三階行列式與三角形面積

三階行列式與三角形面積

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108.03.09

∼ 108.03.09

一堂高中數學課

1.

巧合

我們知道二階行列式的幾何意義是平行四邊形的面積。於是，當我們給坐標平面上的三個 (逆時 針順序的) 點 A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)，可得 ∆ABC 的有向面積為 ∆ABC = 1 2    −⇀ AB −⇀ AC   = 1 2    xx23− x− x11 yy23− y− y11    (1) 很巧的是：我們也可以用三階行列式來計算 ∆ABC 的面積，即 ∆ABC = 1 2      x1 y1 1 x2 y2 1 x3 y3 1      (2)

2.

代數說巧合

我們利用行列式的性質來計算式子 (2)：      x1 y1 1 x2 y2 1 x3 y3 1      =      x1 y1 1 x2− x1 y2− y1 0 x3− x1 y3− y1 0      降階 =====    xx23− x− x11 yy23− y− y11    (3) 剛好一樣！於是我說這是巧合。但是，為何是巧合呢？ *_{bee 美麗之家: http://www2.chsh.chc.edu.tw/bee} 1

3.

幾何說巧合

     x1 y1 1 x2 y2 1 x3 y3 1      的幾何意義是平行六面體的有向體積，我們把它畫出來，如圖 1： 圖 1 在圖 1 中我們可以看到由 −⇀u = (x1, y1, 1), −⇀v = (x2, y2, 1), −⇀w = (x3, y3, 1) 所張出來的【平行六 面體】和【四面體】，同時我們知道 【四面體體積】等於【平行六面體體積_×1 6】 現在我們把 xy 平面加上去，如圖 2 所示： 圖 2 我們看到： • 若以 ∆A′B′C′ 為底面，四面體 OA′B′C′ 的高 h = 1。 • A′, B′, C′在 xy 平面上的投影點分別是 A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)。 於是我們有      x1 y1 1 x2 y2 1 x3 y3 1      = 6× 四面體 OA′B′C′的體積 =6× ( 1 3 × ∆A ′_B′_{C× h})_{= 2× ∆ABC × 1} 2

整理可得 ∆ABC = 1 2      x1 y1 1 x2 y2 1 x3 y3 1      (4)

4.

結語

利用三階行列式來表示三角形面積有個優點，就是我們直接把點坐標標示上去就好了，不用做 減法，顯然在記號上方便很多。不過，學習數學的關鍵在於欣賞與解析，我們不禁會想：為何可 以這樣計算呢？ 少了深入探討的課程，是一張美麗的水彩畫，【形式上】很美，但如果我們也有機會到【實境】 裡一探，或許會有更多的感動。 108 年分別對伊華與季旻講解的內容。 3