發展解題能力教學模式對國小六年級學生分數學習成效與教師教學方式差異研究

國立臺中教育大學數學教育學系碩士班碩士論文

指導教授： 謝闓如 博士

發展解題能力教學模式對國小六年級

學生分數學習成效與教師教學方式

差異研究

研究生：吳佳芬 撰

中 華 民 國 九 十 八 年 六 月

摘要

解題是所有數學學習中不可或缺的部分，在國小階段需紮實的幫助學生發展 解題能力，讓數學學習得以開展（陳竹村、林淑君、陳俊瑜，2002；NCTM, 2000）。 林宜城發展一套幫助學生解題能力的教學模組，命名為「發展解題能力教學模式」 並在南投縣某國小進行實際教學達兩年多。而研究者對該教學模式之成效深感興 趣，並以分數為主題，藉此探究該校 22 名六年級學生在分數概念與分數文字題的 學習成效與其他四所非採用此教學模式學校共 4 班之 85 位學生的表現相比是否具 有差異，故以自編試題進行施測，同時透過對 5 位受試班級之數學任課教師進行 有關教學方式之晤談，了解影響差異產生之可能因素。研究結果經分析後，得到 以下結果： 一、採用發展解題能力教學模式之學校六年級學生在分數概念的整體表現與簡單 分數、等分、單位量以及等值分數的表現對於非採用此教學模式之六年級學 生均具有中高度之效果量，且整體表現、簡單分數與等值分數之差異已達顯 著水準。 二、採用發展解題能力教學模式之學校六年級學生在分數文字題的整體與加減乘 除四子項目的表現對於非採用此教學模式之六年級學生均具有高度之效果 量，其中除分數減法以外，整體解題結果以及加法、乘法、除法之比較皆有 顯著差異。 三、採用發展解題能力教學模式之學校教師在引導學生解決難題的方式、對學生 數學概念形成的看法、以學生為主的參與時間比例、分數教學與學習的困難 發生點以及對於教好學生數學的關鍵之看法等與非採用此教學模式之數學任 課教師均具有差異，而這些差異可能便是影響分數概念與分數文字題表現產 生差異之因素。 關鍵字：解題、教學、分數、文字題

Research on the Differences of Using “Developing Problem-Solving

Teaching Model” on Elementary Students’ Achievement in Fraction

Concepts and on theTeaching Instruction

Abstract

Problem solving is the core of the mathematics curriculum. It is the main gaol of teaching in the mathematics. In the elementary school, it is nessesary to help students in developing the ability for problem solving, and improve mathematical learning. Lin, Yi-cheng invented a teaching model for helping students to solve problems, named “developing problem-solving teaching model”, that practiced in one elementary school for over two years in Nantou. The focus of this study was to investigate students’ achievement of fraction concepts between this teaching model and other teaching methods. The participants of this study were 107 6th graders, 22 of them were taught by this teaching model. The results were :

1. Students taught by this teaching model did significant better than those from other methods on concepts, such as all concepts, the simple fraction concepts, and equivalent fraction concept.

2. Overall, students taught by this did better than others. In addition, there were significant differences on addition, multiplication, and division word

problems between two groups. Studentstaught by this teaching model scored better on all three.

3. The teacher using the teaching model had a different point of view of the following: the process to help students solving problem, how the students’ mathematical concepts form, time of students’ participation, the difficulty on teaching and learning fractions, and the way to teaching students to learn mathematics well. These differences may be the factors influencing on the achivements of the fraction concepts and the fraction word problem solving.

目次

第一章 緒論 ... 1

第一節 研究動機... 1 第二節 研究目的與問題... 3 第三節 名詞釋義... 3 第四節 研究範圍與限制... 5

第二章 文獻探討... 7

第一節 數學解題教學... 7 第二節 建構精神與傳統教學... 18 第三節 分數概念學習... 26 第四節 分數教材分析與教學... 34

第三章 研究方法... 47

第一節 研究架構與流程... 47 第二節 研究對象... 51 第三節 研究工具... 52 第四節 正式施測... 63 第五節 資料處理... 63

第四章 研究結果... 65

第一節 分數概念測驗解題表現分析... 65 第二節 分數文字題測驗解題分析... 72 第三節 教學方式之探討與比較... 80

第五章 討論與建議... 113

第一節 綜合討論...113 第二節 結論與建議...119

參考文獻 ... 123

中文 ... 123 外文 ... 130

附錄 ... 133

附錄一 分數概念測驗預試試題... 133 附錄二 分數文字題測驗預試試題... 136 附錄三 分數概念測驗正式施測試題... 141 附錄四 分數文字題測驗正式施測試題... 144 附錄五 晤談大綱試問題目... 148 附錄六 晤談大綱正式題目... 149 附錄七 分數概念測驗說明... 151 附錄八 分數文字題測驗說明... 152 附錄九 訪談逐字稿... 153

表次

表 2-2-1 傳統教學與建構教學之比較... 23 表 2-4-1 八十二年版數學課程與九年一貫數學領域暫綱理念與目標比較 ... 35 表 2-4-2 八十二年部編版與九年一貫課程之國小階段分數課程發展比較 ... 37 表 2-4-3 高年級分數加減乘除情境與類別設計... 39 表 2-4-4 分數加減乘除的問題類型 ... 41 表 2-4-5 傳統數學課程與發展式數學課程的比較摘要 ... 42 表 3-2-1 正式施測樣本人數分配... 51 表 3-2-2 晤談對象基本資料... 52 表 3-3-1 分數概念測驗內容分析... 53 表 3-3-2 分數文字題測驗內容分析 ... 54 表 3-3-3 「分數概念測驗」預試樣本人數分配... 55 表 3-3-4 「分數文字題測驗」預試樣本人數分配... 55 表 3-3-5 預試樣本分數概念試題分析... 58 表 3-3-6 預試樣本分數文字題試題分析... 59 表 3-3-7 分數概念正式施測題型分配... 61 表 3-3-8 分數文字題正式施測題型分配... 61 表 4-1-1 各校「分數概念測驗」各題與子概念之答對率 ... 67 表 4-1-2 各校「分數概念測驗」單因子等級變異數分析摘要... 69 表 4-1-3 各校「分數概念測驗」平均數與標準差... 71 表 4-2-1 各校「分數文字題測驗」得分狀況之人數百分比... 74 表 4-2-2 文字題單題解題成功人數百分比之題數分配 ... 76 表 4-2-3 各校「分數文字題測驗」單因子等級變異數分析摘要... 77 表 4-2-4 各校「分數文字題測驗」平均數與標準差 ... 79

圖次

圖 2-1-1 教師對一個問題的教學流程... 12 圖 2-1-2 發展解題能力教學模式一 ... 14 圖 2-1-3 發展解題能力教學模式二 ... 14 圖 2-1-4 發展解題能力教學模式三 ... 15 圖 2-1-5 發展解題能力教學模式關係... 15 圖 3-1-1 研究架構... 48 圖 3-1-2 研究流程... 49

第一章 緒論

本研究欲探究使用「發展解題能力教學模式」學校之六年級學生在分數概念 與分數文字題的表現以及該校教師之教學方式，本章將針對研究之動機、目的、 待答問題、名詞釋義以及範圍與限制逐一說明如下：

第一節 研究動機

美國全國數學教師協會（National Council of Teachers of Mathematice, [NCTM]） 明示「問題解決是 1980 年代中小學數學教育的重心」。因此，1980 年代以後，「數 學解題」成為全世界數學教育圈內的熱門課題（黃敏晃，1991）。直至今日，我國 所施行的九年一貫課程在數學領域課程綱要的總目標中也闡明必須學習應用問題 的解決方法（教育部，2003）。 解題應是數學課程的核心，是所有數學教學的主要目標及一切數學研究的統 合部分，亦即可視解題為所有數學學習中不可或缺的一部份（NCTM, 1989, 2000）。 就數學教學而言，首先必須利用「待解決實際情境問題」，藉生活中常發生事件來 引導激發學生的學習興趣，並重視其所理解的先備知識，進行概念教學（端木蓉， 1997）。但傳統數學教學一向強調「技巧」、「快速解題」，少有人注意學童應用數 學原則於真實問題情境中產生的困難；再者，教師在教學時為顧及進度與成績， 往往重複於各式例題的演練，因而難以貫注心力於學生數學概念的理解，遑論實 際生活的應用，也因此造成我國教育缺乏多元想法的缺點。而以數學解題的教學 正好可以補足這個缺陷，讓每個人發展不同的想法、不同的能力，肯定每一種解 題的方法（黃敏晃，1991；端木蓉，1997）。是故需在國小階段紮實的幫助學生發 展解題能力，讓數學學習得以開展（蔣志邦、陳竹村、謝堅、林淑君、陳俊瑜， 2002）。 分數是國民小學數學課程中的一個主要部分，可作為自然數形式及應用上的 擴展（Barash & Klein, 1996）。但分數是在問題情境下兼具多重意義的複雜抽象概 念，在日常生活中常呈現不同的面貌，造成學生學習上的困擾，同時分數運算也

因分數概念的難以理解，被迫以機械式的練習方式使用算則進行解題，所以面對 不同類別情境時，往往無法運用正確解題策略成功解答，因此，學生分數學習的 成效不彰便可想而知的（湯錦雲，2002；龐嘉芬，2001）。但若無法有效對分數加 以清楚理解，將會阻礙學生在國小之後的數學發展，故從眾多的分數研究當中可 看出數學教育的專家學者相當重視如何促進學生進行有意義的分數學習，如何協 助與建議教師從事有效的分數教學（尤志弘、簡清華，2008；呂玉琴，1996，2003； 李盈盈，2004；李源順，2004，2005；易正明，2003；洪素敏、楊德清，2002； 胡蕙芬、李源順，2005；張憲庭，2004；黃志敘，2005；楊瑞智，2000；劉祥通、 周立勳、2001；龐嘉芬、陳淑琳，2000）。在國小分數的課室教學將影響學生往後 數學學習的前題下，學生如何學習，教師如何教學是必須探究的課題。 林宜城、毛炳楠和洪莉云（2007）認為若老師能有一個同時關注學生生理發 展與數學知識結構的教學方法，是可以有效協助學生學好數學。故經過不斷的教 材教法分析、舉辦教學觀摩與教學臨床輔導、進行教學互動，並佐以學生學習成 果診斷，發展一套幫助學生解題能力的教學模組，命名為「發展解題能力教學模 式」。 研究者有幸參與林宜城的數學成長團體，學習該套以解題為導向的教學模 式—「發展解題能力教學模式」，並採用此教學方式進行教學。在教學過程中，體 認到該模式能清楚建立學生數學概念並強化運算正確性。而南投縣某國小在林宜 城的指導之下，採用「八十二年國編版課本」為教材，搭配「發展解題能力教學 模式」之教學方法，進行全校的數學課程教學已經達兩年多，其成效為何，尚未 有研究結果呈現。因此，研究者想藉由本研究瞭解該校六年級學生在分數概念與 分數文字題的學習成效以及教師之教學方式與其他規模相似的學校是否有差異。

第二節 研究目的與問題

本研究欲探究使用「發展解題能力教學模式教學」學校之六年級學生在分數 概念與分數文字題之表現以及教師之教學方式，本節針對研究之目的與問題加以 說明：

一、研究目的

基於上述動機之說明，本研究欲達成之研究目的為： （一）探討發展解題能力教學模式學校之六年級學生在分數概念的學習成效。 （二）探究發展解題能力教學模式學校之六年級學生在分數文字題的學習成效。 （三）瞭解發展解題題能力教學模式學校之數學任課教師的教學特色。

二、研究問題

而根據研究目的，本研究欲探究之研究問題包括如下： （一）採用發展解題能力教學模式教學之六年級學生與非採用此教學模式之六年 級學生在分數概念的表現上是否有差異？ （二）採用發展解題能力教學模式教學之六年級學生與非採用此教學模式之六年 級學生在分數文字題的表現上是否有差異？ （三）採用發展解題能力教學模式教學之數學任課教師與非採用此教學模式之數 學任課教師在分數教學的差異為何？

第三節 名詞釋義

各個研究中使用的名詞有其特殊性和侷限性，此節將針對本研究中使用的重 要名詞或概念加以說明、界定，使其意義更加明確。

一、國小六年級學生

本研究所指的國小六年級學生為九十六學年度就讀六年級之學生。

二、分數概念

許多學者指出分數在不同的情境問題下具有相關但不同思考類型的概念，是 擁有多重意義的特性（楊瑞智，2000）。而本研究所指的分數概念，是以詹婉華、 呂玉琴（2004）針對分數概念量表的設計中對於分數概念的分類為基準，其內容 包括：簡單分數概念、等分概念、單位量概念以及等值分數概念，其內容將於研 究工具中有詳盡說明。

三、分數文字題

文字題是以語文描述一個數學問題，解題者必須轉換語文問題成為算式才能 求得答案。本研究以文字描述分數的加法、減法、乘法及除法之問題情境，單題 僅涉及單一運算方式，不包含多步驟或四則混合題型。

四、教師教學方式

本研究所指之教師教學方式，包含教師的教學方式說明以及教師對教材與學 生心理的看法等方面，分為教師的教學流程、布題方式、解題方式、學生課堂參 與情形、課本使用情形、分數教學與學習以及教師信念等七項，依照此內容擬定 晤談大綱，進行教師訪談。

五、發展解題能力教學模式

此教學模式為林宜城依據發展式數學課程之教材與教法螺旋分布的編輯邏 輯，設計出三個具體教學模式。模式一為以具體物或表徵物或圖像進行解題，無 符號記錄；模式二是以表徵物或圖像解題，依自訂格式記錄，最後約定格式記錄； 模式三採符號解題，利用約定格式記錄。三模式實施關係為目標設定後即採模式 一進行教學，全體學生能成功解題後才進入模式二，若學生能順利完成模式二之 步驟便進入模式三，若無法完成時，經由老師透過討論引導學生再次經驗如何解 題，若有必要，則再退回模式一重新開始，直到能順利運用模式三成功解題（林 宜城等人，2007）。該模式於九十三年開始在南投縣內某小學實施教學，至研究者

第四節 研究範圍與限制

本研究旨在探討實施發展解題能力教學模式之學校六年級學生，其分數概念 與分數文字題的表現，以及教師之教學方式，本節就研究之範圍及限制加以說明：

一、研究範圍

本研究探討實施發展解題能力教學模式的學校六年級學生，其分數概念與分 數文字題之表現，以下就研究對象、研究內容之範圍加以說明： （一）研究對象 本研究主要針對南投縣內使用發展解題能力教學模式已達兩年多之學校六年 級學生以及數學任課教師作為研究對象，另外選取縣內四所非使用此教學模式的 小型學校，作為對照組加以比較。 （二）研究內容 在學生方面，主要研究內容為國小課程中有關分數課程的學習，並區分為兩 部分，一為分數概念，包含簡單分數概念、等分概念、單位量概念以及等值分數 概念；一為分數文字題，包含分數加法、分數減法、分數乘法以及分數除法，題 目的形式以文字題方式呈現，非純粹的運算處理，以期瞭解學生之解題成就。在 教師方面，則以教師的教學方式作為主要的比較內容。

二、研究限制

本研究之主要限制為學生的研究樣本人數之選取，多數研究樣本所需人數 30 人，另外分組樣本每組至少需有 20 人（Harrison，引自王文科、王智弘，2007）。 因南投縣境內之國小小型學校班級學生數多未達 30 人，實施發展解題能力教學模 式之學校即為小型學校，六年級學生僅有 22 人，此外對照組之班級人數亦皆未達 30 人，甚至有未滿 20 人之班級學生數。因此，樣本人數限制將導致在統計方法的 使用無法滿足單因子變異數分析（ANOVA）之基本假定，須改以無母數檢定之卡— 瓦二氏單因子等級變異數分析（Kruskal-Wallis test）進行統計分析比較，此舉可能

造成結果統計力不足之情況產生。再者，本研究對象的選取侷限在南投縣內採行 發展解題能力教學模式之學校學生，故其研究結果僅能針對施行相同教學模式學 校之學生進行推論，不宜對一般學生之分數成就表現做過度推論。

第二章 文獻探討

本研究在於探討使用「發展解題能力教學模式」學校之六年級學生在分數概 念與分數文字題之表現以及該校數學任課教師之教學方式。本章分成四節分別探 討有關數學解題教學、建構精神與傳統教學、分數概念學習以及分數教材分析與 學習等相關文獻。

第一節 數學解題教學

解題是所有數學學習中不可或缺的部分，可視為數學課程的核心，是所有數 學教學的主要目標，在國小階段需紮實的幫助學生發展解題能力，讓數學學習得 以開展（陳竹村、林淑君、陳俊瑜，2002；NCTM, 1989, 2000）。九十學年度起所 實施的九年一貫暫行綱要課程延續八十二年版的課程精神，重視以問題解決為導 向的數學教學，培養學生能在問題情境中去形成解決問題所需的數學概念、態度 和能力（王瑞慶，2002）。以下介紹以解題為導向的數學教學之相關理論與解題歷 程，以及林宜城所提出的「發展解題能力教學模式」：

一、以問題解決為導向的數學教學

在瞭解以解題為導向之數學教學前，需先對「問題」以及「解題」進行瞭解。 （一）「問題」的本質 所謂的「問題」是個體面對需要解決但是沒有明顯答案，也無既有的運算程 序、解決策略（solving strategy）之一種情境或是個體從已知的條件狀態欲到達目 標時，因缺乏立即通往正確答案之路徑而處的一種情境，在生活中問題到處都會 發生，也常需要加以解決（劉湘川、許天維、林原宏，1993 ；Krulik & Rudnick, 1989;

Mayer, 1992）。在中小學階段，學生學習數學時所面對的「問題」是起點和目標都

很明確，而學生主要的工作，就是使用各種可能的方法，依自己目前所擁有的數 學知識與技能，想出一條可以從起點到達目標的路徑（曹博盛，1996）。

數 學 問 題 一 般 可 分 為 例 行 性 問 題 （ routine problems ） 和 非 例 行 性 問 題 （nonroutine problems）。例行性問題是我們熟悉解法的題目，或需要加以熟練計算 技能的題目，數學課本或習作上的例題大多屬於此類；非例行性問題則是指看到 題目後無法立即知道解題路徑的題目，解題者必須針對其所學過的數學知識和技 能，加以搜尋，檢查與綜合並檢視是否有能適當地應用到其所面臨的新情境（黃 敏晃，1991）。但題目是否為例行題或非例行題，要視解題者而定。即使是簡單的 題目，只要學生尚未學習解法，對學生而言該題便屬於非例行性的問題。 數學文字題的解題向來是國小數學教學的主體，因為文字題的情境提供了數 學概念或運算與生活的聯繫，使得數學具有解決生活問題的意義（吳昭容、黃一 蘋，2003）。不管是用何種方式呈現的文字問題，都能夠讓學生進行解題活動且幫 助他們增進解題能力，但並非所有的文字題都屬同樣的難度，均使用相同的策略， 若教師在進行教學時可整合不同難度的文字問題，就能協助兒童的概念和技能的 發展（Fennenma, Carpenter, & Peterson，引自端木容，1997）。故教師在選擇文字 題時，應選擇具備足夠的挑戰性，能引導兒童至較複雜的解題行為的問題。 （二）「解題」的意義

「解題」是「解決問題」的簡寫，是指人們針對沒有答案、解題策略及運算 程序的情境所提出的問題，運用已有的知識、技能與理解來解決問題或滿足問題 之要求直到獲得解答的一種歷程（劉湘川等人，1993；Krulik & Rudnick, 1989; Mayer,

1992 ）。解題者對他所面臨的問題，可憑其自然的推理能力，先前學過的知識或 獲得的能力，或由此問題之組織安排而加以瞭解並解決，但解題者對此問題之解 決暫時沒有直接而滿意的方法，對於在此問題情境中感到困惑。換言之，解題就 是解題者如何把自己從困境中解脫出來的過程（黃敏晃，1991）。 而在解題的前面加上數學兩字，表示所牽涉到全是數學問題，或在解題時需 要使用數學的知識或方法。數學解題的目的是要訓練、培養學童在面對數學問題， 特別是非例行性問題，能融合題目的已知條件和本身已有的數學知識概念，嘗試 運用各種思考方式與技能去探索各種可能的解決途經，以獲得有效解答（王瑞慶， 2002）。因此，解題教學的要點須重視學生自己動腦思考，唯有透過解題進行不斷

省思的歷程，才能經由省思賦予學習意義，同時任何學科都脫離不了生活，只有 能在生活中印證的才能更直接影響兒童的思考。 以往以教師為中心、重視快速與正確演算能力的傳統教學忽略兒童的理解， 致使部分兒童無法理解題意，只能將題目中的數字任意地進行加減乘除運算，或 是勉強以一些關鍵字為線索進行解題。但關鍵字經常是有侷限性的，不保證適用 於所有情境，結果使這些無法理解題意的兒童視解決文字題為畏途（吳昭容、黃 一蘋，2003）。因此，為了讓兒童對解題產生理解，通常教師會布置一個簡易的問 題情境，以便兒童從他已具備的概念性知識出發，建構自己的解題歷程。並主張 教師應該退居為布題者，把解題活動還給學生，選擇適當的問題，適當的時間、 適當的學生及適當的解題策略進行發表及合理性討論，以促進學生概念的形成與 發展（陳竹村等人，2002）。 （三）解題歷程之相關理論 自從 Deway 提出問題解決的六階段論後，數學解題歷程的研究受到許多學者 重視（陳淑琳，2001），國內研究者常就 Polya、Lester、Schoenfeld 和 Mayer 的解 題歷程加以介紹比較（王瑞慶，2002；涂金堂，1996；涂金堂，1999；劉湘川等 人，1993），在此綜合文獻加以整理： 數學家 George Polya 不但強調解題在數學學習的重要性並在「如何解題」 （1985）一書中提出數學解題之步驟，此四步驟成為後繼解題歷程研究的基礎。

（1） 瞭解問題（understanding the problem）：問題在問什麼？已知、未知、 條件各是什麼？

（2） 擬訂計畫（making a plan）：擬定解題的輔助方法、策略和執行步驟。 （3） 實行計畫（carrying out the plan）：實行所擬定的計畫。

（4） 回顧解答（looking back）：校核答案之合理性及用不同方法求解答或 將此法應用到別的問題上去。

而 Lester（1980, 1985）認為影響解題表現的因子有問題本身、解題者、解題 歷程及解題環境，並將解題歷程分為六階段：

（1） 問題的知覺（the problem awareness）：對問題刺激產生感受。 （2） 問題的理解（the problem comprehension）：能理解問題所提供的訊息。 （3） 目標分析（goal analysis）：針對欲達成之目標進行分析。

（4） 計畫發展（the plan development）：依據目標發展計畫。

（5） 計畫執行（the plan implementation）：實際執行所擬定的計畫。 （6） 執行程序和答案的評估（the procedures and solution evaluation）：對 於計畫執行的過程與結果加以檢核。 Schoenfeld（1985）認為當學生會的認知技能或策略有數十種或數百種，甚至 數千種時，解題成功與否，常繫於學生能否瞭解控制機能以及如何抉擇，並提出 影響解題行為的四個因素即：一為認知資源（resource）指個人所擁有數學知識、 一為啟發策略（heuristics）為解決非例行性問題的策略和技巧、另一為控制力 （control）是後設認知（metacognition）的能力，指個人在解題過程中能夠進行計 畫、監控、評估和決策的能力，最後為信仰系統（belief system）則是個人對數學 的觀點。Schoenfeld 將解題歷程分為六個階段： （1） 閱讀（read）：閱讀題目，複述題目中的重要條件。 （2） 分析（analyze）：瞭解題目陳述，能有系統的重新陳述。 （3） 探索（explore）：尋找解題路徑。 （4） 計畫（plan）：依尋獲之路徑規劃解題步驟。 （5） 執行（implement）：逐一執行解題步驟。 （6） 驗證（verify）：檢驗答案之合理性。 Mayer （ 1992 ） 從 認 知 心 理 學 觀 點 ， 將 解 題 歷 程 分 為 問 題 表 徵 （ problem representation）及問題解決（problem solving）兩個步驟，每步驟又包含兩個子步 驟 ， 問 題 表 徵 包 含 問 題 轉 譯 （ problem translation ） 和 問 題 整 合 （ problem intergration）；問題解決分為解答的計畫與監控（solution planning and monitoring） 和解答的實施（solution execution）。

（1） 問題轉譯：將題目的陳述句轉譯為內在表徵，理解語句間的關係。此 步驟需要良好的語文知識和事實知識。 （2） 問題整合：將問題所提供的資料整合成連貫一致的表徵。此步驟需要 基模知識（schematic knowledge）。 （3） 解題計畫及監控：能運用數學語句、方程式或必須的運算列式來表示 問題，擁有解題計畫並能加以監控。此步驟需要策略知識。 （4） 解題執行：正確有效的執行解題計畫，利用演算法則進行單純或連續 的計算。此步驟需要程序性知識。 以上多位學者對於解題的歷程多以 Polya 理論為基礎加以增刪或修改，其共同 的特點均認為在面對問題時，需先對題目加以理解、詮釋，再依自身所擁有的數 學知識、能力，擬訂計畫、解決問題，並對解題的結果加以檢核、評估。而這些 學者對解題所持的論點為往後的數學解題教學奠定良好的基礎。 （四）數學解題的建構式教學模式 建構式的教學並非是一種教學法，而是只要運用建構主義的精神於教學中便 可稱之（施淑娟，1999；陳淑敏，2001）。八十二年版數學課程編輯小組提出的建 構式教學流程（劉好、許天維，1995）以及張靜嚳（1996）的問題雙環教學模式 便可作為數學解題建構教學模式的舉例： 1. 八十二年版數學課程編輯小組提出的建構式數學解題教學流程 編輯小組認為學生需經過解題、反省、討論與觀摩等過程，來學習數學知識， 並提出一活動基本流程，來反應教師賦予教學活動時應考慮的問題、引導的方向， 提供學生發表機會、引發學生討論，在討論中重視學生間的溝通問題及解題方法 的澄清。活動流程進行的一般原則是由教師布題，透過學生進行解題活動、教師 行間巡視，檢查學生難度或決定要討論哪些學生的解題方式，學生完成解題活動， 教師決定是否選擇學生發表（劉好、許天維，1995）（如圖 2-1-1）：

圖 2-1-1 教師對一個問題的教學流程 2. 張靜嚳之問題雙環教學模式 張靜嚳根據社會建構論與 NCTM 的標準，提出以問題中心教學再加雙環（學 習環和教學環）而成的。雙環的目的在強化問題中心教學的功能並避免教師誤用 和迷失。學習環是借用 Ernest（1991）的知識創造環概念，認為知識是人類社會的 建構，包括個人主觀知識和社會客觀知識，兩者不斷互相創造和再造的循環歷程； 教學環萃取自美國數學教學六項標準（NCTM, 1991）包含任務（task）、引導 （discoure）、環境（environment）和分析（analysis），指的是教師教學從設計任務 是 否 是 教師布題 是 教師提供舊經驗 否 行間巡視決 定是否協助 理解題意 結 束 否 學生完成 解題要求 是否選擇 學生發表 甲生發表 解題過程 是 是否需要澄清或 檢查其他學生對 甲生作法的理解 透過解題過程溝 通澄清甲生作法 是否需要討 論甲生的作 法是否合理 透過解題過程合理 性的進行討論觀摩 否 圖 2-1-1 教師對一個問題的教學流程 （劉好、許天維，1995）

料來決定下次教學內容。教學環的目的是在帶動學習環的運轉。雙環教學時學生 經由解題形成主觀知識，再經由討論達成共識，成為學習社群的客觀知識，這些 客觀知識在教師的引導之下最後與課本的客觀知識連結而完成學習。教學流程是 教師布題後學生進行小組討論，接著由學生發表分享討論結果，教師再引導綜合 討論以達成共識或結論，最後再由教師或引導學生做總結或摘要（張靜嚳，1996）。 兩種教學模式均強調在教師布題後由學生個人或小組進行解題並發表，再經 教師引導與其他學生澄清討論發表者的解題結果以達成全班之共識，教師僅是進 行布題及引導學生討論。

二、發展解題能力教學模式

蔣治邦等人（2002）提出的發展式數學課程（即八十二年版數學課程教材） 是「發展解題能力教學模式」之基本架構，林宜城等人（2007）藉由該課程之編 輯特色進行理論的探究以及教學實務經驗的交流與嘗試，逐步形成完整之教學模 式。接著是有關該教學模式之源起、教學流程與相關研究成果的說明： （一）源起 林宜城在經歷多年實際從事八十二年版國編本教材教法實驗後發現，若老師 能有一個同時關注學生生理發展與數學知識結構的教學方法，是能有效協助學生 學好數學，實現「把每個孩子帶起來」的理想。故林宜城經過不斷的教材教法分 析、舉辦多次教學觀摩與教學臨床輔導、進行教師與學生的教學互動，並佐以學 生學習成果診斷，發展一套幫助學生解題能力的教學模組，命名為「發展解題能 力教學模式」（林宜城等人，2007）。 （二）教學流程與特點 林宜城依據發展式數學課程的教材與教材螺旋分佈之邏輯性，設計出三個具 體教學模式。此三模式結合鷹架理論、表徵轉換系統、兒童運思發展、語言引導 以及合作學習等面向。接著進行模式流程說明（林宜城等人，2007）：

模式一是教師布題後，請學生僅利用圖像或具體實物進行操作解題，解題後 教師運用口語引導進行討論，促使學生對解題過程進行反思，並以自定格式算式 將解題過程記錄下來達成班級的解題共識。教師於學生進行解題時在行間巡視並 選擇某學生之解題結果作為討論範例。討論時，請全體學生展示自我解題結果於 黑板，教師再請欲討論範例之解題學生上台說明解題歷程，過程中教師透過口語 引導，請學生反思並利用自定格式加以記錄解題過程。範例的選擇依情況而定,若 失敗者為多數，由成功解題者發表，反之若失敗者為少數，就由其中一位失敗者 上台接受教師引導完成解題。待全體學生均能順利成功解題後，才以模式二進行 解題（參考圖 2-1-2）。 圖 2-1-2 發展解題能力教學模式一 模式二是教師布題後，讓學生除了運用模式一的成功經驗進行解題，並增加 自訂格式算式加以記錄解題過程，解題後，由教師選擇範例請解題學生上台說明 且透過討論引導學生將自訂格式算式轉化為約定格式記錄。學生順利通過模式二 後即可進入模式三；或若有必要可再退回模式一強化學生解題經驗（參考圖 2-1-3）。 圖 2-1-3 發展解題能力教學模式二 (解題) 做出來 畫出來 (建立共識) 解 題 布題 (討論) 過 程 說說看 (記錄) 過 程 寫下來 模式一：具體物或表徵物或圖像解題，無符號記錄→自訂格式記錄 圖 2-1-2 發展解題能力教學模式一（林宜城等人，2007） (解題) 做出來 畫出來 (建立共識) 摘要記錄 布題 (記錄) _{過 程} 寫下來 (討論) 過 程 說說看 模式二：表徵物或圖像解題，自訂格式記錄→約定格式記錄 圖 2-1-3 發展解題能力教學模式二（林宜城等人，2007）

模式三是布題後要求學生以約定格式直接進行解題活動，此階段的題目難度 增加，不易以圖像或具體物表徵進行解題，迫使學生運用符號紀錄格式進行解題， 若無法順利進行解題，則退回模式二重新經驗解題，直到學生能順利以模式三成 功解題（參考圖 2-1-4）。三模式間的關係是具有次序性與往返性，唯有通過模式一 才能進入模式二，模式二成功後才能順利進入模式三，否則就需視情況折返模式 一繼續體驗成功解題經驗（參考圖 2-1-5）。 圖 2-1-4 發展解題能力教學模式三 圖 2-1-5 發展解題能力教學模式關係 圖 2-1-4 發展解題能力教學模式三（林宜城等人，2007） (記錄) 問題記錄 下來 (建立共識) 記 錄 布題 (解題) 算 式 (討論) 過 程 說說看 模式三：符號解題，約定格式記錄 設定 目標 模式一 提升 目標 模式二 模式三 通過 通過 通過 不 通 過 不 通 過 不 通 過 圖 2-1-5 發展解題能力教學模式關係（林宜城等人，2007）

林宜城等人（2007）提出此教學模式具有以下特點是： （1） 符合鷹架理論逐步轉移學習責任的特點，讓學生逐漸獨自承擔數學學 習活動的挑戰。 （2） 運用多元表徵的策略，將五個表徵系統充分運用，視學生學習需求進 行調整，待學生覺察所經驗的解題能力後，再進入較難的活動。 （3） 兼顧螺旋原則，每個模式之間所培養的能力交互重疊，不斷檢視學生 已具備的能力，並以此為新能力的起點。 （4） 解題工具的發展，從質樸的想法逐步形成經典知識，由非正規逐步掌 握形式規約，由特定情境、問題的解題思考，逐步建立數學模型，發 展出通則性的形式解題能力，由社會性互動溝通步形成心理性解題工 具。 （5） 善用同儕合作學習的優勢，以成功解題的學生做為典範，使學生透過 模仿及觀摩，逐漸形成對解題的覺察。 （6） 藉由成功解題的信心和喜悅，吸引學生參與數學學習活動，讓學生產 生較大的學習興趣。 （三）實施現況 林宜城在南投縣某國小搭配八十二年版數學課程教材實施全校性的模式教 學，該校教師透過每週定期教材編輯分析討論，進行教學錄影觀摩分享，強化自 我從事教學模式教學之能力。林宜城在民國九十五年於「精進教師課堂教學能力 暨學生補救教學試辦計畫」之研習活動中，針對參與教師進行發展式解題能力教 學模式之推廣，透過全體教師的集中研習、各校申辦之專題講座、專業對話、教 學演示等精進教師課堂之教學能力。另外，不定期接受各地學校或單位邀請，進 行教學分享。推廣至今，林宜城所主持之成長團體中的教師以及埔里、信義等多 所小學教師均以發展式解題能力教學模式進行數學教學（林宜城等人，2007）。

三、解題教學之相關研究

張景媛（1994）針對國中二年級學生數學文字題錯誤概念分析及學生建構數 學概念的研究中，認為教師如何看待學生的錯誤概念，對學生建構正確的數學知 識有很大的影響。期望教師能由學生的思考模式著手，多瞭解學生的邏輯概念， 並思考如何運用策略來引導學生修正，協助學生發現錯誤，才能有效幫助學生建 構正確的數學知識。許美華（2003）對學生的解題教學建議應注意學生的語文與 數學能力、從事正確表徵問題的教學，在學生認知發展的考量下，適時搭建鷹架。 楊雅捷（2002）建議應讓學生以彈性化語言對問題加以自行描述，並需對低解題 能力的學生進行個別瞭解。Cooper 與 Sweller 認為文字題的教學應盡量避免讓學生 練習過多的類似題，而是注重例題的內容結構與學生所具備的知識結構相連繫（引 自古明峰，1994）。林宜城等人（2007）針對九十五年六月參與「南投縣精進教師 課堂教學能力暨學生補救教學試辦計畫」之學校教師，以「八十二年國編版課本」 及「發展解題能力教學模式」為教材，進行研習、專題講座、專業對話、教學演 示等精進教師課堂教學能力，並配合實施學生之補救教學，發現 11 所學校中有一 所全校教師全程參與並申請到校輔導時數最多的學校，該校學生的成績經前後測 差異比較，二至六年級學生進步情形皆達顯著水準。

四、本節文獻對本研究的啟示

以問題解決為導向的數學教學中，若在教導學童數學概念或運算時，教師仍 以自己的角度布題，以自我已具備的解題模式進行教導，並未考慮學生的認知發 展，且要求學生以最有效率的方式在有限的數學教學時間中學會解題技巧，僅會 讓學生的概念性知識薄弱（陳霈頡、楊德清，2005）。是故以建構方式進行解題教 學是有其必要性，讓學生能從運用自我經驗與知識解決問題，並透過發表討論達 成共識建立與能力提升的目標。因此本研究採取量性研究與質性訪談，進行學生 學習成就測驗分析以及教師教學方式探究，以便瞭解接受建構方式進行解題教學 （即接受發展解題能力教學模式教學）之學生的學習成效與採用該方式教學之教 師的教學特色。

第二節 建構精神與傳統教學

發展解題能力教學模式之教學屬於建構式的教學。而建構主義的教學有其哲 學、心理學以及社會學的基礎，其基本的理念和內涵與傳統的教學觀有相當大的 差異性，致使兩派學者於學習的本質所持的立場是截然不同的（高博銓，2003）。 對教師而言，會因為其所抱持的教學觀或教學信念不同，表現出來的教學行為也 會有所差異（莊淑琴，2002；甄曉蘭、周立勳，1999）。本節便就建構主義的教學 理念基礎與教學觀、傳統教學的特色和兩者間的比較，以及教師數學教學信念加 以整理分述如下：

一、建構主義的教學理論基礎、學習觀與教學模式

建構教學的理論源於建構主義，建構主義學者認為個體和外界環境的互動 中，個人會根據已有的知識來瞭解周遭環境，是主動建構知識而非被動接受（林 生傳，1998；陳怡靖，2002；甄曉蘭、曾志華，1997）。有關建構主義的教學理論 與學習觀整理如下： （一）建構主義的教學理論基礎 就建構理論的發展，因其關心的角度不同而形成不同的建構派別，大致可分 為以 Piaget 為代表的原始建構論（original constructivism）、以 von Glasersfeld 為代 表的根本建構論（radical constructivism）、以 Vygotsky 為代表的社會建構論（social constructivism）以及 Kelly 為代表的個人建構論（individual constructivism）。雖然 流派不同，仍有其共通點，包括強調知識是認知主體主動建構而成、認知的功能 在於適應，是用來組織經驗世界以及認知是持續不斷的過程，必須透過同化、調 適、反思抽取逐漸發展而成（林生傳，1998；高博銓，2003；張靜嚳，1995；楊 龍立，1998）。 由於建構主義在哲學、心理學和社會學等方面異於傳統知識觀的立場，影響 許多教育研究者對於學習理論、教學理論和課程發展的看法。因此就哲學基礎、 心理學基礎以及社會學基礎三方面探討建構主義之教學理論：

1. 哲學基礎： 主要探究知識論問題的討論，關心知識的本質、形式、獲得的方式與發展的 過程。建構思潮的崛起，不同於強調普遍真理的理性主義（Rationalism）或重視感 官經驗的經驗主義（Empiricism）的知識觀，而是試圖在兩者之間尋求平衡（高博 銓，2003）。Kant 與 Dewey 兩人均闡明人類認識的主動性和主體性，對日後知識 的建構產生極大的影響。整體而言，建構教學的哲學基礎是來自反對傳統實證主 義的「絕對、客觀真實存在」的知識論假設，主張以人為主體的「多重真實」的 知識論觀點並強調知識具有實用性與工具性價值（朱則剛，1992；甄曉蘭、曾志 華，1997）。 2. 心理學基礎： 教育學者或心理學家往往將 Piaget 和 Vygotsky 的發展理論與建構理論的主張 相提並論。不論是 Piaget 的認知理論或是 Vygotsky 以「社會—文化」（socio cultural） 的觀點探討人類認知發展均強調認知與學習是一種架構經驗意義的過程，學習者 並非由外在世界中將知識送入記憶當中，而是依據其經驗與世界中的事物、人際 互動後所創造出的詮釋。此論點將知識論重心由知識的內容轉向知識的學習者， 因應這樣的轉變，教師的角色從知識的傳遞者轉而為學習的促進者；學生則從被 動的學習者轉為主動的學習者（朱則剛，2002；高博銓，2003；甄曉蘭、曾志華， 1997）。 3. 社會學基礎： 社會學是研究人際互動的科學，從社會學的發展來看，1970 年代以後，受到 現象學的影響開始走向微觀、詮釋的社會學，此是對實證社會學的反動，主張人 是所處社會的創造者，意義由人主動所解釋並建構。基於此強調知識形成不僅是 透過心智活動主動發現還需經由「磋商」的過程來獲得，因此學習不應只是強調 個體心智活動的主動性、更應兼及社群中與同儕團體間的互動、磋商、討論，以 及共識的形成。是故在教學過程中，教師應鼓勵學生持續不斷的互動，透過磋商、 討論的過程來建構知識（高博銓，2003；甄曉蘭、曾志華，1997）。 綜觀建構教學的理論基礎可瞭解其強調知識應以人為主體並具有實用性與工 具性，學習者在學習知識時應以自身的經驗主動探究、創造，並與他人磋商、討 論以達成共識。

（二）建構教學的學習觀 由於每位學者專家觀察的角度不同，對於建構主義的解讀也就有所差異，採 取的教學觀亦有不同，但仍具有一般性的原則。多位學者提出建構教學的學習基 本假定與內涵（林生傳，1998；甄曉蘭、曾志華，1997；Glatthorn，2000），分述 如下： （1） 學習是主動意義建構的過程，不是被動接受的過程。 （2） 學習者的知識成長是一種「質」的改變，學習涉及概念的轉變，需要 修正先前對此概念的理解，而每一次建構的歷程便是一次知識的創造 與發明。 （3） 教學是以學習者為本位，注重學習的主觀性（自然想法）和個別性（先 備經驗），並強調「發現學習」（discovery learning）以及「解題」 （problem-solving）能力的培養。 （4） 學習具有情境化與脈絡化，並非脫離真實情境的練習活動，而是學習 解決情境式的問題。 （5） 學習具有社會性，學習過程倡導合作的學習方式，鼓勵學生發表、反 思並與他人的知覺進行溝通、分享進而共同解決問題。 （6） 學習的內容與學習者能理解的程度受到學習者的發展程度影響，教師 在學習過程中需不斷評估學生的發展情形，作為調整教學方向的依 據。 （7） 在學習歷程中，學生是知識與意義的詮釋者、創造者和發明者；教師 是問題情境的設計者、學生互動協商的協調者以及協助學生知識建構 的促進者。 （三）建構教學模式 楊龍立（1998）依據建構教學的主張及學者的論述，發現各種建構教學模式 皆具有以學生為主體老師為輔、學生擁有較具體經驗、學生經歷認知失調和反省 以及具有新建構之知識概念的運用與評量之機會等共同要素，並整理出三種建構 教學模式：

1. 分組合作及討論問題的教學模式： 數理教育界推行的建構教學大多具有兩大特色，包括分組合作、討論問題。 教師提供問題，學生進行分組討論以合作方式解題並分享觀點與見解。鄔瑞香提 出一教學模式：布題→討論→引導、辯證、質疑→達成共識（林文生、鄔瑞香， 1999），這種問題取向且重視和合作討論的教學便屬於此種教學模式。 2. 三段式學習環： 可分為早期的探究（exploration）、發明（invention）、發現（discovery）的形 式；中期的探究（exploration）、概念引入（concept introduction）、概念運用（concept application），近期的探究（exploration）、語詞引入（term introduction）、概念應用 （concept application）的形式（楊龍立，1998）。其中初期的學習環教學形式便是 建構教學於探究教學的應用，所以，探究教學應是建構教學的一種（顏弘志， 2004）。 3. 五段式學習環： 包含 Driver 和 Oldham 提出的五階段教學流程：確定探討的方向、引出學生 概念、進行學生概念的重組、應用新概念以及回顧概念（高博銓，2003）；以及 Bybee 和 Landes（1988）的 5E 學習環：銜接（engagement）、探索（exploration）、解釋 （explanation）、精進（elaboration）與評鑑（evaluation）。其中「銜接」指的是進 行將過去與現在的學習經驗加以連結的活動，促使學生順利進入新的學習狀態； 「精進」代表的是進行學習的深入探究，使學生獲得更大量的知識、更深入、寬 廣的理解與足夠的能力。 其中三段式教學環與五段式教學環多應用於科學教育的建構教學模式（陳怡 靖，2002；楊龍立，1998；顏弘志，2004）。而數學教育所應用的建構教學模式並 配合解題為導向之教學已於上節加以詳述。

二、建構教學與傳統教學之比較

由先前對建構教學的理論基礎與教學觀的介紹可知與大眾所熟知的傳統教學 是有所不同的，但傳統教學的特色有哪些以及其與建構教學間的差異到底為何， 將再加以說明。接著便針對傳統教學之特色、建構教學與傳統教學之比較分述如 下： （一）傳統教學之特色 教學是師生互動的歷程。傳統上，教師是教學者，學生是被教者，是學習者； 教師按教科書施教，主動地將現成的知識傳授給學生；學生的學習是否成功端視 其學到多少知識論定（林生傳，1998）。傳統教學是強調以教師為中心的講述式教 學，其學習理論以「機械式學習」為中心，學生學習數學以記憶與熟練教師所講 授的數學教材為主，而紙筆測驗的成績是代表學生數學能力的最佳指標（許清陽， 2004）。其流程總是侷限於教師先下定義、解說概念，接著布題，再由教師示範解 題，最後學生模仿解題，並透過背誦公式、訣竅或關鍵字，反覆練習計算。此外， 重視結果的精確性與數學的結辯（mathematical closure），定理都是根據定義來證 明（蔣治邦等人，2002；楊德清、黃明章，2003）。 （二）建構教學與傳統教學之比較 建構教學與傳統教學有很大的不同，有多位學者曾針對建構教學與傳統教學 的差異加以比較，以下就朱湘吉（1992）、胡志偉、蔣建智、高千惠（2003）、以 及樊雪春（引自楊德清、許清陽，2002）所提出之比較結果加以彙整（如表 2-2-1）： 傳統教學認為知識具有恆真的價值，是客觀的事實，故教學的目的在於培養 知識豐富的學生，進行的方式是將簡化後的知識經由教師的觀點透過大班單向的 講授與示範讓學生被動的接受，並要求學生記憶教學內容且熟練各種計算技能， 以學習的成效作為評量的指標；建構教學則認為知識是建構而來，是社會協調而 來，教學的目的在於培養能獨立學習的個人，實施的方式是呈現貼近學生生活的 真實情境問題讓學生以先備知識進行互動式的討論，教師需重視學生內在經驗與 正確概念間的差異以協助學生促進概念的建立或迷失概念的澄清，並要求學生需 要瞭解教學內容的意義且加以應用，而評量方式是多元但重視過程。

表 2-2-1 傳統教學與建構教學之比較 傳統教學 建構教學 哲學基礎 1.客觀論 1.建構論 2.知識本身有恆真價值 2.意義經由社會協調而來 教育目標 培養知識豐富的學生 培養能夠獨立學習的個人 教學目標 對內容的記憶與對技術的熟練 瞭解教材的意義並達到應用的目的 教學內容 1.適合學習動作技能、語文資訊 1.適合學習問題解決及認知策略 2.簡化現實世界 2.呈現現實世界的真實面貌 教學基準 由教師的正確概念開始 由學生的先入或迷思概念開始 教學項目 1.根據學科知識結構，嚴謹的 1.安排接近學生生活的環境供其 2.人造的 探索知識 2.真實的 教學情境 題目簡化，抽離生活情境 題目提供豐富的生活情境 實施方式 大團體單向講授與示範 互動式討論 教學重點 1.學生將正確概念熟記 1.著重學生內在經驗概念與 2.熟練科學問題演算過程 正確概念間的差異 2.鼓勵學生討論，驗證並修改其概念 學習者 1.可在教學過程中調整個別差異 1.學習者的先前知識影響學習結果 2.重視學習者的起點行為 2.強調學習者有自我管理的能力 3.被動接受知識 3.主動參與學習 教學者 1.學科專家，並是知識的傳授者 1.一為向學生傳達知識，另一為向 2.忠實的傳授知識 學生學習 2.有效建構環境促進學生學習成效 教學關係 教師為教學主體，是學生學習的 教師與學生是平行的關係 對象 教學實驗 1.強調驗證已知自然定理或定律 1.強調檢驗學生自己的先入經驗 2.學生認知與結果發生衝突時， 教師提供進一步資訊與協助。 教學評量 1.重視教學與成效 1.重視學習的過程本身 2.以學習目標為評量標準 2.目標中立導向（goal free） 3.全有或全無的分數評量 3.多元評量標準

從建構教學與傳統教學的比較中可發現，兩者從對知識的看法、學習的目標 設定、內容選擇、過程安排、方法使用、對象關係、以及評量重點都有不同的論 點及主張。

三、教師數學教學信念

教師的信念系統左右教師思考，主導教師的教學計畫，更影響到教師對實存 的表徵表現以及教學策略的採用等（Clark & Peterson, 1986; Corneet, Yeotis & Terwilliger, 1990）。就數學教育而言，教師對數學本質的信念會影響教師對數學的 「教」與「學」的看法，進而影響到教師教學內容和教學方式（Ball, 1990）。持有 不同數學教學信念的教師，所展現出來的教學策略和課程實踐的呈現上自然會有 所差異（莊淑琴，2002；甄曉蘭、周立勳，1999），教學觀傾向於傳統教學觀者， 視教師為知識的傳遞者，教師的教學職責就是清楚舉例講述，讓學生反覆背誦和 多方練習，並認為數學學習是透過有規則可循的一連串既定步驟、經由熟練的法 則運算即可，且多數的數學問題只有一種解法，成功複製和運算結果一致與否是 學習成效的指標，因此數學學習的目標在教導學生獲得正確答案；教學觀傾向建 構教學觀者，視教師為教學的促進者，教學是讓學生透過探索活動來理解數學概 念，並認為學生能掌握概念便有數種不同方法可以進行解題且相信學習是理解的 過程，因此學習的目標是概念理解與數學思考的培養（甄曉蘭、周立勳，1999）。 在教師數學教學信念的相關研究結果顯示國小教師的教學觀普遍趨向建構 觀，但有程度上的差異；個人不同背景變項（如：性別、年齡、學歷、服務年資、 任教年級）對其所抱持的數學教學信念影響並未有定論（胡志偉，1997；莊淑琴， 2002）。甄曉蘭、周立勳（1999）以「知識與學習觀」、「教學任務」、「教學歷程」、 「教學評鑑」四個層面作為編製探究國小教師之數學教學信念問卷的基本架構， 並以因素分析確認教師的數學教學信念可由「教師角色與任務」、「數學知識溝 通」、「學生學習條件」三層面來瞭解建構教學觀和傳統教學觀的教師，其研究指 出教師的數學教學信念在「教師角色與任務」、「數學知識的溝通」偏向建構觀點， 但對於「學生學習的條件」方面並未明顯偏向建構觀，而此一層面由 Prawat（1992） 所提從建構論看教師教學信念的觀點，可知學生如何學習才是建構教學有別於傳

統教學的最重要關鍵。莊淑琴（2002）就「教學目標」、「教學準備」、「教學模式」 以及「影響教師教學因素」四方面加以分析持有建構教學觀和傳統教學觀教師對 數學教學的信念與其差異，結果顯示兩者除在「教學準備」方面外，在「教學目 標」、「教學模式」以及「影響教師教學因素」皆具有顯著差異。 持有不同數學教學信念的教師，在對於數學知識的表徵、教材內容的運用、 教學方法的使用以及對學生概念學習的評量皆會存有差異，這些差異勢必影響學 生的學習。

四、本節文獻對本研究的啟示

傳統教學與建構教學對知識的看法、教學的目標、方法與評量持有不同的主 張。建構教學強調知識應以人為主體，學習者在學習知識時以自身的經驗主動探 究、創造，產生概念的質變；教學者則是問題情境的設計者、學生溝通的協調者 以及學生知識建構的促進者。學習時強調具有情境、脈絡，以貼近生活的真實情 境，學習解決問題，故建構式的數學教學模式多以解題為導向之教學為主。教師 採行建構或傳統方式教學受其教學信念影響，教師的數學教學信念關係著教師如 何教學、學生如何學習，唯有探究教師之數學教學信念，才能區辨其教學方式的 屬性。因此本研究採半結構晤談方式，進行教師教學方式之探究，以便瞭解教師 的教學觀與教學特色。

第三節 分數概念學習

數學概念學習一直是在數學教育中被關注的重要議題，由於數學概念是學習 數學的基礎而「數學」課程的主要成分便是數學概念的形成與發展，只要數學概 念形成和發展能夠穩固，就等同於建立新問題的解題工具（陳竹村等人，2002； 張守端，2006；楊瑞智，2000）。在國小的諸多數學概念學習中，分數概念是常用 的重要概念，但因其複雜、抽象又難以理解，兒童的學習結果往往是成效不彰甚 至是令人沮喪的（呂玉琴，1991；洪素敏、楊德清，2002；楊瑞智，2000； Southwell， 引自洪郁雯、楊德清）。是故欲探討分數概念，須先瞭解數學概念的形成，以下就 數學概念形成與學習、分數概念以及分數概念相關研究等三部分進行探討。

一、數學概念形成與學習

數學知識的基本要素是概念，但「概念」這個詞彙使用廣泛，卻不易精確定 義。多位學者皆認為概念是指在各種事物、經驗、或實體要素中，雖有各自的差 異，但亦具有某些相似、共通的屬性，這些共同的部分被歸類、結合並加以命名 後，即成為「概念」（Anderson & Bower, 1973；Markle & Tiemann，引自楊瑞智， 2000；Skemp，引自陳澤民，1995）。 Skemp（引自陳澤民，1995）又進一步指出概念可分成兩種：由肌肉、感官對 外在世界經驗後而得的概念稱為初級概念（primary concept），而由數個概念再抽 象之後得到的概念稱為二級概念（secondary concept），此為較高階的概念。但若沒 有語言，初級概念很難統合以形成高階概念。當概念愈抽象就必須記憶愈多有關 符號或經驗，數學便是最具抽象符號的理論系統。但若對於數學概念的學習是在 學生身上施加大量毫無意義的符號操作和大量公式規則的反覆記憶，這並不是真 正的數學學習，有的只是煩人與辛苦。 劉秋木（1996）指出數學概念最好依照分析屬性、分類、命名的程序教學， 因複雜概念可以分析出子概念，若兒童不能瞭解子概念就無法有效學習此一複雜 概念。換言之，任何複雜概念之子概念為學習概念之「預備能力」，要教導新概念 之前須先讓兒童獲得預備能力。劉好（1990）指出數學概念是抽象又具連慣性，

某些概念是其他數學概念的基礎，若有一概念無法形成，會造成往後數學概念學 習的障礙。因此，數學概念學習前應準備好先前概念，否則老師的教學僅是規則 的教學，學習者並非真正理解。Skemp 認為數學學習有二項重要原則：一為超越 個人已有概念階段的高階概念不能用定義方式溝通，只能蒐集有關例子供其經 驗，再靠其自行抽象以形成概念；另一為數學中的有關例子多少含有其它概念， 在提供例子時必須確定學生已經形成的這些預先概念（引自陳澤民，1995）。因此， 數學概念的學習必須重視學生的先備經驗，由學生舊有的概念舉例導引至新概念 的形成。即教師在從事教學時，必須對學生的學習狀況與認知能力有進一步的瞭 解，才能有效促進學生概念的建立（林福來、林勇志，1993）。 此外，數學學習需要的是數學想法的溝通而非數學想法的堆棧（Skemp，引自 陳澤民，1995）。而表徵是外在知識的學習媒介及內在知識概念的具體表達，學習 可透過運用某一種表徵形式（物理或心理），將一種事、物、或想法，重新表現出 來，以達到溝通的目的（黃月平，2004；蔣治邦，1994）。表徵是學習的媒介，在 數學上所用的語言符號，像數字、等號、乘除號等，稱為外在表徵，一旦這些外 在表徵為兒童所內化，就成了兒童的內在表徵。兒童需將與外界的互動經驗轉變 為內在表徵，並且在心裡可將這些表徵加以操弄，就可稱為理解，否則便沒有數 學的學習（劉秋木，1996）。Lesh、Post 和 Behr（1987）以溝通的觀點認為數學學 習及數學解題的表徵類別，包括：生活實物（experience-based ‘scripts’）、具體操 作模型（manipulative models）、圖像（pictures or diagrams）、口述語言（spoken language）以及書寫符號（written symbols）五種，並認為兒童能否在不同的表徵 方式中自由轉譯（translation），表示其對概念意義的掌握。因此，學生在概念抽象 化或表徵轉換的過程中無法完全掌握時，便會偏離所要形成之概念或根本無法形 成而造成概念學習的錯誤。 綜合上述可知，數學概念是極為抽象、複雜的。學生數學概念的形成必須透 過先備概念的導引，並提供充足的相關經驗讓其自我抽象獲得，同時學生必須能 自由轉譯概念的多重表徵與外界溝通，才能算是真正達成概念的學習，否則會造 成概念學習的錯誤結果。

二、分數概念

（一）分數概念之分類 分數一詞來自拉丁文的「frangere」，意思是指分開，通常用來描述一個被分開 之全體的部分或是用來解決確定不滿一個單位量的量底數值的問題（甯自強， 1995；羅鴻翔，引自詹婉華、呂玉琴，2004）。分數概念在不同的情境問題中有不 同的意義，具有多重意義的特性並以不同的表徵形式表現（張熙明，2004；楊瑞智， 2000）。國內外學者對於分數的意義有不同的看法： Dickson、Brown 和 Gilbson（1984）認為分數的意義有：部分／全部的意義（連 續量情境，如一條繩子分四段，分出的一段是多少條。）；子集／集合的意義（離 散量情境，如一盒蘋果有 6 顆，其中的 2 顆是多少盒。）；數（數線上兩整數間一 點的數值）；兩數相除的結果（即除法的商）；兩個集合（離散量）或兩個量（連 續量）的比較結果（即比值）。 Kieren（1988）提出分數概念的五種子建構：部分—整體、測量、比值、商、 乘法運算（甲有 15 元，乙的錢是甲的 2 3 ，此題中的 2 3 便有乘法運算元的意義）。 林碧珍（1990）將分數定義為五種：部分—整體模式、子集合—集合模式、 數線模式（數線上兩整數間的一點）、商模式、比值模式。 楊瑞智（2000）分析分數在不同問題情境中的認知意義，有下列十種：部分 ／全體、子集合／集合、乘法運算元、等值分數、整數除法的結果、分數是一個 數／是數線上的一點、平均（含速率、密度）、當量（一卷 3 公尺的緞帶，製作一 個蝴蝶結需要 5 6 公尺，全部用完，相當於可做幾個蝴蝶結，由於剩餘的部分無法 一個完整的，故運用「相當於」的用法）、比例中的比／比例尺／比值／比較量÷ 基準量（將分數與比、比例、比值產生關聯）、機率。 教育部（2003）在九年一貫課程綱要之數學領域中提及：有理數的教學牽涉 兩種非常不同的表現形式—分數與小數。分數形式是學生首次碰到兩整數並置的 約定。而小學的有理數教學包含四種意涵：平分、測量（如以單位度量長度，為 解決剩餘部分的約定以分數或小數表示的用法）、比例、部分／全體。

詹婉華、呂玉琴（2004）進行分數概念量表設計時，將分數概念區分為四個 子概念：

1. 簡單分數概念：瞭解兒童的單位分數概念。

2. 等分概念：等分是指將物品（連續量或離散量）細分，而細分的每個部分的

量皆相等。

3. 單位量概念：又稱為整體量概念（the concept of a whole）或單位—整體量（unit – whole）概念。包括：部分／全體、子集合／集合。 4. 等值分數：一個數可以用無限的分數方式來表示，這些不同的表示方式便叫 做這個分數的等值分數。等值分數的特性就是部分可以再細分，部分可以再 合併。 綜合以上的文獻，可以發現分數概念分類是多元的，這也代表著分數的多重 意義。希望透過對先前有關分數概念的分類、定義之研究，確認本研究有關分數 概念測驗之子概念細目，決定研究架構，得以自編試題。以下將針對本研究之分 數概念進行說明。 （二）分數概念 詹婉華、呂玉琴（2004）發展之分數概念量表的分類是參考劉世能（2002） 及呂玉琴、鄧寶生（2002）所發展的國小高年級學童分數概念的筆測試題修正後 經由共同因素分析確認分數的子概念主要有：等分、單位量以及等值分數，此外， 詹婉華、呂玉琴又表示部分的試題重複含有簡單分數概念，且簡單分數是學習分 數的基本概念，故本研究將以此四子概念作為探究分數概念之分類。以下將分別 介紹各子概念之定義。 1. 簡單分數概念：

甯自強（1997a）認為起始單位分數（initial unit fraction）是分數的前置概念， 當起始單位分數質變成單位分數（unit fraction）後，學生才開始理解真分數概念。 分數所標示的量，可由單位量等分割所得的一部份重複複製而得，而等分割 後所得的一部份即為單位分量。單位分量的複製牽涉到子分割與比較活動，前者

提供單位量碎裂的結果，後者提供碎裂後的部分相等之結果。以 1

位量碎裂成一個內容為 3 塊且可能大小不同的群，再經由量的比較下，確定群中 的元素個個相等，故「三份中的一份」含有將原單位量分割成 3 份且每份在比較 後各自等價並選取此 3 份中的 1 份之意義，懂得將 1 3 看成「以三份為單位的一份 部分」所具備的便是單位分數概念。相對的，不可被重複的單位分數便視為起始 單位分數。因此，分數的活動包含將單位量等分割後得到單位分量並將單位分量 加以複製兩步驟，並利用分割份數和 1 來命名單位分量，使成為單位分數（甯自 強，1995，1997a）。 單位分數的內容是指構成單位分數的量其中的獨立個物的數量，可為單數、 複數或未知。而分數詞的情境單就單位分數的內容（或單位分量）而言，在小學 階段可分為單一個物離散量、複數個物離散量、連續量（但度量後的連續事物屬 於離散量）、內容為碎裂個物以及內容是未知量等五種，如一打 12 枝的鉛筆中，1 12 打即為單一物離散量， 1 3 打則屬複數個物離散量；而 1 4 條繩子屬連續量，但一 條 40 公分長的繩子，1 4 條的單位內容物是 10 公分，即 10 個 1 公分所合成，應視 為離散量；一籃 12 顆蘋果的 1 5 籃的內容物為非整數個即屬碎裂個物，而一籃蘋 果的 1 5 籃，便是內容物未知。唯有具備加法性分數概念的兒童才可以理解單位分 數內容為單一個物離散量或連續量的同分母真分數合成、分解及比較問題，而所 謂的加法性分數概念是指在使用分數詞時能掌握單位分量和單位量間的部分全體 關係，也才是真正的分數概念（甯自強，1995，1997a）。 在此之簡單分數概念，即以單位分數內容為單一個物之離散量或連續量的真 分數作為概念探討之內容。 2. 等分概念： 等分是指將連續量或離散量的物品細分，而細分的每個部分或子集合皆等量 （詹婉華、呂玉琴，2004；Columba，引自龐嘉芬，2003）。在簡單分數概念中提及 單位分數的概念時便強調分數活動包含單位分量的製作和複製兩步驟，在單位分 量的複製牽涉到子分割與比較活動。而子分割（subdivisional）的活動是將一個單

位量打破的活動，原始的子分割活動並不意味把該單位量窮盡或分得公平，子分 割的結果彼此之間也未必等價，需經由選定的標準將子分割結果加以單位化成為 子分割單位（subdivisional units），才可成為「公平」與否的基礎，也才能據此進 一步進行比較動作而加以等分割（甯自強，1993，1995，1997a）。因此，等分是 分數概念中一個極為基本卻又重要的概念。 多位學者的研究指出學童在進行等分割活動時具有困難，如：只注意分割數 未留意分割後的量是否相等、受視覺的影響、或是認為分割後的形狀、面積均需 相等（林碧珍，1990；黃壬孝，引自劉世能，2002；Bergeron & Herscovics，引自 詹婉華、呂玉琴，2004；Freudenthal & Dordrecht, 1983）。

本研究的等分概念將以判斷圖形的等分或針對圖形進行等分作為本概念之測 驗內容。

3. 單位量概念：

又稱為整體量概念（the concept of a whole）或單位—整體量（unit – whole）

概念（詹婉華、呂玉琴，2004）。處理分數問題最重要的一個概念就是單位量的確 認，但是學生在解題時，往往因為並未真正瞭解分數的意義而有忽略單位量的情 形（呂玉琴，1991；洪素敏、楊德清，2002；洪素敏，2004）。 分數是利用單位分量將情境重新數值化，原單位量是由單位分量所構成的全 體，包括所有的個數，新的單位量則成為部分。如：以一打 12 枝鉛筆的 1 3 打為 例，原單位量為一打即 12 枝的鉛筆是全體的所有個數，經等分割後所得的份數為 3 份，其中的一份便是單位分量，此一單位分量形成一新單位量並代表部分。重新 數值化的結果便是以單位分量為 1，原來的 1 成為新的 3，以 1 3 的形式表徵。因 此，在分數的單位內容成分含有兩種單位，單位分量單位與單位量單位。對兒童 而言，若僅以單位分量或單位量中的一種單位進行運作，並無困難，但若必須獨 立於其他單位同時運作便會產生困難，唯有具備部分—全體運思才得以順利運作 （甯自強， 1997a）。 學童因為無法對單位量、單位分量及其所形成的分數數值表徵此三者的意義 加以釐清，因而常常會有受到分數數值符號中分子與分母的影響，忽略所給定的

單位量，誤認以單位分量重新將情境數值化後的結果便是部分或全體的個數。也 不難理解為何有研究指出學童無論是在處理連續量的部分／全部、離散量的子集 ／集合或是以數線呈現的分數問題上會有單位量指認的困難（呂玉琴，1991）。 綜合文獻之整理，在本研究中有關單位量概念的探討將以單位量與單位分量 的確認、提供部分量，找出單位量以及在單位量未知的情況下，進行分數的比較， 作為主要探討之內容。 4. 等值分數： 等值分數是表示一個數可以用無限的分數方式來，其特性就是部分可以再細 分、再合併（詹婉華、呂玉琴，2004）。甯自強（1997b）認為等值分數是比較活動 的結果，可從分數值所指的內容物與分數的分子分母比值此二途徑加以比較，但 必須注意的是第一個比較途徑應於單位分數內容物為複數個物的情境下進行，而 第二個比較途徑則於單位分數為非未知數的其他所有情境中進行。 依第一個比較途徑從分數的內容觀點來看，兩等值分數其內容所指的量是相 同的，但以不同的結構呈現；若就第二個比較途徑以分數的數值加以比較，則需 透過所謂通分過程，轉換成共同的單位分數（共測單位）加以比較，過程中不需 考慮單位分數的內容，是屬於形式運思期的等比例思考特徵，超越部分—全體運 思的思考。等值分數的理解至少必須具備以巢狀分數（nested fraction）的保留概念， 即兒童可以透過由全體分割出的部分，並以此部分的份數直接運作時（能理解 2 個花片是 6 個花片的 2 6 ，也是 1 3 ，即能以部分的「2」進行運作，不再僅會以「1」 進行操弄），此時的分數概念便是巢狀分數，運思概念的發展亦從部分—全體運思 發展至測量運思，而巢狀分數與加法性分數的差異在於前者的部分全體關係是出 現在單位分數的內容物為複數個物，而後者為單一個物的情境。選用單位分數內 容為複數個物的離散量情境作為學習等值分數的引入情境，主要的原因在於同時 變換單位所需的公共單位（commeasure unit）不需另外透過實體分割的手段加以獲 得，是最簡易的情境（甯自強， 1997a，1997b）。 影響學童等值分數概念的因素很多，包含有單位形成能力（指無法製作單位 分量）、組合能力（指能成功製作、複製單位分量，但無法將單位分量合併成單位 量指定的分數的能力）、彈性運作能力（為能在不同表徵系統中彈性轉換思考的能