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6-1-2極限與函數-函數的概念

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Academic year: 2021

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(1)1-2 函數的概念 【目標】 首先能理解函數的概念﹐並能操作函數的四則運算及合成函數﹒再者﹐利用描點 法及透過幾何變換作出函數圖形﹐以直觀理解函數的特徵﹒ 【定義】 1. 函數的定義與圖形: 當時間 x 給定時﹐y 也隨之確定這兩個變數之間滿足一種對應關係:「每一 個變數 x 值給定時﹐都有唯一對應的 y 值」﹐像這樣的關係就稱為 y 是 x 的 函數﹒若 f 表示這種對應的關係﹐則函數可以表成 y = f ( x) ﹐其中變數 x 稱 為自變數﹐而變數 y 稱為應變數﹒ 2. 定義域、對應域與值域: 假設 A﹐B 都是非空集合﹐且在 A﹐B 的元素間有一對應關係 f﹐若 f 將 A 中 每一元素 a 對應到 B 中唯一確定的元素 b(以 f (a ) = b 表示)﹐則稱 f 是從 A 映至 B 的一個函數﹐可記為 f: A → B ﹐集合 A 稱為函數 f 的定義域﹐集合 B 稱為函數 f 的對應域﹒又當集合 D ⊂ A 時﹐我們定義 f ( D) = { f ( x) | x ∈ D } ﹐ 特別地﹐f ( A) 就是所有函數值所成的集合﹐稱為函數 f 的值域﹐如下圖所示:. 3.. 實變數實數值函數: 當函數 f 的自變數 x 都是實數﹐且對應的函數值 f ( x) 也都是實數時﹐函數 f 稱為實變數實數值函數﹐簡稱實函數﹒若 D 是實數集 R 的一個非空子集﹐ 則當實函數 f 的自變數限定在集合 D 時﹐函數就可記為 f : D → R ﹐此時集 合 D 就是函數 f 的定義域﹒. 8.

(2) 【性質】 1. 當我們在討論實函數 f 而無特別限定其定義域的範圍時﹐習慣上其定義域可 視為在其對應規律下使函數值 f ( x) 為實數的所有實數 x 所成的集合﹒例如: (1)實係數多項式函數的定義域為所有實數所成的集合﹐即定義域 D = R ﹒ (2)常用對數函數 f ( x) = log x 的定義域為所有大於 0 的實數 x 所成的集合﹐即 定義域 D = { x | x > 0 } ﹒ (3)實數構成的無窮數列〈 an 〉可以看成一種簡易的實函數 f : R → R ﹐對應 關係為 f (n) = an ﹐其定義域為所有正整數所成的集合 R ﹒ 2. 函數與函數之間也可做一些代數的運算﹐ 例如:給定兩個實函數 f : D → R 及 g : E → R ﹐則 (1)函數和 f + g 定義為 ( f + g )( x) = f ( x) + g ( x) ﹐其定義域為 D ∩ E ﹒ (2)函數差 f − g 定義為 ( f − g )( x) = f ( x) − g ( x) ﹐其定義域為 D ∩ E ﹒ (3)函數積 fg 定義為 ( fg )( x) = f ( x).g ( x) ﹐其定義域為 D ∩ E ﹒. (4)函數商 3.. f f f ( x) 定義為 ( x) = ﹐其定義域為 D ∩ E ∩ { x | g ( x) ≠ 0 } ﹒ g g g ( x). 有理函數 h( x) =. f ( x) x2 − x − 3 是分子與分母都是多項式的函數﹐以 h( x) = 2 為 g ( x) x −4. 例﹐其分子 f ( x) = x 2 − x − 3 與分母 g ( x) = x 2 − 4 的定義域都是 R ﹐因此﹐函數 h 的定義域為所有使分母 x 2 − 4 不為 0 的實數﹐即有理函數 h 的定義域為 { x| x ≠ ± 2}﹒. 9.

(3) 【定義】 1. 閉區間與開區間: 當 a﹐b 為實數﹐且 a < b 時﹐我們採用以下的符號: [ a, b] = { x | a ≤ x ≤ b } ﹐ [ a, b) = { x | a ≤ x < b } ﹐ ( a, b] = { x | a < x ≤ b } ﹐ ( a, b) = { x | a < x < b } ﹐ 以上四個集合都是有界的區間﹐其中 [a, b] 為閉區間﹐ (a, b) 為開區間﹐而 [a, b) 與 (a, b] 都是半開區間﹒對於無界的區間﹐我們也規定 [a, ∞) = { x | x ≥ a } ﹐ (−∞, a] = { x | x ≤ a } ﹐ (a, ∞) = { x | x > a } ﹐ (−∞, a ) = { x | x < a } ﹐ 而實數集 R 也可以用區間 (−∞, ∞) 來表示﹒ 2. 函數圖形: 給定一實函數 f : D → R ﹐其定義域 D 為 R 中的一非空子集﹐在坐標平面上﹐ 所有坐標為 ( x, f ( x)) 的點( x ∈ D )所成的圖形稱為函數 f 的圖形﹒ 【討論】 1. 一次函數 f ( x) = ax + b ( a ≠ 0 )的圖形是一直線﹐其斜率為 a﹐y 截距為 b﹒ 2. 二次函數 f ( x) = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 )的圖形是一條拋物線﹐利用配方法﹐此 b 2 4ac − b 2 ) + ﹒ 2a 4a b 4ac − b 2 b 因此﹐拋物線的對稱軸為直線 x = − ﹐頂點坐標為 (− , ) ﹐而拋物 2a 2a 4a 線的開口方向可依 a 值來判斷﹒當 a > 0 時﹐拋物線的開口向上﹐如圖(a); 當 a < 0 時﹐拋物線的開口向下﹐如圖(b)﹒. 拋物線方程式可以改寫成 y = f ( x) = a( x +. 3.. 4.. 在坐標平面上﹐兩相異點可以決定一直線﹐因此要畫出一次函數 f ( x) = ax + b 的圖形﹐我們只要標示出圖形上的相異兩點﹐則其連成的直線就是函數 y = f ( x) 的圖形﹒ 二次函數 f ( x) = ax 2 + bx + c 或一般實函數的圖形﹐就無法像直線一樣用直尺 畫出﹐取而代之的只能以描點的方式得到粗略的函數圖形﹒為求所描繪的圖 形能更正確﹐不僅要適當的取值描點﹐也要對函數本身的特性作進一步的了 解﹐才能提供更多的資料作為繪圖之基礎﹒. 10.

(4) 【定義】 1. 合成函數: 給定兩個實函數 f : D → R 及 g : E → R ﹐若滿足 f ( D) ⊂ E ﹐即 f 的值域包含 在 g 的定義域內﹐則可定義合成函數 g o f 為 ( g o f )( x) = g ( f ( x)) ﹐此函數 g o f 的定義域就是函數 f 的定義域 D﹐而值域為 g ( f ( D)) ﹒ 【討論】 1. 合成函數並不侷限於兩個函數的合成﹐甚至可以推廣到好幾個函數的合成﹒ 熟練合成函數的概念不僅可以將一些重要的函數寫成簡單函數的合成﹐也可 以將函數標準化﹒例如:函數 y = ( x − h)3 + k 可以拆解成以下三個變換: y = x3. →. y = ( x − h)3. (左右移 | h | 單位). →. y = ( x − h )3 + k. (上下移 | k | 單位). 亦即 y = ( x − h) + k 是三個函數 y = x − h ﹐ y = x3 ﹐ y = x + k 的合成﹐利用平移 可以將 y = ( x − h)3 + k 化成標準式 y = x3 ;因此﹐透過函數 y = x3 的已知性質﹐ 就可以了解 y = ( x − h)3 + k 的函數性質﹐也可以作出它的圖形﹒如此能透過合 成函數的概念將一些重要的函數寫成簡單函數的合成﹐也可以將函數標準 化;並能利用平移、伸縮和對稱等性質作出函數的圖形﹒ 2. 在坐標平面上﹐有些以 x﹐y 的方程式所呈現的圖形並不是函數的圖形﹐因 為它們都不符合「每一個變數 x 值﹐都恰有一個對應的 y 值」的函數對應關 係﹒事實上﹐對任意實函數 f : D → R ﹐其圖形與鉛直線 x = a ( a ∈ D )都恰 有一交點﹐此交點為 (a, f (a)) ﹐ 另一方面﹐一個圖形是不是函數圖形﹐也可以藉由鉛直線 x = a 與圖形的相 交情形來決定﹒ 【性質】 1. 函數圖形的特徵: 設 G 是坐標平面上的一個圖形﹐且 a ∈ R ﹒ (1)若 G 是某實函數 f : D → R 的圖形﹐則當 a ∈ D 時﹐圖形 G 與鉛直線 x = a 恰有一交點;當 a ∉ D 時﹐圖形 G 與鉛直線 x = a 沒有交點﹒ (2)若圖形 G 與某一鉛直線 x = a 不只一個交點﹐則圖形 G 就不是函數圖形﹒ 2. 當我們要研究圖形在某一點附近的特徵時﹐有時候只要考慮其局部的圖形就 足夠了﹒以圓 x 2 + y 2 = 4 為例﹐雖然不是函數圖形﹐但由 y 2 = 4 − x 2 ﹐解得 3. y = 4 − x 2 或 y = − 4 − x 2 ﹐因此﹐要研究該圓在點 (1,. 3) 附近的變動情形時﹐. 我們只需要考慮函數 f ( x) = 4 − x 2 的圖形﹐其中 x ∈ [−2, 2] ;又如:要研究拋 物線 y 2 = 4 x 在點 (1, − 2) 附近的變動情形﹐我們只需要考慮函數 g ( x) = −2 x 的圖形﹐其中 x ∈ [0, ∞) ﹒其中 f ( x) = 4 − x 2 是隱含在曲線 x 2 + y 2 = 4 中且定 義在點 (1, 3) 附近的函數﹐我們稱 f 是曲線 x 2 + y 2 = 4 在點 (1, 函數;同樣地﹐g 是曲線 y 2 = 4 x 在點 (1, − 2) 附近的隱函數﹒. 11. 3) 附近的隱.

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參考文獻

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