Unit 6 二元一次聯立方程式

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Unit 6 二元一次聯立方程式 能力指標:◎(A-4-2)能解決從生活情境問題中列出的二元一次聯立方程式。 ◎(A-4-4)能利用一次式解決生活情境中的問題。 ◎(A-4-10)能認識、欣賞生活中或其他學科領域常用的公式。 ◎(A-4-12)觀察生活週遭或其他學科領域中的數學,認識數學的用 途,與數學思維的特性。 能力一:二元一次方程式的列式 一、二元一次方程式 當 a、b、c 為已知數,且 ab ,則0 ax+by+ =c 0,亦即當一個等式含有兩個未 知數(變數),而且他們的次數皆為一次,稱為二元一次方程式。 二、二元一次方程式的解 (一)一個二元一次方程式ax+by+ =c 0有無限多組解。 (二)若限制 x、y 的範圍,則有三種解的可能性: 1.無限多組解; 2.有限多組解; 3.無解。

eg:若有一個二元一次方程式 x+2y=8,當 x、y 有下列情形時,其解的情況: (1) 若 y>3,則為無限多組解。 (2) 若 x、y 皆為正整數,則僅有三組解:(6,1)、(2,3)、(4,2)。 (3) 若 x、y 皆為正整數,且 y>3,則為無解。 三、二元一次方程式的圖形 (一)二元一次方程式又名為線性方程式,亦即其圖形在平面座標上為一直線。 (二)二元一次方程式的每一組解,即為直線上的一個點。 【列式與化簡】 講解一: ○1 1年28班共有29人,其中男生有x人,女生有y人;某次月考的數學成績,男生 平均70分,女生平均65分,請列出全班的平均分數的二元一次式。 ○2 已知華氏度數= 5 9 ×攝氏度數+32,且華氏度數比攝氏度數多28度,則當攝氏x 度時,華氏是y度,請可列出二元一次聯立方程式。 ○3 請化簡下列各式: (1) 4(-x+y)-2(2x-y)=? (2) 7(3x+2y)-3(7x+y)=?

(2)

9 32 5 28 y x y x  = +    = + 

( )

( )

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1 -4 4 - 4 2 -8 6 2 21 14 - 21 - 3 11 3 5 -10 15 - 3 6 2 - 15 x y x y x y x y x y y x y x y x y = + + = + = + = = + + = + 原式 原式 原式 3 3 27 5 2 30 x y x y + =   + =  3 1 20 2 x y y x y x − =    − − = 

( )

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1 3 2 2 4 5 127 9 1 - -1 - - -2 4 9 45 5 18 180 5 4 5 2 6 2 14 11 62 2 - -12 - - -3 6 5 5 5 15 30 5 3 0.6 0.4 - 2.8 - 0.6 1.2 - 4.8 1.6 - 7.6 x y x y x y x y x y x y x y x y y + = + + = + + + = (3) 5(x-2y+3)-3(x-3y)=?。 Sol) ○1 70 65 29 x+ y = 總分 = 平均分數 總人數 ○2 ○3 練習一: ○1 嘉昌和幼軍到合作社購買同樣的優酪乳和麵包,嘉昌各買 3 罐優酪乳及 3 個麵 包,付款 27 元,幼軍買 5 罐優酪乳和 2 個麵包,付款 30 元。若優酪乳每罐 x 元,麵包每個 y 元,請列出二元一次聯立方程式。 ○2 容韓有錢若干元,先用去一部分,剩餘的錢為用去的 3 倍,後來又用去 20 元, 所餘的錢為原有的 2 1 倍。假設容韓原有 x 元,先用去 y 元,請列出二元一次 聯立方程式。 ○3 請化簡下列各式: (1) 3 12(2x-3y-4)- 2 45 (5x-y-18)=? (2) 3(4 9 x- 5 18y-4)-0.4(x-3y+1)=? (3) 0.2(3x+2y-14)-0.6(x-2y+8)=? Sol) ○1 ○2 ○3

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【十分鐘即時練習】 (D)1.甲原有 x 元,乙原有 y 元,若甲、乙兩人各自將原有錢數的 4 1 交換,則 甲的錢數就為乙錢數的 2 倍。依題意可列出二元一次方程式為何呢? (A)3 -1 2(1 -3 ) 2x 2y= 2x 2 y  (B) 3 1 1 3 2( ) 2x+2 y= 2x+2y   (C)3 -1 2(1 -3 ) 4x 4y= 4x 4 y  (D) 3 1 1 3 2( ) 4x+4 y= 4x+4y  。 (A)2.成凱和他的父母、一個弟弟、一個妹妹到「你家牛排餐廳」吃牛排;大 人每人 x 元,小孩每人 y 元,除了父母外,其他都是小孩,另外餐廳又加 收 10%的服務費;則這一餐成凱全家共花了多少錢呢?(A)(2x+3y)×1.1) (B)(3x+2y)×1.1)(C)(2x+3y)×0.1)(D)(3x+2y)×0.1)。 (B)3.已知 256MB 與 128MB 的隨身碟每個的價格比為 4:3,今花了 1200 元 買回四卷 256MB 及 128MB 的錄音帶,若 256MB 每個 x 元,而 128MB 每卷 y 元,則下列哪一組聯立方程式符合題意? (A) 4 3 4 3 1200 x y x y    = + = (B) 3 4 4 3 1200 x y x y    = + = (C) 4 3 1200 y x x y     = + = (D) 3 4 3 4 1200 y x x y     = + = 。 (C)4.黃大先老師命題某次學業競試的數學試題,他打算出選擇題與填充題共 27題,滿分為100分;請問黃大先老師應採取下列哪一種配分才是正確? (A)選擇題每題3分,填充題每題5分 (B)選擇題每題2分,填充題每題3分(C) 選擇題每題3分,填充題每題4分(D)選擇題每題4分,填充題每題5分。 (A)5.法國薄酒萊一瓶,喝掉 7 5 的酒後,連瓶共重 350 公克,設酒原有 x 公克, 瓶重 y 公克,則下列選項何者正確?(A)2 7x+y=350 (B) 2 7(x+y)=350 (C) 7 5 x+y=350 (D) 7 5 (x+y)=350。 能力二:代入消去法與加減消去法 一、二元一次聯立方程式 若有兩個並列在一起的二元一次方程式,稱為二元一次聯立方程式或二元一次聯 立方程組。其標準式如下所示:

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2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 0 0 a x b y c a b a x b y c a b+ = +   + = +  

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( ) ( )

3 - 6 1 2 1 3 - -2 4 6 -2 4 2 3 2 - 4 6, 5 10, 2 1 , 3 2 - 6, 0 x y x x y x x x x x y y  =  + =  = +  + = = = = = L L 將第 代入 代入 二、帶入消去法求解 由任一方程式中簡化出 y=ax+b 或 x=ay+b 的形式,再代入另一式消去 y 或 x,即 可解出 x 或 y。 三、加減消去法求解 將兩個方程式乘以適當的倍數之後,再相加或相減,消去某一未知數,即可解出 另一未知數。 四、二元一次聯立方程式解的判別法

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2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 0 0 1 , 2 , 3 , a x b y c a b a x b y c a b a b a b a b c a b c a b c a b c+ = +   + = +     = =  =   若 則有唯一解 兩相異直線交於一點 若 則有無限多組解 兩相異直線重合 若 則無解 兩相異直線平行 五、特殊型的聯立方程式求解方法 若方程式以 A、B、C 表示,則有下列情形時之處理方式: (一)A=B=C 型: A B B C =   =  (二) 2 2 0 0 A + B = 或A +B = 型: 0 0 A B =   =  (三)係數較大型:

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( ) ( )

( ) ( )

63 37 263 1 1 2 100 100 500 37 63 237 2 5, 5 - 1 2 x y x y x y x y x y  + =  + + =+ =   + = =   L L 可先將 再代入 或 求解 【代入消去法】 講解一: 解下列二元一次聯立方程式: (1)    + − = = − 4 2 6 3 x y y x (2)    = − + = 32 2 3 2 5 y x y x Sol) ○1

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5 2 1 1 2 3 5 2 - 2 32, 3 - 2 32 2 15 6 - 2 32, 13 26, 2 1 , 5 2 2 12 x y y y x y y y y y x  = +  + ==  + = = = = + = L L 將第 代入 代入第

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0.3 0.6 1 2 1 0.3 - -0.2 0.4 0.6, 0.2 0.4 2 0.5 0.2, 0.4 2 -0.2 0.4 0.4 0.32 x y x x y x x x y  − =  + =  = − +  = =  =  + = L L 將第 代入 代入

( )

( )

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( )

( )

1 7 1 1 1 1 2 2 1 7 2 1 1 2 7 2 0 2 7 1 14 0, 0, 1 2 7 x y x x x y x x x y+ =  ++=  − + =   + = =  = L L 將 代入 代入

( )

( )

( ) ( )

( )

5 7 29 1 1 2 13 39, 8 7 10 2 3, 2 , 8 3 - 7 10, 2 x y x x y x y y  + =  + =  − =  =  = = L L 代入

( )

( )

( ) ( )

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4 3 1 1 1 2 8 8, 1 4 5 7 2 -1 1 4 3 1, 2 x y y y x y x x  + =  + = =  − + =  + = = L L 第 代入第 得 ○2 答:(1)x=2,y=0;(2)x=12,y=2。 練習一: (1) 0.3 0.6 0.2 0.4 x y y x − =   = − +  (2) 1 7 1 2 1 2 0 7 x y x y+ =    − + =  sol) ○1 ○2 答:(1)x=0.4,y=0.32;(2)x=0,y=1 7。 【加減消去法】 講解二: (1)    = − = + 10 7 8 29 7 5 y x y x (2)    = + − = + 7 5 4 1 3 4 y x y x Sol) ○1 ○2

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2 5 1 -1 2 1 - 2 2 3 -5, - 3 1, , 3 2 3 2 -2 1 -1 1 2 - -1, , , 3 3 3 3 -1 1 9 3 9 3 3 3 4 - 9, -9, 2 - 0 -2 1 - 0 4 3 3 1 3 3 9, 18, -9 18 9 3 x y x x x x x y y y x y a b ax by a a ax by a b b b a b  − = −  + = = =  − = −  = = = =  + =  + =  + = ==    =  + = =  + = + = L L L L 代入 代入 將 與 代入下式 代入 得

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2 2 - 5 2 6 3 - 3 0 2 - 5 -2 1 6 -15 -6 3 2 - 5 2 0 1 3 6 3 3 2 6 3 3 2 6 3 - 3 0 1 1 1 1 2 - 3 18 9, 1 , 4 2 4 2 2 2 4 4 2 x y x y x y x y x y x y x y x y y y x x y + + + =  + =  =  =        + = + = + =         = = = + =  +  =     L L L 第 L 代入 得

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( ) ( )

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( ) ( ) ( )

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-3 - 7 1 -3 - 7 1 3 4 1 3(2 2) 2 3 1 3 3 3 2 3 9 9 3 2(4 2 3) 7 9 8 16, 2, 2 6 3, -3 3 - 2 3 -3 - 2 2 -13 x y x y x y x y x y x y x y x y y y x x x y  =  = − − − +  ++ + + ++ =+ =       = =  + = =  =  = L L L L = = 代入 答:(1)x=3,y=2。(2)x= 1 2 − ,y=1。 練習二: (1)若    − = − − = − 1 2 5 2 y x y x 與    = − = + 0 2 9 by ax by ax 有相同的解,則 a+b=? (2)若(2x-5y+2)26x+ y33=0,則 4x+2y=? Sol) ○1 ○2 答:○1 a+b=9,○2 4x+2y=2。 【十分鐘即時練習】 (B)1.解聯立方程式    + + + + + − − − 9 7 ) 3 2 4 ( 2 ) 2 2 ( 3 1 4 3 y x y x y x y x = = ,則3x-2y之值為何?(A)-21 (B)-13 (C)0 (D)13。 Sol) (C)2.聯立方程式     = + = 3 13 2 1 3 1 2 . 0 3 . 0 y x y x 的解以數對表示為何?(A)(2,3) (B)(-2,-3 (C)(4,6) (D)(8,12)。

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3 1 0.3 0.2 - 0 1 3 - 2 0 3 1 10 10 5 3 4 1 1 13 4 52 2 4 1 1 13 2 4 2 3 2 3 3 3 3 2 3 13 52 52 , 4, 1 , 6 3 3 13 x y x y x y x y x y x y x x y  = =  =  +    + = + =   + =      = = = = L L L L L 代入 得

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( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

4 5 1 5 1 2 5 5 5 1, 4 4 5 2 5 -1 1 4 4 4 4 3 , 3 - 1 3 -1, 1 4 - 5, , 3 3 3 -1 4 5 - -3 3 3 a b ax by a b a b a b bx ay a b b b a a a b  + = +  + + =  + =  + =     + = = = = = = = L L L = 同乘以 = 代入 得

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( )

( ) ( )

( )

2 2 3 3 0 3 -3 1 ( 3 3) ( 7 11) 0 , 7 -11 2 7 11 0 2 - 1 4 -8, -2, 1 , 3 x y x y x y x y x y x y y y x  + + =  + =   + + + + + =  + = + + =      = = = L L 代入 得

( )

( ) ( )

( )

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( ) ( )

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5 4 9 1 5 4 9 1 2 2 , 3 2 1 2 6 4 2 3 1 3 11 11, 1, 2 -1 x y x y x y x y x x y  − =  − =     + =+ =     +  = = = L L L L 代入 得 Sol) (D)3.設 x、y 的聯立方程式 5 5 ax by bx ay +   −  = = 的解為 x=4,y=1,則|a-b|為何? (A)-3 5 (B) 3 5 (C) -5 3 (D) 5 3。 Sol)

(B)4.若(x+3y+3)2+(x+7y+11)2=0,得下列哪一個選項?(A)x=-3,y=2 (B)x=3,y=-2 (C)x=2,y=-3 (D)x=-2,y=-3。

Sol) (B)5.何者為二元一次聯立方程式    = + = − 1 2 3 9 4 5 y x y x 的解?(A)x=1,y=1 (B)x=1 ,y=-1(C)x=-1,y=1 (D)x=-1,y=-1。 Sol) 能力三:二元一次聯立方程式的應用 一、解應用問題的流程 看清楚題意,設 x、y 為未知數 找出條件式,列出 二元一次方程式 解方程式 驗算、作答

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二、各種應用問題的型態 (一)賺賠問題: 售價=成本×折扣 賺(賠)=售價-成本=利潤 賺率=(利潤÷成本)×100% (二)速度問題:

s=

v×t

(距離=速度×時間) 單位: 距離(s) 速度(v) 時間(t) 公里(km) 公里/小時(km/hr) 小時(hr) 公尺(m) 公尺/分(m/min) 分鐘(min) 公尺(m) 公尺/秒(m/s) 秒(s) 平均速度=總路程÷總時間( T T s v t  = ) (三)水流問題 順流速度=船速+水速 逆流速度=船速-水速 (四)工作問題 假設一工程甲獨做需 x 天完工,乙獨做需 y 天完工。 甲一天做1 x,乙一天做 1 y ; 1 1 x y    +   甲乙合作一天完成總工程的 ; 1 1 1 x y  + 一工程甲乙合作需要 天才能完工 。 (五)濃度問題

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100% .ps = 溶質 = + 濃度 溶液 溶質 溶劑 溶液 (六)利率問題

(

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(

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(

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1 . 1 ps  =  +  = +  =  + 期數 單利 本利和 本金 利率 期數 本利和 本金 利息 複利 本利和 本金 利率

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【算人數的應用問題】 講解一: 奇鼎國中 3 年 5 班男女學生共有 50 人,在上次段考中,全班的平均分數是 80 分;男生的平均分數是 75 分,女生的平均分數是 85 分,求男生有多少人?女生 有多少人? Sol)

( )

( )

, , 50 50 25 , 25 75 80 4000 15 17 800 x y x y x y x y x y x y + = + =   = =+ =+ =   設男生有 人 女生有 人 人 人 答:男生 25 人;女生 25 人。 練習一: 鼎奇國中 2 年 18 班有男女生各若干人,從其中一個男生眼中所見,男生人數比 女生人數的 2 倍多 6 人;從其中一個女生眼中所見,男生人數是女生人數的 3 倍;則 2 年 18 班全班共有多少人? 設男生 x 人,女生 y 人,由題意可設聯立方程組為 1 2 6 3( 1) x y x y − = +   = −  x=27,y=10 答:男生 27 人,女生 10 人。 【速度的應用問題】 講解二: 小鼎和小奇一起參加路跑,若總路程 10 公里,小奇的速度是小鼎的 2 倍,且小 奇比小鼎早 30 分鐘回到終點,問小奇和小鼎的時速各為幾公里? sol)

(

)

(

)

(

)

(

)

, , , 2 20 , 10 10 10 - 0.5 s x km hr y km hr t v x y x km hr y km hr y x = =    = ==  設小奇時速 小鼎時速 根據速度公式 答:小奇時速 20 公里;小鼎時速 10 公里。 練習二: 已知基隆河長度 20 公里,救生艇順流而下需 2 小時,逆流而上需 5 小時,問水 速和船速為幾公里? Sol)

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(

)

(

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(

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(

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(

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, , , 2 20 2 2 20 7 , 3 - 5 20 -5 5 20 km km x y S V T hr hr x y x y km km x y hr hr y x x y =   +  =  + =    = =  = + =    設船速為 水速為 根據速度公式 答:船速每小時 7 公里;水速每小時 3 公里。 【分配的應用問題】 講解三: 小奇班上有 40 位同學,他想在生日時請客,因此到「你家便利商店」花了 175 元 買果凍和巧克力共 40 個。若果凍每 2 個 15 元,巧克力每 3 個 10 元,則他共買 了多少個果凍。 Sol)設他買 x 個果凍、y 個巧克力,則   x+y=40 15 2 x+ 10 3 y=175    x+y=40 ………○1 9x+4y=210……○2, ○ 14:4x+4y=160……○3,○2-○3:5x=50 ∴x=10 答:買了10個果凍。 練習三: 史努比買了一大瓶保特瓶裝的渴口可樂請查理布朗喝,已知未開前的重量為 1850 公克,打開之後喝掉 3 1 時,再測量只剩 1250 公克,請問渴口可樂不含瓶子 共多少公克呢? Sol)設保特瓶重 x 公克,可樂重 y 公克,則依題意列聯立方程式     1250 y 3 2 x 1850 y x = + = + , 利用加減消去法解得 x=50,y=1800 答:可樂重 1800 公克 【十分鐘即時練習】 (C)1.解聯立方程式    78 y 101 x 23 78 y 23 x 101 =- + = + 後,求 2x-3y=? (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6。

Sol)兩式相加得 124x+124y=0,兩式相減得 78x-78y=156,    2 y x 0 y x = - = + 解得 x =1,y=-1,則 3x-2y=3+2=5。 (C)2.│3x+y-7│+│x-y-1│+│2x+2y+k│=0,則 k=? (A)-2 (B)-4 (C)-6 (D)-8。

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Sol)先解聯立方程式    0 1 y x 0 7 y x 3 = - - = - + ,兩式相加得 4x=8x=2,y=1,將 x=2,y =1 代入 2x+y+k=0,則 k=-6 (D)3.試解聯立方程式    275 y 147 x 64 358 y 64 x 147 = + = + ,則 x+y=? (A)0 (B)1 (C)2 (D)3。

Sol) 147x+64y=358……○64x+147y=275……○12

○1+○2211x+211y=633 ○ 1-○283x-83y=83  x+y=3……○3 x-y=1……○4 ○ 3+○4解得 x=2,y=1,則 x+y=2+1=3 (A)4.有一個二位數,十位數字的 2 倍與個位數字的和是 15,它的個位數字與 十位數字對調後所得的新數比原數大 27,則原二位數為多少? (A) 47 (B) 57 (C) 67 (D) 77。 Sol) 設十位數字是 x,個位數字是 y,則   2x+y=15 10y+x=(10x+y)+27 2x+y=15 x-y=-3 解得 x=4,y=7。 (C)5.設 A、B、C、D 是數線上由左而右相異四點,它們的坐標依次為 x、-3、 y、5,如果AB比CD的 2 倍少 1,AC比BD多 2,則下列何者正確? (A)AB=11 (B) x+y=6 (C)CD=3 (D)AC=6。

Sol)AB=-3-x,CD=5-y,AC=y-x,BD=8   -3-x=2(5-y)-1 y-x=8+2    x-2y=-12

x-y=-10 ,解得 x=-8,y=2 AB=5,x+y=-6,CD=3,AC =10 【基本觀念題】 (D)1.奇鼎國中實施紙類資源回收。去年 12 月份一、二年級共回收 38 公斤、 今年元月份二年級比一年級多回收 6 公斤,只知與 12 月份比較,一年 級增加 50%,二年級減少 25%,請問下列何者正確?(A)12 月份二年 級比一年級多回收 6 公斤(B)元月份二年級回收 28 公斤(C)元月份一年 級回收 18 公斤(D)12 月份一年級回收 10 公斤。 Sol)設 12 月分一年級回收 x 公斤,二年級回收 y 公斤,則   x+y=38 1.5x-0.75y=-6    x+y=38

2x-y=-8,解得 x=10,y=28,元月份:1.5x=15(公斤),0.75y=21 (公斤) (A)2.請解下列二元一次聯立方程式

( )

( )

1 - 7 -46 1 7 1 7 - 146 2 7 x y x y  =    =  L L ,x=?y=?(A)x=21、

(12)

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 - 7 -46 1 50 50 7 1 2 - 100, - 14 3 7 7 1 7 - 146 2 7 48 48 2 - 1 192, 28 4 , 3 4 2 42, 21, 7 7 7 x y x y x y x y x y x y x x y  =  + = =   =   + = + = +  = = = L L L L y=7(B)x=7、y=21(C)x=-21、y=7(D)x=21、y=-7。 sol) (B)3.解聯立方程式    + + + + + − − − 9 7 ) 3 2 4 ( 2 ) 2 2 ( 3 1 4 3 y x y x y x y x = = ,則3x-2y之值為何?(A)-21 (B)-13 (C)0 (D)13。 Sol)

( )

( )

( )

( )

(

)

( ) ( )

-3 - 7 1 3 4 1=3(2 2) 3 - 4 -1 - 6 3 - 6 0 2(4 2 3)=7 9 8 4 6 - 7 - - 9 0 3 3 2 2 代入 1 -3 3 - 3 - 7, 2, -3 3 - 2 3 -3 -2 2 -13 x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y y y y x x y   = − − − + + =    + + + ++ + =  + =      = = =  = = L L (B)4.若聯立方程    = − = + 11 3 4 5 3 y x y x 的解為x=a,y=b;則a+2b=?(A)-4 (B4 (C)3 (D)5。 Sol)

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

3 6 11 1 3 6 11 1 2 2 1 3 8 - 6 22 3 4 3 11 2 1 1 11 33, 3, 3 3 3 4 3 3 x y x y x y x y x x y a b  + =  + =    +   = − =       = = =  + = +  =   L L L L (B)5.解聯立方程式    = + = − ) 2 ( 4 2 ) 1 ( 1 3   y x y x 的解法中下列何者正確? (A)由(1)式得y=-3x+1,代入(2)式,可得x=- 5 2 (B)由(1)式×2+(2)式,可得x=6 7 (C)由(1)式-(2)式×3,可得y=11 5 (D)由(2)式得x=4-2y,代入(1)式,可得y= 5 11 。 Sol)

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

3 - 1 1 6 - 2 2 3 6 1 2 3 2 7 2 4 2 2 4 2 x y x y x x y x y  =  =    +  =   + = + =     L L L L (A)6.聯立方程式     = + = 3 13 2 1 3 1 2 . 0 3 . 0 y x y x 的解以數對表示為何?(A)(4,3) (B)(-2,-3 (C)(4,6) (D)(8,12)。

(13)

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

設50元硬幣有 枚,10元硬幣有 枚, 44 1 10 10 440 3 1 10 2 - 3 50 10 1000 2 50 10 1000 2 40 560, 14 x y x y x y x y x y x x  + =  + =    + = + =      = = L L L L L L L

(

)

( )

( )

設有宿舍 間, 學生 人, - 6 2 1 6 2 16, 98 7 - 2 - 7 -14 2 x x x y y x y x y x x y  + =  =   = ==  =     L L

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

2 3 6 1 1 5 10 15 30 3 5 8 6 2 2 2 10 16 12 4 4 - 3 18, 30 x y x y x y x y y x  = +    = +    = += +         = = L L L L Sol)

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

1 2 0.3 0.2 1 - 0 3 10 3 9 1 2 - 3 1 1 13 9 1 1 13 2 2 3 2 6 3 2 6 3, 4 x y x y x y x y y x   = =    + =   + =  = = L L L L (B)7.五十元、十元硬幣共44枚,恰好可換一張1000元紙鈔,則五十元硬幣共 有幾枚?(A)8枚 (B)14枚 (C)16枚 (D)20枚。 Sol) (D)8.學生分配宿舍,如果6人住一間,則有2人無宿舍可住;如果7人住一間, 則剩餘宿舍2間,問學生共有幾個人?(A)38人 (B)58人 (C)78人 (D)98人。 Sol) (D)9.九二一大地震時,救難隊搬了5箱泡麵,準備分給y位民眾,已知每箱泡 麵有x個,第一次分發2箱,平均每人分得3個泡麵,最後剩6個,第二次 再拿3箱來發,結果每人共分得8個泡麵,最後還是剩6個,則一箱泡麵 有多少個?(A)20個 (B)28個 (C)46個 (D)30個。 Sol) (C)10.一中街夜市某攤位,賣一塊香雞排可賺15元,賣一份炸薯條可賺10元, 已知賣出的炸薯條份數是香雞排塊數的兩倍,而且一個晚上共賺3750元 ,下列哪一個式子與題意不符合? (A)假設香雞排賣了x塊,則15x+20x=3750 (B)假設炸薯條賣了x份,則 2 15 x+10x=3750 (C)假設香雞排賣了x塊,炸薯條賣了y份,則 2 15 10 3750 x y x y =   + =(D)假設炸薯條賣了x份,香雞排賣了y塊,則 2 15 10 3750 x y x y =   + =

(14)

【溫故歷屆基測試題】

(B)1.若二元一次聯立方程式  

3x-2y=9

4x+3y=29 的解為 x=a,y=b,則 a+b=? (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 10。【95.基測二】 Sol)

( )

( ) ( ) ( )

( )

12x-8y=36 1 3x-2y=9 2 - 1 17y=51,y=3, 12x+9y=87 2 4x+3y=29 1 12x-24=36, 12x=60, x=5, a=x=5, b=y=3          L L 得 代入 得 ∴ (D)2.如表為小美採買火鍋料的收據,但因汙損導致幾個重要數據無法辨識。 根據如表判斷粉絲與茼蒿的數量差異為何? (A)粉絲比茼蒿多 2 包 (B)茼蒿比粉絲多 2 包(C)粉絲比茼蒿多 4 包(D)茼蒿比粉絲多 4 包。【95.基測二】 Sol)設粉絲 x 包,茼蒿 y 包,

(

)

( )

( ) ( ) ( )

( )

x+y=16- 2+3+3+2 =6 1 178+39x+264+75+30y+34=740, 39x+30y=189, 13x+10y=63 2 , 2 - 1 10 3x=x, x=1 1 , y=6-1=5 L L 得 代入 得 (B)3.如圖,將一白繩的 3 8 與一紅繩的 1 3 重疊並以膠帶黏合,形成一條長為 238 公分的繩子。求未黏合前,兩繩長度相差多少公分? (A) 14 (B) 17 (C) 28 (D) 34。【94.基測一】 Sol)設白繩、紅繩長依次為 x、y,

(15)

3 1 9 2 2 9 7 x= y y= x, x+ y=238, x+ x=238, x=238, 8 3 8 3 3 8 4 9 x=136, y= 136=153 8    ∴ ∴ (D)4.哥哥與弟弟各有數張紀念卡。已知弟弟給哥哥 10 張後,哥哥的張數就是 弟弟的 2 倍;若哥哥給弟弟 10 張,兩人的張數就一樣多。設哥哥的張 數為 x 張,弟弟的張數為 y 張,依題意下列列式何者正確?【94.基測 二】 (A)   2(y-10)=x y=x-10 (B) y-10=2x y=x-10 (C) y-10=2x x-10=y+10 (D)   2(y-10)=x+10 x-10=y+10 。

Sol) 弟弟給哥哥 10 張後,哥哥有 x+10 張,弟弟有 y-10 張,

(

x+10 =2 y-10

) (

)

, 哥哥給弟弟 10 張後,哥哥有 x-10 張,弟弟有 y+10 張,x-10=y+10 (D)5.若 3x-2y 6 + 2x-4y 3 - x-2y 2 =105,則 x-y=? (A) 0 (B) 1 (C) 105 (D) 1.5 × 105【94.基測二】

Sol)各項同乘以 6,得

(

3x-2y +2 2x-4y -3 x-2y =6 10 , 4x-4y=6 10

) (

) (

)

 5  5 (C)6.若 x:y=2:1,且 2x+y=20,則(x-1):(y+1)之比值為何? (A)

2 1 (B) 2 (C) 5 7 (D) 7 5 。【93.基測一】 Sol)

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

x y=2 1, x=2y 1 , 2x+y=20, 4y+y=20, y=4 1 , x=8, x-1 y+1 = 8-1 4+1  L ︰ ︰ 代入 得 代回 得 ∴ ︰ ︰ (C)7.已知花生糖 1 顆 2 元,梅子糖 2 顆 1 元。若小詩買花生糖及梅子糖共 60 顆,花了 60 元,則此兩種糖果的數量關係為何? (A)花生糖和梅子 糖一樣多(B)花生糖比梅子糖多 30 顆(C)花生糖比梅子糖少 20 顆(D) 花生糖比梅子糖少 30 顆。【93.基測二】 Sol)設花生糖x顆,梅子糖y顆,則

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

x+y=60 1 , 2 ,4x+y=120 3 , 3 - 1 , x=20 1 , 1 2x+ y=60 2 2 20+y=60, y=40     L L L 由 式得 由 代入 (D)8.如圖是某電信公司的通話費計算方式:300 秒以內只繳基本費,超過 300 秒之後的費用,與通話時間成線型函數關係。則基本費是多少元? (A) 26 (B) 28 (C) 30 (D) 32。【93.基測二】

(16)

(

)

(

)

+ + = + + + = + = = 30 60 10 - 60 30 60 8 - , 30 600 - 60 60 30 480 - 60 , 30 - 30 180, - 6 x x y y x x y y x y x y Sol) 36=a 500+b 14 1 y=ax+b, a= = , b=26, 50=a 1200+b 700 50 1 y= x+26, x=300 , y=32 50       設函數關係式 ∴ 再以 代入上式 (C)9.如圖的方格中,填入適當的數字,使得每行、每列以及對角線上的數字 和是相同的,則★的值為何? (A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 13。【93. 基測二】 16 14 ★ 15 12

Sol)設★的值為 x,★右邊空格的值為 y,14+y+12=x+y+15。 (D)10.求聯立方程式    5 2 3 1 2 = + =- + y x y x 的解為何? (A) x=2,y=- 2 3 (B) x=3,

y=1 (C) x=1,y=-1 (D) x=3,y=-2。【92.基測二】

Sol)

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

x+2y=-1 1 , 2 - 1 x, x 1 2 , y=-2 3x+2y=5 2    L L 可求得 再將 代入 或 得 (D)11.創創家有 10 人、守守家有 8 人,兩家人一同看表演,該場表演的票價 如圖所示。若創創家的總票價比守守家少 60 元,則創創家的半票比守 守家的半票多幾張? (A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) 6。【93.基測一】 Sol)設創創家半票x張,全票

(

10 -x

)

張,守守家半票y張,全票

(

8 -y

)

張,

(17)

(

)

( )

, , , 1 - 5 60 3 75 1 15 5 x y x y x y x x y y y x y +  = =   =  + =   =  +  設到考人數 人 缺考人數 人 報名人數 人 人

(

)

1 2 1 1 2 1 2 2 , , 1 6 12 1 10 1 1 1- 3 21 8 6 1 1 10 30 30 V V V V V V V V  =   +  =      =  +  =  =  設佩恩與安均二人的工作效率為 小時 , 9 3 3 9 12 3 24 2 12 3 x y y x x x y y y x= + =   =  + + = + + =   = +  設魚頭 公斤 魚身 公斤 【模擬學力基測試題】 (A)1.奇鼎大學招收數學碩士班,錄取人數是到考人數的1 3,而比缺考人數多 5 人,已知有1 5人數缺考,請問報名的人數是多少人呢?(A)71~80(B) 61~70(C)51~60(D)41~50(人)。 Sol) (C)2.施老師交待一件打字工作,佩恩先做 6 小時,安均接著做 12 小時可以完 成,佩恩先做 8 小時,安均接著做 6 小時可以完成。如果佩恩做 3 小時後 由安均接著做,需要多少小時呢?(A)19(B)20(C)21(D)22(小 時)。 Sol) (D)3.有一條鮪魚,如果魚尾重 3 公斤,魚頭重量等於魚尾加上魚身一半的重 量,魚身重量等於魚尾加上魚頭的重量,請問此條鮪魚有多少公斤呢? (A)21(B)22(C)23(D)24(公斤)。 Sol) (C)4.阿如到麥當勞買餐點,她發現若點 4 杯可樂及 3 份薯條則不夠 27 元;若 點 3 杯可樂及 2 份薯條,則剩下 16 元,已知一份薯條比一杯可樂多 7 元 ,則一杯可樂多少元。(A)16(B)17(C)18(D)19(元)。 Sol) 設一杯可樂 x 元,一份薯條 y 元,則   y=x+7 4x+3y-27=3x+2y+16 (B)5.如圖,相鄰三數的和等於箭頭下方所屬的數字,則 a+b-c+d-e+f=?(A) 8(B)16(C)32(D)52。

(18)

Sol)依題意知 c=a+4,d=a+8,e=8+b,f=14+b, 且 c+d+e=28=a+4+a+8+8+b=2a+b+202a+b=8……○1 d+e+f=40=a+8+8+b+14+b=a+2b+30a+2b=10……○2 聯立○1 、○2 解得 a=2,b=4,則 c=6,d=10,e=12,f=18, 故 a+b-c+d-e+f=16 (B)6. 解





2x-y3 - y-3x 5 =1 7x+y 5 -y=-1 ,則 2 x + = ?(A)15(B)25(C)35(D)45。y Sol) 化簡得   19x-8y=15……○1 7x-4y=-5……○2,○22:14x-8y=-10……○3, ○ 1-○3:5x=25 ∴x=5 代入○2:35-4y=-5,4y=40 ∴y=10 (D)7.小鼎欲解一聯立方程式   y-2x=-7……○1 2x-3y=13……○2結果他看錯○1式中的-7,解 得 y=-10,請問小鼎是將-7 誤看成多少呢?(A)4(B)5(C)6( D)7。 sol)將 y=-10 代入○2式中得 x=- 2 17,將 y=-10,x=- 2 17代入○1-10+17 =7,故誤看成 7 (D)8.台北世貿電腦展時,Show Gril 賣出兩組電腦,每組皆賣 30,000 元,以 成本計算,其中一組賺了 20%,另一組虧了 20%,則賣出這兩組電腦, 電腦公司賺或賠多少元? (A)賺 2000 元(B)賠 2000 元(C)賺 2500 元(D)賠 2500 元。 Sol) 設賺 20%的電腦成本為 x 元,虧 20%的電腦成本為 y 元, x.(1+20%)=30,000x=25000 y.(1-20%)=30,000y=37500 (30,000-25,000)+(30,000-37,500)=-2500 (A)9.飆速網咖的收費標準為:基本費用每次 30 元(可使用 x 分鐘),超過 x 分 鐘後,超過的部分每分鐘收費 y 元,小奇第一次到此店上網 40 分鐘花 費 50 元,第二次到同一家店上網 1 小時花費 70 元,則 x=? (A) 20 (B) 40 (C) 30 (D) 50。 Sol)   30+(40-x)y=50 30+(60-x)y=70 (40-x)y=20……○1 (60-x)y=40……○2, ○1 ○2: 40-x 60-x= 1 2,80-2x=60-x,x=20。

(19)

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

令 2 , - , 2 - 3 4 1 -2 1 2 5 5, 1代入 2 得 , 3 3 3 1 2 2 1 3 5 5 -1 3 - 4 3 , , -2 3 9 9 - 4 3 x y A x y B A B A A B A B x y y y x x y + = =  =  + = = =  + =   + =  = = =  =   L L L L 1 ,5 , 5 152, ( ) 152 5 30 2, 30 1 31 x y x y y  + =  = L + = 設 元硬幣有 個 元硬幣有 個 求非負整數解 包括正整數及零 可知 有 種解

(

)

5 20 3 - 5 20 3 20 5 3 5 5 3 1,5, -1, -5 4 , 3 y xy x y x y y x y y y + + =  + = +  = +  +  + = + 當 等 組時 具有整數解 (C)10.基測數學考卷共出了 25 題選擇題,對 1 題得 4 分,錯 1 題倒扣 1 分, 不作答則不予計分,已知小鼎共作答了 20 題,最後考了 60 分,則小鼎 這張考卷共答對幾題? (A) 12題 (B) 14題 (C) 16題 (D) 18題。 Sol) 設答對 x 題,答錯 y 題,則根據題意列式    60 y x 4 20 y x = - = + 解得    4 y 16 x = = 。 【進階練習題】 (B)1.解下列二元一次聯立方程式

(

) (

)

(

) (

)

2 2 - 3 - 4 3 2 3 - 1 x y x y x y x y  + =   + + =  ,x =? y =?(A) 1 5 , 9 9 x = y = (B) -1, 5 9 9 x = y = (C) 5, 1 9 9 x = y = (D) 5, -1 9 9 x = y = 。 Sol) (C)2.小奇的小豬撲滿中有 1 元及 5 元的硬幣若干個,今天他想買哆啦 A 夢的 公仔需要 152 元,請問他有幾種湊法可湊成 152 元呢?(A)29(B) 30(C)31(D)32 種。 Sol) (C)3.二元一次方程式xy+3 - 5x y=20共有幾個整數解呢?(A)2(B)3(C) 4(D)5。 Sol) (B)4.有一群大陸客到新竹科學園區參觀太陽能機車,今有太陽能機車若干台 且試車場有 40 公尺長,但由於太陽能機車少於人數,所以採取交換騎乘, 則每人可騎 30 公尺;若人數增加 4 名,則機車減少 3 輛,則每人可騎 20 公尺,請問原來有太陽能機車多少輛呢?(A)10(B)15(C)20(D) 25 輛。

(20)

(

)

(

)

( )

( )

( )

( )

, 30 40 30 40 1 20 4 40 - 3 20 80 40 -120 2 1 2 20 80 30 -120 10 200, 30 20 20, 15 40 x y x y x y x y x y x x x x y =  =  + = + =     + =  =  = = = L L L L L 設原有大陸客 人 太陽能機車 輛 代入

(

) ( )

(

) ( ) ( ) ( )

(

) (

) (

)

, , 10 1 1 + 2 , 10 2 11 11, 11-x y r x y k x y y x r x y x y k r x y k r r k  + = +    + = +    + = +  +  + = = L L 設此整數之十位數字為 個位數字為 設所求新數為其數字和的 倍

( )

( ) ( )

( )

50 ,100 , 45 1 1 100 - 2 50 100 3000 2 50 4500 - 3000 30 x y x y x y x x  + =  + =   =  = L L L L L 設 元有 張 元有 張

( )

( ) ( ) ( )

, , 7 4 1 2 - 1 3 - 8 0, 8, 3 22 4 2 7 8 4 60, 68 x y x y y y x y x x y  = +      = = = +  =  + = + = L L L 設甲為 乙為 50 15 3, 5, 3 5 11 2 6 3 6 5 23 y ax b a b a b y x a b x y = + = +    = = = + = +  =  =  + = 令此二元一次式為︰ Sol) (D)5.設一整數為兩位數,並且此整數等於其數字和的 k 倍,若將此整數的十 位數字與個位數字交換產生一個新數,則此新數為其數字和的幾倍呢? (A)k-1(B)k+1(C)10-k(D)11-k。 Sol) (A)6.小鼎和媽媽到銀行去提領 3000 元的美金共有 45 張鈔票,其中含有 50 元 及 100 元面額的鈔票,請問 50 元的鈔票有幾張呢?(A)30(B)25(C) 20(D)15 張。 Sol) (D)7.有甲、乙兩數,甲數除以乙數得商為 7,餘數為 4,甲數的 3 倍除以乙數 的 2 倍得商為 11,餘數為 4,是求甲、乙兩數之和? Sol) (B)8.如右圖,一圓中有六片扇形皆各有一數字,但其中有一數字不見了,以 之任意兩對頂扇形之數字間存在有一個二元一次式(線性關係),請問 此一消失的數字為何呢?(A)21(B)23(C)25(D)27。 Sol)

(21)

, , 1 1 1 15 9 1 1 1 - - , 45 45 15 45 1 1 1 10 3 1 2 2 1 , 0.6 , 45 1 0.6 27 45 x y x x y V V y x x y+ = =     = =   =  + +  =      =  = 冷 熱 設冷水管與熱水管獨立進水 各需要 分鐘才能注滿游泳池 冷水管比熱水管每分鐘注水量佔游泳池的 相當 立方公尺 游泳池容量 立方公尺 , , , - 8 20 30 - 18 x y xy x y xy x x x y xy y y x y +  =+ =   =   =  +  設中華工程獨作需 月完工 榮工工程獨作 月完工 二間公司合作 月完工 (C)9.奇鼎溫水游泳池有冷水管及熱水管,若同時打開 9 分鐘可注滿游泳池。 現在小奇先打開冷水管,10 分鐘後再打開熱水管,經過 3 分鐘後就注滿 游泳池;已知冷水管比熱水管每分鐘多注入 0.6 立方公尺的水,請問此 游泳池的容量為多少立方公尺呢?(A)23(B)25(C)27(D)30 立 方公尺。 Sol) (D)10.雪山隧道工程,中華工程公司與榮工工程公司合作比中華工程公司獨作 可以提早 8 個月完工,比榮工工程公司獨作可以提早 18 個月完工,請 問中華工程公司獨作需要幾個月方能完工呢?(A)5(B)10(C)15 (D)20 個月。 Sol)

數據

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