數學學習模組的開發與設計一 r
e
百元商店」
曾明德劉麗惠蔡琇貞
臺北市南門國中
一、目IJ ~ (一)背景 隨著九年一貫課程的實施，開放民間出 版社編教科書，最大的好處在於:針對一個 概念，我們能比以前更方便收集到不同的呈 現方式，使得實際的教學有更多的選擇 O 但 是因為課本的篇幅有限，所以在編寫上不叮 能、長篇大論，暢所欲言"另一方面，受升 學考試的影響，要考量測驗的概念是否分佈 均勻，所以實際的教學也不可能在同-概念 停留太久。種種現實的因素，常造成學習上 的消化時間根本不夠，所以數學的學習對大 部分的人而言，經常是走馬看花，能怡然白 得的機會可說是少之又少。(二)設計理念
「如果數學課本能寫得像〈哈利波特〉 那樣的扣人心弦，我想學生會願意花更多時 間在數學上。 J ~尋找數學魔法書 「如果老師能將實際上課的內容記錄← F 來，那麼老師想要精進教學就會更方便。 J~ 課堂教學的精緻化二、模組說明
(一)對象與主要用途:
六升七年級的銜接教材或七年級的補救 教學 O (二)學前測驗 以開放性的問題來呈現，答案並不唯 一，只要合理均可。叮以檢測學生整數的基 本運算能力;另一方面循序漸進的引導學生 了解題意，以便能順利地進行下面 <e 百元 商店>的活動。 (三)學習活動 1.數學材料與數學活動的安排 (1)因數與倍數的概念【 e 百元商店】→以乘 法的方式列出來→(練習題)→質數與合數 (練習題)。 (2)公因數的概念【第一關~阿公冒險故事集 裡的秘密】→找公因數的方法(逐-列出) 【第二關~因數平台】 (3) 最大公因數的概念【第三關~一飛沖天】 →互質(練習題) (4)公倍數的概念【第凹關~石穴之謎】→找 公倍數的方法(逐一列出)【第五關~衣錦還 鄉】 (5) 最小公倍數的概念【第六關~解救阿拉】 →最後挑戰(練習題) 2.數學活動的說明與注意事項 (1) 【 c 百元商店】:延續【學前測驗】的活動， 仍舊是以開放性的問題來呈現，我們將 'lOa 的因數」這個數學概念隱含在購物 規則中，透過購物的生活經驗來啟動學生 的思考，然後表列整理，以理解因數與倍科學教育月刊 第 258 期 中華民國九十二年五月 數的概念;再透過題目的練習，加以鞏固。 (2) 【第關~阿公冒險故事集裡的秘密】:我 們將， 18 與 12 的公因數」隱含在藏寶圓 的提示中，使用方格紙引導學生將 18xl2 的長方形全部切割成-樣大的正方形，幫 助學生建立公因數的概念，並將， 18 與 12 的公因數個數」隱含在密碼的個數。接 著【第三關~因數平台】是先逐→國G:'l 36 、 峭的因數，再觀察記號重複的數以找出公 因數。 (3) 【第三關~一飛沖天】.延續【第二關~[t] 數平台】、活動，透過、魔法掃把"有趣的 引導，幫助學生發現 36 、峭的公因數與 最大公因數之間的關係。有了最大公因數 可以、控制 P 其他公因數的前置經驗，學 生了解到原來最大公因數有這麼重要的 地位，那麼將來在使用「短除法」、「質因 數分解法」求最大公因數或者是在解-些 文字應用題時，會比較有感覺。 (4) 【第四關~石穴之謎】:我們將 '6 與 4 的 公倍數」隱含在搬運黃金的規則中，使用 方格紙引導學生符合規格的正方形黃 金，幫助學生建立公倍數的概念。接著【第 五關~衣錦還鄉】是先逐」寫出 4 、 6 的倍 數，再觀察相同的車箱號碼以找自公倍 數。 (5) 【第六關~解救阿拉】:延續【第五關~衣 錦還鄉】的結論，為了、想要救人彤，又 要、損失最少，的抉擇，使學生有找出 6 、 4 最小的公倍數之需求。
三、模組特色
(--)以故事來營造學習的興趣並維持學 習的動機。 (~-)將數學的概念隱藏在有趣的規則(例 如，購物、藏寶圖_.. ..
.)中，學生透 過運作這些規則，再配合適當的引 導(例如，表格整理、方格紙.....) ,
進而理解數學概念。 (三)精心設計的引導問題，使學生的學 習能更深入。(例如，如果你是老 間，在符合巴百元商品店的購物須 知的條件 f' 你認為還可以推出幾 元的商品?而你又想賣什麼呢?) 四、模組內容 e 百元商店 壹、 j吏用方 j去 1.本書屬於學生自學教材。 2. 可先完成學前測驗，以利活動的進行。 貳、學前測驗的能力拈標 (90.01 暫行綱要)
N♂ -15 能用不同的想法，檢驗答案的 合理性。 N-2-16 能知道先乘除後加滅的約定， 並能用來列式及簡化計算式子。
參、學前測驗:如下
肆、學習活動的目標 (90.01 暫行綱要)
能符合九年→貫能力指標. 62 一數學學習棋組的開發與設計-
r
e 百元商店」 阿公的冒險故事集 鬧鐘 25 元/集(共 4 集) 100 元 N-3-18 能察覺整數的因數、倍數、公 因數、公倍數。 N-3-20 能察覺整數的最大公因數、最 小公倍數、質數和合數， (並能 將一個數做質因數分解。)也￡、白少
，都;
一、學前測驗: 由於你的表現很不錯，媽媽給了你 100 元零用錢讓你去買你想要的禮物，你很高興 的拿著 100 元零用錢跑去 e 百元商店晃晃， 下面就是這問店所陳列的商品: 信封 故事書 2 元 50 元 玩真坦克車 模型飛機 鉛筆 燈泡 500 元 200 元 10 元 45 元 (1)你會買什麼禮物呢? 例如: 。我會買一個拼圖、一個面具，共2旦.
-拼圖 玩具坦克車 十 35=55元。剩下 7I:。 20 元 75 元 @我會買 ，土(t一元。剩下
7巳。 @我會買 ，土(主一元。剩下
7I:。 面真 小火車 @我會買 ，土 /t、-35 元 的元元。剩下
了E 。 @我會買 ，主(t一元。剩下
7已。
@我會買'共一
滑板車 禮物元。剩下
7巴。 199 元40 元
-63 一科學教育月刊
第 258 期
中華民國九十二年五月 (2) 如果想要將 100 元全部花光，可以買哪 些禮物呢? 例如: 。我會買三個拼圖、四枝鉛筆，共控 20+ 的 10= 100元。 @我會買 @我會買 @我會買 )G。 )G。 ，共 ，土t/、 ，士t /、 @我會買 7巳。 @我會買'共
，主t -'、 二、學習活動:)G
O )G。 (1)認識因數一一【 e 百元商品店】 例如:歡迎光臨 e 百元商品店，這是一個電子化商店。
購物須知如下:(1)
每次只能買一百元(2)
不找零、也不蜍帳(3)
規定只能買同一種的商品 小朋友準備好採購了嗎?以下是商品(請參照前一頁的圖) 的種類及單慣，列出你認為可以將100 元全部花完的 產品有哪些?及可以買幾個? )G。 (1)可以買 10 元的鉛筆=
100 元。 10 枝，共 10x10 @如果你是老聞，在符合 e 百元商品店的購 物須知的條件下，你認為還可以推出幾元的 (2)可以買 (3)可以買 (4)可以買 (5)可以買 7巳。 )G。 7巳。 的 的 的 的 個，共 個，共 個，共 個，共 商品?而你叉想賣什麼呢? 例如: (1)~一元的商品，我想賣撞撞撞。(2)一一元的商品，我想、賈
(3)一一元的商品，我想、賣
(4)一一一元的商品，我想、賣
@現在請你整理所有可購買的商品、價格及 數量，並完成下表: -64 一商品名稱 單價(兀) 數量(個) 總價(兀) 棒棒糖
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
@【說說看】總價和商品的單價及數量有什 麼關係嗎?聰明的你，想出來了嗎?我們來瞧瞧「數學
橘子﹒」怎麼說
d
•
甲、乙、丙為正整數，如果思主~z
那麼我們就說，R!、乙都是丙的因數;或者
~-一組三盤盤盟員。例如:我們可將 100 寫
成 2x凹，我們就稱 2 、 50 是 100 的因數，而 100 是 2 也是 50 的倍數。 根據上面的活動及說法，你能找出 100 的 其他因數嗎?學科題
(1) 125=一一一_X一一一一
X×
X 請列出 125 的因數:φ19 =一一一_X一一一一
×
= X 請列出 19 的因數: 在做完上面的練習後，是不是碰到什麼 困難呢?聽聽數學橘子怎麼說!!
﹒三空王〉
一個大於 1 的整數，其因數只有 l 和它 自己本身以外，再沒有別的因數，這個整數 -65 一科學教育月刊 第 258 期 中華民國九十二年五月 就叫做質數，例如: 19 和 23 。反之，一個大
於 1 的整數，其因數除了 l 和它自己本身以
外，還有別的因數，這個整數就叫做合數， 例如: 12 、 18 。質數當中最小的是 2 。 【來來來，讓我們玩個小遊戲!】 下面的方格中，隱藏兩個英文字母喔!想知 道嗎?那就請你將有質數的格子塗黑，你就 會發現囉!6
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電器練習題:
CD1 至 100 之間的質數有 @1 至 100 之間的合數有 *注意: 1 不是質數，也不是合數哦! (2) 認識公因數: 【第一闖一阿公冒險故事集襄的路密】 話說血宜的弟弟姐牛在e百元商品店買 了阿公的冒險故事集四本後，發現了一個天 大的秘密，裡面竟然藏著一張藏寶圖，故事 是這樣寫著: r 傳說古星星帝王，正準備將一 大筆黃金傳給後裔時，很不幸地被敵國知道 了這個秘密'所以帝王只好派人將這些價值 連城的黃金深藏在石穴中，並畫了一張藏寶 圖，來指出石穴的位置。而隨著時間的流逝， 愈來愈多人知道這件事，也因此大家都想去 挖掘黃金...但尋寶的路困難重重，尋寶者 必須憑藉堅強的毅力與不凡的智慧，突破層 層關卡，才能順利取走黃金...0 J 好奇的盟主，看了這則冒險故事後，決 定要接受挑戰，勇敢闖一闖... 首先，盟主發現，在藏寶圖的背面做了 下面的提示:提示@設法將通彈fglR公分，寬 1'2 公分
(每格代衰是 1 公分)的重重鹽， 全部分割成大小一樣的正方形，而且連 長必須是整敵。 提示@再將這些正方形的連長自小到大排 列，即是通往石穴的四道密面1 0提示@找出一種正方形後，請將其中一塊
正方形芸往石牆，道自學石門就會打
開，總共有四道石門。 請你幫助柯北破關吧!-
66 一18 公分
口公分
恭喜你破解第一-道密碼! 18 公分口公分
好厲害唷!又破解-碼 J' 加油! 18 公分口公分
你真勻 A 尤\!再差一碼，就快實現願望 囉﹒..67
數學學習棋手且的開發與設計← 'e 百元商店」 18 公分口公分
再想想看，還有沒有其他的正方形呢? 18 公分口公分
18 公分 可中 \4LJ 11/ 汀， w/勻/ 【想想看】密碼和邊長 12 、 18 公分之間的關 係是什麼呢?中箏民國九十二年五月
【第二關一圈監歪盒】 向前走沒幾步路後，前方突然冒出了一第 258 期
科學教育月刊2
3
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16 15 14 13 12 11
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30 29 28 27 26 25
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48 47 46 45 44 43 42 41
司r
- '
•
~
陣白煙，一個巨人血挂出現了，他說: r 現在 你已成功解開四道密碼，但可別高興的太 早!噓...仔細聽，有沒有聽到急促的腳步聲 一直跟著你，沒錯!他們就是從惡魔島來的 敵人要跟你一起爭奪寶藏，不過你別害怕， 我是你的守護神，當你遇到困難的時候，我 就會給你必要的提示。司r
~
•
-..,.A 接著你繼續向前走，將會看到有一個平 哪些數字上面會重複作記號呢?請逐一列出
台，上面出現 1 到 48 號的數字，你必須依照 我的指示去做，這個平台將會護送你到安全 的地方，否則平台周圍的陸地將會漸漸被海 水淹沒，你將會完全動彈不得，身陷其中。」•
一個整數甲同時為某幾個整數的因數時，我們就稱甲是這幾個整數的岱茵顱，例
【想想看】你列的這些數字和 36 、的有什麼 關係呢? 以下是阻立所給的指示﹒..
如 :4 的因數有 l 、 2 、 4; 而 6 的因數則有卜 2 、 3 、 6 0 4 和 6 的公因數有 l 和 2 。 指示 CD: 現在請你穿上這雙「超彈力 跳跳鞋 J' 它可以幫助你跳到 你想要踏的數字。 【想想看】試著找出 36 與 48 的公因數?煙
白甜甜沾障
自開 4-可 aa 一U也天現
“一衝出
。一飛叉
挂一前
喊一一眼
認}關時
叫川三此
3
第
指示@:請先跳出 36 的因數，並用A 將該數圈起來。
指示@:請跳出 48 的因數，並用O 將該數圈起來。
請你幫助盟主完成!!
阿拉叉來了，他說 :r 恭喜你踏出正確的數 字，因數平台已經將你安全護送到岸邊... 接著你會看到許多支魔法掃把，但你必須要 乘著最大的那隻魔法掃把才能抵達埋藏黃金 -68 一的石穴，而不幸的是它們都受到法老王的詛
咒而無法飛行，你必須依以下所提示的步
驟，一一填入正確的號碼，才能解除咒語， 騎著它飛向石穴，朝下一關邁進，若數字填 錯，掃把就不會帶領你往正確的目的地 囉!!...我不多說了， t可 it!
J 步驟 1:
填入 36 和
48 公因數中最大的那個
數! 步驟 2: 填入 36 和 48 的公因 數!/,
【想想看】大掃把中的數字跟小掃把中的數 字有什麼關聯呢?正五至王〉
公因數中最大的那一個，稱為這幾個整 數的最大公因數。例如:4 和 6 的公因數有 l 和 2 '所以 4 和 6 的最大公因數是2; 而且， 最大公因數控制了其它公因數。 數學學習棋組的開發與設計一re
百元商店」 【想想看】 寫出36 與 48 的最大公因數: 寫出 36 與 48 的公因數你發現了什麼
學練習題:
后 UA 『 丹、 up 、 J 門 r ﹒數些
因那
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因
封公
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36 、 54 的最大公因數是 ζUAvqd9
， 1 司、 unr ﹒數些
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列 3請
6
@的
156 、 390 的最大公因數是 @請列出 12 、 19 的因數 12:19 :
列出 12 、 19 的公因數 如果兩個整數的最大公因數是 1 '我們 就稱這兩個整數直質。例如: 12 和凹，17
和 22 。科學教育月刊
【想想看】
第 258 期 中華民國九十二年五月 每格方塊的長是 6 公分，寬是 4 公分 你可不可以再舉出兩組互質的數呢? (4) 認識合倍數: 【第四關一石穴之謎】 柯北搭著魔法掃把，成功抵達埋藏黃金 的石穴了。正當他將第一闊的 4 個密碼大聲 唸出來後，這時堅固的石牆彷彿聽懂密碼似 的，緩緩打開了，裡頭竟然出現了一個神秘 的洞穴，但在進入洞穴的入口處石牆上卻寫 著: r 你可以進的來，但卻不一定出的去，除 非你解開洞穴的謎題，若你成功，寶藏就是 你的了! J 。柯北憑著堅強的勇氣，使他沒有 恐懼，沒有猶豫，昂首闊步的走了進去。 不可思議的事情發生了... '滿洞穴的黃金閃閃發光，石牆突然崩裂了一塊，斗大的字在
你眼前出現，寫道: r 洞內的黃金一拿出洞外 就會消失，除非你將這些長 6 公分、寬 4 公 分的長方形黃金條拼成正方形即可帶出洞 外，而且你不能太貪心，只能帶走三種拼好 的正方形黃金塊，若違反規則，洞穴將會倒 塌。」請你幫柯北完成。 【想想看】 帶出洞外的正方形黃金塊的邊長和長方形 金條的邊長 6 、 4 公分之間有什麼關係? 【第五關一衣錦還鄉】 經過一番努力後，柯北終於可以把黃金 帶回家了，走出洞外...眼前突然出現了 2 列 火車，一列是 4 的倍數列車，另一列是 6 的 倍數列車，它們一動也不動著，你正納悶著... 這些火車是做什麼用的﹒.. 這時候它們突然開口說話了 r 哈囉!你好 呀...我們是來裝載黃金的火車，只要你填上 空白車廂上的號碼就可以發動我們，但是不 一 70 一28 I 32 是每節車廂都能可以裝載黃金喔!!你必須在 這些車廂中，挑選出兩列火車共同都有出現 的車廂號碼才能搭載。」現在，請將你認為 可以裝載黃金的車箱圈出來吧!! 數學學習棋姐的開發與設計一 'e 百元商店」 【想想看】 除了 12 之外，你認為 4 與 6 還有那些公倍數 呢?
學練習題:
@請列出 14 、 21 的倍數(至少 10 個)14 :
21 :
14 、 21 的公倍數有那些? 36I 川 44 I 糕 I
52I
56I
60 @請列出 12 、 15 的倍數(至少 10 個)12 :
15:
12 、凹的公倍數有那些? (5) 認識最小公倍數: 【第六關一解救阿拉】 當你準備運送黃金的時候，阿拉出現了，他苦苦哀求你說:I 小主人阿，不蠻你說，
其實我根本就不是守護神，我只是一個被囚 禁的奴隸，我必須要付給我主人一堆正方形 的黃金，才可以重獲自由。請你念在我之前 協助你闖關的份上，無論如何，請你幫幫我， @請列出 21 、 28 的倍數(至少 10 個)21 :
28:
21 、 28 的公倍數有那些? 一 71-|綠卡。|
直想
O
O
一個整數甲同時為某幾個整數的倍數 時，我們就稱甲數是這幾個整數的公倍數。 例如:4x3=12
' 所以 12 是 4 的倍數，叉 6x2=12
'所以 12 是 6 的倍數; 12 同時是 4 與 6 的倍數，我們就稱 12 是 4 與 6 的公倍數。.~~tt~~
科學教育月刊 第 258 期 中華民國九十二年五月 把您拼成的最小正方形金塊留給我好嗎? J 善良的你選擇的正方形邊長是多少呢? 並說明給你給阿拉的正方形金塊為什麼是最 小?
