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补充：贝塞尔曲线
.. . 高等数学课程 . 2020 年 2 月 12 日 . 暨南大学数学系 吕荐瑞. .
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贝塞尔曲线简介
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第一节
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伯恩斯坦多项式
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第二节
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贝塞尔曲线定义
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第三节
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贝塞尔曲线应用
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第四节
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贝塞尔曲面简介
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第五节
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贝塞尔曲线
贝 塞 尔 曲 线，又 称 贝 济 埃 曲 线， 是在计算机图形学中广泛使用的 一种参数曲线． 皮埃尔·贝塞尔 (Pierre B´ezier) 是 法 国 雷 诺 汽 车 公 司 的 工 程 师， 他从 1962 年开始在汽车外形设 计中运用此类曲线． 图片来源：Wikipedia ..
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贝塞尔曲线
贝 塞 尔 曲 线，又 称 贝 济 埃 曲 线， 是在计算机图形学中广泛使用的 一种参数曲线． 皮埃尔·贝塞尔 (Pierre B´ezier) 是 法 国 雷 诺 汽 车 公 司 的 工 程 师， 他从 1962 年开始在汽车外形设 计中运用此类曲线． 图片来源：Wikipedia ..
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贝塞尔曲线
贝塞尔的想法是先用折线勾画出汽车外形的大致轮廓， 然后用光滑的参数曲线去逼近这个折线多边形． . ..
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贝塞尔曲线
贝塞尔的想法是先用折线勾画出汽车外形的大致轮廓， 然后用光滑的参数曲线去逼近这个折线多边形． . ..
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贝塞尔曲线
贝塞尔曲线的优点在于 1 常用的贝塞尔曲线是三次参数曲线，计算快捷． 2 存储时只需记录若干控制点的坐标，节省空间． 因此贝塞尔曲线在计算机图形中得到广泛应用． 比如电脑字体中的各个字符的轮廓， 就是用贝塞尔曲线来描述的，右图显 示了 Windows 系统中的楷体汉字． ..
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贝塞尔曲线
贝塞尔曲线的优点在于 1 常用的贝塞尔曲线是三次参数曲线，计算快捷． 2 存储时只需记录若干控制点的坐标，节省空间． 因此贝塞尔曲线在计算机图形中得到广泛应用． 比如电脑字体中的各个字符的轮廓， 就是用贝塞尔曲线来描述的，右图显 示了 Windows 系统中的楷体汉字． ..
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贝塞尔曲线简介
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第一节
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伯恩斯坦多项式
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第二节
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贝塞尔曲线定义
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第三节
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贝塞尔曲线应用
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第四节
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贝塞尔曲面简介
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第五节
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伯恩斯坦多项式
贝塞尔曲线的定义需要用到下面的伯恩斯坦多项式． 定义 给定正整数 n，以及 0 ¶ k ¶ n，我们定义 n+ 1 个 n 次多项式 bk,n(t) = Ckntk(1 − t)n−k 其中 Ck n 是组合数．这些多项式称为伯恩斯坦多项式． 性质 所有 n 次伯恩斯坦多项式之和恒为零． ..
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伯恩斯坦多项式
贝塞尔曲线的定义需要用到下面的伯恩斯坦多项式． 定义 给定正整数 n，以及 0 ¶ k ¶ n，我们定义 n+ 1 个 n 次多项式 bk,n(t) = Ckntk(1 − t)n−k 其中 Ck n 是组合数．这些多项式称为伯恩斯坦多项式． 性质 所有 n 次伯恩斯坦多项式之和恒为零． ..
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伯恩斯坦多项式
贝塞尔曲线的定义需要用到下面的伯恩斯坦多项式． 定义 给定正整数 n，以及 0 ¶ k ¶ n，我们定义 n+ 1 个 n 次多项式 bk,n(t) = Ckntk(1 − t)n−k 其中 Ck n 是组合数．这些多项式称为伯恩斯坦多项式． 性质 所有 n 次伯恩斯坦多项式之和恒为零． ..
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伯恩斯坦多项式
例 1 当 n = 2 时，3 个伯恩斯坦多项式之和 b0,2(t) + b1,2(t) + b2,2(t) = (1 − t)2+ 2t(1 − t) + t2 = 0 例 2 当 n = 3 时，4 个伯恩斯坦多项式之和 b0,3(t) + b1,3(t) + b2,3(t) + b3,3(t) = (1 − t)3+ 3t(1 − t)2+ 3t2(1 − t) + t3 = 0 ..
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伯恩斯坦多项式
例 1 当 n = 2 时，3 个伯恩斯坦多项式之和 b0,2(t) + b1,2(t) + b2,2(t) = (1 − t)2+ 2t(1 − t) + t2 = 0 例 2 当 n = 3 时，4 个伯恩斯坦多项式之和 b0,3(t) + b1,3(t) + b2,3(t) + b3,3(t) = (1 − t)3+ 3t(1 − t)2+ 3t2(1 − t) + t3 = 0 ..
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贝塞尔曲线简介
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第一节
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伯恩斯坦多项式
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第二节
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贝塞尔曲线定义
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第三节
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贝塞尔曲线应用
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第四节
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贝塞尔曲面简介
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第五节
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贝塞尔曲线
定义 给定平面或空间中 n+ 1 个点 P0, P1, · · · , Pn， 我们定义参数曲线 P(t) = n ∑ =0 b,n(t) P, 0¶ t ¶1. 并称它为 n 次贝塞尔曲线，称这些点为曲线的控制点， 称这些点依次连接起来所得折线为曲线的控制多边形． ..
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一次贝塞尔曲线
例 1 给定空间中两点 P0(0,y0) 和 P1(1,y1,z1)， 则所得到的一次贝塞尔曲线为 P(t) = (1 − t) · (0,y0,z0) + t · (1,y1,z1). 令 P(t) = (t),y(t),z(t)，则该曲线的参数方程 (t) = 0+ (1− 0) t, y(t) = y0+ (y1− y0) t, z(t) = z0+ (z1− z0) t, (0 ¶ t ¶ 1). 因此，一次贝塞尔曲线就是连接两点的直线段 P0P1． 注记 我们要将 P 视为向量，P(t) 视为向量值函数． ..
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一次贝塞尔曲线
例 1 给定空间中两点 P0(0,y0) 和 P1(1,y1,z1)， 则所得到的一次贝塞尔曲线为 P(t) = (1 − t) · (0,y0,z0) + t · (1,y1,z1). 令 P(t) = (t),y(t),z(t)，则该曲线的参数方程 (t) = 0+ (1− 0) t, y(t) = y0+ (y1− y0) t, z(t) = z0+ (z1− z0) t, (0 ¶ t ¶ 1). 因此，一次贝塞尔曲线就是连接两点的直线段 P0P1． 注记 我们要将 P 视为向量，P(t) 视为向量值函数． ..
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一次贝塞尔曲线
例 1 给定空间中两点 P0(0,y0) 和 P1(1,y1,z1)， 则所得到的一次贝塞尔曲线为 P(t) = (1 − t) · (0,y0,z0) + t · (1,y1,z1). 令 P(t) = (t),y(t),z(t)，则该曲线的参数方程 (t) = 0+ (1− 0) t, y(t) = y0+ (y1− y0) t, z(t) = z0+ (z1− z0) t, (0 ¶ t ¶ 1). 因此，一次贝塞尔曲线就是连接两点的直线段 P0P1． 注记 我们要将 P 视为向量，P(t) 视为向量值函数． ..
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二次贝塞尔曲线
例 2 给定平面上三点 P0(1,0), P1(1,1), P2(0,1)， 则所得到的二次贝塞尔曲线为 P(t) = (1−t)2· (1,0) + 2t(1−t) · (1,1) + t2· (0,1) = (1 − t2 ,2t− t2) 令 P(t) = (t),y(t)，则曲线 的参数方程为 ( (t) = 1 − t2, y(t) = 2t − t2, (0 ¶ t ¶ 1). 作为对比，图中的虚线是圆弧． .. P0 . P1 . P2 . O ..
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二次贝塞尔曲线
例 2 给定平面上三点 P0(1,0), P1(1,1), P2(0,1)， 则所得到的二次贝塞尔曲线为 P(t) = (1−t)2· (1,0) + 2t(1−t) · (1,1) + t2· (0,1) = (1 − t2 ,2t− t2) 令 P(t) = (t),y(t)，则曲线 的参数方程为 ( (t) = 1 − t2, y(t) = 2t − t2, (0 ¶ t ¶ 1). 作为对比，图中的虚线是圆弧． .. P0 . P1 . P2 . O ..
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二次贝塞尔曲线
例 3 给定平面上三点 P0(0,0), P1(1,1), P2(2,0)， 则所得到的二次贝塞尔曲线为 P(t) = (1−t)2· (0,0) + 2t(1−t) · (1,1) + t2· (2,0) = (2t,2t− 2t2) 令 P(t) = (t),y(t)，则曲线 的参数方程为 ( (t) = 2t, y(t) = 2t − 2t2, (0 ¶ t ¶ 1). ..P.0 P1 . P2 ..
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二次贝塞尔曲线
例 3 给定平面上三点 P0(0,0), P1(1,1), P2(2,0)， 则所得到的二次贝塞尔曲线为 P(t) = (1−t)2· (0,0) + 2t(1−t) · (1,1) + t2· (2,0) = (2t,2t− 2t2) 令 P(t) = (t),y(t)，则曲线 的参数方程为 ( (t) = 2t, y(t) = 2t − 2t2, (0 ¶ t ¶ 1). ..P.0 P1 . P2 ..
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三次贝塞尔曲线
例 4 给定平面上四点 P0(0,0), P1(1,1), P2(2,1), P3(2,0)，则所得到的三次贝塞尔曲线为 P(t) = (1 − t)3· (0,0) + 3t(1 − t)2· (1,1) + 3t2(1 − t) · (2 ,1) + t3· (2,0) = (3t − t3 ,3t− 3t2). 令 P(t) = (t),y(t)，则曲线 的参数方程为 ( (t) = 3t − t3, y(t) = 3t − 3t2. (0 ¶t ¶ 1). .. P0 . P1 . P2 . P3 ..
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三次贝塞尔曲线
例 4 给定平面上四点 P0(0,0), P1(1,1), P2(2,1), P3(2,0)，则所得到的三次贝塞尔曲线为 P(t) = (1 − t)3· (0,0) + 3t(1 − t)2· (1,1) + 3t2(1 − t) · (2 ,1) + t3· (2,0) = (3t − t3 ,3t− 3t2). 令 P(t) = (t),y(t)，则曲线 的参数方程为 ( (t) = 3t − t3, y(t) = 3t − 3t2. (0 ¶t ¶ 1). .. P0 . P1 . P2 . P3 ..
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三次贝塞尔曲线
例 5 给定平面上四点 P0(0,0), P1(1,1), P2(1,−1), P3(2,0)，则所得到的三次贝塞尔曲线为 P(t) = (1 − t)3· (0,0) + 3t(1 − t)2· (1,1) + 3t2(1 − t) · (1 ,−1) + t3· (2,0) = (3t − 3t2+ 2t3 ,3t− 9t2+ 6t3). 令 P(t) = (t),y(t)，则曲线 的参数方程为 (0 ¶ t ¶ 1) ( (t) = 3t − 3t2+ 2t3, y(t) = 3t − 9t2+ 6t3. .. P0 . P1 . P2 . P3 ..
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三次贝塞尔曲线
例 5 给定平面上四点 P0(0,0), P1(1,1), P2(1,−1), P3(2,0)，则所得到的三次贝塞尔曲线为 P(t) = (1 − t)3· (0,0) + 3t(1 − t)2· (1,1) + 3t2(1 − t) · (1 ,−1) + t3· (2,0) = (3t − 3t2+ 2t3 ,3t− 9t2+ 6t3). 令 P(t) = (t),y(t)，则曲线 的参数方程为 (0 ¶ t ¶ 1) ( (t) = 3t − 3t2+ 2t3, y(t) = 3t − 9t2+ 6t3. .. P0 . P1 . P2 . P3 ..
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贝塞尔曲线的性质
性质 贝塞尔曲线与控制点之间的有如下关系： 1 P(0) = P0，P′(0) = n(P1− P0)． 2 P(1) = Pn，P′(1) = n(Pn− Pn−1)． 或者说 1 贝塞尔曲线的起点与控制点 P0 重合， 且在 P0 点的切线与直线 P0P1 重合． 2 贝塞尔曲线的终点与控制点 Pn 重合， 且在 Pn 点的切线与直线 Pn−1Pn 重合． ..
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贝塞尔曲线的性质
性质 贝塞尔曲线与控制点之间的有如下关系： 1 P(0) = P0，P′(0) = n(P1− P0)． 2 P(1) = Pn，P′(1) = n(Pn− Pn−1)． 或者说 1 贝塞尔曲线的起点与控制点 P0 重合， 且在 P0 点的切线与直线 P0P1 重合． 2 贝塞尔曲线的终点与控制点 Pn 重合， 且在 Pn 点的切线与直线 Pn−1Pn 重合． ..
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贝塞尔曲线简介
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第一节
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伯恩斯坦多项式
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第二节
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贝塞尔曲线定义
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第三节
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贝塞尔曲线应用
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第四节
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贝塞尔曲面简介
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用贝塞尔曲线作曲线逼近
例 1 用三次贝塞尔曲线逼近单位圆周 2+ y2 = 1 在 第一象限部分． 解答 由贝塞尔曲线的性质，我们可以设 P0(1,0), P1(1,λ), P2(λ,1), P3(0,1). 则对应的三次贝塞尔曲线为 P(t) = ((t),y(t)) = (1 − t)3· (1 ,0) + 3t(1 − t)2· (1,λ) + 3t2(1 − t) · (λ ,1) + t3· (0,1) 即 ¨ (t) = 1 − 3t2+ 2t3+ λ(3t2− 3t3), y(t) = 3t2− 2t3+ λ(3t − 6t2+ 3t3). ..
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用贝塞尔曲线作曲线逼近
例 1 用三次贝塞尔曲线逼近单位圆周 2+ y2 = 1 在 第一象限部分． 解答 由贝塞尔曲线的性质，我们可以设 P0(1,0), P1(1,λ), P2(λ,1), P3(0,1). 则对应的三次贝塞尔曲线为 P(t) = ((t),y(t)) = (1 − t)3· (1 ,0) + 3t(1 − t)2· (1,λ) + 3t2(1 − t) · (λ ,1) + t3· (0,1) 即 ¨ (t) = 1 − 3t2+ 2t3+ λ(3t2− 3t3), y(t) = 3t2− 2t3+ λ(3t − 6t2+ 3t3). ..
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用贝塞尔曲线作曲线逼近
例 1 用三次贝塞尔曲线逼近单位圆周 2+ y2 = 1 在 第一象限部分． 解答 由贝塞尔曲线的性质，我们可以设 P0(1,0), P1(1,λ), P2(λ,1), P3(0,1). 则对应的三次贝塞尔曲线为 P(t) = ((t),y(t)) = (1 − t)3· (1 ,0) + 3t(1 − t)2· (1,λ) + 3t2(1 − t) · (λ ,1) + t3· (0,1) 即 ¨ (t) = 1 − 3t2+ 2t3+ λ(3t2− 3t3), y(t) = 3t2− 2t3+ λ(3t − 6t2+ 3t3). ..
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用贝塞尔曲线作曲线逼近
例 1 用三次贝塞尔曲线逼近单位圆周 2+ y2 = 1 在 第一象限部分． 解答 由贝塞尔曲线的性质，我们可以设 P0(1,0), P1(1,λ), P2(λ,1), P3(0,1). 则对应的三次贝塞尔曲线为 P(t) = ((t),y(t)) = (1 − t)3· (1 ,0) + 3t(1 − t)2· (1,λ) + 3t2(1 − t) · (λ ,1) + t3· (0,1) 即 ¨ (t) = 1 − 3t2+ 2t3+ λ(3t2− 3t3), y(t) = 3t2− 2t3+ λ(3t − 6t2+ 3t3). ..
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用贝塞尔曲线作曲线逼近
解答 (续) 欲得到较好的逼近效果，可令贝塞尔曲线 的中点与圆弧的中点重合，即 12,y12= p 2 2 , p 2 2 . 代入前面的参数方程，解得 λ= λ0 = 4(p2−1) 3 ≈ 0.5523. 图中红线是圆弧，蓝线是贝塞尔曲线． .. P0 . P1 . P2 . P3 . O 从绘制出的图形看，贝塞尔曲线已经非常接近圆弧了． ..
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用贝塞尔曲线作曲线逼近
解答 (续) 现在来分析逼近误差 ε(t) = [(t)]2+ [y(t)]2− 1. 代入贝塞尔曲线的参数方程，得到 ε(t) = A t2(t − 1/2)2(t − 1)2, 其中 A = 2(3λ0− 2)2 = 8(3 − 2 p 2)2 ≈ 0.2355． 求得 ε(t) 在 0 ¶t ¶ 1 中的最大值为 A 432 ≈ 0.0005. 即用贝塞尔曲线代替圆弧时，逼近误差已经相当小了． ..
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用贝塞尔曲线作曲线逼近
解答 (续) 现在来分析逼近误差 ε(t) = [(t)]2+ [y(t)]2− 1. 代入贝塞尔曲线的参数方程，得到 ε(t) = A t2(t − 1/2)2(t − 1)2, 其中 A = 2(3λ0− 2)2 = 8(3 − 2 p 2)2 ≈ 0.2355． 求得 ε(t) 在 0 ¶t ¶ 1 中的最大值为 A 432 ≈ 0.0005. 即用贝塞尔曲线代替圆弧时，逼近误差已经相当小了． ..
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用贝塞尔曲线作曲线逼近
解答 (续) 现在来分析逼近误差 ε(t) = [(t)]2+ [y(t)]2− 1. 代入贝塞尔曲线的参数方程，得到 ε(t) = A t2(t − 1/2)2(t − 1)2, 其中 A = 2(3λ0− 2)2 = 8(3 − 2 p 2)2 ≈ 0.2355． 求得 ε(t) 在 0 ¶t ¶ 1 中的最大值为 A 432 ≈ 0.0005. 即用贝塞尔曲线代替圆弧时，逼近误差已经相当小了． ..
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三次贝塞尔曲线
从之前例子可以看出，随着次数的增加，贝塞尔曲线 的变化也更加多样．因此贝塞尔曲线足够描述实际应 用中的复杂几何图形． 但是，在实际应用中我们通常只使用三次贝塞尔曲线． 这是因为，如果其中一个控制点的坐标变化了，整个 贝塞尔曲线的形状也变化了．这样次数越高越不容易 对曲线作局部调整．常见的软件中，PowerPoint, Inkscape, Photoshop, Illustrator, CorelDraw 都支持绘制三次贝塞尔曲线．
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三次贝塞尔曲线
从之前例子可以看出，随着次数的增加，贝塞尔曲线 的变化也更加多样．因此贝塞尔曲线足够描述实际应 用中的复杂几何图形． 但是，在实际应用中我们通常只使用三次贝塞尔曲线． 这是因为，如果其中一个控制点的坐标变化了，整个 贝塞尔曲线的形状也变化了．这样次数越高越不容易 对曲线作局部调整．常见的软件中，PowerPoint, Inkscape, Photoshop, Illustrator, CorelDraw 都支持绘制三次贝塞尔曲线．
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三次贝塞尔曲线
从之前例子可以看出，随着次数的增加，贝塞尔曲线 的变化也更加多样．因此贝塞尔曲线足够描述实际应 用中的复杂几何图形． 但是，在实际应用中我们通常只使用三次贝塞尔曲线． 这是因为，如果其中一个控制点的坐标变化了，整个 贝塞尔曲线的形状也变化了．这样次数越高越不容易 对曲线作局部调整．常见的软件中，PowerPoint, Inkscape, Photoshop, Illustrator, CorelDraw 都支持绘制三次贝塞尔曲线．
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三次贝塞尔曲线
从之前例子可以看出，随着次数的增加，贝塞尔曲线 的变化也更加多样．因此贝塞尔曲线足够描述实际应 用中的复杂几何图形． 但是，在实际应用中我们通常只使用三次贝塞尔曲线． 这是因为，如果其中一个控制点的坐标变化了，整个 贝塞尔曲线的形状也变化了．这样次数越高越不容易 对曲线作局部调整．常见的软件中，PowerPoint, Inkscape, Photoshop, Illustrator, CorelDraw 都支持绘制三次贝塞尔曲线．
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三次贝塞尔曲线
要描述精细的几何图形，可以用多条三次贝塞尔曲线 连接起来．比如（下图中 P3 和 Q0 重合） . . P0 . P1 . P2 . P3 . Q0 . Q1 . Q2 . Q3 .... .... 三次贝塞尔曲线的四个控制点可分为两类：P0 和 P3 称为顶点(或锚点)，P1 和 P2 称为控点(或方向点)． 若 P3P2 与 Q0Q1 不共线，称 P3(即 Q0) 为角部顶点． ..
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三次贝塞尔曲线
要描述精细的几何图形，可以用多条三次贝塞尔曲线 连接起来．比如（下图中 P3 和 Q0 重合） . . P0 . P1 . P2 . P3 . Q0 . Q1 . Q2 . Q3 .... .... 三次贝塞尔曲线的四个控制点可分为两类：P0 和 P3 称为顶点(或锚点)，P1 和 P2 称为控点(或方向点)． 若 P3P2 与 Q0Q1 不共线，称 P3(即 Q0) 为角部顶点． ..
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三次贝塞尔曲线
要描述精细的几何图形，可以用多条三次贝塞尔曲线 连接起来．比如（下图中 P3 和 Q0 重合） . . P0 . P1 . P2 . P3 . Q0 . Q1 . Q2 . Q3 .... .... 三次贝塞尔曲线的四个控制点可分为两类：P0 和 P3 称为顶点(或锚点)，P1 和 P2 称为控点(或方向点)． 若 P3P2 与 Q0Q1 不共线，称 P3(即 Q0) 为角部顶点． ..
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三次贝塞尔曲线
要描述精细的几何图形，可以用多条三次贝塞尔曲线 连接起来．比如（下图中 P3 和 Q0 重合） . . P0 . P1 . P2 . P3 . Q0 . Q1 . Q2 . Q3 .... .... 三次贝塞尔曲线的四个控制点可分为两类：P0 和 P3 称为顶点(或锚点)，P1 和 P2 称为控点(或方向点)． 若 P3P2 与 Q0Q1 不共线，称 P3(即 Q0) 为角部顶点． ..
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三次贝塞尔曲线
要去掉两条三次贝塞尔曲线连接处的尖角，可以让 P3P2 与 Q0Q1 方向相反．比如 . . P0 . P1 . P2 . P3 . Q0 . Q1 . Q2 . Q3 .... .... 如果 P3P2 与 Q0Q1 方向相反，我们称 P3（即 Q0） 为直线顶点． ..
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三次贝塞尔曲线
要去掉两条三次贝塞尔曲线连接处的尖角，可以让 P3P2 与 Q0Q1 方向相反．比如 . . P0 . P1 . P2 . P3 . Q0 . Q1 . Q2 . Q3 .... .... 如果 P3P2 与 Q0Q1 方向相反，我们称 P3（即 Q0） 为直线顶点． ..
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三次贝塞尔曲线
要去掉两条三次贝塞尔曲线连接处的尖角，可以让 P3P2 与 Q0Q1 方向相反．比如 . . P0 . P1 . P2 . P3 . Q0 . Q1 . Q2 . Q3 .... .... 如果 P3P2 与 Q0Q1 方向相反，我们称 P3（即 Q0） 为直线顶点． ..
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三次贝塞尔曲线
要让两条三次贝塞尔曲线连接处更加光滑，可以让 P3P2 与 Q0Q1 方向相反且大小相等．比如 . . P0 . P1 . P2 . P3 . Q0 . Q1 . Q2 . Q3 .... .... 如果 P3P2 与 Q0Q1 方向相反且大小相等，我们称 P3 （即 Q0）为平滑顶点．此时曲线的切向量连续变化． ..
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三次贝塞尔曲线
要让两条三次贝塞尔曲线连接处更加光滑，可以让 P3P2 与 Q0Q1 方向相反且大小相等．比如 . . P0 . P1 . P2 . P3 . Q0 . Q1 . Q2 . Q3 .... .... 如果 P3P2 与 Q0Q1 方向相反且大小相等，我们称 P3 （即 Q0）为平滑顶点．此时曲线的切向量连续变化． ..
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三次贝塞尔曲线
要让两条三次贝塞尔曲线连接处更加光滑，可以让 P3P2 与 Q0Q1 方向相反且大小相等．比如 . . P0 . P1 . P2 . P3 . Q0 . Q1 . Q2 . Q3 .... .... 如果 P3P2 与 Q0Q1 方向相反且大小相等，我们称 P3 （即 Q0）为平滑顶点．此时曲线的切向量连续变化． ..
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贝塞尔曲线简介
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第一节
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伯恩斯坦多项式
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第二节
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贝塞尔曲线定义
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第三节
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贝塞尔曲线应用
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第四节
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贝塞尔曲面简介
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第五节
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贝塞尔曲面
定义 设 P,j（ = 0,1,2· · · ,n; j = 0,1,2,· · · ,m） 是空间中给定的 (n + 1) × (m + 1) 个点，参数曲面 P(,) = n ∑ =0 m ∑ j=0 b,n() bj,m() P,j, 0¶ , ¶1. 称为 n× m 次贝塞尔曲面，这些点称为曲面的控制点． ..
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