牛頓第二運動定律

一、實驗：加速度與力的關係 二、牛頓第二運動定律 三、牛頓第二運動定律的限制 ※ 課外補充：假想力 四、質量與重量 五、質量的測定 六、力學問題的解題策略 七、視重 1 範例 1 範例 2 範例 3 範例 4 範例 5 範例 6 範例 7 範例 8 範例 9 範例 10 範例 11 範例 12 範例 13

一、實驗：加速度與力的關係

如下頁圖 (a) ，在水平光滑桌面上，置一個木 塊 m ，以輕繩連接後，跨過桌邊的滑輪，將輕繩的 另一端連接於一倒掛彈簧秤的掛鉤上，彈簧秤則掛 上重 W 的砝碼。則拉動木塊 m 的繩子張力 F 可 由彈簧秤讀數表示，如下頁圖 (b) 。

3

以不同的作用力作用於同一物體 實驗 方法 實驗 結果

 

a

 

F

保持原來的木塊不變，但 改變彈簧秤所掛的砝碼重 量為 W （亦即改變作用力 F 的量值），記錄彈簧秤 的讀數 F ，並測出不同作 用 力 F 所對應之加速度 a 。_{物體的加速度}

a





_F

5 以相同的作用力作用於不同物體 實驗 方法 實驗 結果

a

_m

1





物體的加速度與 質量成反比 改變木塊的個數（亦即改變受力 體的質量），依序加上一塊、兩 塊、三塊_{……，但保持彈簧秤的讀} 數不變。測出在相同的外力 F 作 用下，對同一種物質（如木塊） 但不同質量的物體，其加 速度 a 與質量 m 的關係。

二、牛頓第二運動定律

1. 由上述實驗結果可得：

₁

a

F

a

m

 













F

a

m

 





F

ma

 





_{ }

_F



_{kma k}



₍

_{為 為 為 為 為}

₎

7 2. 在上式中，我們可規定使質量為 1 公斤的物 體產生 1 公尺 / 秒 2 之加速度所需的力，稱 為 1 牛頓（ newton ，簡寫為 N ），此時上述 比例常數 k 為 1 ，則上式可表為 ，此  結果稱為牛頓第二運動定律。其意義為： F  ma   (1) 當一質量為 m 的物體受到外力 F 作用時， 它會在外力作用的方向上獲得一個加速度 a 。 (2) 若物體質量固定時，加速度的量值與物體所 受的外力成正比；而當受到固定的外力作用 時，則加速度的量值與物體的質量成反比。 下一頁有動畫哦！

9

三、牛頓第二運動定律的限制

1. 僅適用於慣性坐標系，非慣性坐標系需引進假 想力的觀念。 ※ 假想力為課外補充，詳見下面的討論。 2. 僅適用於低速運動的物體，在物體速度接近光 速時需以相對論修正。 3. 僅適用於大物體，微小的粒子（如電子、質子 或分子）需以量子力學來修正。 牛頓第二運動定律有以下的限制：

※ 課外補充：假想力

1. 加速坐標系

如下圖所示，車以等加速度 a 向東前進，正前 方有一隻靜止不動的狗，但車內的人所看到的狗卻是 以等加速度 a 向西移動。我們稱此具有加速度的觀 察者為加速坐標系。以車內的觀察者來看，狗在水平 方向並沒有受外力，但卻有加速度，因此牛頓第二運 動定律並不適用。

11

2. 假想力

如果在加速坐標系的觀察者一定要使用牛頓運 動定律來處理問題，可以假想狗（或其他物體） 除受實際力外，還受一個假想力（ fictitious force ，或譯為虛設力）的作用： (2) 特性：假想力只有受力體而沒有施力體，因而 無反作用力，故不適用於牛頓第三運動 定律。 ( ) ( ) ( ) (1) F m a ma         _。 ： 被觀察者的質量 觀察者的 假想 加 度 公式 力 速

3. 假想力的應用：離心力

(1) 假設有一架飛機正在轉圈圈，因飛機作圓周 運動，有向心加速度，故飛機內的觀察者為 加速坐標系。 (2) 飛機中的大雄將一個彈珠置於飛機的水平地 板上，並先以手將彈珠壓住。則靜止在飛機 外面的人看到此彈珠隨著飛機作圓周運動。

(3) 當 t = t₀ 時，大雄在 B 處將彈珠鬆開，則靜 止在飛機外面的人會 看到彈珠失去了向心 力，而沿切線方向射 出，並因慣性而保持 直線運動，當 t = t₁ 時彈珠移動至 A 處。 ※ 此過程相當於原先作 圓周運動之石頭，其 繫繩突然斷了一般。

15 (4) 但對大雄而言，鬆開彈 珠後，彈珠從飛機內 B 處沿著 　方向加速移動 至 A 處。故對他而言， 彈珠受到一個由 B 向 A 之力，其方向是沿圓 周運動的直徑向外，因 此稱為離心力。離心力 是因為大雄處於加速坐 標系中，其加速度為向 心加速度（沿　 方 向），故存在一個　　 　　的假想力（方向沿 著 　）。 F  ma   BA  BA  AB 

※ 但是以飛機外 靜止的觀察者 而言，彈珠只 不過是因為慣 性而由 B 點移 到 A 點而已， 因此假想力又 稱為慣性力。

17

(5) 有些人認為向心力的反作用力是離心力，這是 不對的，因為是兩力均作用在同一物體上，根本 無法形成一對作用力及反作用力。

四、質量與重量

1. 質量

(1) 質量為物體所含物質的量之大小，代表物體 慣性的大小，是一個物體的本性，為純量， 跟它的形狀、冷熱與位置等都沒有關係。 (2) 質量的 SI 制單位為公斤 (kg) 。

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2. 重量

(1) 一個物體所受的重力大小稱為這個物體的重 量，為向量，會隨地點而改變。 (2) 重量的單位是公斤重 (kgw) 。由於質量為 1 公斤的物體在地表會受到 9.8 牛頓的重力作 用，所以 1 公斤重等於 9.8 牛頓。

質量與重量的關係式 質量為 1 公斤的物體在地表所受重力為 9.8 牛頓 ，故 1 公斤重等於 9.8 (=1g) 牛頓。 質量為 2 公斤的物體在地表所受重力為 29.8 牛頓 ，故 2 公斤重等於 29.8 (=2g) 牛頓。 以此類推 質量為 _{m 公斤的物體在地表所受重力為 m9.8 ，} 故 m 公斤重等於 m9.8 (=mg) 牛頓。

21  質量為 m 公斤的物體之重量 W = ＿＿＿＿ m = ________ 。 mg W g

23 利用等臂天平 圖示 原理 優點 較方便 缺點 在失重的狀態下無法測量 備註 以此種方法測得的質量稱為重力質量 A B B A m g m g ，故待測物的質量 等於砝碼的質量 。m m

利用慣性 圖示 原理 優點 在失重的狀態下仍可測量 缺點 較不方便 備註 以此種方法測得的質量稱為慣性質量 A A A B B B A B a F m a m a m m a   _{，故待測物的質量} = _。

25 範例1

1

牛頓第二運動定律 某質量為 5 公斤的物體靜置於光滑水平面上，同 時受兩固定力作用，其中一力為　 　牛頓向東 偏南 60 度，另一力為 40 牛頓向北，則物體加 速度大小為＿＿＿公尺秒 2 。 20 3

1. F=ma 中的 F 是指物 體所受的合力。 2. 以向東為 +x 軸、向 北為 +y 軸，將　　 牛頓的力分解，可得 兩力如圖所示。 20 3

27 解 2 2 (10 3) 10 20(N)  _合力大小    a F  ma 設物體加速度為 ，由 2 20 5a a 4(m/s )     20 3 cos60   0 10 3(N) 40 20 3 sin 60    10(N)

範例2

2

上升力 熱氣球載有 2 包沙包時，以向上的加速度 a 上升 ；載有 6 包沙包時，以向下的加速度 a 下降。若 不計氣球重量及沙包浮力，則熱氣球載有 4 包沙包 時，其加速度大小為＿＿＿。

29 1. 設熱氣球的上升力（浮力） 為 F ，每個沙包的質量為 m ，則題意如圖所示。 2. 依圖可列出兩條方程式，解 得 F 的大小，若 F=nmg ， 代表熱氣球的上升力等於 n 包沙包的重量。若載有的沙 包數量大於 n 包，則熱氣 球加速下降，反之則加速上 升。

解 2 2 6 6 F mg ma mg F ma     _{ }     ‚ 4 a'  載 包沙包時的加速 度向下，設其大小為 4mg F 4ma'    3 F mg   4mg 3mg 4ma'    4 g a'  _{ 。}

31 範例3

3

阻力 一個重量為 W 之小石子被鉛直上拋，其初速是 v 。 設空氣施給小石子一阻力，其量值固定為 f ，而 其方向與小石子運動之方向相反。求（答案以 W 、 v 、 f 及重力加速度 g 表示）： (1) 小石子上升的最大高度為＿＿＿＿。 (2) 小石子落地時之速率為＿＿＿＿。 【 78 日 大】

1. 設小石子的質量為 m ：＿＿＿＿＿＿＿＿。 2. 分析小石子上升 及下降時的運動情 形如圖所示。 3. 欲計算小石子上升 的最大高度為 h ， 可利用最高點的瞬 時速度為＿＿＿。 W  mg 0 W m g  

33 解 (1) W f ma W a g    為 為 為 為 2 2 0 2 v  v  a x 令向上為正，由 2 2 0 v 2 W f g h W       _  _   2 2( ) Wv h W f g    為 W f a g W    

(2) W f ma'= W a' g   下降時： v' 為 為 為 為 為 為 為 為 為 為 為 為 2 2 0 2 v  v  a x 令向下為正，由 2 2 ₀2 ₂ 2( ) W f Wv v' g W W f g       _{ }    W f v' v W f     為 W f a' g W    

35 範例4

4

連結體 將質量分別為 2 公斤、 3 公斤及 1 公斤的物體相互接 觸，置於光滑的水平面上， 分別於左、右兩邊施以水平 力 10 牛頓及 4 牛頓，如 圖所示。則： (1) B 物體所受合力的量值為＿＿＿牛頓。 (2) BC 間的作用力之量值為＿＿＿牛頓。

1. 因為三個木塊彼此連結， 故加速度相等，設皆為 a ，則單一木塊所受合力的 量值 Fma 。 2. 以 C 木塊為系統，分析其力圖如圖 所示， BC 間的作用力 F_BC 與 4N 的合力使 C 木塊有產生 a （向右） 的加速度。

37 解 _{(1) F由 合力  ma} 3 1 3(N) B B m a  _{物體所受合力}    _。 (2) 4 1 1 BC C C F   m   a 以 為系統： 10 4 (2 3 1) a       2 1(m/s ) a   5(N) BC F   _。

範例5

5

輕繩與重繩 如圖所示，一條質量為 m 且 粗細均勻的繩子，小明經此繩 以 F 的力拉質量為 M 的木塊 ，若接觸面光滑，則：_{(1) 木塊與繩子的加速度為＿＿＿。} (2) 繩子拉木塊的作用力為＿＿＿。 (3) 繩子所受的合力為＿＿＿。 (4) 若 m<<M ，則繩拉木塊之作用力量值約為＿＿＿。 (5) 承 (4) 可知，當細繩的質量極輕可不計時，繩上各點 的張力皆＿＿＿＿。

39 1. 因為繩子與木塊彼此連結， 故加速度相等，設皆為 a 。 2. 先以「繩子＋木塊」為系統，可算加速度 a ，再 依 F = ma 算出個別的作用力。

解 (1)F (M m a) a F M m      。 (2)T Ma M F M m    。 (3)F_m ma m F M m    。 (4)m M T M F F M m      。 (5)為 m  0為 為 T _ F 為 為 為 為 為 為 為 為 為 為 為 為 為

41 範例6

6

連結體 甲、乙、丙三個物體的 質量各為 3m 、 m 、 2m ，置於光 滑水平面上，以質量可 不計的細繩相連，各繩 的張力如圖所示， 於右 端施以 F 之水平拉力 ，試求： (1) 甲的加速度的大小為＿＿＿。 (2) T₂ 的大小為＿＿＿。

1. 甲、乙、丙彼此連結，故加速度相等，設皆為 a 。 2. 以「甲＋乙」為系統，即可算出 T₂ 。

43 解 (1)F  (3m m  2 )m a 4 6 F m m   6 F a m   _。 2 (2)以甲、乙為系統  T  (3m m a ) 2 3 F  _。

範例7

7

阿特午機 如圖是由一質量及摩擦力均可忽略的 定滑輪，以及一跨過滑輪、質量可忽 略且無延展性的繩子，其兩端各懸掛 質量 m₁ 、 m₂ 之物體所組成的阿特午 機 (Atwood machine) ，假設 m₁>m₂ ， 求： (1) m₁ 、 m₂ 的加速度為＿＿，繩子的張力 T 為＿＿ 。 (2) 圖中直桿對滑輪的支持力 F 為＿＿＿。

45

1.m₁ 與 m₂ 的加速度大小相等、方向相反。

解 1 1 2 2 (a) (1) (b) m g T m a T m g m a     _{ }    為 為 為 為 為 為  ‚ 1 2 1 2 1 2 1 2 2 m m a g m m m m T g m m     _       _  1 2 1 2 4 (2) F 2T m m g m m    。

47 範例8

8

雙斜面 如圖所示的系統， m₁=11.0 公斤 ， m₂=9.0 公斤，分別置於傾斜 角 37 度及 53 度的光滑斜面上， 兩物間以質輕的細繩連結，設重 力加速度為 10.0 公尺 / 秒 2 ，則 m₁ 的加速度量值為＿＿＿公尺 / 秒 2 ；繩子的張力大小為＿＿＿ 牛頓。

1 2 1. m m      _  的下滑力 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 比較： 的下滑力 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 1 3 sin 37 11.0 10.0 66.0(N) 5 m g      2 4 sin 53 9.0 10.0 72.0(N) 5 m g      1 2 m m  往＿＿＿滑、 往＿＿＿滑。上 下

49

2. m₁ 與 m₂ 的加速度大小相等 ，設其大小為 a ，畫出個別 的力圖如下圖所示。

解 2 0.3(m/s ) 69.3(N) a T       72.0  T 9.0  ‚a 66.0 11.0 T    a

51 範例9

9

滑輪組 如圖，不計滑輪重及繩重，並 忽略一切摩擦力， A 、 B 兩物 體的質量分別為 m 、 2m ，重 力加速度為 g ，則由靜止開始 運動後，繩子的張力 T₁= ＿＿＿ ； 繩子的張力 T₂= ＿＿＿； A 的 加速度為＿＿＿； B 的加速度 為 ＿＿＿。

1. A 向右移動 x 時， B 只能下降＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿。 2 x 2 1 1 2 ₂ 2 1 2 1 2 2 a t x a x _a a t   1 2 2 a a  

53

2. 分析系統的力圖

解 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 a a A T ma B mg T ma T T    _   _{ }         為 為 為 為 為 為 為 為 為 為 為 為  ‚ ƒ „ 1 2 1 2 2 2 4 3 3 3 3 g a  g a  T  mg T  mg 為 為 為 為 為 為 為 為

55 範例10

10

爬繩問題 一根質量為 50 公斤的竹竿，以繩 子掛在天花板下方，一隻質量為 10 公斤的猴子，自地面跳起後抓 住竹竿，如圖所示。不料繩子突 然斷掉，猴子臨危不亂，奮力沿 竿子上爬，竟然可以維持對地高 度不變。若 g=10 公尺 / 秒 2 ，則 此時竹竿下落的加速度大小為＿ ＿公尺 / 秒 2 。

解 設猴子抓竹竿之向下力為 F ，則竹 竿施予猴子的反作用力亦為 F ，但 向上。當此力等於猴子的重量時， 猴子即可維持對地高度不變。 (1)看猴子：F m g _猴  10 10 100(N)  。 (2)看竹竿：m_竹竿g F m  _竹竿a 2 50 10 100 50a a 12(m/s )       _。

57 範例11

11

加速火車內的單擺 一列正以向右等加速度 a 前 進的車廂中有一單擺，擺錘 質量為 m ，平衡時擺線與鉛 直線成 θ 角，如圖所示，則 ： (1) 車的加速度大小為＿＿。 (2) 擺線的張力為＿＿＿＿。

由車外的人觀之，分析擺錘受力圖如圖所示 sin cos x m a T m a y m T mg       _  方向： 有加速度使以 的加速度前進 方向： 靜止與 的合力為零

59 解 tan a a g tan g     _得    _。 ‚ 2 2 2 2 (2)sin a T m g a g a      ，代回 得 。 sin T   ma_ cos T   mg_‚

利用假想力的解法 示 分析擺錘受力如右圖所 的假想力， 的加速度，故有 車有 由車內的人觀之，因火   ma a 靜止 m 全相同哦！ 兩者的數學方程式會完 後， 形不同，但使用假想力 運動情 車外的人所看到的擺錘 ※_{同學可發現，車內和} 靜止 m 合力為零   T sin  ma  

j

合力為零  _{ T cos  mg  }

_k

61 範例12

12

光滑斜面上的運動 將質量為 m 的木塊置於質量 為 M 的斜面上，如圖所示。設 所有摩擦力均可忽略不計，則 欲使質量 m 靜止於 M 時， 則：(1) 斜面的加速度為＿＿， m 所受的正向力為＿＿。 (2) 水平推力 F 為＿＿＿＿。

1. 如圖，若在地上 看， m 受 mg 及 N 兩力作用， 而其合力使其向 左作加速度為 _a 的運動。 2. 因為 m 沿水平向左加速，必須將 m 所有的受 力分解在水平及鉛直方向，故只須分解正向力 N 即可。

63 3. 將 m 與 M 視為一體，則外力 F 使 m 與 M 在

水平方向產生加速度 a 。

m _有加速度a  N sin  使以 的加速度前進m a

解 (1) sin cos x N ma y N mg      _    方向： 方向：  ‚ tan sec a g N mg       _  (2)F  (m M a )  (m M g ) tan  。

65 利用假想力的解法 m 靜止 m 靜止 合力為零   N sin  ma  j 合力為零   N cos  mg  k 如圖，若站在斜面上看， m 除受 mg 及 N 二力作用外 ，尚受到假想力 ma → 的作用 ，而其合力使其靜止在斜面 上。 ※_{同學可再次發現，斜面上和斜面外的人所看到的} 小木塊運動情形不同，但使用假想力後，兩者的 數學方程式會完全相同哦！

　　牛頓的運動定律，內容雖然看起來很簡單， 但是應用起來變化無窮，以致初學者面對力學題 目時，常常不知所措。下面的六個步驟，可以來 協助我們分析問題，一旦熟悉之後，即使碰到較 複雜的系統，只要有耐心地仔細分析，問題都可 以迎刃而解。

六、力學問題的解題策略

1. 選擇系統（受力體）。 2. 找出系統所受的所有外力（特別注意力的 方向），畫出力圖。

67 5. 引入牛頓運動定律： 或 F_x ＝ ma_x 、 F_y ＝ ma_y ，列出各個方向的運動方程式。

F ma







3. 找出此系統的加速度大小與方向，並畫在力圖 旁。 4. 選定適當的坐標系，將所有外力沿坐標軸加以 分解。 6. 解聯立方程式。

69

七、視重

1. 實重

物體實際的重量，指物體 所受地球引力的大小。

2. 視重

視重＝物體置於磅秤上 ，磅秤的讀數 ＝物體作用於磅秤的正向力大小 ＝磅秤作用於物體的正向力大小

3. 升降梯中的視重與實重

( ) N mg ma N m g a      0 N mg N mg     ( ) mg N ma N m g a     

71 範例13

13

視重 小胖的質量為 90 公斤，站立在臺北 101 大樓的高速 升降梯內的磅秤上。某一時刻，該升降梯的速度為 3 公尺 / 秒，並以大小為 4.9 公尺 / 秒 2 的加速度減速 下降。若重力加速度為 9.8 公尺 / 秒 2 ，則小胖的視 重為＿＿牛頓或＿＿公斤重。

1. 視重與速度大小＿＿＿＿，減速下降代表加速 度 為＿＿＿＿。 2. 計算視重問題，以目前為止我們所學的，有三種 解法： (1) 利用正向力； (2) 利用等效重力加速度； (3) 利用假想力（此為課外補充）。

a



無關

73 解 【法 】如圖，1 N mg ma  ( ) 90 (9.8 4.9) 1323(N) N m g a        1323 (kgw) 135(kgw) 9.8   _。 2 g'  g a 【法 】等效重力加速度 ( ) 90 (9.8 4.9) W' m g a       1323 1323(N) (kgw) 135(kgw) 9.8    _。

3 mg ma   【法 】由升降梯內的人觀之，此人除了受重力 外， 尚受到一假想力 ( ) 90 (9.8 4.9) W' m g a       1323 1323(N) (kgw) 135(kgw) 9.8    _。