智，1994）。 楊瑞智（1994）認為影響數學解題歷程的有五個重要成分：對問題的知 覺、了解與表徵；相關數學知識或概念的理解；擬定解題策略與執行；察覺 並監控策略的執行；回顧解答。依此分法，可知Polya 的解題模式類型是屬 階段型，包含對問題的知覺、了解與表徵，擬定解題策略與執行及回顧解答， 缺乏相關數學知識或概念的理解及察覺並監控策略的執行。Lester 的解題模 式類型是屬成分型，包含對問題的知覺、了解與表徵，擬定解題策略與執行， 察覺並監控策略的執行及回顧解答，缺乏相關數學知識或概念的理解。Mayer 的解題模式類型是屬階段型與成分型，包含對問題的知覺、了解與表徵，相 關數學知識或概念的理解，擬定解題策略與執行及察覺並監控策略的執行， 缺乏回顧解答。依楊瑞智（1994）的分法，可知曹宗萍的解題模式類型是屬 階段型與成分型，包含對問題的知覺、了解與表徵，相關數學知識或概念的 理解，擬定解題策略與執行及回顧解答，缺乏察覺並監控策略的執行。而劉

秋木的解題模式類型是屬階段型與成分型，包含對問題的知覺、了解與表 徵，相關數學知識或概念的理解，擬定解題策略與執行及回顧解答，缺乏察 覺並監控策略的執行。故能比較出 Polya、Lester、Mayer、曹宗萍和劉秋木 的解題歷程的差異，可知Mayer 的解題理論包含了較完整的解題成分，雖然 它缺少「回顧解答」的成分，但它同時可歸類為階段型及成分型，因此，從 成分型的觀點而言，應不失其完整性。Mayer 的解題理論較重視認知的部 份，但不強調後設認知，如此對後設認知能力仍有限的國小學童較為適合。 由各學者的看法可以歸納出解決問題的基本步驟為理解問題、擬定計 畫、實行計畫及驗算與回顧，此解題歷程大多以Polya 的解題歷程基礎，其 中最先須具備的是語文理解的能力，而之後對於計劃的擬定須掌握題目基模 的部份，如此才有利於解題。部分研究（翁嘉英，1988；黃敏晃，1986；鄭 昭明，1993；謝毅興，1991）已經顯示許多學生解題失敗的原因大多是因為 對題意的了解不夠清楚，因此，如何協助學生真正理解題意，了解學生對題 意的理解是本研究探究的方向。

第四節 情境學習理論之探討

荷蘭的教育學者 Freudenthal 等人早在 1973 年提出真實數學（realistic mathematics）的理念，認為數學教育應該以兒童的認知發展為基礎，以生活 真實的情境為核心，讓學習者可以藉由日常生活中的事件，應用數學，並在 其中經驗、察覺數學的關係，進而內蘊化（引自劉祥通，2002）。運用在學 校中所學得的知識來解決日常生活中所遭遇的問題，是當前對學校教育的要 求之ㄧ，亦作為衡量課程內容的的一項準則（黃家鳴，1997）。雖然教育與 課程不斷的在改革，但入學升學考試的壓力一直存在，如此之下的所教育出 來的學生就像是一部部的考試機器，所獲得的只是應付考試的「僵化知識」， 要解決「僵化知識」的問題，部分學者提出「情境學習理論」來解決這種情 況（徐新逸、辜華興，1999）。

一、情境學習理論 所謂情境學習是指學習者在學習的過程中與所學習的情境相結合，讓學 習者在「擬真」的環境下學習，藉由主動與實際情境中的人、事、物互動， 建立對知識的合理化解釋（王文琦，2001；徐新逸，1999）。「情境學習」理 倫源於Scribner、Suchman 與 Lave 的研究，藉由對人們日常工作與生活的行 為發現，人類日常生活的認知活動常是受制於當時的情境，解決問題時亦常 會出現不同於學校教育的方式，並建立自己的知識表徵（引自鄭晉昌， 1993a）。Brown、Collins 和 Duguid（1989）根據 Scribner、Suchman 與 Lave 等學者對一般日常生活研究的結果，指出知識是情境化的，且其部份是人類 在活動中應用、文化及社會脈絡的產物，基於此，他們強調學習要在真實情 境中進行。

情境學習理論的本質在於「學習」是透過社會的活動來達成，知識意義 的形成是基於整個學習活動（鄭晉昌，1993b）；情境學習理論也可以杜威 （John Dewey）所提倡的「從做中學」（learing by doing）與「實務能力」 （practical intelligence）的觀點來說明知識的形成與意義，人類認知的探索 不能以個體為基礎，亦不能抽離社會情境與文化脈絡，要以人在社會環境中 的互動為方向（朱則剛，1994）；亦即知識是在情境中建構的，並且不能與 社會文化脈絡脫離（王春展，1996）。如果知識的傳遞是抽離情境的，那學 習就變成只是玩弄抽象符號的遊戲，學習者學到的只是一種新的觀念，而不 是內化的真實經驗（鄭晉昌，1993a）。 Suchmon 觀察人們操作影印機時發現，大部分的人並非先閱讀使用者手 冊後再操作機器，而是在使用過程中遇到困難時，再查說明書或直接請教有 類似經驗的人。所以Suchmon 提出「情境行動」（sitiuated action）的觀點， 強調知識若脫離了情境，則學習就只變成玩抽象的符號遊戲（引自鄭晉昌， 1993a）。一些情境認知學者，從日常的觀察發現一些從事謀生工作的普通人 （如修車工人、麵包師傅），他們並非像專家一般受過訓練或教育，但他們

面對工作上的問題仍可以有令人滿意的表現，其原因是這些人非常投入他們 的工作，並且在他們平日的工作經驗中獲的知識和技能，產生解決問題的能 力，這種情形說明了知識的學習與獲得是在情境中建構而來的（徐新逸， 1996；Lave＆Wenger,，1991）。 從「情境」的角度來看，情境式的數學可以提供學生一種較真實且豐富 的數學經驗與知識，同時可以激發學生學習的動機和興趣，讓學生能夠在情 境中的數學問題感受探索數學的樂趣（詹士宜，2003；鍾毓瑾，2002）。情 境學習理論的特點一是強調學習活動的真實性，在真實情境或模擬情境中， 身歷其境的學習，區分為「物理真實性」與「認知真實性」，先強調「認知 真實性」，在轉移至「物理真實性」；一是強調主動探索與操作，學生必須在 學習的情境中，透過對學習內容材料的主動操作了解其原理；另一是重視情 境中的觀察、示範、解說等的學習方式，在學習初，教師先示範，接著學生 逐步參與，教師的角色由積極的輔助者轉為被動答詢的的備詢者，最後完全 退出，學生就完成學習；最後是重視從邊際參與到核心參與的學習過程，此 理論認為學習應從實際參與活動的過程中學習，而其歷程是由周邊向核心推 進。情境學習理論也就是強調先有概念，接著熟悉所有周邊工作，最後完成 主要核心工作的學習方式（邱貴發、鍾邦友，1993；戴錦秀，2004）。 二、情境學習理論在教學上的運用 學者以情境認知學習理論為基礎，發展出適合應用於的教學與學習的架 構，「錨式情境學習」是最著名的方式之ㄧ（戴錦秀，2004）。美國的范登堡 大學（Vanderbit University）的認知科技群（Cognition and Technology Group at Vanderbilt，[CTGV]）以「情境學習」的理論為基礎，以「情境認知」的 觀念，運用多媒體科技融合學習理論與教學設計，提出「錨式情境學習」的 觀點，此觀點是提供一個較真實的故事性學習環境，引導學生藉著情境中的 資料發現問題、形成問題、解決問題，讓學習者可將數學或其他學科的知識

問題、解決問題，在這樣的過程中，學習者才能真正了解「為什麼」（why）、 「何時」（when）、「如何」（how）使用已經學會的概念和解題策略（徐逸新， 1995a，1995b，1998，1999；陳國泰，1997；徐逸新和辜華興，1999）。 CTGV 所提出的「錨式情境學習環境」有七項設計特徵（徐逸新，1995a； 陳國泰，1997；徐逸新和辜華興，1999），第一是影片形式的呈現，其目的 是給學習者一個真實、有趣的畫面，可刺激並幫助學習者學習理解；第二是 敘述故事的方式是創造有利於問題解決、內容豐富且生活化的學習情境，有 助學習者進行有意義的學習；第三是「錨式情境學習」方式下的故事結構嚴 謹，有別於一般的故事，此外，故事內容的呈現並不主動告知學習者接續的 處理方式，留給學習者極大的思考空間並嘗試自己解決問題；第四是「錨式 情境學習」設計最大的特色在於隱喻資料，將解題之相關資訊隱藏於故事 中，不明示於學習者，讓學習者自行判讀；第五是問題較複雜，在「錨式情 境學習」中最著名的The Jasper Series 裡，所需解決的數學問題大多需分解 成 15 個或更多步驟，或者一系列的子題；透過這種訓練，學習者可增強自 己解題的自信心；第六是「錨式情境學習」的故事是屬配對式的冒險故事， CTGV 所設計的 The Jasper Series 已發展出十二個冒險故事，可分為三組（每 一組包含三個不同的故事），分別是與旅行、經商、尋路有關的計畫，涉及 距離、時間、速度、統計、幾何極代數等數學概念（CTGV，n.d.），採用配 對的故事設計，是希望學習者對於所欲學習的知識概念有額外練習的機會， 藉助故事中不同的情境，可以達到學習遷移的目的，刺激學習這對類似問題 的思考。第七是 CTGV 的「錨式情境學習」是跨學科的設計，強調的是多 學科領域的結合，如冒險故事中的地點可能是歷史中的名勝，此種與其他課 程結合的設計有幾個優點，即可幫助學習者將數學的思考延伸至其他領域， 亦可達到知識整合的目的，也可支援學習者資料的獲得、分析與表達。在 CTGV 所提出的「錨式情境學習環境」的情境學習的方法中，最著名而且最 成功的教材就是悉達河之旅 The Jasper Series（The Adventures of Jasper Woodbury Mathematical Problem Solving Series）。

錨式情境學習是將學習與生活情境結合一起的學習方式，學習者在一個 有意義的學習空間學習，學習不再是抽象無意義。透過故事學習者可身歷其 境，彷彿是自身的故事，學習會更有動機、會較有意義；此方式是可由編故 事的人決定學習者要學什麼，也就是當學習者解決一個特定問題時，他必定 學到了某個知識概念（黃俊仁，2003）。徐逸新（1993，1995a，1995b）對 於錨式情境學習有深入研究，自行開發設計適合台灣學生的「錨式情境學習」 教材「生活數學系列」：「安可的假期」及「小珍的選擇」，適合國小高年級 學生，其中所包含的內容有：四則運算、時間、時刻表、距離和方向等的數 學觀念。教材利用電腦播放光碟方式呈現，內容是以故事的方式提供逼真的 學習環境給學習者，讓其運用隱藏在故事陳述中的資料做問題解決的工作。 三、情境學習理論之相關研究 黃俊仁（2003）依錨式情境理論編制情境式的試題，探討高屏地區五年 級學生在城鄉、性別、閱讀能力及父母的社經地位與學生解文字題的影響； 發現一般學生在較熟悉的文字類型即傳統文字題的表現較情境式試題來得 好，但在低分組的表現則是情境題較傳統題好。 徐新逸和辜華興（1999）以徐新逸所研發之「錨式情境學習」教材「生 活數學系列：小珍的選擇」對五年級學生進行研究，結果發現「情境學習環 境」教學法對國內國小學童在數學學習成就上有明顯的助益。 本研究有情境的數學文字題，擷取錨式情境學習的特點，將所欲測量的 概念，以一個貼近生活情境的故事呈現，讓解題者認為自己是主角或是幫助 主角解決問題，而不只是運算數學罷了；而本研究的傳統文字題對解題者而 言，他們會認為只是在解數學問題。研究者認為這樣的故事內容可以激起解 題者的興趣，提高解題者的解題動機。

第五節 影響解題之相關因素探討

有獨立思考並進行有創造性活動的能力。1989 年美國數學教師協會（National Council of Teachers of Mathematics, [NCTM]）在「學校數學課程與評量標準」 中就提到解題是數學學習的重點，我國在八十二年版的課程標準及九年一貫 課程綱要中也強調解題的重要性。本節就影響解題表現之因素：閱讀理解、 性別及城鄉差距進行探討。 一、閱讀理解 數學應用問題的解題教學在數學教育中一直是重要的焦點，因為在應用 題的解題歷程中，涉及計算能力、數學概念與語文理解等知識，在遇到文字 題時，須先了解問題的陳述，回憶或激發出相關問題的知識結構，並嘗試建 構出能表徵此問題的模式，再根據此表徵推論出結果，屬綜合能力的培養（唐 淑華，1995；陳成恭、陳嘉甄、吳南真、蔡隸關，2002）。若學生對解文字 題感到困難，其原因可能是不清楚題意、忽略對題目的理解或因為從語文式 的數學變成形式數學的過程中涉及許多的轉換（黃敏晃，1986；翁嘉英， 1988；謝毅興、1991；鄭昭明、1993）。 Gagne, 和 Yekovich（引自盧秀琴，2004）將閱讀理解分為字面文義的 理解，指閱讀時能了解字彙的意思，並能理解字彙串成文句的意義；推理理 解，指更深入了解文章中的內涵意義，非侷限字面意義的理解；理解的監控， 指閱讀者本身在閱讀當中自身監控是否能理解閱讀的內容，若發現不清楚 時，該如何補救。 Gunning 將閱讀理解能力的發展分為五個階段，分別為階段一是閱讀萌 芽期為零歲至5 歲，此階段會快速發展聽覺語言能力為閱讀打下基礎；階段 二是開始閱讀期為幼稚園至國小一年級，因解碼識字的能力尚未自動化，兒 童將認知資源多用在識字上，一個字一個字的認、唸，使得閱讀速度非常緩 慢；階段三是閱讀能力獨立、進步期為國小二至三年級，此階段閱讀的流暢 性、速度、文章意義的理解能力都大大提昇；階段四是由閱讀中學習為國小 四至六年級，此階段課程中出現的訊息及概念越來越複雜，因此兒童需要認

識更多生字的意義、理解課程內容，並在認知系統中建構、組織概念；階段 五是抽象閱讀為國中以上，在此階段，青少年不再依賴背誦、記億的方式吸 收知識，而開始由閱讀的內容中理解事務的組織原則，方可建構不同層面的 的假設，考慮不同的觀點，以及仔細思考各種合理的解釋、理由或替代方案。 國小四到六年級的學生處於第四階段，故學生必須學習、了解更多的內容， 且國小學童的閱讀理解能力也會隨著年齡的增長而增加（引自錡寶香， 1999）。 閱讀部份的教學不只是加強國語能力，更是各科學習的基礎；閱讀能力 的好壞不僅直接影響學生知識的吸收，亦關係著學生解決問題的能力（藍慧 君，1991）。數學文字題的解題能力與閱讀理解策略的關係是不容忽視，大 多數的研究均發現閱讀理解策略與數學學業成就有顯著的正相關；曹宗萍 （1988）以國小六年級兒童為對象進行研究，探討高屏地區國小兒童四則問 題的解題表現與其相關因素的影響，發現語文能力及閱讀理解能力越好的學 生，數學文字題解題表現越好；林美惠（1997）以國小二年級學生為對象進 行研究，探討表徵型式與國小二年級學生加、減法解題之相關情形，發現語 文能力及閱讀理解能力越好的學生，數學文字題解題表現也會越好；黃俊仁 （2003）以國小五年級學生為對象進行研究，其研究之ㄧ為探討閱讀與數學 解題的相關情形，發現語文能力及閱讀理解能力越好的學生，數學文字題解 題表現越佳；而唐淑華（1995）以 74 位自願參與實驗的國中一年級學生為 對象，進行研究發現語文理解能力與數學文字題的解題表現有顯著相關；另 外在吳國銘（1994）以 187 位國小五年級數學能力低落之兒童為樣本，將樣 本分為動態評量組及控制組，其研究中發現，五年級學生語文理解及乘除運 算能力不足是文字題解題困難的最主要因素。另外，Badian 在 1983 年的研 究中指出美國中小學學生中約有6.4％有數學障礙，4.9％有閱讀障礙，而有 閱讀障礙的學生中有 56％的學生有數學程度低落的現象，有數學障礙的學 生中有43％的學生有閱讀低落的情形（引自秦麗花，2003）。