二次函数
y=ax
2+bx+c(a≠0)的图象与性质—巩固练习（提高）
【巩固练习】 一、选择题 1. （2015•南昌）已知抛物线 y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（ ）. A．只能是x=﹣1 B．可能是y 轴 C．在y 轴右侧且在直线 x=2 的左侧 D．在y 轴左侧且在直线 x=﹣2 的右侧 2．已知抛物线y ax bx c a
2
(
0)
过点A
( 2,0)
，O
(0,0)
，B
( 3, )
y
1 ，C y
(3, )
2 四点，则y
1与y
2的 大小关系是（ ）． A．y
1
y
2 B．y
1
y
2 C．y
1
y
2 D．不能确定 3．小强从如图所示的二次函数y ax bx c
2
的图象中，观察得出了下面五条信息：①a
0
；②c
1
； ③b
0
；④a b c
0
；⑤a b c
0
．你认为其中信息正确的有（ ）． A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 4．已知二次函数y ax bx c
2
中，其函数 y 与自变量 x 之间的部分对应值如下表所示： x …… 0 1 2 3 4 …… y …… 4 1 0 1 4 ……点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在函数的图象上，则当 1＜x1＜2，3＜x2＜4 时，y1与 y2的大小关系正确的
是( )
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1≤y2
5．如图所示，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是( ) A．m＝n，k＞h B．m＝n，k＜h C．m＞n，k＝h D．m＜n，k＝h 第 5 题 第 6 题 6．已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示，关于该函数在自变量取值范围内，下列说法正确的是( ) A．有最小值 0，有最大值 3 B．有最小值-1，有最大值 0 C．有最小值-1，有最大值 3 D．有最小值-1，无最大值 二、填空题 7．把抛物线
y ax bx c
2
的图象先向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，所得的图象的解析式是2
3
5
y x
x
，则 a+b+c＝________． 8．如图所示，是二次函数y ax bx c a
2
(
0)
在平面直角坐标系中的图象．根据图形判断①c＞0； ②a+b+c＜0；③2a-b＜0；④b
2
8
a
4
ac
中正确的是________（填写序号）． 9．（2015•长春）如图，在平面直角坐标系中，点 A 在抛物线 y=x2﹣2x+2 上运动．过点 A 作 AC⊥x 轴于 点C，以 AC 为对角线作矩形 ABCD，连结 BD，则对角线 BD 的最小值为 ． 10．抛物线 y=x2 +bx+c 与 x 轴的正半轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C 点，且线段 AB 的长为 1，△ABC 的面 积为 1，则 b 的值是_____. 11．抛物线 y=x2 +kx-2k 通过一个定点，这个定点的坐标是_ ____. 12．已知抛物线 y=x2 +x+b2 经过点 ，则 y1的值是___ __. 三、解答题 13．（2015•北京）在平面直角坐标系 xOy 中，过点（0，2）且平行于 x 轴的直线，与直线 y=x﹣1 交于点 A，点 A 关于直线 x=1 的对称点为 B，抛物线 C1：y=x2+bx+c 经过点 A，B．（1）求点 A，B 的坐标；
（2）求抛物线 C1的表达式及顶点坐标；
14．如图，已知抛物线 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的对称 轴与 x 轴交于点 D. 点 M 从 O 点出发，以每秒 1 个单位长度的速度向 B 运动，过 M 作 x 轴的垂线，交 抛物线于点 P，交 BC 于 Q. (1)求点 B 和点 C 的坐标； (2)设当点 M 运动了 x(秒)时，四边形 OBPC 的面积为 S，求 S 与 x 的函数关系式， 并指出自变量 x 取值范围. (3)在线段 BC 上是否存在点 Q，使得△DBQ 成为以 BQ 为一腰的等腰三角形？若存在，求出点 Q 的坐标， 若不存在，说明理由. 15.如图，抛物线 经过直线 与坐标轴的两个交点 ，此抛物线与 轴的另一 个交点为 ，抛物线的顶点为 . (1)求此抛物线的解析式； (2)点 为抛物线上的一个动点，求使 的点 的坐标.
【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】D； 【解析】∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点， ∴点（﹣2，0）关于对称轴的对称点横坐标 x2满足：﹣2＜x2＜2， ∴﹣2＜ ＜0， ∴抛物线的对称轴在y 轴左侧且在直线 x=﹣2 的右侧．故选 D． 2.【答案】A； 【解析】由于抛物线
y ax bx c
2
经过点 A(-2，0)，O(0，0)，所以其对称轴为x
1
， 根据抛物线对称性知当x
3
和x
1
时，其函数值相等， ∵a
0
，开口向下，当x
2
时，y 随 x 增大而减小，又
2 1 3
，∴y
1
y
2． 3.【答案】C； 【解析】由图象知a
0
，c
1
，0
2
b
a
，∴b
0
，当x
1
时，a b c
0
， 当x
1
时，a b c
0
，∴ ①②③④正确． 4.【答案】B ；【解析】由表可知 1＜x1＜2，∴ 0＜y1＜1，3＜x2＜4，∴ 1＜y2＜4，故 y1＜y2.
5.【答案】A ； 【解析】由顶点(n，k)在(m，h)的上方，且对称轴相同，∴ m＝n，k＞h. 6.【答案】C ； 【解析】观察图象在 0≤x≤3 时的最低点为(1，-1)，最高点为(3，3)，故有最小值-1，有最大值 3. 二、填空题 7．【答案】11 ； 【解析】将
y x
2
3
x
5
向左平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位，得y x
2
3
x
7
． ∴ a＝1，b＝3，c＝7. 8．【答案】②④； 【解析】观察图象知抛物线与 y 轴交于负半轴，则c
0
，故①是错误的；当x
1
时，y
0
， 即a b c
0
，故②是正确的；由于抛物线对称轴在 y 轴右侧，则0
2
b
a
， ∵a
0
，∴b
0
，故2
a b
0
，故③是错误的；∵a
0
，b
2
4
ac
0
，当点A 在抛物线的顶点时，点 A 到 x 轴的距离最小，最小值为 1， ∴对角线BD 的最小值为 1． 10．【答案】-3； 【解析】设抛物线 y=x2 +bx+c 与 x 轴交点的坐标是 x1、x2，则 x2- x1=1，△ABC 的面积为 1 得 c=2, 由根与系数关系化为
x
1
x
2
3
， 即b
= 3
a
，由2
0
b
a
＞
得b
=3
a
，b
3
. 11．【答案】(2，4)； 【解析】若抛物线 y=x2 +kx-2k 通过一个定点，则与 k 值无关，即整理 y=x2 +kx-2k 得 y=x2 +k（x-2）， x-2=0，解得 x=2,代入 y=x2 +k（x-2），y=4,所以过点(2，4). 12．【答案】3
4
； 【解析】 又因为函数图象经过 ，所以 ，代入即可求得. 三、解答题 13.【答案与解析】 解：（1）当 y=2 时，则 2=x﹣1， 解得：x=3， ∴A（3，2）， ∵点A 关于直线 x=1 的对称点为 B， ∴B（﹣1，2）． （2）把（3，2），（﹣2，2）代入抛物线 C1：y=x2+bx+c 得： 解得： ∴y=x2﹣2x﹣1． 顶点坐标为（1，﹣2）． （3）如图，当 C2过A 点，B 点时为临界，代入A（3，2）则 9a=2， 解得：a= ， 代入B（﹣1，2），则 a（﹣1）2=2， 解得：a=2， ∴ 14.【答案与解析】 (1)把 x=0 代入 得点 C 的坐标为 C(0，2) 把 y=0 代入 得点 B 的坐标为 B(3，0)； (2)连结 OP，设点 P 的坐标为 P(x，y) = = ∵ 点 M 运动到 B 点上停止，∴ ， ∴ ( )； (3)存在. BC= = ① 若 BQ=DQ ∵ BQ=DQ，BD=2 ∴ BM=1 ∴OM=3-1=2 ∴ ∴QM= 所以 Q 的坐标为 Q(2， )； ② 若 BQ=BD=2 ∵△BQM∽△BCO，∴ = = ∴ = ∴ QM=
(1)直线 与坐标轴的交点 ， . 则 解得 此抛物线的解析式 . (2)抛物线的顶点 ，与 轴的另一个交点 . 设 ，则 . 化简得 . 当 ，得 或 . 或 当 时，即 ，此方程无解. 综上所述，满足条件的点的坐标为 或 .
