單元10-一次與二次函數

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用一條12公尺長的繩子,要怎樣才能圍出一個 面積最大的矩形呢?這是一個與二次函數有關的問 題。本單元我們將從函數的概念開始,介紹一次函 數與二次函數。

一次與二次函數

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圖1

函數的概念

水桶起初存水 10公升,若以每分鐘2公升的速率將 水排出,則排水時間x分鐘與水桶內的水量y公升的關係 式為 y=10-2x, 0#x# 。5 由上式作xy兩變數的對應表,如下: x 0 1 2 3 4 5 y 10 8 6 4 2 0 顯然,當x的值給定時,都有一個且只有一個對應的y值,像這種對應關係就是 函數。 ▲ 圖2

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一次與二次函數

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xy是兩個變數。當x的值給定時,y的值也隨著x的值而唯一確定, 我們稱這種對應關係為「yx的函數」。若將此函數命名為f,則用記 號 y=f x^ h表示。 函數的定義 在函數關係 y= f x^ h中,x稱為自變數,y稱為應 變數, f a^ h表示 x =a所對應的函數值。在坐標平面 上,所有點_x f x, ^ hi所構成的圖形,稱為函 數 f x^ h 的圖形。例如,若上例「時間與水量」的函數為f,f x^ h=10-2x, 0#x# 。5 圖3中紅色線段為函數 f x^ h的圖形。 探討函數的圖形,可將該函數的對應關係由抽象轉為具體,有助於我們掌握 該函數的變化情形。

一次函數

a,b為實數,形如 y=f x^ h=ax+b( a!0)的函數稱為一次函數,其圖 形是由坐標平面上所有滿足二元一次方程式 y=ax+ 的點b _x y, i所構成。在單元 6中,知道這種方程式的圖形是一條斜率為a,y截距為b的直線L,如圖4所示: ▲ 圖4 圖3

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因此,我們有 一次函數 y=ax+b的圖形就是一條斜率為a,y截距為b的直線,而且具 有下列特徵: 1 當 a2 時,圖形由左往右上升,即函數值隨變數0 x增大而增大。 2 當 a1 時,圖形由左往右下降,即函數值隨變數0 x增大而減小。 一次函數的圖形 做一個練習。 已知一次函數 f x^ h滿足 f 2^ h=1, f 4^ h= 5。 1 求 f x^ h,並描繪 y=f x^ h的圖形。 2 每當x增加3單位時,其相對應的函數值增加或減少多少單位? 解 1 設一次函數 f x^ h=ax+b( a!0)。 因為 f 2^ h=1, f 4^ h=5,所以 a b a b 2 1 4 5 + = + = * , 。 解得 a= ,2 b=-3,即 f x^ h=2x-3。 函數 y=2x-3的圖形是斜率為2, y截距為 3- 的直線,如右圖。 2 對於直線 y= 2x-3上相異兩點`x y1, 1j與`x2,y2j,且 x2-x1= 。3 因為直線的斜率為2,所以 x x y y 2 2 1 2 1 -= 。整理得 y2 y1 2 6 2 1 - = `x -x j= 。 因此,每當x增加3單位時,其相對應的函數值增加6單位。

例題

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一次與二次函數

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設一次函數 f x^ h滿足 f 1^ h=-2, f 2^ h=-5,且 f x^ h的圖形是直線L,選 出正確的選項。 1 f 3^ h=8 2 L的斜率為正 3 Ly截距為1 4 L的斜率等於 f f 9 7 9 7 -^ h ^ h 5 每當x增加1單位時,其相對應的函數值增加3單位。

隨堂練習

如圖5,在坐標平面上,給定一次函數 f x^ h, x1,x, x2x軸上相異三點,且x在 x1與 x2之間的 : m n 位置。若 x 1,x, x2對應到 f x^ h圖形上 A`x y1, 1j, , P x y_ i與 B`x2,y2j三點,則由平行線截比例線段 性質,得 : : AP PB=m n, 即P點也在A,B兩點之間的m n 位置。同理,x: 對應的函數值y也會落在 y1與 y2 之間的m n 位置。利用數線的分點公式,可得: y m n n y: 1 m y: 2 = + + 或 f x m n n f: 1 m f: 2 = + + x x ^ h ` j ` j 。 ▲ 圖5

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已知一次函數 f x^ h滿足 f 1 23^ . h=2, f 9 71^ . h=18,求 f 3 35^ . h的值。 解 如右圖,設 f^3 35 =. h y。因為 . . : . . . : . : 3 35-1 23 9 71-3 35 =2 12 6 36=1 3 ^ h ^ h , 所以y落在2與18之間的1 3: 位置。 利用數線的分點公式,得    y 1 3 3 2 1 18 6 # # = + + = , 故 f 3 35^ . h= 6。

例題

2

已知一次函數 f x^ h滿足 f_ i2 = 2, f_ i5 = 5, f` jx0 =3,求實數 x0的值。

隨堂練習

二次函數

a,b, c為實數,形如 y=f x^ h=ax2+bx+c( a!0)的函數稱為二次函 數。由於向上斜拋一物體時,物體落下的路徑是二次函數圖形的一部分,因此 我們也稱二次函數圖形為拋物線。現在來探討二次函數的圖形。 (一)二次函數y =ax2的圖形 描繪 y =x2的圖形。

例題

3

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一次與二次函數

173

首先,列出一些滿足 y=x2的點_x y, i: x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 9 4 1 0 1 4 9 接著,在坐標平面上,分別將上列各數對描點,如下圖(a)。 (a) (b) 從以上描點的過程可以發現: 1 對所有實數x,它所對應的y值恆大於或等於0,即除了_0 0, i外,其他 的點都在x軸上方。因此,_0 0, i會是圖形的最低點。 2 在第二象限的點,由左往右下降;在第一象限的點,由左往右上升。 3 當點`a a, 2j是圖形上一點時,它對於y軸的對稱點`-a a, 2j也會是圖 形上的一點。 最 後 , 我 們 可 以 再 描 出 更 多 的 點 , 如 x 2 1 ! = , 2 3 ! , 2 5 ! , 2 7 ! 所 對 應 的 點,並觀察出圖形應是連續不斷的(事實上這是可以被證明的)。根據 上述的發現,將所描的點用平滑曲線連接起來而得出圖(b),即為 y=x2 的圖形(藍色曲線)。

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設 y= x2的圖形為C (讀作gamma),從以上描繪 C 的過程中,我們知道: 1 圖形 C 是一條開口向上的拋物線。 2 原點_0 0, i是 C 的最低點,稱原點為 C 的頂點。 3 因為 C 上任一點`a a, 2j對於y軸的對稱點`-a a, 2j也會落在 C 上,所以 C 是以 y軸為對稱軸的軸對稱圖形,稱y軸為 C 的對稱軸。 1 請在坐標平面(a)上,描繪 y= 2x2的圖形。 2 請在坐標平面(b)上,描繪 y=-x2的圖形。 (a) (b)

隨堂練習

在同一坐標平面上,描繪 y=x2, y= 2x2, y=-x2與 y=-2x2 的圖形,如圖6所示。我們觀察出: 1 y=2x2的圖形開口比 y=x2小。 2 y=-x2的圖形與 y=x2的圖形對稱於x軸。 一般而言,可以推得以下的結論。 ▲ 圖6

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一次與二次函數

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設實數 a!0。 1 y= ax2的圖形是以原點為頂點,以y軸為對稱軸的拋物線。 2 當 a2 時, y0 = ax2的圖形開口都向上,且a的值愈大,開口愈小; 當 a1 時, y0 = ax2的圖形開口都向下,且 a 的值愈大,開口愈小。 3 y= ax2的圖形與 y=-ax2的圖形對稱於x軸。 二次函數y=ax2的圖形 這裡的函數 y=f x^ h=ax2具有 f^-xh=f x^ h的特性,函數具有這個特性的幾 何意義是:函數的圖形會對稱於y軸。 若圖形C 與 y=-3x2的圖形對稱於x軸,則C 的方程式為何?

隨堂練習

(二)二次函數y =a x^ -hh2+k的圖形 在同一坐標平面上,描繪二次函數 y=f x^ h=3x2, y=g x^ h=3^x-2h 與2 y=h x^ h=3^x-2h2+4的圖形。 解 描繪圖形如下:

例題

4

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在描繪的過程中,發現: f 0^ h, f 1^ h, f 2^ h的值分別與 g 2^ h, g 3^ h, g 4^ h的 值相等。事實上,對任意實數t,函數值 f t^ h=3t2=3_^t+2h-2i2=g t^ +2h , 也就是說, f x^ h在 x=t的值與 g x^ h在 x= +t 2的值相等。因此,將函數 f x^ h=3x2的圖形往右平移2單位就可得函數 g x^ h=3^x-2h 的圖形。2 類似的,由於對任一實數t,函數值 h t^ h=3^t-2h2+4=g t^ h+4, 也就是說,不論x為任何實數, h x^ h的值總是比 g x^ h的值多4。因此,將函 數 g x^ h=3^x-2h 的圖形向上平移2 4單位就可得函數 h x^ h= 3^x-2h2+4 的圖形。 我們將在坐標平面上,平移圖形的概念以流程圖表示如下: 在同一坐標平面上, y=2x2與 y= 2^x+2h2-3的圖形是否可以經由適當 的平移而完全重疊?若是可以,如何平移呢?

隨堂練習

(三)二次函數y =ax2+bx+c的圖形 有了上述平移的概念後,只要學會配平方,就可以描繪出所有二次函數的圖 形。先練習配平方:

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一次與二次函數

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將下列函數化成 y =a x^ -hh2+k的形式: 1 y=x2+2x+4。  2 y=3x2-12x+8。  3 y=-2x2-3x+1。 解 1 y=x2+2x+4 x2+2x+12 1 4 =_ i- + x 12 3 =^ + h + 。 2 y=3x2-12x+8 x -4x 3 2 8 = _ i+ x -4x+2 3 2 2 12 8 = _ i- + x 3 2 2 4 = ^ - h - 。 3 y=-2x2-3x+1 x x 2 2 3 1 2 =- e + o+ x + x+ 2 2 3 4 3 8 9 1 2 2 =-

f

e o

p

+ + x 2 4 3 8 17 2 =- e + o + 。

例題

5

將下列函數化成 y =a x^ -hh2+k的形式: 1 y=x2+4x+1。   2 y=2x2+4x。   3 y=-x2+3x-1。

隨堂練習

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上述配平方的方法,稱為二次函數的配方法。接著,藉助配方法描繪二次函 數的圖形。 描繪 y =-2x2+4x+3的圖形,並求出其頂點及對稱軸。 解 先利用配方法,將函數化成 y=a x^ -hh2+k的形式: y=-2x2+4x+3 x -2x 2 2 3 =- _ i+ x -2x+1 2 2 2 2 3 =- _ i+ + x 2 12 5 =- ^ - h + , 即 y =-2^x-1h2+5。 由平移的概念知道,將 y=-2x2的圖形往右平移1單位,再向上平移5單 位可得 y=-2^x-1h2+5的圖形,如圖所示。而且拋物線的頂點為 ,_1 5i, 對稱軸為直線 x=1。

例題

6

求二次函數 y=3x2+18x+29圖形的頂點及對稱軸。

隨堂練習

一般而言, y=ax2+bx+c( a!0)都可以經由配方法化成 y=a x^ -hh2+k 的形式,方法如下:

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一次與二次函數

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y= ax2+bx+c a x a b x c 2 = e + o+ x + x+ a a b a b a a b c 2 2 2 2 2 : =

f

e o

p

- e o + a x a b a b ac 2 4 4 2 2 = e + o - -a x h 2 k = ^ - h + , 其中 h a b 2 =- , k a b ac 4 4 2 =- - 。因此, y= ax2+bx+ =c a x^ -hh2+k的圖形可由 y=ax2的圖形平移得到。 二次函數 y=ax2+bx+c的圖形是一條拋物線,而且具有下列特徵: 1 當 a2 時,拋物線的開口向上,頂點是圖形的最低點。0 當 a1 時,拋物線的開口向下,頂點是圖形的最高點。0 2 此拋物線的對稱軸為直線 x a b 2 =- ,頂點坐標為 - , -a b a b ac 2 4 4 2 -f p 。 二次函數的圖形 作一個練習。 已知 y= 2x2+8x+5的圖形往左平移2單位,再向上平移5單位後,得到 函數 y=f x^ h的圖形,求 f x^ h。

隨堂練習

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(四)二次函數y =ax2+bx+c的最大值或最小值 利用二次函數的圖形,可求出函數值的最大值或最小值。 已知二次函數 y=-x2+3x+1,求y的最大值及發生最大值時之x值。 解 利用配方法,得 y=-x2+3x+1 x2-3x 1 =-_ i+ x -3x+ 2 3 4 9 1 2 2 =-

f

e o

p

+ + x 2 3 4 13 2 =-e - o + 。 因為此二次函數的圖形是開口向下的拋物線,所以頂點 , 2 3 4 13 e o為拋物線 的最高點,即當 x 2 3 = 時,y有最大值 4 13 。

例題

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已知二次函數 y=x2+ +x 1,求y的最小值及發生最小值時之x值。

隨堂練習

在實際應用上,二次函數自變數x的範圍可能會受到某些限制,此時要如何 求函數值的最大值或最小值呢?

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一次與二次函數

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已知二次函數 y=2^x-1h2-3,在下列x的範圍內,求y的最大值與最小 值: 1 -2#x#-1。   22#x# 。   33 -1#x#2。 解 函 數 y=f x^ h=2^x-1h2-3 的 圖 形 是 開 口 向 上 , 且 頂 點 為 _1,-3i的 拋 物 線。依所給定x的範圍,分別用不同顏 色畫出圖形如右,並由圖形的最高點 及最低點求得y的最大及最小值。 1 當-2#x#-1時,由拋物線的藍色 部 分 知 道 : 最 大 值 為 f^ h-2 =15, 最小值為 f^ h-1 =5。 2 當2#x# 時,由拋物線的綠色部3 分 知 道 : 最 大 值 為 f 3^ h=5, 最 小 值為 f 2^ h=-1。 3 當-1#x #2時 , 由 拋 物 線 的 紅 色 部分知道:最大值為 f^ h-1 =5,最 小值為 f 1^ h=-3。

例題

8

在2#x# 的範圍內,求二次函數 y4 =-2x2+4x+3的最大值。

隨堂練習

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應用以上二次函數的最大值與最小值的求法,可以解決一些實際問題,我們 來看看下面的實例。 如右圖,邊長為8的正方形鋼板有一角鏽蝕,其 中 DE= DF=2。 今 為 了 再 利 用 這 塊 鋼 板 , 在 EF 上選一點P,截取矩形PQBR。 1 已知 PQ=x,求x的範圍。 2 求矩形PQBR的面積(以x表示)。 3 當x為多少時,矩形PQBR的面積最大,又此時面積是多少? 解 1 因為 PQ 的長度介於 AE 與矩形邊長之間, 所以6#x # 。8 2 過F作 PR 的垂線,垂足為H,如右圖所示。 因為 PHF3 ∼ EDF3 (都是等腰直角三角形), 所以 PH =HF = -8 x。 令矩形PQBR的面積為y,則 y=x:^8- +x 6h=-x2+14x,6 #x# 。8 3 利用配方法,得 x -14x+7 y=-_ 2 2i+49 x 7 2 49 =-^ - h + ,6 #x# 。8 故當 x=7時,矩形PQBR的面積最大值為49。

例題

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一次與二次函數

183

隨堂練習

用一條12公尺長的繩子,要怎樣才能圍出一個面積最大的矩形呢? 經濟學中常以多項式函數來表示利潤函數,再利用多項式函數的性質,擬訂 生產策略獲取最大的利潤,舉例如下。 某工廠生產一款玩具時,需先依設計圖開模,再大量生產。開模費固定 5萬元,每生產一千個玩具的材料費2萬元,由此可建立成本函數 f x^ h=5+2x(萬元),其中x以千個為單位。 下表是該工廠過去二筆交易中,訂單數量與收入的關係: 訂單數量(千個) 5 10 收入(萬元) 45 80 利 用 上 表 及 「 訂 單 數 量 為 0個 , 收 入 就 為 0元 」 , 建 立 一 個 二 次 函 數 g x^ h=ax2+bx,並以 g x^ h作為此款玩具的收入函數。再根據「利潤 = 收入 - 成本」,建立利潤函數 h x^ h=g x^ h-f x^ h。 1 求實數a,b的值。 2 根據 h x^ h,當訂單數量多少千個時,利潤有最大值?又此最大值為 何? 解 1 依題意,得 , , g a b g a b 5 25 5 45 10 100 10 80 = + = = + = ^ ^ h h * 即 a b a b 5 9 10 8 + = + = * , , 解得 a 5 1 =- , b=10。

例題

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隨堂練習

某成衣工廠生產x千件外套的成本函數為 f x^ h=200+30x(萬元),收 入函數為g x^ h=x^50-0 2. xh(萬元)。根據利潤函數 h x^ h=g x^ h-f x^ h, 當產量為多少千件時,利潤有最大值?又此最大值為何? 2 因為 h x^ h=g x^ h-f x^ h x x x 5 1 10 5 2 2 = -e + o-^ + h x x 5 1 8 5 2 =- + -x -40x+20 5 1 80 5 2 2 =- _ i+ -x 5 1 20 2 75 =- ^ - h + , 所以當訂單數量 x= 20千個時,利潤有最大值,又此最大值為75 萬 元。 (五)二次函數圖形的分類 上一單元中,我們知道:二次函數 y=ax2+bx+c的圖形的開口向上或向 下,可由係數a的正負判定。若要進一步知道圖形與x軸的相交情形,則可以藉 助判別式 D=b2-4ac的值來判定。說明如下: 首先考慮 a2 的情形,此時二次函數 y0 =ax2+bx+c的圖形是開口向上,且頂 點為 , - - , a b a b ac a b a D 2 4 4 2 4 2 -= - -f p e o 的拋物線。

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一次與二次函數

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1 當 D2 時,頂點的0 y坐標 a D 4 10 - ,此時頂點在x軸的下方,圖形與x軸交 於兩點。 2 當 D=0時,頂點的y坐標 a D 4 0 - = ,此時頂點落在x軸上,圖形與x軸相切。 3 當 D1 時,頂點的0 y 坐標 a D 4 20 - ,此時頂點在x 軸的上方,圖形與x 不相交。 至於 a1 的情形,可仿照以上的方法討論。得到二次函數圖形的分類如下:0 D a D 0 2 D =0 D 10 a20 開口向上 a10 開口向下 從上表可以知道:二次函數的二次項係數a與判別式D是很重要的兩個值, 它們有時可以幫我們解決一些問題。

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186

已知對任意實數x, x2-6x+k的值恆為正數,求實數k的範圍。 解 因為二次函數 y= x2-6x+k的函數值恆為正數,所以其圖形完全在x的上方。由二次函數圖形的分類可知: a2 且 D0 1 。又此二次函數的0 a=120,所以只要 D1 即可,也就是說0 D= -^ h6 2-4# # 11 k 0, 即36-4k10,故 k2 。9

例題

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已 知 二 次 函 數 f x^ h=-2x2+8x+^k-3h 的值恆為負數,求實數 k 的 範 圍。

隨堂練習

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187

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一、觀念題

以下各小題對的打「○」,錯的打「×」。 1 一次函數 y=2x+3的圖形是一條斜率為3的直線。 2 將拋物線 y=2x2往左平移1單位,可得拋物線 y=2^x+1h 。2 3 拋物線 y=^2x+1h2+3的對稱軸為直線 x2 + =1 0。 4 在2#x# 的範圍內,函數 f x4 ^ h=-^x-1h2+5的最大值為 f 2^ h。 5 二次函數的圖形與y軸一定有一交點,但與x軸不一定有交點。

二、基礎題

已知 f x^ h為一次函數, f 0^ h=-3,且每當x增加1單位時,其相對應的函 數值減少2單位,求 f x^ h。 已知一次函數 f x^ h滿足 f_ i38 =2, f_ i310 =7,求 f_ i 的值。39 描繪下列二次函數的圖形,並求出頂點坐標及對稱軸方程式: 1 y=x2-2x-3。 2 y=-2x2+ +x 3。 已 知 將 y=4x2-8x 的 圖 形 往 左 平 移 h 單 位 , 再 向 上 平 移 k 單 位 後 恰 與 y=4x2+8x+9的圖形重合,求h,k的值。 已知二次函數 y=3x2-12x+8,在下列x的範圍內,求y的最大值及最小值: 1 0#x# 。3 2 3#x # 。5

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已知對任意實數x, kx2+2x-1的值恆為負數,求實數k的範圍。 下列有關二次函數的敘述,選出正確的選項。 1 _-5 3, i,_0 3, i,_4 3, i三點位在同一個二次函數的圖形上。 2 將二次函數 y =2x2的圖形適當的平移後,可以與函數 y=3x2+6x+9的 圖形完全重疊。 3 二次函數 y= 2^x+1h^x-3h 的圖形與x軸交於_-1 0, i與_3 0, i兩點。 4 二次函數 y= x2+2x-1的圖形與x軸不相交。 5 對任意實數x, x2- +x 1的值恆為正數。 如右圖,三直線 L1, L2, L3的方程式分別為 : L y1 =a x1 +b1, L y2: =a x2 +b2, L y3: =a x3 +b3 選出正確的選項。 1 a12 0 2 a12a2 3 a310 4 b12 0 5 b22b3若函數 f x^ h=ax2+bx+c的圖形如右圖, 則下列各數哪些為負數? 1 a 2b 3c 4 b2-4ac 5 a b c- + 。

三、進階題

已知二次函數 f x^ h的圖形與x軸交於_-1 0, i與_-9 0, i,與y軸交於_0 9, i, 求 f x^ h及其頂點坐標。

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已知二次函數 f x ax bx a 1 2 = + + ^ h 在 x=3時有最大值8,求實數a,b的值。 如圖,要從牆邊用圍籬圍出3間面積相等的矩 形豬圈(牆邊不圍)。若圍籬總共用了48 公 尺,則3間豬圈的最大面積是多少平方公尺? 如圖,距籃下4公尺處跳起投籃。已知出手時球離地2.25公尺,且當球飛 行到水平距離2.5公尺時,達到最大高度3.5公尺,然後空心進籃。請問: 籃框有多高?

數據

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參考文獻

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