國中數學2 1 2解二元一次聯立方程式

12  841  Download (0)

全文

(1)

1−2 解二元一次聯立方程式

本節課程學習重點: ◎能從具體情境中列出二元一次聯立方程式,並理解其解的意義。 ◎能熟練使用代入消去法、加減消去法解二元一次聯立方程式。 ◎能了解二元一次聯立方程式有無限多解及無解的情形。 一、二元一次聯立方程式: 將兩個二元一次方程式並列,來表達題目中的數量關係,這兩個並列的二元一次方程式就稱為 二元一次聯立方程式或二元一次方程組。 ◎二元一次聯立方程式的解:(兩個方程式的一組共同解) 能同時讓二元一次聯立方程式裡,各方程式等號成立的 x 和 y 值,就是此二元一次聯立方程式的解。 練習1:下列各組數中,哪一組是二元一次聯立方程式 ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧ x+3y=5 2x-y=3 的解? (1) x=-1、y=2 (2) x=3、y=3 (3) x=2、y=1

練習2:下列各組數中,哪一組是二元一次聯立方程式

⎩⎪ ⎨

⎪⎧ 2x+3y=1

x-y=3 的解? (1) x=2、y=1 (2) x=2、y=-1 (3) x=1、y=-2

【觀念釐清】(1)求出二元一次聯立方程式的解的過程,稱為解聯立方程式。 (2)可以用代入消去法或加減消去法解二元一次聯立方程式。 二、代入消去法:第一步:將其中一個方程式,變成一元一次方程式,並解之。 第二步:將解代入方程式求另一個未知數。 第三步:驗算。(可省略) 練習3:解二元一次聯立方程式 2 27 x y x y = ⎧ ⎨ + = ⎩ 。(Hint:可將原方程式標上序號,以便於敘述。) 【觀念釐清】因為聯立方程式的解是共同解,解出其中一個未知數之後,不論代回哪個式子,都可求出

(2)

練習4:解下列各二元一次聯立方程式。(1) 3 10 2 x y y x + = ⎧ ⎨ = − ⎩ (2) 4 2 9 x y x y = ⎧ ⎨ + = ⎩ 練習5:解二元一次聯立方程式 3 9 3 2 6 y x x y = − ⎧ ⎨ + = ⎩ 。 練習6:解下列各二元一次聯立方程式。(1) 2 5 36 3 4 x y x y + = ⎧ ⎨ = − ⎩ (2) 2 1 4 3 17 x y x y − + = ⎧ ⎨ = ⎩ 練習7:解二元一次聯立方程式 4 1 5 16 x y x y + = − ⎧ ⎨ − = ⎩ 。 練習8:解下列各二元一次聯立方程式。(1) 3 5 3 5 11 x y x y − = − ⎧ ⎨− + = ⎩ (2) 4 6 0 7 3 2 x y x y − = ⎧ ⎪ ⎨ − = ⎪⎩

(3)

練習9:解二元一次聯立方程式 2 4 3 5 4 20 y x x y = − ⎧ ⎨ + = ⎩ 。 練習10:解下列各二元一次聯立方程式。(1) 3 7 15 4 5 22 y x x y = − ⎧ ⎨ + = ⎩ (2) 3 2 13 6 11 2 x y x y = + ⎧ ⎨ − = − ⎩ 三、加減消去法:(使原聯立方程式簡化為一元一次方程式) 第一步:將兩個方程式直接相加、相減,或乘以某倍數後再相加、相減,以消去其中一個未知數, 成為一個一元一次方程式,再利用解一元一次方程式的解法,求得一個未知數的解。 第二步:將解代回即可得另一個未知數的解。 練習11:解二元一次聯立方程式 2 5 1 2 5 11 x y x y + = ⎧ ⎨ = ⎩ 。 練習12:解下列各二元一次聯立方程式。(1) 3 2 18 3 9 x y x y + = ⎧ ⎨− + = − ⎩ (2) 5 2 1 2 2 1 x y x y − + = ⎧ ⎨ + = ⎩ 練習13:解二元一次聯立方程式 5 2 4 3 4 8 x y x y − = − ⎧ ⎨ + = ⎩ 。

(4)

練習14:解下列各二元一次聯立方程式。(1) 4 3 5 2 3 x y x y + = − ⎧ ⎨ + = − ⎩ (2) 2 8 3 5 11 6 x y x y − = ⎧ ⎨− + = − ⎩ 練習15:解二元一次聯立方程式 3 5 8 4 3 7 x y x y + = ⎧ ⎨ + = ⎩ 。 練習16:解下列各二元一次聯立方程式。(1) 2 5 10 5 3 6 x y x y + = − ⎧ ⎨ − = ⎩ (2) 5 6 4 0 3 4 9 0 x y x y − + = ⎧ ⎨ + − = ⎩ 練習17:解二元一次聯立方程式 3 1 2 2 3 2 13 0 x x y x y = − + − ⎧ ⎨ − − = ⎩ 。(Hint:先整理) 練習18:解二元一次聯立方程式 2 2 3 3 3 2 22 2 x y x x y x y − = − ⎧ ⎨ + − = − ⎩ 。

(5)

練習19:解二元一次聯立方程式 3 2 3 3 3 2 x y x y ⎧ − = ⎪⎪ ⎨ ⎪ + = ⎪⎩ 。(Hint:先將分數化為整數) 練習20:解下列各二元一次聯立方程式。(1) 2 3 13 2 17 3 2 6 x y x y + = ⎧ ⎪ ⎨ + = ⎪⎩ (2) 0.3 0.2 2.5 5 4 5 x y x y − = ⎧ ⎨ + = ⎩ 練習21:若│3x+y-5│+│2x-3y-7│=0,求 x、y 的值。 練習22:若│4x-y-12│+3│x-4y+27│=0,求 x、y 的值。 練習23:若-3x-2y=x-y=5,求 x、y 的值。 練習24:若 3x+y-12=-2x-4y-7=-1,求 x、y 的值。

(6)

◎二元一次聯立方程式解的情形: 二元一次聯立方程式解的情形可能是恰有一組解、有無限多組解或無解。 考慮聯立方程式 ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧ a1x+b1y=c1 a2x+b2y=c2 ,判斷解的情形如下: (1)若 a1 a2≠ b1 b2,則此聯立方程式「恰有一組解」。 (2)若 a1 a2= b1 b2= c1 c2,則此聯立方程式「有無限多組解」。 (3)若 a1 a2= b1 b2≠ c1 c2,則此聯立方程式「無解」。 練習25:解二元一次聯立方程式 3 2 2 6 x y x y − = ⎧ ⎨ − = ⎩ 。 【觀念釐清】一個二元一次聯立方程式經整理後,若其中一式乘上 k 倍後(k≠0),與另一式完全相同, 此時這個二元一次聯立方程式有無限多組解。 練習26:解二元一次聯立方程式 3 2 2 4 x y x y − = ⎧ ⎨ − = ⎩ 。 【觀念釐清】一個二元一次聯立方程式經整理後,若其中一式乘上 k 倍後(k≠0),與另一式比較,發現 兩式等號在未知數的部份完全相同,而常數不同,此時這個二元一次聯立方程式無解。 練習27:判斷下列各二元一次聯立方程式解的情形。 (A) 3 2 6 1 1 31 2 2 x y x y + = ⎧ ⎪ ⎨ + = ⎪⎩ (B) 5 3 7 10 6 8 x y x y − + = ⎧ ⎨ = ⎩ (C) 4 3 12 3 4 21 x y x y − = ⎧ ⎨ − = ⎩ (D) 2 3 2 4 6 x y x y − = ⎧ ⎨ + = ⎩ (E) 1 1 2 3 5 5 3 30 x y x y = ⎪ ⎨ ⎪ − = ⎩ (F) 3 1 71 x y x y − + = ⎧ ⎨ − = − ⎩ (1)恰有一組解的為 。 (2)有無限多組解的為 。 (3)無解的為 。

(7)

自我評量 1. 下列各組數中,哪一組是二元一次聯立方程式 3 5 2 3 7 x y x y + = ⎧ ⎨ = ⎩ 的解?

(A) x=1、y=2 (B) x=12 、y=-2 (C) x=2、y=-1

2. 解下列各二元一次聯立方程式。 (1) 3 13 2 3 x y x y + = ⎧ ⎨ = − ⎩ (2) 2 3 16 3 2 2 x y x y + = − ⎧ ⎨ = ⎩ (3) 10 2 8 5 3 2 7 x y x y x y + = − + + ⎧ ⎨ + = ⎩ (4) 2 1 2 6 3 6 4 10 x y x y x y + − + ⎧ = ⎪ ⎨ ⎪− − = − ⎩ 3. (1)若│5x+2y-19│+│x-4y+5│=0,求 x、y 的值。 (2)若 3x-2y-1=3y-2x-16=4,求 x、y 的值。 4. 若 ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧ 5x-2y=4 bx+ay=1與⎩⎪⎨ ⎪⎧ ax+by=4 2x-5y=-11有相同的解,求 a、b 的值。 習作 1. 小文和班上同學共 18 人聚餐,已知餐廳有 A、B 兩種套餐,A 餐一份 85 元、B 餐一份 95 元,若一人 點一份,總共花了1640 元;其中點 A 餐的有 x 人、點 B 餐的有 y 人。 (1)依據人數可列出二元一次方程式為 。 (2)依據錢數可列出二元一次方程式為 。 (3)根據(1)、(2)可列出符合題意的二元一次聯立方程式: 。

(8)

2. 下列何者是二元一次聯立方程式 2 3 13 3 9 x y x y − + = − ⎧ ⎨ − = ⎩ 的解?

(1) x=4、y=3 (2) x=2、y=-3 (3) x=5、y=-1

3. 解下列各二元一次聯立方程式。 (1) 2 2 3 4 x y x y = + ⎧ ⎨ = (2) 2 3 8 3 5 7 x y x y + = ⎧ ⎨ − = − ⎩ (3) 2 5 14 4 16 x y x y = − ⎧ ⎨ + = ⎩ (4) 1 2 13 3 3 x y y x ⎧ + = ⎪⎪ ⎨ ⎪ − = ⎪⎩ 4. 若 5 7 ax by ax by + = ⎧ ⎨ − = ⎩ 的解為 x=3、y=-1,則 a+b=? 5. (1)若二元一次聯立方程式 2 5 10 5 x y x ay − = ⎧ ⎨ + = ⎩ 有無限多組解,則 a 之值為何? (2)若二元一次聯立方程式 2 5 10 4 10 x y x by − = ⎧ ⎨ =無解,則 b 之值為何? 6. 若 4 2 8 ax by x y + = ⎧ ⎨ − = ⎩ 與 3 2 22 5 6 3 ax by x y − = ⎧ ⎨ + = ⎩ 有相同的解,則 x+y+a+b=?

(9)

7. 若∣5x+3y-22∣+∣7x-3y-2∣+│4x+5y+k│=0,則 x、y、k 三數的值分別為何? 8. 求滿足等式 2x-y-5=x-3y=2x-7y+1 的 x、y 值。 類題補充 1. 若 x ay. b=5 x ay. b=7 的解為 x=3、y=1,則 a=? 2. (1)若 5x+13y=7 10x+ky=7 無解,則 k= 。 (2)若 ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧3x-4y=2 -6x+8y=k有無限多組解,則 k= 。 3. 若|4x+y-16|+|2x-5y+14|+│5x-4y+m│+│2x-3y-n│=0,試求 x、y、m、n 的值。 4. 若聯立方程式 ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧0.5x+2y=12

3x-0.8y=8 能滿足 ax+by=9,則 12a+15b=?

(10)

6. 解聯立方程式 ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧x(y-6)=y(x-2) 3(x+6)=2y+2 ,則 y-x=? 7. 若 x-32 =y-43 =2x+y-52 =k,則 k= 。 8. 小明與小雅同解一個二元一次聯立方程式 2 4 (1) 3 12 (2) ax y x by − = ⎧ ⎨ + = ⎩ " " 。小明除了看錯(1)式中的 a 之外, 無計算錯誤,並求得解為 x=-2、y=9;小雅除了看錯(2)式中的 b 之外,無計算錯誤,並求得 解為 x=4、y=8。則 a= ,b= 。 9. 若

1 6 x+6y=40 6x+ 16 y=145

,則 x-y= 。(Hint:如果 x、y 的係數對稱,則先求出 x+y 與 x-y。)

10. 若 x=a、y=b 是二元一次聯立方程式

⎩⎪ ⎨

⎪⎧67x+32y=-131

32x+67y=-166 的解,則 2a+b= 。

11. 如下圖,已知長方形 ABCD 中的三角形 EFG(圖中灰色部分)面積為 90,試求 x、y 的值。

A D B F C G E 4 16 y x 2x 3y

(11)

加強練習 1. 在聯立方程式 3 2 5 (1) 2 5 1 (2) x y x y − = ⎧ ⎨ + = ⎩ " " 中,下列哪一種方法可以消去 x? (A) (1)×2-(2)×3 (B) (1)×5+(2)×2 (C) (1)×2+(2)×3 (D) (1)×5-(2)×2。 2. 解 ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧3x-4y+1=3(2x-y+2) 2(4x+2y-3)=7x-y+9,則下列何者錯誤?

(A) x+y= 57 (B) x-y=- 457 (C) xy=- 40049 (D) x÷y=- 45 。

3. 若 x-42 = y+13 = x-y4 ,則下列何者錯誤?

(A) x>y (B) x、y 皆為偶數 (C)∣y∣>∣x∣ (D) 2x+y=14。 4. 聯立方程式 ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧2008x+2007y=0 2010x+2009y=2 的解為 x=m,y=n,則 m+n=? 5. 聯立方程式 ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧0.3x+0.5y=46 0.1x+0.4y=34的解為 x=m,y=n,則 40m+10n= 。 6. 已知 1 3 8 16 9 27 x y y x + ⎧ = ⎨ = ⎩ ,則 x= ,y= 。 7. 要求 10 點到 11 點之間分針和時針成一直線的時間,可假設分針和時針從 10 點開始到兩針成一直線 時各走 x 小格和 y 小格,依題意可列出二元一次聯立方程式為何? (A) ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧x=12y x=50+y (B)⎩⎪⎨ ⎪⎧x=12y x+30=50+y (C)⎩⎪⎨ ⎪⎧x=12y x=30+y (D) ⎩⎪⎨ ⎪⎧x=12y x-y=55。 8. 聯立方程式 ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧ax+by=16 ax-by=14,若 x、y、a、b 皆為正整數,則符合條件的 a 值有幾個? (A) 3 (B) 4 (C) 6 (D) 7。 9. 若 ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧x=a y=b 是二元一次聯立方程式 ⎩⎪⎨ ⎪⎧123x+234y=345 456x+567y=678 的解,則 ⎩⎪⎨ ⎪⎧x=5a y=5b 是下列哪一個二元一次聯立 方程式的解? (A) ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧123x+234y=345 456x+567y=678 (B) ⎩⎪⎨ ⎪⎧5×123x+5×234y=5×345 5×456x+5×567y=5×678 (C) ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧123x+234y=5×345 456x+567y=5×678 (D) ⎩⎪⎨ ⎪⎧5×123x+5×234y=345 5×456x+5×567y=678 10. 若∣3x+2y-12∣+(2x-y-1)2+(y-2x-k)2=0,則 k= 。 11. 小逸解聯立方程式 ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧x+3y=-8…○1 3x+y=6……○2 時,誤將第○2 式中的常數項 6 看錯,結果解得 y=-4。則 (1)小逸解得的 x= 。 (2)小逸將常數項 6 誤看為 。 12. 試求出下表中 a、b、c、d、m、n 之值。 a m 0 x 算式 b 8 n -2x-y 1 a d 4x+3y -5 c b 13. 大華和小花同解一個 x、y 的二元一次聯立方程式 ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧ ax+by=3 4x-cy=16 ,大華算出正確的解為 x=3,y=1, 而小花將 c 看錯,算得其解為 x=-2,y=-1,則 a+b+c= 。

(12)

Ans:1.(A);2.(C);3.(C);4. 1;5. 1600;6. 4,2;7.(B);8.(B);9.(C);10.-1;11.(1) 4,(2) 8;

12. a=1,b=-3,c=6,d=1,m=- 92 ,n=-1;13.-13。

數據

Updating...

參考文獻

Updating...

相關主題 :