比較台灣部編版和美國 (MIC)教材設計的差異性----以線性方程式主題為例

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比較台灣部編版和美國 (MIC)教材設計的差異性

----以線性方程式主題為例

陳仁輝1 、楊德清2 1 嘉義市嘉義國中、2 國立嘉義大學數學教育研究所

摘要

本文之主要目的在比較美國「情境數學」(Mathematics in Context，簡稱 MiC)及台灣「部編版數學」二種數學教材中之方程式相關的課程內容，以作為改進教材之參考。研究結果發現：「部編版數學」提供學生許多做數學的機會，但教材主要在強調「如何解題」的「應試數學」模式，顯示出升學考試仍深深地影響著教材。此外教材也未能提供學生說明想法或演算過程的機會。相對地，MiC 無論是在問題情境的設計、佈題方式的安排、主題知識間的連結及多元解題策略的培養上，都提供給學生較佳的發展機會。此外，「情境數學」在學習內容的安排上，鼓勵師生互動、討論的學習過程；培養合理判斷、理性溝通、明確表達的能力，為培養學生具備未來國民的應有的數學能力，提供了一個較佳的教材模式。

壹、前言

數學教育在近二十年來的教育改革中，一直扮演著重要的角色，而學校教科書則因直接影響到教與學的過程，更突顯出它在學校數學教育中的重要地位 (Reys, 2006; Valverde, Bianchi, Wolfe, Schmidt, & Houang, 2002)。台灣自九年一貫課程實施並開放教科書由民間出版以來，「一綱一本 V.S.一綱多本」的爭論未曾稍緩(方旭，2007)，正突顯了教科書在這一波數學課程革新中對學生所造成之深度影響。調查研究顯示，國中學生最不喜歡的科目中，數學佔首位，而且總是居高不下（教育資料文摘第250 期，1998）。面對學生普遍缺乏上數學課的興趣，以及學生的數學程度具有極大的個別差異，數學教師們莫不至感困

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擾！筆者就「如何提昇學生對數學的學習動機以及學生該如何學才能學好數學」為主題，在學校數學科領域會議中和其他的教師進行深度的討論和剖析，教師們普遍認同：「現在的學生對數學都普遍缺乏興趣！」、「學生對數學沒感覺，教科書要負部分的責任」、「如果教材能更活潑生動，內容更生活化一點，學生對數學的印象才有可能改變。」等看法，可見數學老師們也認同教科書對數學的學習產生影響(Tornroos, 2004)，且對「教科書的改進能提昇數學教學成效」持正面的態度，換言之，教師們認為現行教科書還有改進的空間，內容還可以更充實、更實用、更友善一些。此外，也有教師主張「多作、多練習」才是學習的治本之道，筆者不禁自問：真的是只要多作、多練習、多熟悉題目，就真的能改善學習成效嗎？觀諸現今國際間數學教育一致強調學生數學能力的提升，國內九年一貫課程亦強調讓學生在學習的過程中培養學生解題的能力(教育部，2002；鐘靜，1996)。學者張景媛(1994)也認為：在數學知識的傳授中，最主要的是在能力的學習發展，傳遞數學知識時也並無固定的教學策略，但重要的是要讓學生在學習過程中能正確地自我建構數學概念。因此，筆者認為以優質的教材引發學生的學習興趣，再培養學生樂在數學的態度，形塑最佳的學習過程，才是發展與提升學生數學能力的良策！在國中一年級的數學課程中，正式地引進了代數式的概念，這種由數到式的提昇，呈現在從特殊的數到一般的抽象的含字母的代數式的過渡，以達成由具體到一般，形塑由具體到抽象的能力，是數學上的一大轉折點，對國中學生而言更是一大挑戰。相關的研究也顯示，國中一年級的學生在學習解二元一次方程式的應用問題時，經常會遭遇到困難。因此筆者選定美國之「情境數學」 (Mathematics in Context，簡稱MiC)及台灣之「部編版數學」二種數學教材，剖析教材中關涉方程式的課程內容，並進行不同面向的比較研究，希望能藉此汲取各版本在一次方程式內容的優點，作為改進教材之參考，進而能促進學生數學能力之發展。

貳、研究對象

本研究所比較的兩本教材分別為美國之「情境數學」(Mathematics in

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Context)及台灣之「部編版數學」。

（一）美國 MiC（Mathematics in Context）

MiC 教材是由美國國家科學發展協會（National Science Foundation，簡稱 NSF）為改進美國學校數學課程所發展之教科書。教材由荷蘭烏特勒支大學（University of Utrecht）之福祿丹索研究機構（Freudenthal Institute）、美國威斯康辛大學—麥迪遜教育學院之教育研究發展中心及美國中等學校教師群共同研發之教材。整套教材內容涵括 5~8 共四個年級，其設計服膺真實數學理念，使用多樣的內容情境，讓學生能夠在情境脈絡中進行概念探索，透過策略分享及問題解決的歷程，以建構學生的數學理解。MiC 特別重視培養學生在真實情境中解決問題與應用數學知識的能力，鼓勵幫助學生發展多樣的想法及解題策略，同時重視學生推測、討論、檢驗答案合理性的能力（Romberg & Shafer, 2003），以建構學生多元的數學能力。（二）台灣部編版教材隨著台灣教育政策的改變，國民中小學教科書亦隨著西元 2000 年的九年一貫課程實施而全面開放民間編印，然而實施以來卻也遭遇了許多始料未及的困境，如：對一綱多本教科書的無所適從、無法切合基礎學科能力測驗的題目、內容的疏漏甚至課程無法銜接等困境。「部編版數學」即是教育部為解決前述的問題，依據「國民中學九年一貫數學領域課程正式綱要」所發展出來的教材。教材從數學的知識觀點出發，配合學生心智的發展，盡量以生活的經驗為基礎，藉由實際操作的隨堂活動，使學生獲致概念的學習，培養學生的演算能力、抽象能力、推論能力及溝通能力(教育部，2002)，進而激勵學生運用數學方法解決問題(國立教育研究院籌處，2006)。在理念上，亦強調以學生為課程設計的主體，教材內容講求質精，而不在量多，以既有的經驗來設計教材內容的活動與學習素材，汲取日常生活中的經驗引導學習進入數學的世界，另服膺「國中數學是從生活數學到抽象數學的過渡時期」(教育部，2002)，故特別注重文字說明口語化及數學結構嚴謹的編輯原則(教育部，2005)。本研究採立意取樣，選取美國 MiC 及台灣「部編版數學」為研究對象。主要在比較台灣部編版國中一年級與美國 Mic 七年級的方程式之教材內容。美國 MiC 選取之教材為【Ups and Downs】單元中之【Section C：Linear Patterns，內容包括四個活動：The Marathon；What＇s Next ?；Hair and Nails；Renting

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a Motocycle】和【Building Formulas】單元中之【Section A：Patterns，內容包括三個活動：Tiles；Beams；Tile Floor Design】。「部編版數學」選取的內容包括了：國民中學數學第二冊第三章中之【二元一次聯立方程式，內容包括四節：二元一次方程式的列式；代入消去法；加減消去法；二元一次聯立方程式的應用】及第四章之【第四節：二元一次方程式的圖形】。

強調以學生為學習的主體(Romberg & Shafer, 2003；教育部，2002)，主張知識應由學習者自行建構(NCTM, 2000; 鄭毓信，1998)，已是現今國際間數學課程的共同趨勢，而 PISA(2003)的國際數學評量中，則強調學生在真實情境中解決數學問題的能力（OECD, 2004），因此本研究企圖透過對兩套教材中的內容進行探討，欲了解其情境設計、佈題方式、代數表徵和幾何表徵之引入順序與意義連結及問題解決策略的發展呈現方式的情形及異同，並從現場教學工作者的立場，對不同教材的設計是否符應上述數學教育的大方向，做出判斷。儘管如此，每一套教材也都各有其不同的哲學背景，直接的影響其設計理念與呈現的方式，而一種教材欲獲致最大化的成效，更必須結合適當的教法與評量等因素，礙於篇幅，前述議題將不列入本文的研究範圍。

參、教材內容比較分析

本研究採內容分析法，分別依教材內容中的情境設計、佈題方式、方程式之幾何表徵與代數表徵之連結及問題解決策略的發展模式等四個面向，進行分析比較。比較結果，分述如下：

一、

情境設計

（一）美國 MiC 以真實生活為背景，情境內具故事性、連貫性且脈絡清晰，以循序漸進的方式呈現問題。在教科書的問題情境安排上，「情境數學」的例題中每一個題目都以生活情境為背景，而且都在真實生活中隨時可見，例如：問題一：運動員在運動時，人體的體溫和運動的時間的關係。教材以歷史上有名的「馬拉松之役」揭開問題的序幕，帶領學生進入時空隧道，回到約西元前五百年的希臘古戰場中，猜測傳捷報士兵可能因體溫過高而失去了生命，接著課程內容針對士兵的死因探究，進行時間和體

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溫兩種資料的建立，並探究跑步時間和人體體溫的關係。(Ups and Downs, p.29-30, 2003)

問題二：風景區中的出租機車，有各種不同的租車的費用計算方式，通常都是利用租借車輛行駛的距離(公里數)來計算租金，利用行駛的距離和應付的租金，探討公里數和租金的關係。(Ups and Downs p.37-40, 2003) 上述的問題情境內容，涵括了具有歷史故事的背景，內容環繞在與身體有關的溫度會隨著長跑時間而感受到體溫隨著時間而有所變化，以及學生進行戶外旅遊時，經常會面對的問題情境，如在國內的小琉球、墾丁、阿里山、火車站及各風景區，租借機車自助旅遊更是學生時興的旅遊模式。綜觀上述，不難發現 MiC 所提供的問題情境，大都能以學生為問題的思考主角，因此很自然地與學習者的真實生活有極高的關聯度，易於引發學生的學習動機，進而提高學生的學習成就(Romberg & de Lange, 1998; Gu, Huang, & Marton, 2004)，當然學生學會了之後，能應用在實際生活中的可能性也相對的提高。（二）台灣「部編版數學」僅在列式和解應用問題的內容中才具情境，學生較無法利用情境促進學習，更無法經驗到在情境中逐步建構知識的歷程研究發現，「部編版數學」在方程式相關的主題內容中，除了應用問題外，大部分的例題都沒有情境，例如： (國中數學第二冊，2006，p98) 其中，部分採用情境方式佈題的內容出現在「方程式的列式」和「二元一次方程式的應用」問題中，學生在這些內容中主要是在學習轉譯文字情境為抽象的

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文字表徵，但是採用的問題情境大部分皆偏向於「理想化」或「抽象的」情境，極少真實生活情境問題，因此學生較不容易將利用情境這個學習平台，將他們每天的生活經驗與抽象的數學知識進行連結，例如： (國中數學第二冊，2006，p116) 更特別的是，台灣部編版數學在二元一次方程式的圖形課程內容中，則完全沒有情境。例如： (國中數學第二冊，2006，p164) 在上面這個範例中，教材在這個部分是將繪製「二元一次方程式的圖形」視為一種程序性的知識，因此並未特意地進行情境和相關概念的連結，讓它成為一個孤立的單元。綜合以上，很明顯的地可以發現，「情境數學」採用歷史故事作為教學主題開場的情境背景，再融合了和學生本身習習相關的真實生活情境，文字描述較具故事張力，充分的利用了情境做為學生學習數學的媒介，較易於引起學生的學習動機。相對地，「部編版數學」的佈題中，有為數可觀的問題皆在進行程序性知識的學習，故屬無情境問題，僅在應用問題中，安排了抽象的生活經驗或是理想化的虛擬情境，對學生而言，未能親身經歷的情境容易乃入與真實的生活經驗脫節，當然和學生既有的真實生活數學經驗較無法互相呼應，間接地弱化了學習動機，也降低了學習興趣，不利於學生學習效能的提昇。

小結

Cobb (1995)的研究指出，學生在情境中建構他們自己的知識，更勝於只是應用在數學課中所被教授的解題策略而已，問題情境會誘出非正式的知識並形成「數學化」的起始點(Treffers, 1991)。因此，學校的教學不但不應從真實

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世界中孤立出來，反而應使用學生已從他們每天的生活經驗與知識去和真實的世界相連結(Resnick, Bill & Lesgold, 1992)。更重要的是，情境的佈題可以幫助學生建立非正式的策略(Blote, Klein, & Beishuizen, 2000)。Greer ( 1997) 的研究也顯示，相較於一成不變的傳統問題，情境問題易於驅使學生「模式化」和「數學化」(將真實生活中的情境轉譯成數學形式)。此外，使用真實的情境更能激發出彈性的問題解決策略(Mayer, 1987; Treffers, 1991)。綜合前述的觀點而言，善用情境進行佈題，較有利於學生利用生活經驗及先備的知識進行數學知識的建構與學習，更重要的是，在學習意願低落的台灣數學教室中，若能嘗試地引入適當的情境於教材中，當可提供驅動學生學習動力的的一個機會。

二、

佈題方式

（一）美國 MiC 採帶狀方式佈題，具互動性，藉由重組知識以形塑概念，在動態中學習解題從佈題方式來看，「情境數學」中採互動的設計，在題幹中提供充分的解題資訊，並在完成情境描述後，即開始不斷地以多元的方式對學生提出和題意有關的問題，引導學生依著教材所提的問題，從題目中尋找可用的相關資訊以回答詢問，隨著結構性問題的逐步推演，學生亦不斷的回應教材的提問，直到最後一道問題完成時，逐步引導學生建構出解題的過程亦同時完整。提問的類型則包含了：完成表格、描述想法、提出猜測、繪出可能的圖形和判斷「假設的想法」的可能性等多種不同的型式，相對地，學生也依著不同的問題方式，必須嘗試以對應的方式回應，在過程中，培養學生用不同的方式表達對於問題的想法，間接的也讓學生學習到多重表徵概念的能力。由於在整個解題的過程中，學生均全程參予問答，學生自然而然地配合解題步驟向前推演，為了回應問題，須不斷地重複搜尋可供回應的相關資訊和概念，以持續下一道問題的進行。因此，學生學習解題的過程可說是互動的型態下，不斷地重新形塑概念和重組知識，在動態的流程中學習如何進行解題。

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（二）台灣部編版的佈題方式較單一，採點狀方式佈題，易進行精熟學習，卻也可能窄化學生面對非例行性問題時的解題能力「部編數學」的佈題方式係配合單元知識點的學習而為，大部分的問題只達成一個概念的學習或是運算律則的熟練，在應用問題中，所有的條件在題目中以文字的方式呈現，採取直接點出問題的關鍵條件方式佈題，間接的已為學生摒除不必要的資訊，直接提供學生解題所需主要線索，此種安排久而久之，易讓學生認為在題幹中所出現的所有線索，都是在解題過程中的必要條件，可能因此而將所有數據資料任意組合，進而衍生出不完整的解題認知，此外學生從最初的想法，形成假設，完成列式到完整解題皆獨力完成，萬一無法完整掌握所有解題要件，則無法獲得其它的奧援，導致解題失敗。

小結

不同的佈題方式，將提供給學生不同的學習機會，「情境數學」主要是在解題歷程中建構數學知識，教材以提問的方式引導學生統整先備知識及演算能力，以協助學生完整的建構解題流程，讓不同能力的學生同樣能擁有成功的解題經驗。「部編數學」主要是從解題歷程中驗證知識，教材則採用直接解題的方式，對不同行為起點的學生而言，易讓部分學生在解題中遭到挫折的經驗。換言之，「情境數學」的佈題方式較較友善，能吸引學生的注意力，並保持參予度，讓學生能獲致各自的成功解題經驗，而「部編數學」的佈題方式較易對個別概念或運算程序精熟，提高計算的效度，但在解應用問題時則無法提供學生部分成功的解題回饋，相形之下，讓學生易因局部的能力不足而導致整個解題失敗，甚而減損學習動機。

三、

方程式的代數表徵和幾何表徵之引入順序與意義連結

美國 MiC 的教材內容重視學生在真實生活情境中解決問題的能力，在情境在內容編排架構的呈現上，基於不同的數學教育理念，兩個版本在知識內容的安排各異，「情境數學」以獨立成冊的方式，依著逐步加深的連續篇幅，介紹「線性方程式」(Linear Equation)的內容，相關知識的鋪陳一氣呵成，學習的主題

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明確易於貫通。而「部編數學」則將相關的內容散布在二章中，包含了第三章「二元一次聯立方程式」下的第一節『二元一次方程式的列式』和第四章『函數與直角座標』的第四節『二元一次方程式的圖形』中，從第一個學習主題— 二元一次方程式的列式到最後一個學習主題---二元一次方程式的圖形，期間穿插了許多其它的主題，使得前後兩個重要的學習主題間隔時間長達六個星期，易造成學習主題模糊，不利於「方程式」和「直線」知識的連貫和統整。 (一)、 MiC 的線性方程式內容知識具連貫性，代數意義和幾何意涵的形塑一氣呵成在知識鋪陳的脈絡上，「情境數學」採取「代數、幾何交錯運用」的安排方式，利用學生的先備知識以能進行測量並將結果記錄成表格，由最基本的操作 ---記錄表格內容，記錄問題情境中兩類資料量的變化，藉著將資料列表化的過程，訓練學生觀察出當其中一個資料量產生變化時，另一個資料量亦隨之變化，進階到轉譯資料成另一種型態---圖表，藉著將表單中的資料轉繪，觀察出圖表呈現出某種趨勢的規律性，很自然地將幾何表徵的認識連結到代數方程式的理解。例如： Paul 觀察並記錄剪完頭髮後，接下來生長的情形，他每隔一星期測量一次頭髮的長度，並將結果記錄下來，表格欄位為記錄的星期數和長度。時間（月） 1 2 3 4 5 6 長度(公分) 2 3.5 5 6.5 問題 1．Paul 剛剪完頭髮時的長度有多長？問題 2．五個月後，Paul 的頭髮有多長？為什麼很容易算出來？問題 3．如果成長的速度不變，期間不去剪髮，那麼一年後，Paul 的頭髮有多長？問題 4．如果在某個時間點，Paul 的頭髮有 10 公分長，試問一個月後，Paul 的頭髮有多長？問題 5．如果知道 Paul 現在頭髮的長度(Current)，你可以依據它找出將來頭髮的長度(Next)，試列出一個關於 Current 和 Next 的關係式？

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問題 6．如果 Paul 一年內不去剪髮，試劃出一個圖形表示出 Paul 頭髮長度的情形，並描述這個圖形的形狀？

Paul 的朋友 Sonya 的頭髮在一年內長了 14.4 公分，它可以下列的式子來表示： Next = Current + 14.4 或 Next = Current + 1.2

問題 7．請說明每一個式子所表示的意義問題 8．如果 Sonya 每兩個月會出剪一次頭髮，試劃出 Sonya 一年內頭髮長度的可能情形，並說明你劃的圖形？如果 L = 2 +1.5T 可以表示出 Paul 的頭髮成長的情形，那麼問題 9．想一想，字母 L 和字母 T 分別代表什麼意義呢？數字 2 和 1.5 又分別代表什麼意義呢？問題 10．Sonya 的頭髮長度為 20 公分，而且以每個月 1.4 公分的固定速度成長，試寫出一個包含 L 和 T 的關係式由上述可知，「情境數學」的方程式知識鋪陳是以記錄資料、轉譯成另一種表徵 ---圖表、形成資料的對應圖形為直線，學生先察覺方程式的幾何現象，再以代數推論的方式，推知兩類資料量間的關係為二元一次方程式的代數形式，最後再連結方程式和直線的等價關係，整體而言，MiC 在編排邏輯上服膺由半具體的表徵再深化到抽象的代數表徵，由簡入繁的想法，較能成功地連結方程式的幾何意涵。 (二)、部編版數學的方程式內容先代數後幾何，透過函數連結代數和幾何意義，不易理解在「部編數學」的課程編排上，係採「代數」為主「幾何」為輔，直接延續第一冊一元一次方程式的學習，藉著學生對於一元一次代數式的知識基模，類比到對二元一次代數式的學習上，待學生能掌握二元一次代數式的列式與意義後，再進行相關程序性運算規則。在相同的想法下，教材也藉著學生對於一元一次方程式的理解，類比到對二元一次方程式的意涵的理解，如方程式的解，

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教材也呈現出解的多種表徵方式，如列表、數對等。在二個星期的二元一次方程式學習課程後，直接延伸到二元一次聯立方程式的學習，完整的學習了二元一次聯立方程式的列式、解的意義、代入消去法和加減消去法解聯立方程式，最後應用二元一次聯立方程式解應用問題，將一次方程式的代數內涵做全面的鋪陳。至於二元一次方程式在幾何圖形上的發展，教材則獨立專章安排在一個月後的「函數」的相關課程中(第四章第四節)，「部編版數學」的編輯者先發展出一次函數的圖形是直線的課程後，才透過代數法則，將二元一次方程式改寫成一次函數，據此視二元一次方程式的圖形即為該二元一次方程式改寫成的一次函數的圖形，而一次函數的圖形為一直線，故二元一次方程式的圖形為一直線。因此在學習二元一次方程式的圖形之前，必須先學習「函數」、「直角座標」、「函數與圖形」等相關章節的內容。筆者認為，將直線圖形以獨立章節出現，讓學生能完整學習各種型態的直線所對應的各種方程式，但直線圖形在解應用問題中應有的功能與角色卻未能貫穿，是個缺點，此外「部編版數學」透過直線方程式和函數關係的代數轉換，進而推論出二元一次直線方程式和一次函數的圖形成等價關係來進行直線方程式的繪製，是否適當，也尚待教學成效或深入的研究加以實證。

小結

從二元一次方程式到直線圖形的關聯模式來說，「情境數學」明顯較「部編數學」來得流暢自然，但在「部編版數學」則是各種直線圖形和其所對應的方程式學習上，一氣呵成地完整呈現，顯出其知識的精準度。最後在問題解決過程中，在方程式代數和幾何意義連結的強度而言，「情境數學」則優於「部編版數學」。

四、

發展問題解決策略的模式

「問題解決」是現今國際數學教育界研究的重要課題，更是數學教育改革的重要趨勢（NCTM, 2000；鄭毓信，1993），Schoenfeld（1985）早在三十年前便提出主張「問題解決應作為學校數學教育的中心」，迄今許多國家皆將培養學

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生解決問題的能力納入數學教育改革的核心目標(新加坡教育部，2007；教育部，2002；NCTM, 2000)。美國加州課程標準(2006)指出：學生進行「問題解決」的核心能力包括了「概念性的理解」、「運算和推演的技巧」與「解題」等三個緊密聯繫、環環相扣的要素。筆者參酌美國加州課程標準中發展問題解決能力的三個要素，針對教材中「發展學生問題解決策略的模式」的設計，進行分析比較，以理解教材的安排是否能提供促使學生熟練「運算和推演能力」，並發展出「概念性的理解」，以達成「擅長解題」的目標。分析結果如下： (一)、 MiC 重視模式的發現與學習，強調概念性的理解，並不特重「熟練運算和推演的技巧」，課程設計較均衡，易激發學生發展多元的解題策略 Mic 藉由佈題方式，有計畫的引導學生解決由淺而深的問題，在解題歷程中逐步發展出各種解聯立方程式所需具備的運算能力及推演的技巧，並從非正式方法(informal)推演出正式的解法，逐漸地強化對方程式概念的理解，進而累積成功的解題經驗，以獲致解決大問題所需的能力。在「概念的理解」上，MiC 提供了豐富的的情境(資訊)，讓學生有機會表達出各自的想法以反映出個人對問題情境的理解程度，使學生能在情境中建構出對概念的理解。以解聯立方程式的問題為例說明：

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Mario 在速食店打工，他在店內逐一走動接受客人點餐，並登記在餐卡上，如圖所示，問題一：在訂餐卡上有一些尚未計算出的消費金額，請幫忙計算出消費金額。問題二：參考訂餐卡，列出二種不同的訂餐內容，並將預估金額寫上去。問題三：幫忙將訂餐卡上每桌的消費金額計算出來 Mario 店內的食物價格經過調整後，顧客要買一個章魚燒、二個沙拉和一杯可樂必須花 6.5 元，要買一個章魚燒、四個沙拉和杯可樂必須花 11.5 元，一個章魚燒和二杯可樂則須花 4.5 元。問題四：請根據上述情況分別列出方程式。問題五：組合上述方程式可以形成新的方程式，如果將上面最後兩個式子相加，會得到那一個新方程式？問題六：隨意組合上述式子以產生兩個新方程式。問題七：說明如何組合上述的式子，以得到 1S+1D=2.5 元問題八：請幫忙找出三種食物的單價？上述的問題中，MiC 以常見的餐館消費為情境，利用圖表提供學生解題所需的資訊，有別於傳統上以文字描述數學情境，並要學生根據各桌點餐單上的數量，以方程式表徵出訂餐卡中的數學關係，逐步地由具體的餐點數量，連結到抽象的數學方程式，而列出二種以上不同的方程式的安排，則在提升學生對問題的整體理解，並發展出學生過濾資訊的分析能力，再則以利用方程式完成結帳金額的計算，則是要讓學生理解到方程式的意義與用途，並促進對方程式概念的理解。在「運算和推演的技巧」的能力發展上，Mic 則是採取推論的方法，利用已列出的數個方程式以相加或相減或倍增的方式，合併既有的數個方程式，

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以得出新的方程式，並用以表徵另一個新的訂餐情境所孕涵的數學方程式，因此，Mic 在同一個解題活動中，內容就整合了對概念的理解，也兼有運算及推演能力的發展，使得兩者在解題的歷程中呈現連貫且互為體用的學習的模式，並藉由逐步擴充情境以提高情境問題的複雜度，綜合言之，在發展問題解決策略的發展上，Mic 的設計讓三要素呈現均衡地安排。 (二)「部編版數學」對「概念性的理解」著墨較少，視「熟練運算和推演的技巧」為解題的核心要素，強調正式(formal)解題策略的精熟，單調的解題策略易形塑出標準解題模式在發展問題解決能力的規畫上，「部編版數學」並未對方程式概念的理解給予特別的關注，在概念性知識的部份，慣於採取陳述知識的方式描述方程式的意義，而程序性知識的學習則是藉由大量地練習以習熟練解題所需的運算規則，最後以一個具挑戰性的應用問題進行學習的總結。在「概念性的解理」上，教材著重在方程式的「如何用」上加以鋪陳，至於方程式「有何用」的面向上，則未詳加鋪陳在內，顯示出教材未能給予學生充份理解方程式的概念的設計，此外教材直接採取陳述知識的方式描述方程式的意義和列式的方式，也不利於學生對「方程式」的意義賦予(許馨月、鐘靜，2004；鄭毓信，1998)。以教材在「方程式的列式」內容為例，：柿子一個賣 35 元，水蜜桃一個賣 50 元，媽媽買了 X 個柿子和 Y 個水蜜桃。試用 X 和 Y 列出媽媽要付的錢(部編版國中數學第二冊，p.86)。教材並未在「關係式的意涵」上多加著墨，學生被直接要求列出包含兩種未知數的方程式，因此學生常以模仿範例的方式完成例式，並未真正地對方程式中的未知數及等價關係做深入的理解，此外，在上述教材的示例中，由於教材的問題太過精簡，無法為學生創造辨別多餘訊息的經驗，容易形成數學(未知數) 假設，僅須局部推測，即可轉譯題意方程式，反倒減損了培養學生辨識出潛在的數學關係的機會，不利學生分析能力的發展，自然地無法刺激學生多元的解題想法。另一方面，「部編版數學」慣於要求學生依據題意直接寫出兩種未知數

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的關係式，更驅使學生的表徵方式趨向於單一的標準形式，漸漸地降低了學生多元表徵能力發展的可能性。在「熟練運算」方面，教材透過結構性的題型分類和安排，提供學生多元的題型和足夠的題目數量，驅使學生不斷地運用相關的運算規則和解題技巧以增進熟綀度和效能，以發展學生對解題程序性知識的熟稔度，比較值得關注的點是，在教材特別強調精熟學習的「解二元一次聯立方程式」、「二元一次方程式的圖形」等章節中，幾乎所有的範例都沒有情境，造成學生在沒有意義的情境下不斷地進行解方程式的運算過程，學習者極易因內容枯燥而降低學習意願，反而達不到精熟訓綀的目的。而在「推演的技巧」上，教材則是將各種常見的解題方法，逐一呈現在教材的範例中，做為學生學習與模仿的標準，真正的推演則是在各種運算解題個別學習完成後，將所習的運算技巧的整合在解決更複雜的計算題上，這一點與Ｍic 引導學生由解決最簡單的方程式中累積知讀，逐步向解決正具挑戰性的問題推進中，存在根本上的差異。在「解題策略」的發展模式上，「部編版數學」係以 Polya 的問題解決模式的四大階段為基礎，教材遵循定義方程式、列出方程式、解方程式到解應用問題的邏輯，分段進行學習各主題的學習，最後以解應用問題總結。和 Mic 不同的是，「部編版數學」將這四個階段的知識做出切割，分別鋪陳，彼此的學習互不干涉，只在最後應用問題的解題時，才將各階段的學習內容整合在解題的過程中。從學習知識的精準度來看，教材針對一個一個知識點，分別進行個別的學習發展，使學生能夠直接的掌握到最精要的知識內容，相對地卻也使學習呈現片斷，忽略了全面完整性的學習，讓教材愈來愈窄化，學生學得也愈來愈少(王建宇，2007)。

小結

在「問題解決」的發展模式上，MiC 採用滾雪球的模式，引導學生建構出問題解決的能力。教材從解決最簡單的問題下手，逐步學生累積成功的解題經驗，進而能應用它們，挑戰更高難度的問題。教材的佈題方式，提供豐沛的資訊，讓學生有機會辨識出情境中潛在的數學關係，並能忽略過多無關訊息，形

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成數學假設，進行推測、找出既有的模式(pattern，樣式)、連結到已知的數學結構、然後轉譯問題大意為數學式（例如等式）。最特別的是，MiC 鼓勵學生在遇到特殊問題時要去思考所有可能的解決步驟，例如：「參閱圖表並且發展圖表、表格、圖解和文字敘述」、「找出比較簡單的相關問題」、「尋找模式」、「預估、推測並且求證」等，這些面向的安排能刺激學生發展出更多元的解題策略。 MiC 也著重多元的解題過程，也正因為鼓勵學生以多樣的思考模式完成解題，相對地學生在思考上將會用去更多的時間和專注，自然地，學生在解題的精準度和數學運算規則的熟綀度上，容易被忽略，連帶地可能由於運算的熟綀度不夠，進而影響到技巧推演的流暢性，最後導致解題不成功。此外，MiC 的練習題中，幾乎不存在所謂「範例的類題」，因此，在不強調解題訓練的設計下，學生在面對問題進行解題時，必須用去較多的時間，在這個面向上，則是充分的反映出「情境教學」迴異於「部編版數學」所強調的「應試數學」的特點。換句話說，Mic 重視的是整個解題能力的建構，速度和熟綀度並非側重的課題。「部編版數學」特別重視各種知識點的學習，為了訓練學生獲致正確而快速的解題能力，學習的歷程採分進合擊的安排，然而這樣的想法，卻也使得整個學習歷程的發展背離了以學生為主體的思考，學習過程變得零碎、片斷而不易連結，「運算與推演技巧」的精熟學習，以提高解題的速度與準確度，則是教材的另一個訴求，透露出台灣教材受到考試的影響程度(王建宇，2007)。另外教材將各種解題所需的知識進行切割，也造成教材在代數主題的內部知識間未能建構出足夠的連結，同樣地，在與幾何主題的外部連結上，方程式與直線圖形的連結也闕如，對概念的理解採取陳述知識的方式描述方程式的意義，易讓學生採行記憶的方式學習概念，易陷入無意義的學習泥淖中。此外，「部編版數學」在各階段的學習中，教材的範例直接呈現出標準的解題歷程，壓縮了學生面對問題思考的空間和機會，影響所及，在面對非例行性問題的解題時，學生能否應用所學以「標準解法」進行問題解決，將面臨挑戰，此時，發展學生多元解題能力的理想將可望而不可及。

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肆、結論

旴衡現今國際數學教育改革發展的重要方向，不難發現現今數學課程比以前更強調讓學生從「做中學」。「部編版數學」雖也提供學生許多做數學的機會，但主要的教材仍屬強調「如何解題」的「應試數學」模式，顯示出升學考試仍深深地影響著教材。在方程式的概念理解上，學生仍未能從被動地聽教師講解數學的角色，進化到主動地參與學習活動的理想，而教材也未能提供學生說明想法或演算過程的機會，因此，大部份的學習都是在熟練教科書中示範例題的類似題。相對地，MiC 無論是在問題情境的設計、佈題方式的安排、主題知識間的連結及多元解題策略的培養上，都提供給學生較佳的發展機會。此外，「情境數學」在學習內容的安排上，讓所有的學生都能以自己的角色參與學習；鼓勵師生互動、討論的學習過程；培養合理判斷、理性溝通、明確表達的能力，為培養學生具備未來國民的應有的數學能力，提供了一個較佳的教材模式。台灣「九年一貫數學領域課程正式綱要」亦強調與 Mic 相近的目標，希望能培育出有上述各項數學能力的未來國民，並能進行終身學習，然而實際的教材卻未能與課程綱要的方向完全相契。「部編版數學」若能在既有的教材優點中，強化培養學生「概念性理解」的面向，落實九年一貫課程編輯理念在課程的設計中，以學生為主體的初衷，兼採「情境數學」中優質的佈題方式，徹底從「應試數學」的思維中掙脫出來，定能有助於改善現行教學現場的教學成效，並能幫助學生的數學能力獲致實質的提昇。

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比較台灣部編版和美國 (MIC)教材設計的差異性----以線性方程式主題為例