Unit 6 二元一次聯立方程式

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Unit 6 二元一次聯立方程式 能力指標：◎（A-4-2）能解決從生活情境問題中列出的二元一次聯立方程式。 ◎（A-4-4）能利用一次式解決生活情境中的問題。 ◎（A-4-10）能認識、欣賞生活中或其他學科領域常用的公式。 ◎（A-4-12）觀察生活週遭或其他學科領域中的數學，認識數學的用途，與數學思維的特性。能力一：二元一次方程式的列式 一、二元一次方程式 當 a、b、c 為已知數，且 ab ，則0 ax+by+ =c 0，亦即當一個等式含有兩個未知數（變數），而且他們的次數皆為一次，稱為二元一次方程式。 二、二元一次方程式的解 （一）一個二元一次方程式ax+by+ =c 0有無限多組解。（二）若限制 x、y 的範圍，則有三種解的可能性： 1.無限多組解； 2.有限多組解； 3.無解。

eg：若有一個二元一次方程式 x+2y=8，當 x、y 有下列情形時，其解的情況：（1）若 y>3，則為無限多組解。（2）若 x、y 皆為正整數，則僅有三組解：（6,1）、（2,3）、（4,2）。（3）若 x、y 皆為正整數，且 y>3，則為無解。 三、二元一次方程式的圖形 （一）二元一次方程式又名為線性方程式，亦即其圖形在平面座標上為一直線。（二）二元一次方程式的每一組解，即為直線上的一個點。【列式與化簡】講解一： ○1 _{1年28班共有29人，其中男生有x人，女生有y人；某次月考的數學成績，男生} 平均70分，女生平均65分，請列出全班的平均分數的二元一次式。 ○2 已知華氏度數＝ 5 9 ×攝氏度數＋32，且華氏度數比攝氏度數多28度，則當攝氏x 度時，華氏是y度，請可列出二元一次聯立方程式。 ○3 請化簡下列各式： (1) 4(－x＋y)－2(2x－y)＝？ (2) 7(3x＋2y)－3(7x＋y)＝？

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9 32 5 28 y x y x  = +    = + 

( )

1 -4 4 - 4 2 -8 6 2 21 14 - 21 - 3 11 3 5 -10 15 - 3 6 2 - 15 x y x y x y x y x y y x y x y x y = + + = + = + = = + + = + 原式原式原式 3 3 27 5 2 30 x y x y + =   + =  3 1 20 2 x y y x y x − =    _{− −} ₌ 

( )

1 3 2 2 4 5 127 9 1 - -1 - - -2 4 9 45 5 18 180 5 4 5 2 6 2 14 11 62 2 - -12 - - -3 6 5 5 5 15 30 5 3 0.6 0.4 - 2.8 - 0.6 1.2 - 4.8 1.6 - 7.6 x y x y x y x y x y x y x y x y y + = + + = + + + = (3) 5(x－2y＋3)－3(x－3y)＝？。 Sol) ○1 70 65 29 x+ y = 總分 = 平均分數總人數 ○2 ○3 練習一： ○1 嘉昌和幼軍到合作社購買同樣的優酪乳和麵包，嘉昌各買 3 罐優酪乳及 3 個麵包，付款 27 元，幼軍買 5 罐優酪乳和 2 個麵包，付款 30 元。若優酪乳每罐 x 元，麵包每個 y 元，請列出二元一次聯立方程式。 ○2 容韓有錢若干元，先用去一部分，剩餘的錢為用去的 3 倍，後來又用去 20 元，所餘的錢為原有的 2 1 倍。假設容韓原有 x 元，先用去 y 元，請列出二元一次 聯立方程式。 ○3 請化簡下列各式： (1) 3 12(2x－3y－4)－ 2 45 (5x－y－18)＝？ (2) 3(4 9 x－ 5 18y－4)－0.4(x－3y＋1)＝？ (3) 0.2(3x＋2y－14)－0.6(x－2y＋8)＝？ Sol) ○1 ○2 ○3

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【十分鐘即時練習】 （D）1.甲原有 x 元，乙原有 y 元，若甲、乙兩人各自將原有錢數的 4 1 交換，則甲的錢數就為乙錢數的 2 倍。依題意可列出二元一次方程式為何呢？（A）3 -1 2(1 -3 ) 2x 2y= 2x 2 y 　（B） 3 1 1 3 2( ) 2x+2 y= 2x+2y 　（C）3 -1 2(1 -3 ) 4x 4y= 4x 4 y 　（D） 3 1 1 3 2( ) 4x+4 y= 4x+4y 　。（A）2.成凱和他的父母、一個弟弟、一個妹妹到「你家牛排餐廳」吃牛排；大 人每人 x 元，小孩每人 y 元，除了父母外，其他都是小孩，另外餐廳又加 收 10％的服務費；則這一餐成凱全家共花了多少錢呢？（A）(2x＋3y)×1.1） （B）(3x＋2y)×1.1）（C）(2x＋3y)×0.1）（D）(3x＋2y)×0.1）。 （B）3.已知 256MB 與 128MB 的隨身碟每個的價格比為 4：3，今花了 1200 元 買回四卷 256MB 及 128MB 的錄音帶，若 256MB 每個 x 元，而 128MB 每卷 y 元，則下列哪一組聯立方程式符合題意？ (A) 4 3 4 3 1200 x y x y    ＝＋＝ (B) 3 4 4 3 1200 x y x y    ＝＋＝ (C) 4 3 1200 y x x y     ＝＋＝ (D) 3 4 3 4 1200 y x x y     ＝＋＝。（C）4.黃大先老師命題某次學業競試的數學試題，他打算出選擇題與填充題共 27題，滿分為100分；請問黃大先老師應採取下列哪一種配分才是正確？ (A)選擇題每題3分，填充題每題5分 (B)選擇題每題2分，填充題每題3分(C) 選擇題每題3分，填充題每題4分(D)選擇題每題4分，填充題每題5分。（A）5.法國薄酒萊一瓶，喝掉 7 5 的酒後，連瓶共重 350 公克，設酒原有 x 公克， 瓶重 y 公克，則下列選項何者正確？(A)2 7x＋y＝350 (B) 2 7(x＋y)＝350 (C) 7 5 x＋y＝350 (D) 7 5 (x＋y)＝350。 能力二：代入消去法與加減消去法 一、二元一次聯立方程式 若有兩個並列在一起的二元一次方程式，稱為二元一次聯立方程式或二元一次聯立方程組。其標準式如下所示：

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(

)

2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 0 0 a x b y c a b a x b y c a b  ₊ ₌ ₊ _   + = +  

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( )

(

)

( ) ( )

3 - 6 1 2 1 3 - -2 4 6 -2 4 2 3 2 - 4 6, 5 10, 2 1 , 3 2 - 6, 0 x y x x y x x x x x y y  =  _ _ ₊ ₌  = +  + = = = = = L L 將第代入代入 二、帶入消去法求解 由任一方程式中簡化出 y=ax+b 或 x=ay+b 的形式，再代入另一式消去 y 或 x，即可解出 x 或 y。 三、加減消去法求解 將兩個方程式乘以適當的倍數之後，再相加或相減，消去某一未知數，即可解出另一未知數。 四、二元一次聯立方程式解的判別法

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2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 0 0 1 , 2 , 3 , a x b y c a b a x b y c a b a b a b a b c a b c a b c a b c  ₊ ₌ ₊ _   + = +     = =  =   若則有唯一解兩相異直線交於一點若則有無限多組解兩相異直線重合若則無解兩相異直線平行 五、特殊型的聯立方程式求解方法 若方程式以 A、B、C 表示，則有下列情形時之處理方式：（一）A=B=C 型： A B B C =   =  （二） 2 2 0 0 A + B = 或A +B = 型： 0 0 A B =   =  （三）係數較大型：

( )

( ) ( )

63 37 263 1 1 2 100 100 500 37 63 237 2 5, 5 - 1 2 x y x y x y x y x y  + =  _ ₊ _ ₊ ₌  ₊ ₌   + = =   L L 可先將再代入或求解【代入消去法】講解一：解下列二元一次聯立方程式： (1)    + − = = − 4 2 6 3 x y y x (2)    = − + = 32 2 3 2 5 y x y x Sol) ○1

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( )

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)

( )

5 2 1 1 2 3 5 2 - 2 32, 3 - 2 32 2 15 6 - 2 32, 13 26, 2 1 , 5 2 2 12 x y y y x y y y y y x  = +  _ _ ₊ ₌  ₌  + = = = = + = L L 將第代入代入第

( )

(

)

( )

0.3 0.6 1 2 1 0.3 - -0.2 0.4 0.6, 0.2 0.4 2 0.5 0.2, 0.4 2 -0.2 0.4 0.4 0.32 x y x x y x x x y  − =  _ _ ₊ ₌  = − +  = =  =  + = L L 將第代入代入

( )

1 7 1 1 1 1 2 2 1 7 2 1 1 2 7 2 0 2 7 1 14 0, 0, 1 2 7 x y x x x y x x x y  ₊ ₌  _ _ ₊  ₊ ₌  _ _  _{− + =}   + = =  = L L 將代入代入

( )

( ) ( )

( )

5 7 29 1 1 2 13 39, 8 7 10 2 3, 2 , 8 3 - 7 10, 2 x y x x y x y y  + =  _ ₊ _ ₌  − =  =  = = L L 代入

( )

( ) ( )

( )

4 3 1 1 1 2 8 8, 1 4 5 7 2 -1 1 4 3 1, 2 x y y y x y x x  + =  _ ₊ _ ₌ ₌  − + =  + = = L L 第代入第得 ○2 答：(1)x＝2，y＝0；(2)x＝12，y＝2。 練習一： (1) 0.3 0.6 0.2 0.4 x y y x − =   = − +  (2) 1 7 1 2 1 2 0 7 x y x y  ₊ ₌    _{− + =}  sol) ○1 ○2 答：(1)x＝0.4，y＝0.32；(2)x＝0，y＝1 7。【加減消去法】講解二： (1)    = − = + 10 7 8 29 7 5 y x y x (2)    = + − = + 7 5 4 1 3 4 y x y x Sol) ○1 ○2

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( )

(

)

( )

( ) ( )

( )

2 5 1 _-1 2 1 - 2 2 3 -5, - 3 1, , 3 2 3 2 -2 1 -1 1 2 - -1, , , 3 3 3 3 -1 1 9 3 9 ₃ ₃ 3 4 - 9, -9, 2 - 0 -2 1 - 0 4 3 3 1 3 3 9, 18, -9 18 9 3 x y x x x x x y y y x y a b ax by a a ax by a b b b a b  − = −  _ ₊ ₌ ₌ ₌  − = −  = = = =  ₊ ₌  + =  _ _ ₊ _ ₌ ₌  ₌    ₌  + = =  + = + = L L L L 代入代入將與代入下式代入得

(

)

( )

( ) ( )

( )

2 2 - 5 2 6 3 - 3 0 2 - 5 -2 1 6 -15 -6 3 2 - 5 2 0 1 3 6 3 3 2 6 3 3 2 6 3 - 3 0 1 1 1 1 2 - 3 18 9, 1 , 4 2 4 2 2 2 4 4 2 x y x y x y x y x y x y x y x y y y x x y + + + =  + =  =  =    _ _   _ + = + = + = _ __         = = = + = _{ }+ _{ }=     L L L 第 L 代入得

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

-3 - 7 1 -3 - 7 1 3 4 1 3(2 2) 2 3 1 3 3 3 2 3 9 9 3 2(4 2 3) 7 9 8 16, 2, 2 6 3, -3 3 - 2 3 -3 - 2 2 -13 x y x y x y x y x y x y x y x y y y x x x y  =  = − − − +  _ _ _  _ ₊  ₊ ₊ _{+ +}  ₊ ₌  ₊ ₌       = =  + = =  =  = L L L L ＝＝代入答：（1）x＝3，y＝2。（2）x＝ 1 2 − ，y＝1。 練習二：（1）若    − = − − = − 1 2 5 2 y x y x 與    = − = + 0 2 9 by ax by ax 有相同的解，則 a+b=？ （2）若(2x－5y＋2)2_＋₆_x+ y₃ −₃_{＝0，則 4x＋2y＝？} Sol) ○1 ○2 答：○1 _a+b=9，○2 _{4x＋2y＝2。} 【十分鐘即時練習】 （B）1.解聯立方程式    + + + + + − − − 9 7 ) 3 2 4 ( 2 ) 2 2 ( 3 1 4 3 y x y x y x y x ＝＝ ，則3x－2y之值為何？(A)－21 (B)－13 (C)0 (D)13。 Sol) （C）2.聯立方程式     = + = 3 13 2 1 3 1 2 . 0 3 . 0 y x y x 的解以數對表示為何？(A)(2,3) (B)(－2,－3 (C)(4,6) (D)(8,12)。

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( )

( ) ( )

( )

3 1 0.3 0.2 - 0 1 3 - 2 0 3 1 10 10 5 3 4 1 1 13 4 52 2 4 1 1 13 2 4 2 3 2 3 3 3 3 2 3 13 52 52 , 4, 1 , 6 3 3 13 x y x y x y x y x y x y x x y  = =  =  _ _  _ _  _ ₊   _  + = + =   ₊ ₌   _   = = = = L L L L L 代入得

( )

( ) ( ) ( )

( )

4 5 1 5 1 2 5 5 5 1, 4 4 5 2 5 -1 1 4 4 4 4 3 , 3 - 1 3 -1, 1 4 - 5, , 3 3 3 -1 4 5 - -3 3 3 a b ax by a b a b a b bx ay a b b b a a a b  + = +  _ _ ₊ _ ₊ _{=  + =}  ₋ _{ + =}     + = = = = = = = L L L ＝同乘以＝代入得

( )

( ) ( )

( )

2 2 3 3 0 3 -3 1 ( 3 3) ( 7 11) 0 , 7 -11 2 7 11 0 2 - 1 4 -8, -2, 1 , 3 x y x y x y x y x y x y y y x  + + =  + =   + + + + + = _ _{ + =} + + = _      = = = L L 代入得

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

5 4 9 1 5 4 9 1 2 2 , 3 2 1 2 6 4 2 3 1 3 11 11, 1, 2 -1 x y x y x y x y x x y  − =  − =  _ _{ }  ₊ ₌  ₊ ₌     +  = = = L L L L 代入得 Sol) （D）3.設 x、y 的聯立方程式 5 5 ax by bx ay +   −  ＝＝ 的解為 x＝4，y＝1，則｜a－b｜為何？ (A)-3 5 (B) 3 5 (C) -5 3 (D) 5 3。 Sol)

（B）4.若(x＋3y＋3)2_{＋(x＋7y＋11)}2_{＝0，得下列哪一個選項？(A)x＝－3，y＝2} (B)x＝3，y＝－2 (C)x＝2，y＝－3 (D)x＝－2，y＝－3。

Sol) （B）5.何者為二元一次聯立方程式    = + = − 1 2 3 9 4 5 y x y x 的解？(A)x＝1，y＝1 (B)x＝1 ，y＝－1(C)x＝－1，y＝1 (D)x＝－1，y＝－1。 Sol) 能力三：二元一次聯立方程式的應用 一、解應用問題的流程 看清楚題意，設 x、y 為未知數找出條件式，列出二元一次方程式解方程式驗算、作答

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二、各種應用問題的型態 （一）賺賠問題：售價=成本×折扣賺（賠）=售價－成本=利潤賺率=（利潤÷成本）×100% （二）速度問題：

s=

v×t

（距離=速度×時間）單位：距離（s）速度（v）時間（t）公里（km）公里/小時（km/hr）小時（hr）公尺（m）公尺/分（m/min）分鐘（min）公尺（m）公尺/秒（m/s）秒（s）平均速度=總路程÷總時間（ T T s v t  = ）（三）水流問題順流速度=船速+水速逆流速度=船速－水速（四）工作問題假設一工程甲獨做需 x 天完工，乙獨做需 y 天完工。 甲一天做1 x，乙一天做 1 y ； 1 1 x y    _ + _   甲乙合作一天完成總工程的； 1 1 1 x y  + 一工程甲乙合作需要天才能完工。（五）濃度問題

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100% .ps = 溶質 = + 濃度溶液溶質溶劑溶液（六）利率問題

(

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(

)

(

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1 . 1 ps  =  +  = +  =  + 期數單利本利和本金利率期數本利和本金利息複利本利和本金利率

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【算人數的應用問題】講解一：奇鼎國中 3 年 5 班男女學生共有 50 人，在上次段考中，全班的平均分數是 80 分；男生的平均分數是 75 分，女生的平均分數是 85 分，求男生有多少人？女生有多少人？ Sol)

( )

, , 50 50 25 , 25 75 80 4000 15 17 800 x y x y x y x y x y x y + = + =  _ _{ =} ₌  ₊ ₌  ₊ ₌   設男生有人女生有人人人答：男生 25 人；女生 25 人。練習一：鼎奇國中 2 年 18 班有男女生各若干人，從其中一個男生眼中所見，男生人數比女生人數的 2 倍多 6 人；從其中一個女生眼中所見，男生人數是女生人數的 3 倍；則 2 年 18 班全班共有多少人？ 設男生 x 人，女生 y 人，由題意可設聯立方程組為 1 2 6 3( 1) x y x y − = +   = −  x＝27，y＝10 答：男生 27 人，女生 10 人。【速度的應用問題】講解二：小鼎和小奇一起參加路跑，若總路程 10 公里，小奇的速度是小鼎的 2 倍，且小奇比小鼎早 30 分鐘回到終點，問小奇和小鼎的時速各為幾公里？ sol)

(

)

(

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(

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(

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, , , 2 20 , 10 10 10 - 0.5 s x km hr y km hr t v x y x km hr y km hr y x = =   _{ =} ₌  ₌  設小奇時速小鼎時速根據速度公式答：小奇時速 20 公里；小鼎時速 10 公里。練習二：已知基隆河長度 20 公里，救生艇順流而下需 2 小時，逆流而上需 5 小時，問水速和船速為幾公里？ Sol)

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(

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(

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(

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, , , 2 20 2 2 20 7 , 3 - 5 20 -5 5 20 km km x y S V T hr hr x y x y _km _km x y hr hr y x x y =   +  =  + =  _ _  = =  = + =    設船速為水速為根據速度公式 答：船速每小時 7 公里；水速每小時 3 公里。 【分配的應用問題】講解三：小奇班上有 40 位同學，他想在生日時請客，因此到「你家便利商店」花了 175 元買果凍和巧克力共 40 個。若果凍每 2 個 15 元，巧克力每 3 個 10 元，則他共買了多少個果凍。 Sol)設他買 x 個果凍、y 個巧克力，則   x＋y＝40 15 2 x＋ 10 3 y＝175    x＋y＝40 ………○１ 9x＋4y＝210……○２， ○ １4：4x＋4y＝160……○３，○２－○３：5x＝50 ∴x＝10 答：買了10個果凍。練習三：史努比買了一大瓶保特瓶裝的渴口可樂請查理布朗喝，已知未開前的重量為 1850 公克，打開之後喝掉 3 1 時，再測量只剩 1250 公克，請問渴口可樂不含瓶子共多少公克呢？ Sol)設保特瓶重 x 公克，可樂重 y 公克，則依題意列聯立方程式     1250 y 3 2 x 1850 y x ＝＋＝＋，利用加減消去法解得 x＝50，y＝1800 答：可樂重 1800 公克 【十分鐘即時練習】 （C）1.解聯立方程式    78 y 101 x 23 78 y 23 x 101 ＝－＋＝＋後，求 2x－3y＝？ (Ａ) 3 (Ｂ) 4 (Ｃ) 5 (Ｄ) 6。

Sol)兩式相加得 124x＋124y＝0，兩式相減得 78x－78y＝156，    2 y x 0 y x ＝－＝＋解得 x ＝1，y＝－1，則 3x－2y＝3＋2＝5。（C）2.│3x＋y－7│＋│x－y－1│＋│2x＋2y＋k│＝0，則 k＝？ (Ａ)－2 (Ｂ)－4 (Ｃ)－6 (Ｄ)－8。

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Sol)先解聯立方程式    0 1 y x 0 7 y x 3 ＝－－＝－＋，兩式相加得 4x＝8x＝2，y＝1，將 x＝2，y ＝1 代入 2x＋y＋k＝0，則 k＝－6 （D）3.試解聯立方程式    275 y 147 x 64 358 y 64 x 147 ＝＋＝＋，則 x+y＝？ (Ａ)0 (Ｂ)1 (Ｃ)2 (Ｄ)3。

Sol) 147x＋64y＝358……○64x＋147y＝275……○１２

○１＋○２211x＋211y＝633 ○ １－○２83x－83y＝83  x＋y＝3……○３ x－y＝1……○４ ○ ３＋○４解得 x＝2，y＝1，則 x+y＝2+1＝3 （A）4.有一個二位數，十位數字的 2 倍與個位數字的和是 15，它的個位數字與十位數字對調後所得的新數比原數大 27，則原二位數為多少？ (Ａ) 47 (Ｂ) 57 (Ｃ) 67 (Ｄ) 77。 Sol) 設十位數字是 x，個位數字是 y，則   2x＋y＝15 10y＋x＝（10x＋y）＋27 2x＋y＝15 x－y＝－3 解得 x＝4，y＝7。（C）5.設 A、B、C、D 是數線上由左而右相異四點，它們的坐標依次為 x、－3、 y、5，如果AB比CD的 2 倍少 1，AC比BD多 2，則下列何者正確？ (Ａ)AB＝11 (Ｂ) x＋y＝6 (Ｃ)CD＝3 (Ｄ)AC＝6。

Sol)AB＝－3－x，CD＝5－y，AC＝y－x，BD＝8   －3－x＝2（5－y）－1 y－x＝8＋2    x－2y＝－12

x－y＝－10 ，解得 x＝－8，y＝2 AB＝5，x＋y＝－6，CD＝3，AC ＝10 【基本觀念題】 （D）1.奇鼎國中實施紙類資源回收。去年 12 月份一、二年級共回收 38 公斤、今年元月份二年級比一年級多回收 6 公斤，只知與 12 月份比較，一年級增加 50％，二年級減少 25％，請問下列何者正確？(Ａ)12 月份二年級比一年級多回收 6 公斤(Ｂ)元月份二年級回收 28 公斤(Ｃ)元月份一年級回收 18 公斤(Ｄ)12 月份一年級回收 10 公斤。 Sol)設 12 月分一年級回收 x 公斤，二年級回收 y 公斤，則   x＋y＝38 1.5x－0.75y＝－6    x＋y＝38

2x－y＝－8，解得 x＝10，y＝28，元月份：1.5x＝15（公斤），0.75y＝21 （公斤）（A）2.請解下列二元一次聯立方程式

( )

1 - 7 -46 1 7 1 7 - 146 2 7 x y x y  ₌    ₌  L L ，x=？y=？（A）x=21、

(12)

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 - 7 -46 1 50 50 7 1 2 - 100, - 14 3 7 7 1 7 - 146 2 7 48 48 2 - 1 192, 28 4 , 3 4 2 42, 21, 7 7 7 x y x y x y x y x y x y x x y  ₌  _ ₊ _ ₌ ₌   ₌   + = + = +  = = = L L L L y=7（B）x=7、y=21（C）x=-21、y=7（D）x=21、y=-7。 sol) （B）3.解聯立方程式    + + + + + − − − 9 7 ) 3 2 4 ( 2 ) 2 2 ( 3 1 4 3 y x y x y x y x ＝＝ ，則3x－2y之值為何？(A)－21 (B)－13 (C)0 (D)13。 Sol)

( )

(

)

( ) ( )

-3 - 7 1 3 4 1＝3(2 2) 3 - 4 -1 - 6 3 - 6 0 2(4 2 3)＝7 9 8 4 6 - 7 - - 9 0 3 3 2 2 代入 1 -3 3 - 3 - 7, 2, -3 3 - 2 3 -3 -2 2 -13 x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y y y y x x y   = − − − + + =  _ _  ₊ ₊ _{+ +}  ₊ ₊ ₌  + =      = = =  = = L L （B）4.若聯立方程    = − = + 11 3 4 5 3 y x y x 的解為x＝a，y＝b；則a＋2b＝？(A)－4 (B4 (C)3 (D)5。 Sol)

( )

( ) ( ) ( )

( )

3 6 11 1 3 6 11 1 2 2 1 3 8 - 6 22 3 4 3 11 2 1 1 11 33, 3, 3 3 3 4 3 3 x y x y x y x y x x y a b  + =  + =  _ _{ } _ ₊   = − = _       = = =  + = + _{ }=   L L L L （B）5.解聯立方程式    = + = − ) 2 ( 4 2 ) 1 ( 1 3   y x y x 的解法中下列何者正確？ (A)由(1)式得y＝－3x＋1，代入(2)式，可得x＝－ 5 2 (B)由(1)式×2＋(2)式，可得x＝6 7 (C)由(1)式－(2)式×3，可得y＝11 5 (D)由(2)式得x＝4－2y，代入(1)式，可得y＝ 5 11 。 Sol)

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

3 - 1 1 6 - 2 2 3 ₆ 1 2 3 2 7 2 4 2 2 4 2 x y x y x x y x y  =  =  _ _{ } _ ₊ _{ =}   + = + =     L L L L （A）6.聯立方程式     = + = 3 13 2 1 3 1 2 . 0 3 . 0 y x y x 的解以數對表示為何？(A)(4,3) (B)(－2,－3 (C)(4,6) (D)(8,12)。

(13)

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

設50元硬幣有枚,10元硬幣有枚, 44 1 10 10 440 3 1 10 2 - 3 50 10 1000 2 50 10 1000 2 40 560, 14 x y x y x y x y x y x x  + =  + =  _ _ _ _   + = + =      = = L L L L L L L

(

)

( )

_{( )}

設有宿舍間, 學生人, - 6 2 1 6 2 16, 98 7 - 2 - 7 -14 2 x x x y y x y x y x x y  + =  =  _ _{ =} ₌  ₌  =     L L

( )

( ) ( )

2 3 6 1 1 5 10 15 30 3 5 8 6 2 2 2 10 16 12 4 4 - 3 18, 30 x y x y x y x y y x  = +    = +  _ _  ₌ ₊  _  ₌ ₊         = = L L L L Sol)

( )

( ) ( )

1 2 0.3 0.2 1 - 0 3 10 3 9 1 2 - 3 1 1 13 ₉ ₁ ₁ ₁₃ 2 2 3 2 6 3 2 6 3, 4 x y x y x y _x _y y x   = _ =  _ _ _ _   + =   ₊ ₌  _  = = L L L L （B）7.五十元、十元硬幣共44枚，恰好可換一張1000元紙鈔，則五十元硬幣共有幾枚？(A)8枚 (B)14枚 (C)16枚 (D)20枚。 Sol) （D）8.學生分配宿舍，如果6人住一間，則有2人無宿舍可住；如果7人住一間，則剩餘宿舍2間，問學生共有幾個人？(A)38人 (B)58人 (C)78人 (D)98人。 Sol) （D）9.九二一大地震時，救難隊搬了5箱泡麵，準備分給y位民眾，已知每箱泡 麵有x個，第一次分發2箱，平均每人分得3個泡麵，最後剩6個，第二次 再拿3箱來發，結果每人共分得8個泡麵，最後還是剩6個，則一箱泡麵有多少個？(A)20個 (B)28個 (C)46個 (D)30個。 Sol) （C）10.一中街夜市某攤位，賣一塊香雞排可賺15元，賣一份炸薯條可賺10元，已知賣出的炸薯條份數是香雞排塊數的兩倍，而且一個晚上共賺3750元，下列哪一個式子與題意不符合？ (A)假設香雞排賣了x塊，則15x＋20x＝3750 (B)假設炸薯條賣了x份，則 2 15 x＋10x＝3750 (C)假設香雞排賣了x塊，炸薯條賣了y份，則 2 15 10 3750 x y x y =   ₊ ₌  (D)假設炸薯條賣了x份，香雞排賣了y塊，則 2 15 10 3750 x y x y =   ₊ ₌ 

(14)

【溫故歷屆基測試題】

（B）1.若二元一次聯立方程式  

3x－2y＝9

4x＋3y＝29 的解為 x＝a，y＝b，則 a＋b＝？ (Ａ) 7 (Ｂ) 8 (Ｃ) 9 (Ｄ) 10。【95.基測二】 Sol)

( )

( ) ( ) ( )

( )

12x-8y=36 1 3x-2y=9 2 - 1 17y=51,y=3, 12x+9y=87 2 4x+3y=29 1 12x-24=36, 12x=60, x=5, a=x=5, b=y=3    _ _       L L 得代入得 ∴ （D）2.如表為小美採買火鍋料的收據，但因汙損導致幾個重要數據無法辨識。根據如表判斷粉絲與茼蒿的數量差異為何？ (Ａ)粉絲比茼蒿多 2 包 (Ｂ)茼蒿比粉絲多 2 包(Ｃ)粉絲比茼蒿多 4 包(Ｄ)茼蒿比粉絲多 4 包。【95.基測二】 Sol)設粉絲 x 包，茼蒿 y 包，

(

)

( )

( ) ( ) ( )

( )

x+y=16- 2+3+3+2 =6 1 178+39x+264+75+30y+34=740, 39x+30y=189, 13x+10y=63 2 , 2 - 1 10 3x=x, x=1 1 , y=6-1=5 L L 得代入得（B）3.如圖，將一白繩的 3 8 與一紅繩的 1 3 重疊並以膠帶黏合，形成一條長為 238 公分的繩子。求未黏合前，兩繩長度相差多少公分？ (Ａ) 14 (Ｂ) 17 (Ｃ) 28 (Ｄ) 34。【94.基測一】 Sol)設白繩、紅繩長依次為 x、y，

(15)

3 1 9 2 2 9 7 x= y y= x, x+ y=238, x+ x=238, x=238, 8 3 8 3 3 8 4 9 x=136, y= 136=153 8    ∴ ∴ （D）4.哥哥與弟弟各有數張紀念卡。已知弟弟給哥哥 10 張後，哥哥的張數就是弟弟的 2 倍；若哥哥給弟弟 10 張，兩人的張數就一樣多。設哥哥的張數為 x 張，弟弟的張數為 y 張，依題意下列列式何者正確？【94.基測二】 (Ａ)   2（y－10）＝x y＝x－10 (Ｂ) y－10＝2x y＝x－10 (Ｃ) y－10＝2x x－10＝y＋10 (Ｄ)   2（y－10）＝x＋10 x－10＝y＋10 。

Sol) 弟弟給哥哥 10 張後，哥哥有 x+10 張，弟弟有 y-10 張，

(

x+10 =2 y-10

) (

)

，哥哥給弟弟 10 張後，哥哥有 x-10 張，弟弟有 y+10 張，x-10=y+10 （D）5.若 3x－2y 6 ＋ 2x－4y 3 － x－2y 2 ＝105，則 x－y＝？ (Ａ) 0 (Ｂ) 1 (Ｃ) 105 (Ｄ) 1.5 × 105_。_{【94.基測二】}

Sol)各項同乘以 6，得

(

3x-2y +2 2x-4y -3 x-2y =6 10 , 4x-4y=6 10

) (

)

 5  5 （C）6.若 x：y＝2：1，且 2x＋y＝20，則（x－1）：（y＋1）之比值為何？ (Ａ)

2 1 (Ｂ) 2 (Ｃ) 5 7 (Ｄ) 7 5 。【93.基測一】 Sol)

( )

( ) ( ) ( ) ( )

x y=2 1, x=2y 1 , 2x+y=20, 4y+y=20, y=4 1 , x=8, x-1 y+1 = 8-1 4+1  L ︰︰代入得代回得 ∴ ︰︰（C）7.已知花生糖 1 顆 2 元，梅子糖 2 顆 1 元。若小詩買花生糖及梅子糖共 60 顆，花了 60 元，則此兩種糖果的數量關係為何？ (Ａ)花生糖和梅子糖一樣多(Ｂ)花生糖比梅子糖多 30 顆(Ｃ)花生糖比梅子糖少 20 顆(Ｄ) 花生糖比梅子糖少 30 顆。【93.基測二】 Sol)設花生糖x顆，梅子糖y顆，則

( )

( ) ( )

( )

x+y=60 1 , 2 ,4x+y=120 3 , 3 - 1 , x=20 1 , 1 2x+ y=60 2 2 20+y=60, y=40     L L L 由式得由代入（D）8.如圖是某電信公司的通話費計算方式：300 秒以內只繳基本費，超過 300 秒之後的費用，與通話時間成線型函數關係。則基本費是多少元？ (Ａ) 26 (Ｂ) 28 (Ｃ) 30 (Ｄ) 32。【93.基測二】

(16)

(

)

(

)

+ + = + + + = + = = 30 60 10 - 60 30 60 8 - , 30 600 - 60 60 30 480 - 60 , 30 - 30 180, - 6 x x y y x x y y x y x y Sol) 36=a 500+b 14 1 y=ax+b, a= = , b=26, 50=a 1200+b 700 50 1 y= x+26, x=300 , y=32 50     _   設函數關係式 ∴ 再以代入上式（C）9.如圖的方格中，填入適當的數字，使得每行、每列以及對角線上的數字和是相同的，則★的值為何？ (Ａ) 9 (Ｂ) 10 (Ｃ) 11 (Ｄ) 13。【93. 基測二】 16 14 ★ 15 12

Sol)設★的值為 x，★右邊空格的值為 y，14+y+12=x+y+15。（D）10.求聯立方程式    5 2 3 1 2 ＝＋＝－＋ y x y x 的解為何？ (Ａ) x＝2，y＝－ 2 3 (Ｂ) x＝3，

y＝1 (Ｃ) x＝1，y＝－1 (Ｄ) x＝3，y＝－2。【92.基測二】

Sol)

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

x+2y=-1 1 , 2 - 1 x, x 1 2 , y=-2 3x+2y=5 2    L L 可求得再將代入或得（D）11.創創家有 10 人、守守家有 8 人，兩家人一同看表演，該場表演的票價如圖所示。若創創家的總票價比守守家少 60 元，則創創家的半票比守守家的半票多幾張？ (Ａ) 0 (Ｂ) 2 (Ｃ) 4 (Ｄ) 6。【93.基測一】 Sol)設創創家半票x張，全票

(

10 -x

)

張，守守家半票y張，全票

(

8 -y

)

張，

(17)

(

)

( )

, , , 1 - 5 60 3 75 1 15 5 x y x y x y x x y y y x y +  ₌  _ ₌  _ _{ =}  + =   =  +  設到考人數人缺考人數人報名人數人人

(

)

1 2 1 1 2 1 2 2 , , 1 6 12 1 10 1 1 1- 3 21 8 6 1 1 10 30 30 V V V V V V V V  =   +  =     _ _ _  _ =  +  = _ _  _{ =}  設佩恩與安均二人的工作效率為小時 , 9 3 3 9 12 3 24 2 12 3 x y y x x x y y y x  _{= +} _ ₌  _ _{ =}  + + = + + =   = +  設魚頭公斤魚身公斤 【模擬學力基測試題】 （A）1.奇鼎大學招收數學碩士班，錄取人數是到考人數的1 3，而比缺考人數多 5 人，已知有1 5人數缺考，請問報名的人數是多少人呢？（A）71～80（B） 61～70（C）51～60（D）41～50（人）。 Sol) （C）2.施老師交待一件打字工作，佩恩先做 6 小時，安均接著做 12 小時可以完成，佩恩先做 8 小時，安均接著做 6 小時可以完成。如果佩恩做 3 小時後由安均接著做，需要多少小時呢？（A）19（B）20（C）21（D）22（小時）。 Sol) （D）3.有一條鮪魚，如果魚尾重 3 公斤，魚頭重量等於魚尾加上魚身一半的重量，魚身重量等於魚尾加上魚頭的重量，請問此條鮪魚有多少公斤呢？（A）21（B）22（C）23（D）24（公斤）。 Sol) （C）4.阿如到麥當勞買餐點，她發現若點 4 杯可樂及 3 份薯條則不夠 27 元；若點 3 杯可樂及 2 份薯條，則剩下 16 元，已知一份薯條比一杯可樂多 7 元，則一杯可樂多少元。（A）16（B）17（C）18（D）19（元）。 Sol) 設一杯可樂 x 元，一份薯條 y 元，則   y＝x＋7 4x＋3y－27＝3x＋2y＋16 （B）5.如圖，相鄰三數的和等於箭頭下方所屬的數字，則 a＋b-c＋d-e＋f＝？（A） 8（B）16（C）32（D）52。

(18)

Sol)依題意知 c＝a＋4，d＝a＋8，e＝8＋b，f＝14＋b，且 c＋d＋e＝28＝a＋4＋a＋8＋8＋b＝2a＋b＋202a＋b＝8……○1 d＋e＋f＝40＝a＋8＋8＋b＋14＋b＝a＋2b＋30a＋2b＝10……○2 聯立○1 、○2 解得 a＝2，b＝4，則 c＝6，d＝10，e＝12，f＝18，故 a＋b-c＋d-e＋f＝16 （B）6. 解







2x－y3 － y－3x 5 ＝1 7x＋y 5 －y＝－1 ，則 2 x + = ？（A）15（B）25（C）35（D）45。y Sol) 化簡得   19x－8y＝15……○１ 7x－4y＝－5……○２，○２2：14x－8y＝－10……○３， ○ １－○３：5x＝25 ∴x＝5 代入○２：35－4y＝－5，4y＝40 ∴y＝10 （D）7.小鼎欲解一聯立方程式   y－2x＝－7……○１ 2x－3y＝13……○２結果他看錯○１式中的－7，解得 y＝－10，請問小鼎是將－7 誤看成多少呢？（A）4（B）5（C）6（ D）7。 sol)將 y＝－10 代入○２式中得 x＝－ 2 17_{，將 y＝－10，x＝－} 2 17_代入○_{１－10＋17} ＝7，故誤看成 7 （D）8.台北世貿電腦展時，Show Gril 賣出兩組電腦，每組皆賣 30,000 元，以成本計算，其中一組賺了 20％，另一組虧了 20％，則賣出這兩組電腦，電腦公司賺或賠多少元？ (Ａ)賺 2000 元(Ｂ)賠 2000 元(Ｃ)賺 2500 元(Ｄ)賠 2500 元。 Sol) 設賺 20％的電腦成本為 x 元，虧 20％的電腦成本為 y 元， x．（1＋20％）＝30,000x＝25000 y．（1－20％）＝30,000y＝37500 （30,000－25,000）＋（30,000－37,500）＝－2500 （A）9.飆速網咖的收費標準為：基本費用每次 30 元（可使用 x 分鐘），超過 x 分鐘後，超過的部分每分鐘收費 y 元，小奇第一次到此店上網 40 分鐘花費 50 元，第二次到同一家店上網 1 小時花費 70 元，則 x＝？ (Ａ) 20 (Ｂ) 40 (Ｃ) 30 (Ｄ) 50。 Sol)   30＋（40－x）y＝50 30＋（60－x）y＝70_ （40－x）y＝20……○１（60－x）y＝40……○２， ○１ ○２： 40－x 60－x＝ 1 2，80－2x＝60－x，x＝20。

(19)

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

令 2 , - , 2 - 3 4 1 _-2 1 2 5 5, 1代入 2 得 , 3 3 3 1 2 2 1 3 5 5 -1 3 - 4 3 , , -2 ₃ ₉ ₉ - 4 3 x y A x y B A B A A B A B x y y y x x y + = =  =  _ ₊ _ ₌ ₌ ₌  + =   + =  _ _ ₌ ₌ ₌  =   L L L L 1 ,5 , 5 152, ( ) 152 5 30 2, 30 1 31 x y x y y  + =  = L + = 設元硬幣有個元硬幣有個求非負整數解包括正整數及零可知有種解

(

)

5 20 3 - 5 20 3 20 5 3 5 5 3 1,5, -1, -5 4 , 3 y xy x y x y y x y y y + + =  + = +  = +  +  + = + 當等組時具有整數解（C）10.基測數學考卷共出了 25 題選擇題，對 1 題得 4 分，錯 1 題倒扣 1 分，不作答則不予計分，已知小鼎共作答了 20 題，最後考了 60 分，則小鼎這張考卷共答對幾題？ (Ａ) 12題 (Ｂ) 14題 (Ｃ) 16題 (Ｄ) 18題。 Sol) 設答對 x 題，答錯 y 題，則根據題意列式    60 y x 4 20 y x ＝－＝＋解得    4 y 16 x ＝＝。【進階練習題】（B）1.解下列二元一次聯立方程式

(

) (

)

(

) (

)

2 2 - 3 - 4 3 2 3 - 1 x y x y x y x y  + =   + + =  ，x =? y =?（A） 1 5 , 9 9 x = y = （B） -1, 5 9 9 x = y = （C） 5, 1 9 9 x = y = （D） 5, -1 9 9 x = y = 。 Sol) （C）2.小奇的小豬撲滿中有 1 元及 5 元的硬幣若干個，今天他想買哆啦 A 夢的公仔需要 152 元，請問他有幾種湊法可湊成 152 元呢？（A）29（B） 30（C）31（D）32 種。 Sol) （C）3.二元一次方程式xy+3 - 5x y=20共有幾個整數解呢？（A）2（B）3（C） 4（D）5。 Sol) （B）4.有一群大陸客到新竹科學園區參觀太陽能機車，今有太陽能機車若干台且試車場有 40 公尺長，但由於太陽能機車少於人數，所以採取交換騎乘，則每人可騎 30 公尺；若人數增加 4 名，則機車減少 3 輛，則每人可騎 20 公尺，請問原來有太陽能機車多少輛呢？（A）10（B）15（C）20（D） 25 輛。

(20)

(

)

(

)

( )

, 30 40 30 40 1 20 4 40 - 3 20 80 40 -120 2 1 2 20 80 30 -120 10 200, 30 20 20, 15 40 x y x y x y x y x y x x x x y =  =  _ _ _ + = _ + =     + =  =  = = = L L L L L 設原有大陸客人太陽能機車輛代入

(

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) ( ) ( ) ( )

(

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)

, , 10 1 1 + 2 , 10 2 11 11, 11-x y r x y k x y y x r x y x y k r x y k r r k  + = +  _  + = +    + = +  +  + = = L L 設此整數之十位數字為個位數字為設所求新數為其數字和的倍

( )

( ) ( )

( )

50 ,100 , 45 1 1 100 - 2 50 100 3000 2 50 4500 - 3000 30 x y x y x y x x  + =  _ _  ₊ ₌   =  = L L L L L 設元有張元有張

( )

( ) ( ) ( )

, , 7 4 1 2 - 1 3 - 8 0, 8, 3 22 4 2 7 8 4 60, 68 x y x y y y x y x x y  = +  _    = = = +  =  + = + = L L L 設甲為乙為 50 15 3, 5, 3 5 11 2 6 3 6 5 23 y ax b a b a b y x a b x y = + = +  _  = = = + = +  =  =  + = 令此二元一次式為︰ Sol) （D）5.設一整數為兩位數，並且此整數等於其數字和的 k 倍，若將此整數的十位數字與個位數字交換產生一個新數，則此新數為其數字和的幾倍呢？（A）k-1（B）k+1（C）10-k（D）11-k。 Sol) （A）6.小鼎和媽媽到銀行去提領 3000 元的美金共有 45 張鈔票，其中含有 50 元及 100 元面額的鈔票，請問 50 元的鈔票有幾張呢？（A）30（B）25（C） 20（D）15 張。 Sol) （D）7.有甲、乙兩數，甲數除以乙數得商為 7，餘數為 4，甲數的 3 倍除以乙數的 2 倍得商為 11，餘數為 4，是求甲、乙兩數之和？ Sol) （B）8.如右圖，一圓中有六片扇形皆各有一數字，但其中有一數字不見了，以之任意兩對頂扇形之數字間存在有一個二元一次式（線性關係），請問此一消失的數字為何呢？（A）21（B）23（C）25（D）27。 Sol)

(21)

, , 1 1 1 ₁₅ 9 ₁ ₁ ₁ - - , 45 45 15 45 1 1 1 10 3 1 2 2 1 , 0.6 , 45 1 0.6 27 45 x y x x y V V y x x y  _{+ =} _ =  _  _ _  = =   =  _ ₊_ ₊ __{ =}   _ _    =  = 冷熱設冷水管與熱水管獨立進水各需要分鐘才能注滿游泳池冷水管比熱水管每分鐘注水量佔游泳池的相當立方公尺游泳池容量立方公尺 , , , - 8 20 30 - 18 x y xy x y xy x x x y xy y y x y +  ₌  ₊ _ ₌  _ _{ =}   ₌  +  設中華工程獨作需月完工榮工工程獨作月完工二間公司合作月完工（C）9.奇鼎溫水游泳池有冷水管及熱水管，若同時打開 9 分鐘可注滿游泳池。現在小奇先打開冷水管，10 分鐘後再打開熱水管，經過 3 分鐘後就注滿游泳池；已知冷水管比熱水管每分鐘多注入 0.6 立方公尺的水，請問此游泳池的容量為多少立方公尺呢？（A）23（B）25（C）27（D）30 立方公尺。 Sol) （D）10.雪山隧道工程，中華工程公司與榮工工程公司合作比中華工程公司獨作可以提早 8 個月完工，比榮工工程公司獨作可以提早 18 個月完工，請問中華工程公司獨作需要幾個月方能完工呢？（A）5（B）10（C）15 （D）20 個月。 Sol)