分數教材分析與教學

分數是國民小學課程中的一個主要部分（教育部，2003）。而小學課程的安排 具有連慣性的，不能單從一個學年來瞭解全部，必須對其他學年的教材也有所研 究，才能對六年級學生的分數學習過程，有一整體性的瞭解（林榮煌，2005）。另 外，對於學習過國小所有分數課程的六年級學生而言，小學課程中有關分數的學 習目標即為國小學生應具備之分數基本能力，對小六學生而言，是應該也必須學 會所有分數課程。但，學生能否成功學習所有的分數課程，教材內容的選擇與編 輯以及教師的教學方式都有著關鍵性的影響。本節將針對分數教材分析、分數教 學建議以及分數相關研究加以探討。

一、分數教材分析

對於九十六學年畢業的國小六年級學生而言，其所接觸的課程是以九十學年 度實行之九年一貫課程暫行綱要之能力指標所編製的課程。九年一貫的數學領域 暫行綱要的中心目標仍秉持著八十二年版的設計理念，採用以學生為中心的教學 設計（譚寧君，2004）。而採用發展解題能力教學模式教學之學校所用的數學課程 選擇以八十二年部編版之數學課程作為教材，此兩種課程的課程目標與分數教材 有何特色，是必須加以瞭解的：

吳俊憲（2000）曾對於八十二年版課程及九年一貫暫行綱要之基本理念、課 程目標加以比較（如表 2-4-1）：

在基本理念方面，八十二年版的課程是落實以學生為本位的觀點，視數學為 解題與推理的教學及日常生活溝通的工具，強調內外在、具體與抽象及其他科目 的連結；九年一貫課程暫行綱要認為數學與生活相關，是終身學習的利器並能幫 助學生立足於社會，且強調數學是理性溝通的重要工具、培養國民建立臆測、驗 證與判斷的能力。

在課程目標方面，八十二年版的課程是讓學生從自我的經驗中建立數學概 念，培養以數學語言進行溝通及利用日常生活中工具解決問題的能力，並懂得尊

重他人觀點的態度；九年一貫課程暫行綱要是讓學生掌握數學概念與關係，並培

吳俊憲，2000，國教輔導，40(1)，12。

從比較過程中可以發現，兩者均主張將「生活」放在學習中，以學生為主體、

讓學生在對話、傾聽、討論、磋商、辯證的活動中能主動地獲得數學知識進而培 養解決問題的能力，顯示兩種課程皆充滿著建構精神。

在兩課程的分數教材設計中，一年級至三年級階段的課程，八十二年部編版 是進行的是分數概念的初步認識及分母在 20 以內的真分數的認識；九年一貫課程 則為能以分母為 20 以內的真分數進行描述並理解其意義以及進行和小於 1、內容 物為單一個物的同分母真分數的合成分解。四年級至五年級的課程中，八十二年 部編版是認識假分數、等值分數及分數的數線並能將分數視為整數除法的結果，

且進行同分母分數的加減與分數乘以整數的乘法教學；九年一貫課程則為假分 數、帶分數及等值分數的認識與理解，並能解決內容物為多個個物的同分母分數 之合成分解、與簡單整數倍的問題。六年級課程，八十二年部編版進行至約分、

擴分及通分，以及分數除以整數的除法；九年一貫課程則為理解通分並解決異分 母分數的合成分解及乘以或除以分數的問題（教育部，1993，2000）（如表 2-4-2）。

對於其發展的脈絡相互比較，發現兩者的設計有異同之處，相同的是皆強調 在情境中學習、分數數詞的認識均有真分數、假分數、帶分數，以及等值分數的 認識。不同的是在運算的方面，八十二年版教材只進行到同分母的加減及分數乘 以或除以整數，而九年一貫則延伸到異分母分數的合成、分解，分數乘以或除以 分數之學習。

表 2-4-2 八十二年部編版與九年一貫課程之國小階段分數課程發展比較

針對八十二年版課程中分數教材未涵蓋的內容，呂玉琴（1998）曾提出有關 分數的四則運算設計，搭配情境並使教材範圍包含異分母的合成、分解，乘數、

除數為分數之教材（如表 2-4-3）：

在合成分解的部分包含同分母與異分母，針對同分母的題目，增加單位分數 內容物為多個獨立個物的情境，再至連續量，最後為單位分數為非整數個的離散 量，對於異分母的的合成分解，先由分數的比較引導使用擴分、約分，最後懂得 使用分割分數的策略來解決問題，情境的設計同同分母的問題。

在乘法方面，將教材順序分成為分數的整數倍、整數的整數倍、分數的分數 倍及經驗成人的分數算則，情境則有連續量或離散量中，單位分數的個數為單個 與多個的搭配。

在除法方面，課程的安排依序為整數除以整數、被除數或除數為分數以及經 驗成人分數除法算則，在情境的使用除了考量連續量與離散量外，同時亦需經驗 除法的包含除與等分除問題，並需擴充至當量除的問題，此階段，還需建立學生 對於被除數與除數能使用公共計數單位的概念，以解決問題。

表 2-4-3 高年級分數加減乘除情境與類別設計

表 2-4-3（續）

運算 類別 情境

除法 3. 經驗成人分數除法算則 同分母分數除以分數 異分母分數除以分數

量的情境

被除數與除數同時轉換成公共單位計數 單位量轉化的觀點擴充到當量轉換

陳竹村等人（2002）針對分數的數概念與運算提出教材分析，對於分數加減 乘除的教材處理對照九年一貫能力指標與八十二年部編版數學科用書之活動對應 進行詳盡說明。將其所提出之分數加減乘除的問題類型加以整理：

在加減法部分，包含在連續量與單位分數內容物為單一或多個之離散量情境 下的同分母與異分母加減之問題類型；在乘法方面則包含有分數的整數倍、整數 的分數倍與分數的分數倍之題目類型；在除法方面，依序為在連續量或離散量情 境下的整數除以整數為分數之問題類型、同分母或異分母之分數除以分數為整數 的包含除問題或當量除問題、包含除或當量除情境下的整數除以分數為整數的問 題以及在等分除情境下的分數除以整數為分數的問題類型（如表 2-4-4）。

表 2-4-4 分數加減乘除的問題類型

主題 內容

加法 1. 同分母：（1）連續量

（2）離散量：單位分數內容物單一 單位分數內容物多個 2. 異分母：（1）連續量

（2）離散量：單位分數內容物多個

減法 1. 同分母：（1）連續量

（2）離散量：單位分數內容物單一 單位分數內容物多個 2. 異分母：（1）連續量

（2）離散量：單位分數內容物多個

乘法 1. 分數的整數倍 （分數：真分數、帶分數）

2. 整數的分數倍 （積為整數或分數）

3. 分數的分數倍 （積的單位分數內容物為整數個）

除法 1. 整數÷整數＝分數（離散量、連續量）

2. 分數÷分數＝整數（包含除：同分母、異分母，當量除）

3. 整數÷分數＝整數（包含除、當量除）

4. 分數÷整數＝分數（等分除）

然而，不論是八十二年版課程或是九年一貫暫行綱要之教材，相對於六十四 年版教材，皆是屬於新課程。蔣治邦等人（2002）認為六十四年版國小數學科課 程對教材的處理為先利用一、兩題文字題，依序呈現操作方式並企圖解釋某運算 中步驟之意義，接著舉例示範計算規則，再給予大量純數字的計算題使其精熟計 算規則，以作為數學工具使用，在教師的示範應用下，學習將計算規則應用於情 境中。並對於該數學課程與發展式數學課程（即八十二年版課程）提出比較（如 表 2-4-5）：

蔣治邦等人（2002）認為傳統數學課程對於教學的主張是教師先提供定義、

解說概念，再示範解題，學生模仿，因此學生在概念的發展並未形成，習得的數 學符號亦不具意義。雖然示範—模仿的過程對成績的表現有快速的效果，但當面 對新問題時，無法自行解決，只能等待他人的示範，無形中便造成對數學的習得 無助，教師也因不確定學生的學習狀況，在不知覺中忽略進度落後的學生；發展

式數學課程對於教學的主張是由教師布題，學生自行解題以形成概念，最後再引

不論是八十二年版數學新課程或是九年一貫暫綱之數學領域課程，從其課程 目標與教材發展脈絡中均可看出強調分數教材需考量情境的選擇與布置，對於加 減乘法等問題類別都有必須學習之相同內容，故研究者決定以陳竹村等人（2002）

所建議之分數加減乘除問題類別作為施測內容之依據並以文字題方式呈現。

二、分數教學建議

對於分數的研究相當多，多數除了針對分數學習的迷思概念、錯誤類型加以 探討外，並會針對分數教學提供建議，整合相關研究與文獻後歸納出對分數教學 之四點建議：

（一）多元表徵的運用、連結

眾多的分數研究中均建議應提供學生增加具體物之操作，以幫助學生建構對 分數的初步概念，而隨著學生的運思發展以及使用的方便性等，促進半具體物的 使用（圖像）是必須的，同時透過學生的自行作圖，更能有效發現學生的迷思。

此外，由於分數多重表徵與抽象性之特性，進行口語、符號和具體物的表徵連結，

更有助於穩固分數的學習，即落實 Lesh 等人（1987）強調以不同表徵進行溝通有 助於概念掌握之觀點（尤志弘、簡清華，2008；呂玉琴，1996；李盈盈，2004；

李源順，2004，2005；李源順、胡蕙芬，2005；易正明，2003；洪郁雯、楊德清，

2006；洪素敏、楊德清，2002；胡蕙芬、李源順，2005；張憲庭，2004；張熙明，

2006；洪素敏、楊德清，2002；胡蕙芬、李源順，2005；張憲庭，2004；張熙明，