單元10-一次與二次函數

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用一條12公尺長的繩子，要怎樣才能圍出一個 面積最大的矩形呢？這是一個與二次函數有關的問 題。本單元我們將從函數的概念開始，介紹一次函 數與二次函數。

一次與二次函數

10

▲ 圖1

甲

函數的概念

水桶起初存水 10公升，若以每分鐘2公升的速率將 水排出，則排水時間x分鐘與水桶內的水量y公升的關係 式為 y=10-2x, 0#x# 。5 由上式作x與y兩變數的對應表，如下： x 0 1 2 3 4 5 y 10 8 6 4 2 0 顯然，當x的值給定時，都有一個且只有一個對應的y值，像這種對應關係就是 函數。 ▲ 圖2

10

一次與二次函數

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設x與y是兩個變數。當x的值給定時，y的值也隨著x的值而唯一確定， 我們稱這種對應關係為「y是x的函數」。若將此函數命名為f，則用記 號 y=f x^ h表示。 函數的定義 在函數關係 y= f x^ h中，x稱為自變數，y稱為應 變數， f a^ h表示 x =a所對應的函數值。在坐標平面 上，所有點_x f x, ^ hi所構成的圖形，稱為函 數 f x^ h 的圖形。例如，若上例「時間與水量」的函數為f， 則 f x^ h=10-2x, 0#x# 。5 圖3中紅色線段為函數 f x^ h的圖形。 探討函數的圖形，可將該函數的對應關係由抽象轉為具體，有助於我們掌握 該函數的變化情形。

乙

一次函數

設a,b為實數，形如 y=f x^ h=ax+b（ a!0）的函數稱為一次函數，其圖 形是由坐標平面上所有滿足二元一次方程式 y=ax+ 的點b _x y, i所構成。在單元 6中，知道這種方程式的圖形是一條斜率為a,y截距為b的直線L，如圖4所示： ▲ 圖4 ▲ 圖3

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因此，我們有 一次函數 y=ax+b的圖形就是一條斜率為a,y截距為b的直線，而且具 有下列特徵： 1 當 a2 時，圖形由左往右上升，即函數值隨變數0 x增大而增大。 2 當 a1 時，圖形由左往右下降，即函數值隨變數0 x增大而減小。 一次函數的圖形 做一個練習。 已知一次函數 f x^ h滿足 f 2^ h=1, f 4^ h= 5。 1 求 f x^ h，並描繪 y=f x^ h的圖形。 2 每當x增加3單位時，其相對應的函數值增加或減少多少單位？ 解 1 設一次函數 f x^ h=ax+b（ a!0）。 因為 f 2^ h=1, f 4^ h=5，所以 a b a b 2 1 4 5 + = + = * ， 。 解得 a= ,2 b=-3，即 f x^ h=2x-3。 函數 y=2x-3的圖形是斜率為2， y截距為 3- 的直線，如右圖。 2 對於直線 y= 2x-3上相異兩點`x y<sub>1</sub>, <sub>1</sub>j與`x₂,y₂j，且 x₂-x₁= 。3 因為直線的斜率為2，所以 x x y y 2 2 1 2 1 -= 。整理得 y₂ y₁ 2 6 2 1 - = `x -x j= 。 因此，每當x增加3單位時，其相對應的函數值增加6單位。

例題

1

10

一次與二次函數

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設一次函數 f x^ h滿足 f 1^ h=-2, f 2^ h=-5，且 f x^ h的圖形是直線L，選 出正確的選項。 1 f 3^ h=8 2 L的斜率為正 3 L的y截距為1 4 L的斜率等於 f f 9 7 9 7 -^ h ^ h 5 每當x增加1單位時，其相對應的函數值增加3單位。

隨堂練習

如圖5，在坐標平面上，給定一次函數 f x^ h, x₁,x, x₂為x軸上相異三點，且x在 x₁與 x₂之間的 : m n 位置。若 x 1,x, x2對應到 f x^ h圖形上 A`x y1, 1j, , P x y_ i與 B`x₂,y₂j三點，則由平行線截比例線段 性質，得 : : AP PB=m n， 即P點也在A,B兩點之間的m n 位置。同理，x: 對應的函數值y也會落在 y₁與 y₂ 之間的m n 位置。利用數線的分點公式，可得: y m n n y: ₁ m y: ₂ = + + 或 f x m n n f: ₁ m f: ₂ = + + x x ^ h ` j ` j 。 ▲ 圖5

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已知一次函數 f x^ h滿足 f 1 23^ . h=2, f 9 71^ . h=18，求 f 3 35^ . h的值。 解 如右圖，設 f^3 35 =. h y。因為 . . : . . . : . : 3 35-1 23 9 71-3 35 =2 12 6 36=1 3 ^ h ^ h ， 所以y落在2與18之間的1 3: 位置。 利用數線的分點公式，得 　　 y 1 3 3 2 1 18 6 # # = + + = ， 故 f 3 35^ . h= 6。

例題

2

已知一次函數 f x^ h滿足 f_ i2 = 2, f_ i5 = 5, f` jx₀ =3，求實數 x₀的值。

隨堂練習

丙

二次函數

設a,b, c為實數，形如 y=f x^ h=ax2+bx+c（ a!0）的函數稱為二次函 數。由於向上斜拋一物體時，物體落下的路徑是二次函數圖形的一部分，因此 我們也稱二次函數圖形為拋物線。現在來探討二次函數的圖形。 (一)二次函數y =ax2的圖形 描繪 y =x2的圖形。

例題

3

10

一次與二次函數

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解 首先，列出一些滿足 y=x2的點_x y, i： x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 9 4 1 0 1 4 9 接著，在坐標平面上，分別將上列各數對描點，如下圖(a)。 (a) (b) 從以上描點的過程可以發現： 1 對所有實數x，它所對應的y值恆大於或等於0，即除了_0 0, i外，其他 的點都在x軸上方。因此，_0 0, i會是圖形的最低點。 2 在第二象限的點，由左往右下降；在第一象限的點，由左往右上升。 3 當點`a a, 2j是圖形上一點時，它對於y軸的對稱點`-a a, 2j也會是圖 形上的一點。 最 後 ， 我 們 可 以 再 描 出 更 多 的 點 ， 如 x 2 1 ! = , 2 3 ! , 2 5 ! , 2 7 ! 所 對 應 的 點，並觀察出圖形應是連續不斷的（事實上這是可以被證明的）。根據 上述的發現，將所描的點用平滑曲線連接起來而得出圖(b)，即為 y=x2 的圖形（藍色曲線）。

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設 y= x2的圖形為C （讀作gamma），從以上描繪 C 的過程中，我們知道： 1 圖形 C 是一條開口向上的拋物線。 2 原點_0 0, i是 C 的最低點，稱原點為 C 的頂點。 3 因為 C 上任一點`a a, 2j對於y軸的對稱點`-a a, 2j_{也會落在 C 上，所以 C 是以} y軸為對稱軸的軸對稱圖形，稱y軸為 C 的對稱軸。 1 請在坐標平面(a)上，描繪 y= 2x2的圖形。 2 請在坐標平面(b)上，描繪 y=-x2的圖形。 (a) (b)

隨堂練習

在同一坐標平面上，描繪 y=x2, y= 2x2, y=-x2與 y=-2x2 的圖形，如圖6所示。我們觀察出： 1 y=2x2的圖形開口比 y=x2小。 2 y=-x2的圖形與 y=x2的圖形對稱於x軸。 一般而言，可以推得以下的結論。 ▲ 圖6

10

一次與二次函數

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設實數 a!0。 1 y= ax2的圖形是以原點為頂點，以y軸為對稱軸的拋物線。 2 當 a2 時， y0 = ax2的圖形開口都向上，且a的值愈大，開口愈小； 當 a1 時， y0 = ax2的圖形開口都向下，且 a 的值愈大，開口愈小。 3 y= ax2的圖形與 y=-ax2的圖形對稱於x軸。 二次函數y=ax2的圖形 這裡的函數 y=f x^ h=ax2具有 f^-xh=f x^ h的特性，函數具有這個特性的幾 何意義是：函數的圖形會對稱於y軸。 若圖形C 與 y=-3x2的圖形對稱於x軸，則C 的方程式為何？

隨堂練習

(二)二次函數y =a x^ -hh2+k的圖形 在同一坐標平面上，描繪二次函數 y=f x^ h=3x2, y=g x^ h=3^x-2h 與2 y=h x^ h=3^x-2h2+4的圖形。 解 描繪圖形如下：

例題

4

176

在描繪的過程中，發現： f 0^ h, f 1^ h, f 2^ h的值分別與 g 2^ h, g 3^ h, g 4^ h的 值相等。事實上，對任意實數t，函數值 f t^ h=3t2=3_^t+2h-2i2=g t^ +2h ， 也就是說， f x^ h在 x=t的值與 g x^ h在 x= +t 2的值相等。因此，將函數 f x^ h=3x2的圖形往右平移2單位就可得函數 g x^ h=3^x-2h 的圖形。2 類似的，由於對任一實數t，函數值 h t^ h=3^t-2h2+4=g t^ h+4， 也就是說，不論x為任何實數， h x^ h的值總是比 g x^ h的值多4。因此，將函 數 g x^ h=3^x-2h 的圖形向上平移2 4單位就可得函數 h x^ h= 3^x-2h2+4 的圖形。 我們將在坐標平面上，平移圖形的概念以流程圖表示如下： 在同一坐標平面上， y=2x2與 y= 2^x+2h2-3的圖形是否可以經由適當 的平移而完全重疊？若是可以，如何平移呢？

隨堂練習

(三)二次函數y =ax2+bx+c的圖形 有了上述平移的概念後，只要學會配平方，就可以描繪出所有二次函數的圖 形。先練習配平方：

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一次與二次函數

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將下列函數化成 y =a x^ -hh2+k的形式： 1 y=x2+2x+4。　　2 y=3x2-12x+8。　　3 y=-2x2-3x+1。 解 1 y=x2+2x+4 x2+2x+12 1 4 =_ i- + x 12 3 =^ + h + 。 2 y=3x2-12x+8 x -4x 3 2 8 = _ i+ x -4x+2 3 2 2 12 8 = _ i- + x 3 2 2 4 = ^ - h - 。 3 y=-2x2-3x+1 x x 2 2 3 1 2 =- e + o+ x + x+ 2 2 3 4 3 8 9 1 2 2 =-

f

e o

p

+ + x 2 4 3 8 17 2 =- e + o + 。

例題

5

將下列函數化成 y =a x^ -hh2+k的形式： 1 y=x2+4x+1。　　　2 y=2x2+4x。　　　3 y=-x2+3x-1。

隨堂練習

178

上述配平方的方法，稱為二次函數的配方法。接著，藉助配方法描繪二次函 數的圖形。 描繪 y =-2x2+4x+3的圖形，並求出其頂點及對稱軸。 解 先利用配方法，將函數化成 y=a x^ -hh2+k的形式： y=-2x2+4x+3 x -2x 2 2 3 =- _ i+ x -2x+1 2 2 2 2 3 =- _ i+ + x 2 12 5 =- ^ - h + ， 即 y =-2^x-1h2+5。 由平移的概念知道，將 y=-2x2的圖形往右平移1單位，再向上平移5單 位可得 y=-2^x-1h2+5的圖形，如圖所示。而且拋物線的頂點為 ,_1 5i， 對稱軸為直線 x=1。

例題

6

求二次函數 y=3x2+18x+29圖形的頂點及對稱軸。

隨堂練習

一般而言， y=ax2+bx+c（ a!0）都可以經由配方法化成 y=a x^ -hh2+k 的形式，方法如下：

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一次與二次函數

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y= ax2+bx+c a x a b x c 2 = e + o+ x + x+ a a b a b a a b c 2 2 2 2 2 : =

f

e o

p

- e o + a x a b a b ac 2 4 4 2 2 = e + o - -a x h 2 k = ^ - h + ， 其中 h a b 2 =- _{, k} a b ac 4 4 2 =- - 。因此， y= ax2+bx+ =c a x^ -hh2+k的圖形可由 y=ax2的圖形平移得到。 二次函數 y=ax2+bx+c的圖形是一條拋物線，而且具有下列特徵： 1 當 a2 時，拋物線的開口向上，頂點是圖形的最低點。0 當 a1 時，拋物線的開口向下，頂點是圖形的最高點。0 2 此拋物線的對稱軸為直線 x a b 2 =- ，頂點坐標為 - , -a b a b ac 2 4 4 2 -f p 。 二次函數的圖形 作一個練習。 已知 y= 2x2+8x+5的圖形往左平移2單位，再向上平移5單位後，得到 函數 y=f x^ h的圖形，求 f x^ h。

隨堂練習

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(四)二次函數y =ax2+bx+c的最大值或最小值 利用二次函數的圖形，可求出函數值的最大值或最小值。 已知二次函數 y=-x2+3x+1，求y的最大值及發生最大值時之x值。 解 利用配方法，得 y=-x2+3x+1 x2-3x 1 =-_ i+ x -3x+ 2 3 4 9 1 2 2 =-

f

e o

p

+ + x 2 3 4 13 2 =-e - o + 。 因為此二次函數的圖形是開口向下的拋物線，所以頂點 , 2 3 4 13 e o為拋物線 的最高點，即當 x 2 3 = 時，y有最大值 4 13 。

例題

7

已知二次函數 y=x2+ +x 1，求y的最小值及發生最小值時之x值。

隨堂練習

在實際應用上，二次函數自變數x的範圍可能會受到某些限制，此時要如何 求函數值的最大值或最小值呢？

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一次與二次函數

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已知二次函數 y=2^x-1h2-3，在下列x的範圍內，求y的最大值與最小 值： 1 -2#x#-1。　　　22#x# 。　　　33 -1#x#2。 解 函 數 y=f x^ h=2^x-1h2-3 的 圖 形 是 開 口 向 上 ， 且 頂 點 為 _1,-3i的 拋 物 線。依所給定x的範圍，分別用不同顏 色畫出圖形如右，並由圖形的最高點 及最低點求得y的最大及最小值。 1 當-2#x#-1時，由拋物線的藍色 部 分 知 道 ： 最 大 值 為 f^ h-2 =15， 最小值為 f^ h-1 =5。 2 當2#x# 時，由拋物線的綠色部3 分 知 道 ： 最 大 值 為 f 3^ h=5， 最 小 值為 f 2^ h=-1。 3 當-1#x #2時 ， 由 拋 物 線 的 紅 色 部分知道：最大值為 f^ h-1 =5，最 小值為 f 1^ h=-3。

例題

8

在2#x# 的範圍內，求二次函數 y4 =-2x2+4x+3的最大值。

隨堂練習

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應用以上二次函數的最大值與最小值的求法，可以解決一些實際問題，我們 來看看下面的實例。 如右圖，邊長為8的正方形鋼板有一角鏽蝕，其 中 DE= DF=2。 今 為 了 再 利 用 這 塊 鋼 板 ， 在 EF 上選一點P，截取矩形PQBR。 1 已知 PQ=x，求x的範圍。 2 求矩形PQBR的面積（以x表示）。 3 當x為多少時，矩形PQBR的面積最大，又此時面積是多少？ 解 1 因為 PQ 的長度介於 AE 與矩形邊長之間， 所以6#x # 。8 2 過F作 PR 的垂線，垂足為H，如右圖所示。 因為 PHF3 ∼ EDF3 （都是等腰直角三角形）， 所以 PH =HF = -8 x。 令矩形PQBR的面積為y，則 y=x:^8- +x 6h=-x2+14x,6 #x# 。8 3 利用配方法，得 x -14x+7 y=-_ 2 2i+49 x 7 2 49 =-^ - h + ,6 #x# 。8 故當 x=7時，矩形PQBR的面積最大值為49。

例題

9

10

一次與二次函數

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隨堂練習

用一條12公尺長的繩子，要怎樣才能圍出一個面積最大的矩形呢？ 經濟學中常以多項式函數來表示利潤函數，再利用多項式函數的性質，擬訂 生產策略獲取最大的利潤，舉例如下。 某工廠生產一款玩具時，需先依設計圖開模，再大量生產。開模費固定 5萬元，每生產一千個玩具的材料費2萬元，由此可建立成本函數 f x^ h=5+2x（萬元），其中x以千個為單位。 下表是該工廠過去二筆交易中，訂單數量與收入的關係： 訂單數量（千個） 5 10 收入（萬元） 45 80 利 用 上 表 及 「 訂 單 數 量 為 0個 ， 收 入 就 為 0元 」 ， 建 立 一 個 二 次 函 數 g x^ h=ax2+bx，並以 g x^ h作為此款玩具的收入函數。再根據「利潤 = 收入 - 成本」，建立利潤函數 h x^ h=g x^ h-f x^ h。 1 求實數a,b的值。 2 根據 h x^ h，當訂單數量多少千個時，利潤有最大值？又此最大值為 何？ 解 1 依題意，得 ， ， g a b g a b 5 25 5 45 10 100 10 80 = + = = + = ^ ^ h h * 即 a b a b 5 9 10 8 + = + = * ， ， 解得 a 5 1 =- , b=10。

例題

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隨堂練習

某成衣工廠生產x千件外套的成本函數為 f x^ h=200+30x（萬元），收 入函數為g x^ h=x^50-0 2. xh（萬元）。根據利潤函數 h x^ h=g x^ h-f x^ h， 當產量為多少千件時，利潤有最大值？又此最大值為何？ 2 因為 h x^ h=g x^ h-f x^ h x x x 5 1 10 5 2 2 = -e + o-^ + h x x 5 1 8 5 2 =- + -x -40x+20 5 1 80 5 2 2 =- _ i+ -x 5 1 20 2 75 =- ^ - h + ， 所以當訂單數量 x= 20千個時，利潤有最大值，又此最大值為75 萬 元。 (五)二次函數圖形的分類 上一單元中，我們知道：二次函數 y=ax2+bx+c的圖形的開口向上或向 下，可由係數a的正負判定。若要進一步知道圖形與x軸的相交情形，則可以藉 助判別式 D=b2-4ac的值來判定。說明如下： 首先考慮 a2 的情形，此時二次函數 y0 =ax2+bx+c的圖形是開口向上，且頂 點為 , - - , a b a b ac a b a D 2 4 4 2 4 2 -= - -f p e o 的拋物線。

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一次與二次函數

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1 當 D2 時，頂點的0 y坐標 a D 4 10 - ，此時頂點在x軸的下方，圖形與x軸交 於兩點。 2 當 D=0時，頂點的y坐標 a D 4 0 - = ，此時頂點落在x軸上，圖形與x軸相切。 3 當 D1 時，頂點的0 y 坐標 a D 4 20 - ，此時頂點在x 軸的上方，圖形與x 軸 不相交。 至於 a1 的情形，可仿照以上的方法討論。得到二次函數圖形的分類如下：0 D a D 0 2 D =0 D 10 a20 開口向上 a10 開口向下 從上表可以知道：二次函數的二次項係數a與判別式D是很重要的兩個值， 它們有時可以幫我們解決一些問題。

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186

已知對任意實數x, x2-6x+k的值恆為正數，求實數k的範圍。 解 因為二次函數 y= x2-6x+k的函數值恆為正數，所以其圖形完全在x軸 的上方。由二次函數圖形的分類可知： a2 且 D0 1 。又此二次函數的0 a=120，所以只要 D1 即可，也就是說0 D= -^ h6 2-4# # 11 k 0， 即36-4k10，故 k2 。9

例題

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已 知 二 次 函 數 f x^ h=-2x2+8x+^k-3h 的值恆為負數，求實數 k 的 範 圍。

隨堂練習

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一、觀念題

以下各小題對的打「○」，錯的打「×」。 1 一次函數 y=2x+3的圖形是一條斜率為3的直線。 2 將拋物線 y=2x2往左平移1單位，可得拋物線 y=2^x+1h 。2 3 拋物線 y=^2x+1h2+3的對稱軸為直線 x2 + =1 0。 4 在2#x# 的範圍內，函數 f x4 ^ h=-^x-1h2+5的最大值為 f 2^ h。 5 二次函數的圖形與y軸一定有一交點，但與x軸不一定有交點。

二、基礎題

已知 f x^ h為一次函數， f 0^ h=-3，且每當x增加1單位時，其相對應的函 數值減少2單位，求 f x^ h。 已知一次函數 f x^ h滿足 f_ i38 =2, f_ i310 =7，求 f_ i 的值。39 描繪下列二次函數的圖形，並求出頂點坐標及對稱軸方程式： 1 y=x2-2x-3。 2 y=-2x2+ +x 3。 已 知 將 y=4x2-8x 的 圖 形 往 左 平 移 h 單 位 ， 再 向 上 平 移 k 單 位 後 恰 與 y=4x2+8x+9的圖形重合，求h,k的值。 已知二次函數 y=3x2-12x+8，在下列x的範圍內，求y的最大值及最小值： 1 0#x# 。3 2 3#x # 。5

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已知對任意實數x, kx2+2x-1的值恆為負數，求實數k的範圍。 下列有關二次函數的敘述，選出正確的選項。 1 _-5 3, i,_0 3, i,_4 3, i三點位在同一個二次函數的圖形上。 2 將二次函數 y =2x2的圖形適當的平移後，可以與函數 y=3x2+6x+9的 圖形完全重疊。 3 二次函數 y= 2^x+1h^x-3h 的圖形與x軸交於_-1 0, i與_3 0, i兩點。 4 二次函數 y= x2+2x-1的圖形與x軸不相交。 5 對任意實數x, x2- +x 1的值恆為正數。 如右圖，三直線 L₁, L₂, L₃的方程式分別為 : L y₁ =a x₁ +b₁, L y₂: =a x₂ +b₂, L y₃: =a x₃ +b₃。 選出正確的選項。 1 a₁2 0 2 a₁2a₂ 3 a₃10 4 b₁2 0 5 b₂2b₃。 若函數 f x^ h=ax2+bx+c的圖形如右圖， 則下列各數哪些為負數？ 1 a 2b 3c 4 b2-4ac 5 a b c- + 。

三、進階題

已知二次函數 f x^ h的圖形與x軸交於_-1 0, i與_-9 0, i，與y軸交於_0 9, i， 求 f x^ h及其頂點坐標。

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已知二次函數 f x ax bx a 1 2 = + + ^ h 在 x=3時有最大值8，求實數a,b的值。 如圖，要從牆邊用圍籬圍出3間面積相等的矩 形豬圈（牆邊不圍）。若圍籬總共用了48 公 尺，則3間豬圈的最大面積是多少平方公尺？ 如圖，距籃下4公尺處跳起投籃。已知出手時球離地2.25公尺，且當球飛 行到水平距離2.5公尺時，達到最大高度3.5公尺，然後空心進籃。請問： 籃框有多高？