2020届高三下学期3月质量检测数学（文）试题答案

2020 届高三质量检测

文科数学参考答案及评分细则

评分说明： 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的 主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内 容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半； 如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4．只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题 5 分，满分 60 分． （1）C （2）A （3）A （4）B （5）C （6）B （7）D （8）A （9）D （10）A （11）C （12）D 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题 5 分，满分 20 分． （13） 3  （14）4 （15）3 20  （16）3 3 4 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (17) 本小题主要考查分层抽样、古典概型等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、 应用意识，考查统计与概率思想．满分 12 分． (Ⅰ) 由已知，数学与应用数学、 计算机科学与技术和金融工程三个专业的毕业生人数 之比为 1:2:3,由于采取分层抽样的方法抽取 18 人,因此应从数学与应用数学、计算机科学 与技术和金融工程三个专业分别抽取 3 人 6 人 9 人， ··· 4 分 （Ⅱ）从这 5 个人中随机抽取 2 人的所有结果有：



A B,

 

, A C,

 

, A D,

 

, A E,

 

, B C,

 

, B D,



,



B E,

 

, C D,

 

, C E,

 

, D E,



，共 10 种 ··· 8 分 由统计表可知，事件 M 包含的结果有：



A B,

 

, B C,

 

, B D,

 

, B E,

 

, A D,

 

，C D,

 

, D E,



， 共 7 种 ··· 10 分 所以事件 M 发生的概率为

( )

7 10 P M = ··· 12 分 (18) 本小题考查等比数列的通项公式、前n项和公式、数列求和等基础知识，考查运算求解能 力，考查函数与方程思想、分类与整合思想等．满分 12 分． (Ⅰ)当n = 时，1 2a1−S1= ，故2 a =1 2 ··· 1 分

由 2a_n−S_n= ……① 2 得2an−1−Sn−1=2

(

n2

)

② ··· 3 分 ①-②得，2an−2an−1−

(

Sn−Sn−1

)

= ，即0 2an−2an−1−an= 0 整理得an=2an−1

(

n2

)

故

 

an 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列， ··· 5 分 所以 1 2 2n 2n n a =  − = ， ··· 6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得， 2 1 2

(

)

1 2 2 1 2 n n n S = − = + − − ··· 7 分

(

1

)(

2

) (

)(

1

)

1 4 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 n n n n n n n n n b = ₊  ₊ = ₊ = − ₊ − − − − − − ··· 10 分 故 1 2 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 n n n n T = +b b + +b =_ −  _{ }+ − _+ +_ − ₊ _ − − − − − −       L L 1 1 1 2n+ 1 = − − ··· 12 分 (19) 本小题主要考查几何体的体积及直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基 础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归 与转化思想等．满分 12 分． (Ⅰ)∵AB⊥侧面BB C C1 1 ，∴AB⊥BC1……① ··· 1 分 ∵BC = 2，CC =1 2， 1 4 BCC   = ，∴ 2 2 1 1 2 1 cos 1 2 BC = BC +CC − BC CC  BCC = ∵ 2 2 2 1 1 BC +BC =CC ，∴BC1⊥BC……② ··· 3 分 由①②及 ABI BC=B，故BC ⊥1 平面 ABC ∵ AC  平面 ABC，∴BC1⊥AC ··· 5 分 （Ⅱ）设 C 到平面AC E1 的距离为 d 由VC AC E− ₁ =VA CC E− ₁ 得， _{1 1} 1 1 3SAC E =d 3SCC EAB……（*） ··· 7 分 ∵E 为BB1中点，∴ 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 CC E BCC B S_ = S_Y =   = ··· 8 分 又BC₁=B C_{1 1}= 2，所以C E1 ⊥BB1， 1 1 1 1 2 C E= BB =

∵AB⊥侧面BB C C1 1 ，∴AB⊥C E1 又ABI BB₁=B，故C E ⊥₁ 平面ABB A _{1 1} 又 AE  平面ABB A1 1，所以C E1 ⊥AE ∵AB=2,BE=1,AB⊥BE，∴_{AE = 5} 故 1 1 1 5 2 2 C EA S_ = AE C E = ··· 11 分 由（*）得 5 2 2 d = ，故 4 5 5 d = ，即 C 到平面AC E1 的距离为 4 5 5 ··· 12 分 (20) 本小题主要考查坐标法、椭圆的定义及标准方程、直线与椭圆的位置关系、圆的性质等 基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、 化归与转化思想等．满分 12 分． (Ⅰ) 设 F  为椭圆的左焦点，由对称性可知，OP = OQ OF,  = OF 故顶点为 ,P F Q F, , 的四边形是平行四边形， ··· 2 分 故 2a= PF+ PF =QF + PF = ，4 a = 2 又 2 2 c e a = = ，故c= 2,b= 2 ··· 4 分 故所求椭圆方程为 2 2 1 4 2 x ₊ y = ··· 5 分 （Ⅱ）设过原点（不与坐标轴重合）的直线方程为y=kx k

(

0

)

，

(

1, 1

) (

, 1, 1

) (

, 1, 0

)

P x kx Q − −x kx E x 则 1 1 1 0 1 2 QE kx k k x x − − = = − − 故 :

(

1

)

2 QE k l y= x−x ··· 7 分 与椭圆方程 2 2 1 4 2 x ₊y _{= 联立得，}

(

2

)

2 2 2 2 1 1 2+k x −2k x x+k x − = 8 0 又直线 QE 与椭圆 C 交于 Q，M 两点，所以 2 1 2 2 2 P M k x x x k + = + ，即 2 1 1 2 2 2 M k x x x k = + + 故

(

)

3 1 1 2 2 2 M M k x k y x x k = − = + ··· 10 分 所以PQuuur= −

(

2 , 2x₁ − kx₁

)

， 2 1 1 2 2 2 2 , 2 2 k x kx PM k k  −  =  _{+ +}    uuuur 所以 2 2 2 1 1 2 2 4 4 0 2 2 k x kx PQ PM k k  = − + = + + uuur uuuur

故 PQuuur⊥PMuuuur，即MPQ=  90 故以 QM 为直径的圆过点 P． ··· 12 分 (21) 本小题主要考查导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、 抽象概括能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合 思想等．满分 12 分． (Ⅰ)由已知得

( )

(

)

2 1 2 1 2 mx 0 f x mx x x x +  = + =  ··· 1 分 当m 0时，f

( )

x  ，0 f x

( )

在

(

0, +

)

上单调递增，不存在最大值，不符合题意舍去； ··· 2 分 当m 0时， f

( )

x = 解得0 1 2 x m = − 当0 1 2 x m   − 时，f

( )

x  ，当0 1 2 x m  − 时，f

( )

x  0 故 f x

( )

在 0, 1 2m   −      上单调递增， 1 , 2m   − +      上单调递减 ··· 4 分 故

( )

2 max 1 1 1 ln 0 2 2 2 f x f m m m m     = _ − _= − + _ − _ =     解得 1 2 m e = − ··· 5 分 （Ⅱ）由已知条件得 ln x ax b + ……（*） 设g x

( )

=lnx−ax− ，（*）等价于证明b g x 

( )

0则g x

( )

1 a x  = − ①当a 0时，则g x

( )

 ，0 g x

( )

在

(

0, +

)

上单调递增， 当x max 1, b a     −   时，g x

( )

=lnx−ax−  − −  b ax b 0 故a < 0不符合题意； ··· 7 分 ②当a  时，当0 0 x 1 a   时，g x

( )

 ，当0 x 1 a  时，g x

( )

 0 故g x

( )

在 0,1 a      上单调递增， 1 , a  _+    上单调递减 故g x

( )

有最大值g 1 ln 1 a 1 b lna 1 b a a a  ₌  _{−  − = − − −}         ··· 9 分 所以

( )

1 2 2 f x x ax b e  − + + 等价于b −lna− ，因此1 b lna 1 a a − −  设h a

( )

lna 1 a + = − ，则h a

( )

= ln a₂ a 当 0  时，a 1 h a

( )

 ，当0 a  时，1 h a

( )

 0

故h a

( )

在

( )

0,1 上单调递减，在

(

1, +

)

上单调递增 故h a

( )

在a = 处取得最小值，即1 h a

( )

h

( )

1 = − ，1 b 1 a − ··· 11 分 故当a = ，1 b = − 时，1

( )

1 2 2 f x x ax b e  − + + 成立， 综上b a的最小值为 1− ． ··· 12 分 (22) 本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合 思想、化归与转化思想、函数与方程思想等．满分 10 分． (Ⅰ)曲线 C 的方程=4cos +6sin， ∴ 2 4 cos 6 sin  =  +  ， ∴ 2 2 4 6 x +y = x+ y， 即 C 的直角坐标方程为

(

) (

2

)

2 2 3 13 x− + y− = ··· 4 分 （Ⅱ）设点 M N， 对应的参数分别为t1， . t2 把直线 2 3 2 2 1 2 x t y t  = −    = +  ( t 为参数)代入C 得， 2 2 2 2 1 2 13 2 t 2 t     − + − + =             ， 整理得， 2 3 2 8 0 t − t− = .

(

)

2 3 2 32 50 0  = − + =  ，t₁+ =t₂ 3 2，t t = −1 2 8，∴t1， 为异号， ··· 8 分 t2 又∵点A

( )

3,1 在直线 l 上， ∴

(

)

2 1 2 1 2 1 2 41 2 50 5 2 AM + AN =t + t = −t t = t +t − t t = = . ··· 10 分 (23) 本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力, 考查化归 与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分 10 分． (Ⅰ)当a = 时,2 f x

( )

= 2x− −1 2x+  ， 1 1 当 1 2 x −„ 时,不等式f x

( ) (

= −1 2x

)

+2x+ =  成立； 1 2 1 当 1 1 2 x 2 −   时， f x

( ) (

= −1 2x

) (

− 2x+ = −1

)

4x ，1 1 1 2 x 4 −   − ； 当 1 2 x… 时,f x

( ) (

= 2x− −1

) (

2x+ = −  不成立， 1

)

2 1 综上，不等式f x 

( )

1的解集为 1 4 x x  _{ −}     . ··· 5 分 （Ⅱ）当x 

( )

1, 2 时，f x

( )

 − 化为 21 x x− −1 ax+  − , 31 1 x  x− 2 ax+ ， 1 2 3x ax 1 3x 2,  −  +  − 1 3 a 3 3 x x  −   − ， 1 3 y x = − Q 在

( )

1, 2 单调递减，故 5 2 2 y −   − ；

3 3 y x = − 在

( )

1, 2 单调递增，故0 3 2 y   ， 所以 2− 剟a 0， 所以 a 的取值范围是



−2, 0



. ··· 10 分