摩擦力

一、摩擦力 二、產生摩擦力的原因 三、摩擦力的種類 四、摩擦係數 μ值的測定 1 範例 1 範例 2 範例 3 範例 4 範例 5 範例 6 範例 7

一、摩擦力

當兩物體的接觸面間，有相對運動的現象或

有相對運動的趨勢時（此時仍為相對靜止），就 會出現這種平行於接觸面，且有阻止兩物體作相 對運動的摩擦力 (friction) 。

3

二、產生摩擦力的原因

1. 一個看起來再怎麼光 滑的表面，若將其放 大數萬倍來看，表面 仍然是凹凸不平，如 右圖所示。 2. 當兩個物體互相接觸時，這些不平坦表面就會彼 此嵌入。想要讓兩個接觸面作相對運動時，就必 須先克服接觸面間數以千萬個互相嵌入的點。此 即摩擦力的來源，其方向與滑動或想要滑動的方 向相反。

三、摩擦力的種類

性質 公式 靜 摩 擦 力 1. 物體與接觸面間沒有 相對運動時，物體所 受的摩擦力，稱為靜 摩擦力。 2. 靜摩擦力並不是一個 定值，而是隨著作用 力 F 的量值而改變 。 靜摩擦力＝ 。 s

f





_F

作用力

5 性質 公式 最 大 靜 摩 擦 力 1. 物體正要由靜止開始和接觸 面作相對運動的瞬間，所受的 摩擦力稱為最大靜摩擦力（記 為 f_{s max} ），或簡稱最大靜摩擦 ，這是靜摩擦力的最大值，亦 稱為起動摩擦。 2. 在接觸面性質相同的情形下 ， f_{s max} 與接觸面的面積無關 ，但與兩物體間的正向力的大 小成正比。 最大靜摩擦力 ＝靜摩擦係數 × 正向 力



_f

_smax

_

_

_s

_N

性質 公式 動 摩 擦 力 1. 兩接觸面間有相對運動時 ，物體與水平面間存在阻止 物體運動的摩擦力，這種摩 擦力稱為動摩擦力（記為 f_k ）。 2. 動摩擦力 f_k 之性質與 f_smax 類似，在接觸面性質相同的 情形下， f_k 與接觸面的面 積大小無關，也與接觸面間 的相對速度量值無關，但與 兩物體間的正向力的大小成 正比。 動摩擦力 ＝動摩擦係數 × 正向力



f

k





k

N

7

※ 水平作用力與摩擦力的關係圖

9

如圖，某人想要推動放在粗 糙地板上的物體，對物體施 以水平作用力，下表是推動 的過程：

接觸面間的作用力

如下圖所示，有相對運動或有相對運動趨 勢的兩物體，不管是平面或斜面，接觸面間的作用 力有二：

11    _{ }    _  垂直運動方向：＿＿＿＿ 無相對運動：靜摩擦力 平行運動方向：＿＿＿＿ 有相對運動：動摩擦力 _{兩接觸面間的作用力大小 ＿＿＿＿＿＿} N2  f 2 N 正向力 f 摩擦力

四、摩擦係數

_{μ 值的測定}

如右圖，將 繞過定滑輪的繩子慢慢 往下拉，使斜面的斜角 θ 逐漸增大。當 θ=θ_s 時 ，重 W 的物體就要開始 沿斜面下滑，此時到達 最大靜摩擦狀態， θ_s 稱 為靜止角。則靜摩擦係 數 μ =tanθ 。

1. 靜摩擦係數 μ

_s

的測定

13 證 max cos 0 sin s s s s N W F f W N          _{ }     ‚ sin _{s s} cos _s W   W  _{ 代入 可得}‚  sin tan cos s s s s       

2. 動摩擦係數 μ

_k

的測定

如下圖，改變斜角至物體等速下滑時， 則 動摩擦係數 μ_k=tanθ_k 。

15 證

₀

cos

sin

k k k k

N W

F

f

W

N











   

_

_









‚

sin

_{k k}

cos

_k

W





W







_{代入 可得}

‚



sin

tan

cos

k k k k















範例1

1

正向力與摩擦力 一人在水平地面上，分別以斜向上拉及斜向下推等兩種 方式使行李箱等速往前移動，若拉力及推力與水平面的 夾角皆為 θ ，如圖所示。已知行李箱與地面的動摩擦係 數為 0.30 ，且 sinθ=0.60 ， cosθ=0.80 ，則拉力大小為 推力大小的幾倍？　 (A)0.40 　 (B)0.63 　 (C)0.81 　 (D)1.00 　 (E)1.60 。【 97 指考】　　

17 1. 行李箱在水平地面上等速前進，故行李箱在水平及 鉛直方向受的合力皆為零。 2. 分析斜向上拉時行李 箱的受力圖如右圖 (a) 所示。

19 解 cos sin k k mg F



 



   拉 cos _{k k} F_拉   f   N sin N  mg F _拉 

cos sin k k mg F        推 cos _{k k} F_推   f '   N' sin N' mg F  _推 

21 cos sin (3) cos sin k k k k mg F mg F



 





 



   拉 推 cos sin cos sin k k

 



 



   0.80 0.30 0.60 0.62 31 0.63 0.80 0.30 0.60 0.98 49        

範例2

2

圓形內壁的摩擦力 如圖所示，螞蟻飛力 沿著半球形之碗的內 壁爬行。已知碗的半 徑為 R ，若飛力與 碗壁間的靜摩擦係數 為 μ ，則飛力能夠爬 升的最大鉛直高度 h 為 ＿＿＿＿。

23 1. 設螞蟻最高可 以爬到圖中的 位置，此時的 摩擦力為最大 靜摩擦力。 2. 螞蟻可上升的最大高度 h = ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 。 R R cos  R(1 cos ) 

解 1 tan  cos       得 。 ‚  cos g   N max sin _s mg   f  N _‚

25 (2)h R (1 cos )  2 1 1 1 R         _    。

範例3

3

鉛直方向的摩擦力 如圖所示，台車的質量 M = 5 公 斤，前端放一質量 m = 2 公斤 的木塊，台車與木塊接觸面之 靜摩擦係數 μ=0.4 ，若重力加速 度為 10 公尺 / 秒 2 ，則系統的 加速度 a 應大於＿＿公尺 / 秒 2 ，才可維持木塊不會掉下來。

27 1. 要維持木塊不會掉下來 ，則 M 與 m 的靜摩擦 力（向上）需與木塊的 重量 mg 相等。 2. 要產生摩擦力，台車需給木塊的正向力 N （向 右），此力讓 m 產生 a 的加速度＿＿＿＿＿。 N  ma

3. 木塊的受力如圖所示，欲使 m 不會掉下 來 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。mg  f_s  f_smax 



_sN 解 mg  f_smax 



_sN 



ma 10 25(m/s ) 2 0.4 g a



    。

29 範例4

4

斜面上的摩擦力 一木塊的質量為 m ，以 v 的初速沿 粗糙斜面上滑，如圖所示。當木塊滑 到最高點後，會沿反方向滑下來，若 斜面與木塊間的動摩擦係數 μ_k ，則 ： (1) 上滑過程的加速度為＿＿＿。 (2) 下滑過程的加速度為＿＿＿。

1. 上滑過程與下滑過程的摩擦力方向相反。 2. 分析系統的力圖如圖所示。

31 解 (1)上滑時：mg sin

 

 _kmg cos



 ma₁ 2 (2)下滑時：mg sin

 

 _kmg cos



 ma 1 (sin k cos ) a g

 



   _。 2 (sin k cos ) a g

 



   _。

範例5

5

斜面上的摩擦力 (1) 將重量為 W 的物體靜置 於與水平面成 θ 角的斜面 上，當 θ 增至 37 度時， 物體恰開始下滑，如圖 (a) 所示。則物體與斜面 間的靜摩擦係數為＿＿ ＿＿。 (2) 現將 θ 增至 53 度，如圖 (b) 所示，欲使物體靜止於 斜面上，沿斜面所施之力 F ，則 F 的最小值為＿ ＿，最大值為＿＿。

33 1. 當 F 為使物體靜止於斜面上 的最小值 F_min 時，此時物體恰 要往下滑，故摩擦力的方向沿 斜面向上，力圖如圖 (a) 所示 。

2. 當 F 為使物體靜止於斜面

上的最大值 F_max 時，此時

物體恰要往上滑，故摩擦 力的方向沿斜面向下，力 圖如圖 (b) 所示。

35 解 3 (1) tan 37 0.75 4 s      3 cos53 5 W   W 3 3 9 4 5 20 sN W W     4 sin 53 5 W   W

4 9 5 5W  20W  4W

min

4 9 7

37 範例6

6

摩擦力不一定是阻力 如圖所示，先將質量 M 為 1.5 公斤的金屬板置於光滑 水平面上，再將質量 m 為 0.5 公斤的木塊置於金屬板 上，金屬板與木塊之間的靜摩擦係數為 μ_s 。今施一漸增 的外力 F 沿水平方向拉動木塊 m ，當木塊與金屬板間開 始相對滑動時， F 恰為 7.8 牛頓，則 μ_s 值最接近下列何 者？ (A)1.2 　 (B)0.8 　 (C)0.4 　 (D)0.2 　 (E)0.05 。答： ＿＿＿【 99 指考】

1. 當木塊與金屬板間恰將相對滑動時，此時兩者間 的靜摩擦力為最大靜摩擦力 f_smax=μ_smg 。令此時兩 者的加速度為 a ， m 與 M 的受力圖如下圖所 示。 2. 在這種情形下，摩擦力卻是使物體 M 向右加速 唯一的力，因此摩擦力不一定都是阻力哦！

39 解 ( ) 7.8 (1.5 0.5) (1) F M m a a      以金屬板與木 　 　 塊為系統：  7.8 2.0 1.2 4.9 1.5 s s





     得 。  ‚ 0.5 9.8 1. ( 5 2) _s s mg Ma a





     _ 　 　 。 。 。 。 。 。 。 。 ‚

7

摩擦力不一定是阻力 一水平輸送帶恆以等速 v 沿  x 方向移動，在時刻 t = 0 時，將一質量為 m 的箱子以水平速度 u=0 置於 輸送帶上，如附圖所示。若箱子與輸送帶之間的靜摩擦 係數為 μ_s ，動摩擦係數為 μ_k ，重力加速度為 g ，則： (1) 在時刻 t=0 時，箱子的加速度為＿＿＿。 (2) 當 t= ＿＿時，箱子的速度會等於輸送帶的速度。 　　　　　　 　　　　　　　 【改自 91 指考】

41 1. 物體放上皮帶後，相對於皮帶有往左運動的趨勢 ，故受向右的動摩擦力 f_k 而得一向右之加速度 （設為 a ），待加速至與皮帶等速後，此摩擦力 即消失，此後物體與皮帶一起等速向右移動。 2. 本題再次說明，摩擦力不一定都是阻力。

解 (1)由f_k 



_kmg ma  a



_k g 。 (2)設物體至與皮帶等速需時 t 0 0 k v v at



gt _由     k v t g



  _。