Unit 6 二元一次聯立方程式 能力指標：◎（A-4-2）能解決從生活情境問題中列出的二元一次聯立方程式。 ◎（A-4-4）能利用一次式解決生活情境中的問題。 ◎（A-4-10）能認識、欣賞生活中或其他學科領域常用的公式。 ◎（A-4-12）觀察生活週遭或其他學科領域中的數學，認識數學的用 途，與數學思維的特性。 能力一：二元一次方程式的列式 一、二元一次方程式 當 a、b、c 為已知數，且 ab ，則0 ax+by+ =c 0，亦即當一個等式含有兩個未 知數（變數），而且他們的次數皆為一次，稱為二元一次方程式。 二、二元一次方程式的解 （一）一個二元一次方程式ax+by+ =c 0有無限多組解。 （二）若限制 x、y 的範圍，則有三種解的可能性： 1.無限多組解； 2.有限多組解； 3.無解。
eg：若有一個二元一次方程式 x+2y=8，當 x、y 有下列情形時，其解的情況： （1） 若 y>3，則為無限多組解。 （2） 若 x、y 皆為正整數，則僅有三組解：（6,1）、（2,3）、（4,2）。 （3） 若 x、y 皆為正整數，且 y>3，則為無解。 三、二元一次方程式的圖形 （一）二元一次方程式又名為線性方程式，亦即其圖形在平面座標上為一直線。 （二）二元一次方程式的每一組解，即為直線上的一個點。 【列式與化簡】 講解一： ○1 1年28班共有29人，其中男生有x人，女生有y人；某次月考的數學成績，男生 平均70分，女生平均65分，請列出全班的平均分數的二元一次式。 ○2 已知華氏度數＝ 5 9 ×攝氏度數＋32，且華氏度數比攝氏度數多28度，則當攝氏x 度時，華氏是y度，請可列出二元一次聯立方程式。 ○3 請化簡下列各式： (1) 4(－x＋y)－2(2x－y)＝？ (2) 7(3x＋2y)－3(7x＋y)＝？
9 32 5 28 y x y x = + = +
( )
( )
( )
1 -4 4 - 4 2 -8 6 2 21 14 - 21 - 3 11 3 5 -10 15 - 3 6 2 - 15 x y x y x y x y x y y x y x y x y = + + = + = + = = + + = + 原式 原式 原式 3 3 27 5 2 30 x y x y + = + = 3 1 20 2 x y y x y x − = − − = ( )
( )
( )
1 3 2 2 4 5 127 9 1 - -1 - - -2 4 9 45 5 18 180 5 4 5 2 6 2 14 11 62 2 - -12 - - -3 6 5 5 5 15 30 5 3 0.6 0.4 - 2.8 - 0.6 1.2 - 4.8 1.6 - 7.6 x y x y x y x y x y x y x y x y y + = + + = + + + = (3) 5(x－2y＋3)－3(x－3y)＝？。 Sol) ○1 70 65 29 x+ y = 總分 = 平均分數 總人數 ○2 ○3 練習一： ○1 嘉昌和幼軍到合作社購買同樣的優酪乳和麵包，嘉昌各買 3 罐優酪乳及 3 個麵 包，付款 27 元，幼軍買 5 罐優酪乳和 2 個麵包，付款 30 元。若優酪乳每罐 x 元，麵包每個 y 元，請列出二元一次聯立方程式。 ○2 容韓有錢若干元，先用去一部分，剩餘的錢為用去的 3 倍，後來又用去 20 元， 所餘的錢為原有的 2 1 倍。假設容韓原有 x 元，先用去 y 元，請列出二元一次 聯立方程式。 ○3 請化簡下列各式： (1) 3 12(2x－3y－4)－ 2 45 (5x－y－18)＝？ (2) 3(4 9 x－ 5 18y－4)－0.4(x－3y＋1)＝？ (3) 0.2(3x＋2y－14)－0.6(x－2y＋8)＝？ Sol) ○1 ○2 ○3【十分鐘即時練習】 （D）1.甲原有 x 元，乙原有 y 元，若甲、乙兩人各自將原有錢數的 4 1 交換，則 甲的錢數就為乙錢數的 2 倍。依題意可列出二元一次方程式為何呢？ （A）3 -1 2(1 -3 ) 2x 2y= 2x 2 y （B） 3 1 1 3 2( ) 2x+2 y= 2x+2y （C）3 -1 2(1 -3 ) 4x 4y= 4x 4 y （D） 3 1 1 3 2( ) 4x+4 y= 4x+4y 。 （A）2.成凱和他的父母、一個弟弟、一個妹妹到「你家牛排餐廳」吃牛排；大 人每人 x 元，小孩每人 y 元，除了父母外，其他都是小孩，另外餐廳又加 收 10％的服務費；則這一餐成凱全家共花了多少錢呢？（A）(2x＋3y)×1.1） （B）(3x＋2y)×1.1）（C）(2x＋3y)×0.1）（D）(3x＋2y)×0.1）。 （B）3.已知 256MB 與 128MB 的隨身碟每個的價格比為 4：3，今花了 1200 元 買回四卷 256MB 及 128MB 的錄音帶，若 256MB 每個 x 元，而 128MB 每卷 y 元，則下列哪一組聯立方程式符合題意？ (A) 4 3 4 3 1200 x y x y ＝ ＋ ＝ (B) 3 4 4 3 1200 x y x y ＝ ＋ ＝ (C) 4 3 1200 y x x y ＝ ＋ ＝ (D) 3 4 3 4 1200 y x x y ＝ ＋ ＝ 。 （C）4.黃大先老師命題某次學業競試的數學試題，他打算出選擇題與填充題共 27題，滿分為100分；請問黃大先老師應採取下列哪一種配分才是正確？ (A)選擇題每題3分，填充題每題5分 (B)選擇題每題2分，填充題每題3分(C) 選擇題每題3分，填充題每題4分(D)選擇題每題4分，填充題每題5分。 （A）5.法國薄酒萊一瓶，喝掉 7 5 的酒後，連瓶共重 350 公克，設酒原有 x 公克， 瓶重 y 公克，則下列選項何者正確？(A)2 7x＋y＝350 (B) 2 7(x＋y)＝350 (C) 7 5 x＋y＝350 (D) 7 5 (x＋y)＝350。 能力二：代入消去法與加減消去法 一、二元一次聯立方程式 若有兩個並列在一起的二元一次方程式，稱為二元一次聯立方程式或二元一次聯 立方程組。其標準式如下所示：
(
)
(
)
2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 0 0 a x b y c a b a x b y c a b + = + + = + ( )
( )
( )
( )
(
)
( ) ( )
3 - 6 1 2 1 3 - -2 4 6 -2 4 2 3 2 - 4 6, 5 10, 2 1 , 3 2 - 6, 0 x y x x y x x x x x y y = + = = + + = = = = = L L 將第 代入 代入 二、帶入消去法求解 由任一方程式中簡化出 y=ax+b 或 x=ay+b 的形式，再代入另一式消去 y 或 x，即 可解出 x 或 y。 三、加減消去法求解 將兩個方程式乘以適當的倍數之後，再相加或相減，消去某一未知數，即可解出 另一未知數。 四、二元一次聯立方程式解的判別法(
)
(
)
( )
( )
( )
2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 0 0 1 , 2 , 3 , a x b y c a b a x b y c a b a b a b a b c a b c a b c a b c + = + + = + = = = 若 則有唯一解 兩相異直線交於一點 若 則有無限多組解 兩相異直線重合 若 則無解 兩相異直線平行 五、特殊型的聯立方程式求解方法 若方程式以 A、B、C 表示，則有下列情形時之處理方式： （一）A=B=C 型： A B B C = = （二） 2 2 0 0 A + B = 或A +B = 型： 0 0 A B = = （三）係數較大型：( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
63 37 263 1 1 2 100 100 500 37 63 237 2 5, 5 - 1 2 x y x y x y x y x y + = + + = + = + = = L L 可先將 再代入 或 求解 【代入消去法】 講解一： 解下列二元一次聯立方程式： (1) + − = = − 4 2 6 3 x y y x (2) = − + = 32 2 3 2 5 y x y x Sol) ○1( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
5 2 1 1 2 3 5 2 - 2 32, 3 - 2 32 2 15 6 - 2 32, 13 26, 2 1 , 5 2 2 12 x y y y x y y y y y x = + + = = + = = = = + = L L 將第 代入 代入第( )
( )
( )
( )
(
)
( )
0.3 0.6 1 2 1 0.3 - -0.2 0.4 0.6, 0.2 0.4 2 0.5 0.2, 0.4 2 -0.2 0.4 0.4 0.32 x y x x y x x x y − = + = = − + = = = + = L L 將第 代入 代入( )
( )
( )
( )
( )
1 7 1 1 1 1 2 2 1 7 2 1 1 2 7 2 0 2 7 1 14 0, 0, 1 2 7 x y x x x y x x x y + = + + = − + = + = = = L L 將 代入 代入( )
( )
( ) ( )
( )
5 7 29 1 1 2 13 39, 8 7 10 2 3, 2 , 8 3 - 7 10, 2 x y x x y x y y + = + = − = = = = L L 代入( )
( )
( ) ( )
( )
4 3 1 1 1 2 8 8, 1 4 5 7 2 -1 1 4 3 1, 2 x y y y x y x x + = + = = − + = + = = L L 第 代入第 得 ○2 答：(1)x＝2，y＝0；(2)x＝12，y＝2。 練習一： (1) 0.3 0.6 0.2 0.4 x y y x − = = − + (2) 1 7 1 2 1 2 0 7 x y x y + = − + = sol) ○1 ○2 答：(1)x＝0.4，y＝0.32；(2)x＝0，y＝1 7。 【加減消去法】 講解二： (1) = − = + 10 7 8 29 7 5 y x y x (2) = + − = + 7 5 4 1 3 4 y x y x Sol) ○1 ○2( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2 5 1 -1 2 1 - 2 2 3 -5, - 3 1, , 3 2 3 2 -2 1 -1 1 2 - -1, , , 3 3 3 3 -1 1 9 3 9 3 3 3 4 - 9, -9, 2 - 0 -2 1 - 0 4 3 3 1 3 3 9, 18, -9 18 9 3 x y x x x x x y y y x y a b ax by a a ax by a b b b a b − = − + = = = − = − = = = = + = + = + = = = = + = = + = + = L L L L 代入 代入 將 與 代入下式 代入 得(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2 2 - 5 2 6 3 - 3 0 2 - 5 -2 1 6 -15 -6 3 2 - 5 2 0 1 3 6 3 3 2 6 3 3 2 6 3 - 3 0 1 1 1 1 2 - 3 18 9, 1 , 4 2 4 2 2 2 4 4 2 x y x y x y x y x y x y x y x y y y x x y + + + = + = = = + = + = + = = = = + = + = L L L 第 L 代入 得( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
-3 - 7 1 -3 - 7 1 3 4 1 3(2 2) 2 3 1 3 3 3 2 3 9 9 3 2(4 2 3) 7 9 8 16, 2, 2 6 3, -3 3 - 2 3 -3 - 2 2 -13 x y x y x y x y x y x y x y x y y y x x x y = = − − − + + + + + + + = + = = = + = = = = L L L L ＝ ＝ 代入 答：（1）x＝3，y＝2。（2）x＝ 1 2 − ，y＝1。 練習二： （1）若 − = − − = − 1 2 5 2 y x y x 與 = − = + 0 2 9 by ax by ax 有相同的解，則 a+b=？ （2）若(2x－5y＋2)2＋6x+ y3 −3＝0，則 4x＋2y＝？ Sol) ○1 ○2 答：○1 a+b=9，○2 4x＋2y＝2。 【十分鐘即時練習】 （B）1.解聯立方程式 + + + + + − − − 9 7 ) 3 2 4 ( 2 ) 2 2 ( 3 1 4 3 y x y x y x y x ＝ ＝ ，則3x－2y之值為何？(A)－21 (B)－13 (C)0 (D)13。 Sol) （C）2.聯立方程式 = + = 3 13 2 1 3 1 2 . 0 3 . 0 y x y x 的解以數對表示為何？(A)(2,3) (B)(－2,－3 (C)(4,6) (D)(8,12)。( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
3 1 0.3 0.2 - 0 1 3 - 2 0 3 1 10 10 5 3 4 1 1 13 4 52 2 4 1 1 13 2 4 2 3 2 3 3 3 3 2 3 13 52 52 , 4, 1 , 6 3 3 13 x y x y x y x y x y x y x x y = = = + + = + = + = = = = = L L L L L 代入 得( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
4 5 1 5 1 2 5 5 5 1, 4 4 5 2 5 -1 1 4 4 4 4 3 , 3 - 1 3 -1, 1 4 - 5, , 3 3 3 -1 4 5 - -3 3 3 a b ax by a b a b a b bx ay a b b b a a a b + = + + + = + = − + = + = = = = = = = L L L ＝ 同乘以 ＝ 代入 得( )
( )
( ) ( )
( )
2 2 3 3 0 3 -3 1 ( 3 3) ( 7 11) 0 , 7 -11 2 7 11 0 2 - 1 4 -8, -2, 1 , 3 x y x y x y x y x y x y y y x + + = + = + + + + + = + = + + = = = = L L 代入 得( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
5 4 9 1 5 4 9 1 2 2 , 3 2 1 2 6 4 2 3 1 3 11 11, 1, 2 -1 x y x y x y x y x x y − = − = + = + = + = = = L L L L 代入 得 Sol) （D）3.設 x、y 的聯立方程式 5 5 ax by bx ay + − ＝ ＝ 的解為 x＝4，y＝1，則｜a－b｜為何？ (A)-3 5 (B) 3 5 (C) -5 3 (D) 5 3。 Sol)（B）4.若(x＋3y＋3)2＋(x＋7y＋11)2＝0，得下列哪一個選項？(A)x＝－3，y＝2 (B)x＝3，y＝－2 (C)x＝2，y＝－3 (D)x＝－2，y＝－3。
Sol) （B）5.何者為二元一次聯立方程式 = + = − 1 2 3 9 4 5 y x y x 的解？(A)x＝1，y＝1 (B)x＝1 ，y＝－1(C)x＝－1，y＝1 (D)x＝－1，y＝－1。 Sol) 能力三：二元一次聯立方程式的應用 一、解應用問題的流程 看清楚題意，設 x、y 為未知數 找出條件式，列出 二元一次方程式 解方程式 驗算、作答
二、各種應用問題的型態 （一）賺賠問題： 售價=成本×折扣 賺（賠）=售價－成本=利潤 賺率=（利潤÷成本）×100% （二）速度問題：
s=
v×t
（距離=速度×時間） 單位： 距離（s） 速度（v） 時間（t） 公里（km） 公里/小時（km/hr） 小時（hr） 公尺（m） 公尺/分（m/min） 分鐘（min） 公尺（m） 公尺/秒（m/s） 秒（s） 平均速度=總路程÷總時間（ T T s v t = ） （三）水流問題 順流速度=船速+水速 逆流速度=船速－水速 （四）工作問題 假設一工程甲獨做需 x 天完工，乙獨做需 y 天完工。 甲一天做1 x，乙一天做 1 y ； 1 1 x y + 甲乙合作一天完成總工程的 ； 1 1 1 x y + 一工程甲乙合作需要 天才能完工 。 （五）濃度問題(
)
100% .ps = 溶質 = + 濃度 溶液 溶質 溶劑 溶液 （六）利率問題(
)
(
)
(
)
1 . 1 ps = + = + = + 期數 單利 本利和 本金 利率 期數 本利和 本金 利息 複利 本利和 本金 利率【算人數的應用問題】 講解一： 奇鼎國中 3 年 5 班男女學生共有 50 人，在上次段考中，全班的平均分數是 80 分；男生的平均分數是 75 分，女生的平均分數是 85 分，求男生有多少人？女生 有多少人？ Sol)
( )
( )
, , 50 50 25 , 25 75 80 4000 15 17 800 x y x y x y x y x y x y + = + = = = + = + = 設男生有 人 女生有 人 人 人 答：男生 25 人；女生 25 人。 練習一： 鼎奇國中 2 年 18 班有男女生各若干人，從其中一個男生眼中所見，男生人數比 女生人數的 2 倍多 6 人；從其中一個女生眼中所見，男生人數是女生人數的 3 倍；則 2 年 18 班全班共有多少人？ 設男生 x 人，女生 y 人，由題意可設聯立方程組為 1 2 6 3( 1) x y x y − = + = − x＝27，y＝10 答：男生 27 人，女生 10 人。 【速度的應用問題】 講解二： 小鼎和小奇一起參加路跑，若總路程 10 公里，小奇的速度是小鼎的 2 倍，且小 奇比小鼎早 30 分鐘回到終點，問小奇和小鼎的時速各為幾公里？ sol)(
)
(
)
(
)
(
)
, , , 2 20 , 10 10 10 - 0.5 s x km hr y km hr t v x y x km hr y km hr y x = = = = = 設小奇時速 小鼎時速 根據速度公式 答：小奇時速 20 公里；小鼎時速 10 公里。 練習二： 已知基隆河長度 20 公里，救生艇順流而下需 2 小時，逆流而上需 5 小時，問水 速和船速為幾公里？ Sol)(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
, , , 2 20 2 2 20 7 , 3 - 5 20 -5 5 20 km km x y S V T hr hr x y x y km km x y hr hr y x x y = + = + = = = = + = 設船速為 水速為 根據速度公式 答：船速每小時 7 公里；水速每小時 3 公里。 【分配的應用問題】 講解三： 小奇班上有 40 位同學，他想在生日時請客，因此到「你家便利商店」花了 175 元 買果凍和巧克力共 40 個。若果凍每 2 個 15 元，巧克力每 3 個 10 元，則他共買 了多少個果凍。 Sol)設他買 x 個果凍、y 個巧克力，則 x＋y＝40 15 2 x＋ 10 3 y＝175 x＋y＝40 ………○１ 9x＋4y＝210……○２， ○ １4：4x＋4y＝160……○３，○２－○３：5x＝50 ∴x＝10 答：買了10個果凍。 練習三： 史努比買了一大瓶保特瓶裝的渴口可樂請查理布朗喝，已知未開前的重量為 1850 公克，打開之後喝掉 3 1 時，再測量只剩 1250 公克，請問渴口可樂不含瓶子 共多少公克呢？ Sol)設保特瓶重 x 公克，可樂重 y 公克，則依題意列聯立方程式 1250 y 3 2 x 1850 y x ＝ ＋ ＝ ＋ ， 利用加減消去法解得 x＝50，y＝1800 答：可樂重 1800 公克 【十分鐘即時練習】 （C）1.解聯立方程式 78 y 101 x 23 78 y 23 x 101 ＝－ ＋ ＝ ＋ 後，求 2x－3y＝？ (Ａ) 3 (Ｂ) 4 (Ｃ) 5 (Ｄ) 6。Sol)兩式相加得 124x＋124y＝0，兩式相減得 78x－78y＝156， 2 y x 0 y x ＝ － ＝ ＋ 解得 x ＝1，y＝－1，則 3x－2y＝3＋2＝5。 （C）2.│3x＋y－7│＋│x－y－1│＋│2x＋2y＋k│＝0，則 k＝？ (Ａ)－2 (Ｂ)－4 (Ｃ)－6 (Ｄ)－8。
Sol)先解聯立方程式 0 1 y x 0 7 y x 3 ＝ － － ＝ － ＋ ，兩式相加得 4x＝8x＝2，y＝1，將 x＝2，y ＝1 代入 2x＋y＋k＝0，則 k＝－6 （D）3.試解聯立方程式 275 y 147 x 64 358 y 64 x 147 ＝ ＋ ＝ ＋ ，則 x+y＝？ (Ａ)0 (Ｂ)1 (Ｃ)2 (Ｄ)3。
Sol) 147x＋64y＝358……○64x＋147y＝275……○１２
○１＋○２211x＋211y＝633 ○ １－○２83x－83y＝83 x＋y＝3……○３ x－y＝1……○４ ○ ３＋○４解得 x＝2，y＝1，則 x+y＝2+1＝3 （A）4.有一個二位數，十位數字的 2 倍與個位數字的和是 15，它的個位數字與 十位數字對調後所得的新數比原數大 27，則原二位數為多少？ (Ａ) 47 (Ｂ) 57 (Ｃ) 67 (Ｄ) 77。 Sol) 設十位數字是 x，個位數字是 y，則 2x＋y＝15 10y＋x＝（10x＋y）＋27 2x＋y＝15 x－y＝－3 解得 x＝4，y＝7。 （C）5.設 A、B、C、D 是數線上由左而右相異四點，它們的坐標依次為 x、－3、 y、5，如果AB比CD的 2 倍少 1，AC比BD多 2，則下列何者正確？ (Ａ)AB＝11 (Ｂ) x＋y＝6 (Ｃ)CD＝3 (Ｄ)AC＝6。
Sol)AB＝－3－x，CD＝5－y，AC＝y－x，BD＝8 －3－x＝2（5－y）－1 y－x＝8＋2 x－2y＝－12
x－y＝－10 ，解得 x＝－8，y＝2 AB＝5，x＋y＝－6，CD＝3，AC ＝10 【基本觀念題】 （D）1.奇鼎國中實施紙類資源回收。去年 12 月份一、二年級共回收 38 公斤、 今年元月份二年級比一年級多回收 6 公斤，只知與 12 月份比較，一年 級增加 50％，二年級減少 25％，請問下列何者正確？(Ａ)12 月份二年 級比一年級多回收 6 公斤(Ｂ)元月份二年級回收 28 公斤(Ｃ)元月份一年 級回收 18 公斤(Ｄ)12 月份一年級回收 10 公斤。 Sol)設 12 月分一年級回收 x 公斤，二年級回收 y 公斤，則 x＋y＝38 1.5x－0.75y＝－6 x＋y＝38
2x－y＝－8，解得 x＝10，y＝28，元月份：1.5x＝15（公斤），0.75y＝21 （公斤） （A）2.請解下列二元一次聯立方程式
( )
( )
1 - 7 -46 1 7 1 7 - 146 2 7 x y x y = = L L ，x=？y=？（A）x=21、( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 - 7 -46 1 50 50 7 1 2 - 100, - 14 3 7 7 1 7 - 146 2 7 48 48 2 - 1 192, 28 4 , 3 4 2 42, 21, 7 7 7 x y x y x y x y x y x y x x y = + = = = + = + = + = = = L L L L y=7（B）x=7、y=21（C）x=-21、y=7（D）x=21、y=-7。 sol) （B）3.解聯立方程式 + + + + + − − − 9 7 ) 3 2 4 ( 2 ) 2 2 ( 3 1 4 3 y x y x y x y x ＝ ＝ ，則3x－2y之值為何？(A)－21 (B)－13 (C)0 (D)13。 Sol)( )
( )
( )
( )
(
)
( ) ( )
-3 - 7 1 3 4 1＝3(2 2) 3 - 4 -1 - 6 3 - 6 0 2(4 2 3)＝7 9 8 4 6 - 7 - - 9 0 3 3 2 2 代入 1 -3 3 - 3 - 7, 2, -3 3 - 2 3 -3 -2 2 -13 x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y y y y x x y = − − − + + = + + + + + + = + = = = = = = L L （B）4.若聯立方程 = − = + 11 3 4 5 3 y x y x 的解為x＝a，y＝b；則a＋2b＝？(A)－4 (B4 (C)3 (D)5。 Sol)( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
3 6 11 1 3 6 11 1 2 2 1 3 8 - 6 22 3 4 3 11 2 1 1 11 33, 3, 3 3 3 4 3 3 x y x y x y x y x x y a b + = + = + = − = = = = + = + = L L L L （B）5.解聯立方程式 = + = − ) 2 ( 4 2 ) 1 ( 1 3 y x y x 的解法中下列何者正確？ (A)由(1)式得y＝－3x＋1，代入(2)式，可得x＝－ 5 2 (B)由(1)式×2＋(2)式，可得x＝6 7 (C)由(1)式－(2)式×3，可得y＝11 5 (D)由(2)式得x＝4－2y，代入(1)式，可得y＝ 5 11 。 Sol)( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
3 - 1 1 6 - 2 2 3 6 1 2 3 2 7 2 4 2 2 4 2 x y x y x x y x y = = + = + = + = L L L L （A）6.聯立方程式 = + = 3 13 2 1 3 1 2 . 0 3 . 0 y x y x 的解以數對表示為何？(A)(4,3) (B)(－2,－3 (C)(4,6) (D)(8,12)。( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
設50元硬幣有 枚,10元硬幣有 枚, 44 1 10 10 440 3 1 10 2 - 3 50 10 1000 2 50 10 1000 2 40 560, 14 x y x y x y x y x y x x + = + = + = + = = = L L L L L L L(
)
( )
( )
設有宿舍 間, 學生 人, - 6 2 1 6 2 16, 98 7 - 2 - 7 -14 2 x x x y y x y x y x x y + = = = = = = L L( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2 3 6 1 1 5 10 15 30 3 5 8 6 2 2 2 10 16 12 4 4 - 3 18, 30 x y x y x y x y y x = + = + = + = + = = L L L L Sol)( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
1 2 0.3 0.2 1 - 0 3 10 3 9 1 2 - 3 1 1 13 9 1 1 13 2 2 3 2 6 3 2 6 3, 4 x y x y x y x y y x = = + = + = = = L L L L （B）7.五十元、十元硬幣共44枚，恰好可換一張1000元紙鈔，則五十元硬幣共 有幾枚？(A)8枚 (B)14枚 (C)16枚 (D)20枚。 Sol) （D）8.學生分配宿舍，如果6人住一間，則有2人無宿舍可住；如果7人住一間， 則剩餘宿舍2間，問學生共有幾個人？(A)38人 (B)58人 (C)78人 (D)98人。 Sol) （D）9.九二一大地震時，救難隊搬了5箱泡麵，準備分給y位民眾，已知每箱泡 麵有x個，第一次分發2箱，平均每人分得3個泡麵，最後剩6個，第二次 再拿3箱來發，結果每人共分得8個泡麵，最後還是剩6個，則一箱泡麵 有多少個？(A)20個 (B)28個 (C)46個 (D)30個。 Sol) （C）10.一中街夜市某攤位，賣一塊香雞排可賺15元，賣一份炸薯條可賺10元， 已知賣出的炸薯條份數是香雞排塊數的兩倍，而且一個晚上共賺3750元 ，下列哪一個式子與題意不符合？ (A)假設香雞排賣了x塊，則15x＋20x＝3750 (B)假設炸薯條賣了x份，則 2 15 x＋10x＝3750 (C)假設香雞排賣了x塊，炸薯條賣了y份，則 2 15 10 3750 x y x y = + = (D)假設炸薯條賣了x份，香雞排賣了y塊，則 2 15 10 3750 x y x y = + = 【溫故歷屆基測試題】
（B）1.若二元一次聯立方程式
3x－2y＝9
4x＋3y＝29 的解為 x＝a，y＝b，則 a＋b＝？ (Ａ) 7 (Ｂ) 8 (Ｃ) 9 (Ｄ) 10。【95.基測二】 Sol)
( )
( ) ( ) ( )
( )
12x-8y=36 1 3x-2y=9 2 - 1 17y=51,y=3, 12x+9y=87 2 4x+3y=29 1 12x-24=36, 12x=60, x=5, a=x=5, b=y=3 L L 得 代入 得 ∴ （D）2.如表為小美採買火鍋料的收據，但因汙損導致幾個重要數據無法辨識。 根據如表判斷粉絲與茼蒿的數量差異為何？ (Ａ)粉絲比茼蒿多 2 包 (Ｂ)茼蒿比粉絲多 2 包(Ｃ)粉絲比茼蒿多 4 包(Ｄ)茼蒿比粉絲多 4 包。【95.基測二】 Sol)設粉絲 x 包，茼蒿 y 包，(
)
( )
( ) ( ) ( )
( )
x+y=16- 2+3+3+2 =6 1 178+39x+264+75+30y+34=740, 39x+30y=189, 13x+10y=63 2 , 2 - 1 10 3x=x, x=1 1 , y=6-1=5 L L 得 代入 得 （B）3.如圖，將一白繩的 3 8 與一紅繩的 1 3 重疊並以膠帶黏合，形成一條長為 238 公分的繩子。求未黏合前，兩繩長度相差多少公分？ (Ａ) 14 (Ｂ) 17 (Ｃ) 28 (Ｄ) 34。【94.基測一】 Sol)設白繩、紅繩長依次為 x、y，3 1 9 2 2 9 7 x= y y= x, x+ y=238, x+ x=238, x=238, 8 3 8 3 3 8 4 9 x=136, y= 136=153 8 ∴ ∴ （D）4.哥哥與弟弟各有數張紀念卡。已知弟弟給哥哥 10 張後，哥哥的張數就是 弟弟的 2 倍；若哥哥給弟弟 10 張，兩人的張數就一樣多。設哥哥的張 數為 x 張，弟弟的張數為 y 張，依題意下列列式何者正確？【94.基測 二】 (Ａ) 2（y－10）＝x y＝x－10 (Ｂ) y－10＝2x y＝x－10 (Ｃ) y－10＝2x x－10＝y＋10 (Ｄ) 2（y－10）＝x＋10 x－10＝y＋10 。
Sol) 弟弟給哥哥 10 張後，哥哥有 x+10 張，弟弟有 y-10 張，
(
x+10 =2 y-10) (
)
， 哥哥給弟弟 10 張後，哥哥有 x-10 張，弟弟有 y+10 張，x-10=y+10 （D）5.若 3x－2y 6 ＋ 2x－4y 3 － x－2y 2 ＝105，則 x－y＝？ (Ａ) 0 (Ｂ) 1 (Ｃ) 105 (Ｄ) 1.5 × 105。【94.基測二】Sol)各項同乘以 6，得
(
3x-2y +2 2x-4y -3 x-2y =6 10 , 4x-4y=6 10) (
) (
)
5 5 （C）6.若 x：y＝2：1，且 2x＋y＝20，則（x－1）：（y＋1）之比值為何？ (Ａ)2 1 (Ｂ) 2 (Ｃ) 5 7 (Ｄ) 7 5 。【93.基測一】 Sol)
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
x y=2 1, x=2y 1 , 2x+y=20, 4y+y=20, y=4 1 , x=8, x-1 y+1 = 8-1 4+1 L ︰ ︰ 代入 得 代回 得 ∴ ︰ ︰ （C）7.已知花生糖 1 顆 2 元，梅子糖 2 顆 1 元。若小詩買花生糖及梅子糖共 60 顆，花了 60 元，則此兩種糖果的數量關係為何？ (Ａ)花生糖和梅子 糖一樣多(Ｂ)花生糖比梅子糖多 30 顆(Ｃ)花生糖比梅子糖少 20 顆(Ｄ) 花生糖比梅子糖少 30 顆。【93.基測二】 Sol)設花生糖x顆，梅子糖y顆，則
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
x+y=60 1 , 2 ,4x+y=120 3 , 3 - 1 , x=20 1 , 1 2x+ y=60 2 2 20+y=60, y=40 L L L 由 式得 由 代入 （D）8.如圖是某電信公司的通話費計算方式：300 秒以內只繳基本費，超過 300 秒之後的費用，與通話時間成線型函數關係。則基本費是多少元？ (Ａ) 26 (Ｂ) 28 (Ｃ) 30 (Ｄ) 32。【93.基測二】(
)
(
)
+ + = + + + = + = = 30 60 10 - 60 30 60 8 - , 30 600 - 60 60 30 480 - 60 , 30 - 30 180, - 6 x x y y x x y y x y x y Sol) 36=a 500+b 14 1 y=ax+b, a= = , b=26, 50=a 1200+b 700 50 1 y= x+26, x=300 , y=32 50 設函數關係式 ∴ 再以 代入上式 （C）9.如圖的方格中，填入適當的數字，使得每行、每列以及對角線上的數字 和是相同的，則★的值為何？ (Ａ) 9 (Ｂ) 10 (Ｃ) 11 (Ｄ) 13。【93. 基測二】 16 14 ★ 15 12Sol)設★的值為 x，★右邊空格的值為 y，14+y+12=x+y+15。 （D）10.求聯立方程式 5 2 3 1 2 ＝ ＋ ＝－ ＋ y x y x 的解為何？ (Ａ) x＝2，y＝－ 2 3 (Ｂ) x＝3，
y＝1 (Ｃ) x＝1，y＝－1 (Ｄ) x＝3，y＝－2。【92.基測二】
Sol)
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
x+2y=-1 1 , 2 - 1 x, x 1 2 , y=-2 3x+2y=5 2 L L 可求得 再將 代入 或 得 （D）11.創創家有 10 人、守守家有 8 人，兩家人一同看表演，該場表演的票價 如圖所示。若創創家的總票價比守守家少 60 元，則創創家的半票比守 守家的半票多幾張？ (Ａ) 0 (Ｂ) 2 (Ｃ) 4 (Ｄ) 6。【93.基測一】 Sol)設創創家半票x張，全票(
10 -x)
張，守守家半票y張，全票(
8 -y)
張，(
)
( )
, , , 1 - 5 60 3 75 1 15 5 x y x y x y x x y y y x y + = = = + = = + 設到考人數 人 缺考人數 人 報名人數 人 人(
)
1 2 1 1 2 1 2 2 , , 1 6 12 1 10 1 1 1- 3 21 8 6 1 1 10 30 30 V V V V V V V V = + = = + = = 設佩恩與安均二人的工作效率為 小時 , 9 3 3 9 12 3 24 2 12 3 x y y x x x y y y x = + = = + + = + + = = + 設魚頭 公斤 魚身 公斤 【模擬學力基測試題】 （A）1.奇鼎大學招收數學碩士班，錄取人數是到考人數的1 3，而比缺考人數多 5 人，已知有1 5人數缺考，請問報名的人數是多少人呢？（A）71～80（B） 61～70（C）51～60（D）41～50（人）。 Sol) （C）2.施老師交待一件打字工作，佩恩先做 6 小時，安均接著做 12 小時可以完 成，佩恩先做 8 小時，安均接著做 6 小時可以完成。如果佩恩做 3 小時後 由安均接著做，需要多少小時呢？（A）19（B）20（C）21（D）22（小 時）。 Sol) （D）3.有一條鮪魚，如果魚尾重 3 公斤，魚頭重量等於魚尾加上魚身一半的重 量，魚身重量等於魚尾加上魚頭的重量，請問此條鮪魚有多少公斤呢？ （A）21（B）22（C）23（D）24（公斤）。 Sol) （C）4.阿如到麥當勞買餐點，她發現若點 4 杯可樂及 3 份薯條則不夠 27 元；若 點 3 杯可樂及 2 份薯條，則剩下 16 元，已知一份薯條比一杯可樂多 7 元 ，則一杯可樂多少元。（A）16（B）17（C）18（D）19（元）。 Sol) 設一杯可樂 x 元，一份薯條 y 元，則 y＝x＋7 4x＋3y－27＝3x＋2y＋16 （B）5.如圖，相鄰三數的和等於箭頭下方所屬的數字，則 a＋b-c＋d-e＋f＝？（A） 8（B）16（C）32（D）52。Sol)依題意知 c＝a＋4，d＝a＋8，e＝8＋b，f＝14＋b， 且 c＋d＋e＝28＝a＋4＋a＋8＋8＋b＝2a＋b＋202a＋b＝8……○1 d＋e＋f＝40＝a＋8＋8＋b＋14＋b＝a＋2b＋30a＋2b＝10……○2 聯立○1 、○2 解得 a＝2，b＝4，則 c＝6，d＝10，e＝12，f＝18， 故 a＋b-c＋d-e＋f＝16 （B）6. 解
2x－y3 － y－3x 5 ＝1 7x＋y 5 －y＝－1 ，則 2 x + = ？（A）15（B）25（C）35（D）45。y Sol) 化簡得 19x－8y＝15……○１ 7x－4y＝－5……○２，○２2：14x－8y＝－10……○３， ○ １－○３：5x＝25 ∴x＝5 代入○２：35－4y＝－5，4y＝40 ∴y＝10 （D）7.小鼎欲解一聯立方程式 y－2x＝－7……○１ 2x－3y＝13……○２結果他看錯○１式中的－7，解 得 y＝－10，請問小鼎是將－7 誤看成多少呢？（A）4（B）5（C）6（ D）7。 sol)將 y＝－10 代入○２式中得 x＝－ 2 17，將 y＝－10，x＝－ 2 17代入○１－10＋17 ＝7，故誤看成 7 （D）8.台北世貿電腦展時，Show Gril 賣出兩組電腦，每組皆賣 30,000 元，以 成本計算，其中一組賺了 20％，另一組虧了 20％，則賣出這兩組電腦， 電腦公司賺或賠多少元？ (Ａ)賺 2000 元(Ｂ)賠 2000 元(Ｃ)賺 2500 元(Ｄ)賠 2500 元。 Sol) 設賺 20％的電腦成本為 x 元，虧 20％的電腦成本為 y 元， x．（1＋20％）＝30,000x＝25000 y．（1－20％）＝30,000y＝37500 （30,000－25,000）＋（30,000－37,500）＝－2500 （A）9.飆速網咖的收費標準為：基本費用每次 30 元（可使用 x 分鐘），超過 x 分 鐘後，超過的部分每分鐘收費 y 元，小奇第一次到此店上網 40 分鐘花 費 50 元，第二次到同一家店上網 1 小時花費 70 元，則 x＝？ (Ａ) 20 (Ｂ) 40 (Ｃ) 30 (Ｄ) 50。 Sol) 30＋（40－x）y＝50 30＋（60－x）y＝70 （40－x）y＝20……○１ （60－x）y＝40……○２， ○１ ○２： 40－x 60－x＝ 1 2，80－2x＝60－x，x＝20。( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
令 2 , - , 2 - 3 4 1 -2 1 2 5 5, 1代入 2 得 , 3 3 3 1 2 2 1 3 5 5 -1 3 - 4 3 , , -2 3 9 9 - 4 3 x y A x y B A B A A B A B x y y y x x y + = = = + = = = + = + = = = = = L L L L 1 ,5 , 5 152, ( ) 152 5 30 2, 30 1 31 x y x y y + = = L + = 設 元硬幣有 個 元硬幣有 個 求非負整數解 包括正整數及零 可知 有 種解(
)
5 20 3 - 5 20 3 20 5 3 5 5 3 1,5, -1, -5 4 , 3 y xy x y x y y x y y y + + = + = + = + + + = + 當 等 組時 具有整數解 （C）10.基測數學考卷共出了 25 題選擇題，對 1 題得 4 分，錯 1 題倒扣 1 分， 不作答則不予計分，已知小鼎共作答了 20 題，最後考了 60 分，則小鼎 這張考卷共答對幾題？ (Ａ) 12題 (Ｂ) 14題 (Ｃ) 16題 (Ｄ) 18題。 Sol) 設答對 x 題，答錯 y 題，則根據題意列式 60 y x 4 20 y x ＝ － ＝ ＋ 解得 4 y 16 x ＝ ＝ 。 【進階練習題】 （B）1.解下列二元一次聯立方程式(
) (
)
(
) (
)
2 2 - 3 - 4 3 2 3 - 1 x y x y x y x y + = + + = ，x =? y =?（A） 1 5 , 9 9 x = y = （B） -1, 5 9 9 x = y = （C） 5, 1 9 9 x = y = （D） 5, -1 9 9 x = y = 。 Sol) （C）2.小奇的小豬撲滿中有 1 元及 5 元的硬幣若干個，今天他想買哆啦 A 夢的 公仔需要 152 元，請問他有幾種湊法可湊成 152 元呢？（A）29（B） 30（C）31（D）32 種。 Sol) （C）3.二元一次方程式xy+3 - 5x y=20共有幾個整數解呢？（A）2（B）3（C） 4（D）5。 Sol) （B）4.有一群大陸客到新竹科學園區參觀太陽能機車，今有太陽能機車若干台 且試車場有 40 公尺長，但由於太陽能機車少於人數，所以採取交換騎乘， 則每人可騎 30 公尺；若人數增加 4 名，則機車減少 3 輛，則每人可騎 20 公尺，請問原來有太陽能機車多少輛呢？（A）10（B）15（C）20（D） 25 輛。(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
, 30 40 30 40 1 20 4 40 - 3 20 80 40 -120 2 1 2 20 80 30 -120 10 200, 30 20 20, 15 40 x y x y x y x y x y x x x x y = = + = + = + = = = = = L L L L L 設原有大陸客 人 太陽能機車 輛 代入(
) ( )
(
) ( ) ( ) ( )
(
) (
) (
)
, , 10 1 1 + 2 , 10 2 11 11, 11-x y r x y k x y y x r x y x y k r x y k r r k + = + + = + + = + + + = = L L 設此整數之十位數字為 個位數字為 設所求新數為其數字和的 倍( )
( ) ( )
( )
50 ,100 , 45 1 1 100 - 2 50 100 3000 2 50 4500 - 3000 30 x y x y x y x x + = + = = = L L L L L 設 元有 張 元有 張( )
( ) ( ) ( )
, , 7 4 1 2 - 1 3 - 8 0, 8, 3 22 4 2 7 8 4 60, 68 x y x y y y x y x x y = + = = = + = + = + = L L L 設甲為 乙為 50 15 3, 5, 3 5 11 2 6 3 6 5 23 y ax b a b a b y x a b x y = + = + = = = + = + = = + = 令此二元一次式為︰ Sol) （D）5.設一整數為兩位數，並且此整數等於其數字和的 k 倍，若將此整數的十 位數字與個位數字交換產生一個新數，則此新數為其數字和的幾倍呢？ （A）k-1（B）k+1（C）10-k（D）11-k。 Sol) （A）6.小鼎和媽媽到銀行去提領 3000 元的美金共有 45 張鈔票，其中含有 50 元 及 100 元面額的鈔票，請問 50 元的鈔票有幾張呢？（A）30（B）25（C） 20（D）15 張。 Sol) （D）7.有甲、乙兩數，甲數除以乙數得商為 7，餘數為 4，甲數的 3 倍除以乙數 的 2 倍得商為 11，餘數為 4，是求甲、乙兩數之和？ Sol) （B）8.如右圖，一圓中有六片扇形皆各有一數字，但其中有一數字不見了，以 之任意兩對頂扇形之數字間存在有一個二元一次式（線性關係），請問 此一消失的數字為何呢？（A）21（B）23（C）25（D）27。 Sol), , 1 1 1 15 9 1 1 1 - - , 45 45 15 45 1 1 1 10 3 1 2 2 1 , 0.6 , 45 1 0.6 27 45 x y x x y V V y x x y + = = = = = + + = = = 冷 熱 設冷水管與熱水管獨立進水 各需要 分鐘才能注滿游泳池 冷水管比熱水管每分鐘注水量佔游泳池的 相當 立方公尺 游泳池容量 立方公尺 , , , - 8 20 30 - 18 x y xy x y xy x x x y xy y y x y + = + = = = + 設中華工程獨作需 月完工 榮工工程獨作 月完工 二間公司合作 月完工 （C）9.奇鼎溫水游泳池有冷水管及熱水管，若同時打開 9 分鐘可注滿游泳池。 現在小奇先打開冷水管，10 分鐘後再打開熱水管，經過 3 分鐘後就注滿 游泳池；已知冷水管比熱水管每分鐘多注入 0.6 立方公尺的水，請問此 游泳池的容量為多少立方公尺呢？（A）23（B）25（C）27（D）30 立 方公尺。 Sol) （D）10.雪山隧道工程，中華工程公司與榮工工程公司合作比中華工程公司獨作 可以提早 8 個月完工，比榮工工程公司獨作可以提早 18 個月完工，請 問中華工程公司獨作需要幾個月方能完工呢？（A）5（B）10（C）15 （D）20 個月。 Sol)
