分數概念學習

數學概念學習一直是在數學教育中被關注的重要議題，由於數學概念是學習 數學的基礎而「數學」課程的主要成分便是數學概念的形成與發展，只要數學概 念形成和發展能夠穩固，就等同於建立新問題的解題工具（陳竹村等人，2002；

張守端，2006；楊瑞智，2000）。在國小的諸多數學概念學習中，分數概念是常用 的重要概念，但因其複雜、抽象又難以理解，兒童的學習結果往往是成效不彰甚 至是令人沮喪的（呂玉琴，1991；洪素敏、楊德清，2002；楊瑞智，2000； Southwell，

引自洪郁雯、楊德清）。是故欲探討分數概念，須先瞭解數學概念的形成，以下就 數學概念形成與學習、分數概念以及分數概念相關研究等三部分進行探討。

一、數學概念形成與學習

數學知識的基本要素是概念，但「概念」這個詞彙使用廣泛，卻不易精確定 義。多位學者皆認為概念是指在各種事物、經驗、或實體要素中，雖有各自的差 異，但亦具有某些相似、共通的屬性，這些共同的部分被歸類、結合並加以命名 後，即成為「概念」（Anderson & Bower, 1973；Markle & Tiemann，引自楊瑞智，

2000；Skemp，引自陳澤民，1995）。

Skemp（引自陳澤民，1995）又進一步指出概念可分成兩種：由肌肉、感官對 外在世界經驗後而得的概念稱為初級概念（primary concept），而由數個概念再抽 象之後得到的概念稱為二級概念（secondary concept），此為較高階的概念。但若沒 有語言，初級概念很難統合以形成高階概念。當概念愈抽象就必須記憶愈多有關 符號或經驗，數學便是最具抽象符號的理論系統。但若對於數學概念的學習是在 學生身上施加大量毫無意義的符號操作和大量公式規則的反覆記憶，這並不是真 正的數學學習，有的只是煩人與辛苦。

劉秋木（1996）指出數學概念最好依照分析屬性、分類、命名的程序教學，

因複雜概念可以分析出子概念，若兒童不能瞭解子概念就無法有效學習此一複雜 概念。換言之，任何複雜概念之子概念為學習概念之「預備能力」，要教導新概念 之前須先讓兒童獲得預備能力。劉好（1990）指出數學概念是抽象又具連慣性，

某些概念是其他數學概念的基礎，若有一概念無法形成，會造成往後數學概念學 習的障礙。因此，數學概念學習前應準備好先前概念，否則老師的教學僅是規則 的教學，學習者並非真正理解。Skemp 認為數學學習有二項重要原則：一為超越 個人已有概念階段的高階概念不能用定義方式溝通，只能蒐集有關例子供其經 驗，再靠其自行抽象以形成概念；另一為數學中的有關例子多少含有其它概念，

在提供例子時必須確定學生已經形成的這些預先概念（引自陳澤民，1995）。因此，

數學概念的學習必須重視學生的先備經驗，由學生舊有的概念舉例導引至新概念 的形成。即教師在從事教學時，必須對學生的學習狀況與認知能力有進一步的瞭 解，才能有效促進學生概念的建立（林福來、林勇志，1993）。

此外，數學學習需要的是數學想法的溝通而非數學想法的堆棧（Skemp，引自 陳澤民，1995）。而表徵是外在知識的學習媒介及內在知識概念的具體表達，學習 可透過運用某一種表徵形式（物理或心理），將一種事、物、或想法，重新表現出 來，以達到溝通的目的（黃月平，2004；蔣治邦，1994）。表徵是學習的媒介，在 數學上所用的語言符號，像數字、等號、乘除號等，稱為外在表徵，一旦這些外 在表徵為兒童所內化，就成了兒童的內在表徵。兒童需將與外界的互動經驗轉變 為內在表徵，並且在心裡可將這些表徵加以操弄，就可稱為理解，否則便沒有數 學的學習（劉秋木，1996）。Lesh、Post 和 Behr（1987）以溝通的觀點認為數學學 習及數學解題的表徵類別，包括：生活實物（experience-based ‘scripts’）、具體操 作模型（manipulative models）、圖像（pictures or diagrams）、口述語言（spoken language）以及書寫符號（written symbols）五種，並認為兒童能否在不同的表徵 方式中自由轉譯（translation），表示其對概念意義的掌握。因此，學生在概念抽象 化或表徵轉換的過程中無法完全掌握時，便會偏離所要形成之概念或根本無法形 成而造成概念學習的錯誤。

綜合上述可知，數學概念是極為抽象、複雜的。學生數學概念的形成必須透 過先備概念的導引，並提供充足的相關經驗讓其自我抽象獲得，同時學生必須能 自由轉譯概念的多重表徵與外界溝通，才能算是真正達成概念的學習，否則會造 成概念學習的錯誤結果。

二、分數概念

（一）分數概念之分類

分數一詞來自拉丁文的「frangere」，意思是指分開，通常用來描述一個被分開 之全體的部分或是用來解決確定不滿一個單位量的量底數值的問題（甯自強，

1995；羅鴻翔，引自詹婉華、呂玉琴，2004）。分數概念在不同的情境問題中有不 同的意義，具有多重意義的特性並以不同的表徵形式表現（張熙明，2004；楊瑞智，

2000）。國內外學者對於分數的意義有不同的看法：

Dickson、Brown 和 Gilbson（1984）認為分數的意義有：部分／全部的意義（連 續量情境，如一條繩子分四段，分出的一段是多少條。）；子集／集合的意義（離 散量情境，如一盒蘋果有 6 顆，其中的 2 顆是多少盒。）；數（數線上兩整數間一 點的數值）；兩數相除的結果（即除法的商）；兩個集合（離散量）或兩個量（連 續量）的比較結果（即比值）。

Kieren（1988）提出分數概念的五種子建構：部分—整體、測量、比值、商、

乘法運算（甲有 15 元，乙的錢是甲的 2

3 ，此題中的 2

3 便有乘法運算元的意義）。 林碧珍（1990）將分數定義為五種：部分—整體模式、子集合—集合模式、

數線模式（數線上兩整數間的一點）、商模式、比值模式。

楊瑞智（2000）分析分數在不同問題情境中的認知意義，有下列十種：部分

／全體、子集合／集合、乘法運算元、等值分數、整數除法的結果、分數是一個 數／是數線上的一點、平均（含速率、密度）、當量（一卷 3 公尺的緞帶，製作一 個蝴蝶結需要 5

6 公尺，全部用完，相當於可做幾個蝴蝶結，由於剩餘的部分無法 一個完整的，故運用「相當於」的用法）、比例中的比／比例尺／比值／比較量÷

基準量（將分數與比、比例、比值產生關聯）、機率。

教育部（2003）在九年一貫課程綱要之數學領域中提及：有理數的教學牽涉 兩種非常不同的表現形式—分數與小數。分數形式是學生首次碰到兩整數並置的 約定。而小學的有理數教學包含四種意涵：平分、測量（如以單位度量長度，為 解決剩餘部分的約定以分數或小數表示的用法）、比例、部分／全體。

詹婉華、呂玉琴（2004）進行分數概念量表設計時，將分數概念區分為四個 子概念：

1. 簡單分數概念：瞭解兒童的單位分數概念。

2. 等分概念：等分是指將物品（連續量或離散量）細分，而細分的每個部分的 量皆相等。

3. 單位量概念：又稱為整體量概念（the concept of a whole）或單位—整體量（unit – whole）概念。包括：部分／全體、子集合／集合。

4. 等值分數：一個數可以用無限的分數方式來表示，這些不同的表示方式便叫 做這個分數的等值分數。等值分數的特性就是部分可以再細分，部分可以再 合併。

綜合以上的文獻，可以發現分數概念分類是多元的，這也代表著分數的多重 意義。希望透過對先前有關分數概念的分類、定義之研究，確認本研究有關分數 概念測驗之子概念細目，決定研究架構，得以自編試題。以下將針對本研究之分 數概念進行說明。

（二）分數概念

詹婉華、呂玉琴（2004）發展之分數概念量表的分類是參考劉世能（2002）

及呂玉琴、鄧寶生（2002）所發展的國小高年級學童分數概念的筆測試題修正後 經由共同因素分析確認分數的子概念主要有：等分、單位量以及等值分數，此外，

詹婉華、呂玉琴又表示部分的試題重複含有簡單分數概念，且簡單分數是學習分 數的基本概念，故本研究將以此四子概念作為探究分數概念之分類。以下將分別 介紹各子概念之定義。

1. 簡單分數概念：

甯自強（1997a）認為起始單位分數（initial unit fraction）是分數的前置概念，

當起始單位分數質變成單位分數（unit fraction）後，學生才開始理解真分數概念。

分數所標示的量，可由單位量等分割所得的一部份重複複製而得，而等分割 後所得的一部份即為單位分量。單位分量的複製牽涉到子分割與比較活動，前者 提供單位量碎裂的結果，後者提供碎裂後的部分相等之結果。以 1

3 為例，只將單

位量碎裂成一個內容為 3 塊且可能大小不同的群，再經由量的比較下，確定群中 的元素個個相等，故「三份中的一份」含有將原單位量分割成 3 份且每份在比較 後各自等價並選取此 3 份中的 1 份之意義，懂得將 1

3 看成「以三份為單位的一份 部分」所具備的便是單位分數概念。相對的，不可被重複的單位分數便視為起始 單位分數。因此，分數的活動包含將單位量等分割後得到單位分量並將單位分量 加以複製兩步驟，並利用分割份數和 1 來命名單位分量，使成為單位分數（甯自 強，1995，1997a）。

單位分數的內容是指構成單位分數的量其中的獨立個物的數量，可為單數、

複數或未知。而分數詞的情境單就單位分數的內容（或單位分量）而言，在小學 階段可分為單一個物離散量、複數個物離散量、連續量（但度量後的連續事物屬 於離散量）、內容為碎裂個物以及內容是未知量等五種，如一打 12 枝的鉛筆中，1

12 打即為單一物離散量， 1

3 打則屬複數個物離散量；而 1

4 條繩子屬連續量，但一 條 40 公分長的繩子，1

4 條的單位內容物是 10 公分，即 10 個 1 公分所合成，應視

4 條的單位內容物是 10 公分，即 10 個 1 公分所合成，應視