自行閱讀與文本編排對國一學生有關勾股定理的概念、程序與解題表現之影響

陳雅華、楊凱琳 教育科學研究期刊 第五十五卷第二期 2010 年，

55 (2)' 141-166

數學文本編排之影響﹒ 141

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自行閱讀與文本編排對國一學生有關勾股

定理的概念、程序與解題表現之影響

陳雅華

彰化縣立秀水國民中學 教師

摘要

楊凱琳

國立臺灣師範大學數學系 助理教授 本研究旨在瞭解自行閱讀與閱讀不同編排順序的文本對國一學生有關勾股定理的概念、 程序與解題表現之影響。本研究編擬有關勾股定理的「證明優先」與「應用優先」文本，這 兩種文本的內容相同但編排順序不同;以及編製概念、程序與解題表現前後測試卷。在蒐集 前後測資料後，主要以多變量與單變量變異數分析處理實驗資料。研究結果顯示，閱讀不同 文本與學生程度之間存在顯著的交互作用;而且並非只要透過自行閱讀文本(測驗時也未收 回文本) ，就一定有利於提升高、中、低三種程度的學生在概念、程序和解題等數學能力的測 驗成績。 關鍵字:文本編排、勾股定理、畢氏定理、閱讀 通訊作者，楊凱琳，

E-mail: [email protected]

收稿日期:2009/06116 ; 修正日期: 20101011 日，接受日期: 2010101127 。

.

142

.數學文本編排之影響

一、閱讀表現與學習目標

壹、緒論

陳雅華、楊凱琳

臺灣四年級學生參加 2006 年國際閱讀素養評量研究 (Progress

in International Reading

Literacy Study

,

PIRLS )

，在四十五個參與的國家或地區中排名 22 ;與其在數學成就國際評比的 研究結果相去甚遠。在教學現況中也不難發現，有些老師認為學生連閱讀中丈都有問題更何 況是閱讀印有許多符號的數學教科書;所以讓學生自己閱讀或預習數學課本對學生而言是很 困難的，而且對學生學習數學的影響並不大。尤其是針對含有論證的內容時，更是懷疑讓學 生自行閱讀或預習的效果。當然也有些老師認為學生透過閱讀課本並給予適當地提間，能夠 運用既有的認知有效提升個人的數學能力。在數學教育的丈獻中，甚少有關透過閱讀學習數 學的研究(包terholm，

2006

)。基於上述現象，讓學生預習課本或引導學生閱讀課本的教學方 式應該是不被重視的;更不用說藉由閱讀技巧的教學來協助學生理解數學課本。但是，如果 研究上能針對學生透過自行閱讀數學丈本時，產生的表現比沒有閱讀數學丈本時更好，至少 就能說服教師讓學生先作預習的工作。 閱讀是學習的目標也是學習的方法，哈佛大學教授 Chall (1996) 以六個階段描述學習閱 讀的歷程，包含從正式教學前的閱讀、基本辨識的閱讀教學、建立順暢性的閱讀教學、透過 閱讀吸取新知、透過閱讀得知不同觀點以及重構各種觀點等。這六個階段的後五個階段文可 分成兩大部分，分別是「學習閱讀 J

(learning to

read) 和「透過閱讀學習 J

(reading to

learn) 。 在學校課程中，正式學習有關勾股定理的說明和應用是安排於國二上學期，國中時期正值學 生處於需要透過閱讀學習新知的閱讀發展階段，本研究將針對此階段探討學生透過自行閱讀 數學丈本是否有助於其習得新知，以及不同的丈本編排對其習得新知的影響有何不同。

二、勾股定理和畢氏定理的發展動力:應用和論證

由中西方數學的發展史可以發現:中國的數學發展著重於實際問題之解法，而西方的數 學發展則重於探討定理一般性原則的理論意義。以勾股定理的發展為例，在中國，勾股術是 古代算學的一個重要課題，勾股術中最為重要也最基礎的內容首推勾股定哩，這在〈九章算 有fLD 及《周髒算經》已有提及。數學史家錢寶琮從歷史的演進來看，發現在清代之前的「勾 股定理」發展偏重實用方面，例如，明代算書中的勾股問題多以實用、生活化的方式來呈現， 且有許多問題更是以詩詞歌訣的方式切入，將情境融入算題中(王鼎勳，

2006

;黃清揚， 2001) 。在西方，數學發展史可從古希臘數學家歐幾里德所著作的〈幾何原本〉談起，其歷 史上的重要意義在於歐幾里德將之前數學家所累積的數學知識用公理法建立起一套嚴密的、 邏輯演繹推理的幾何學知識體系，由少數幾條公理 (axioms) 出發，推導出所有的幾何定理。

陳雅華、楊凱琳 數學文本編排之影響﹒ 143

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該書被認為是用公理法建立演繹數學體系的最早典範，並對整個數學的發展產生了深遠的影 響(王鼎勳，

2006)

0 ，-勾股定理」在中國叉稱「商高定理 J '西方則稱之為「畢氏定理」。 此概念在國中課程的學習上除兼具代數和幾何的學習內容，更是推理與證明的學習範疇(許 淑清，

2003)

三、幾何證明閱讀理解的學習路徑:應用和論證 數學是所有科學的基礎，在應用數學成果的過程中則有賴於數學證明的閱讀理解。理解 是閱讀的基本條件，若缺乏理解便不算是閱讀(吳惠琪，2004) 。透過閱讀數學語言中所涉 及的邏輯概念，應可進一步培養學生嚴密思考的功能。Yang 和 Lin (2008) 將證明文本的內 容視為起始資訊，學習者在閱讀證明文本後的認知視為新資訊，可就理解品質將讀者認知的 新資訊區分為四個層次: (一)表層理解層次; (二)辨識元件理解層次; (三)鏈結元件 理解層次;和(四)膠囊化理解層次。表層意指能理解證明過程中所用的數學符號或名詞; 辨識元件意指能辨別前提、結論和引用性質的敘述;鏈結元件意指能依邏輯關係相鏈前提、 結論和引用性質;膠囊化意指能適當應用證明過的命題。而依據學生的幾何證明閱讀理解表 現，發現學生有兩種可能的學習路徑，一是從表層理解、辨識元件理解、鏈結元件理解至膠 囊化理解層次循序漸進地發展，稱為「關係性理解型態J .二是從表層理解跳至膠囊化理解 層次，再回到辨識元件理解和飽結元件理解間的發展，稱為「工具性理解型態J

(Lin

&

Yang

,

2007) 。第一種型態呈現先理解為什麼再來想如何應用，第二種理解型態呈現先能夠應用再 來想其道理。這兩種不同的理解型態與中西方數學發展中，中國重視實用、西方重視邏輯演 繹不謀而合。

四、科學文本編排方式:規則或證明優先

在科學文本的編排上也可找到類似的對應關係'大部分的科學文本主要以介紹與解釋現 象規則為內容，所以其文本的編排可以區分為規則優先 (principle first) 或證明優先 (proof first) 。例如:先一般性解釋浮力與浮體體積和溶液密度的關係再介紹公式，即是證明優先; 反之則是規則優先。 Dee-Lucas 和 Larkin

( 1990

)曾探討科學文本「規則優先」和「證明優先」 的編排方式對學生閱讀理解的影響。研究結果發現:若先提供規則再給出規則背後的道理之 交本(規則優先) ，有利於讀者評估相關的重點與立即性記憶;若是先提供規則背後的道理 再提出規則(證明優先) ，將增加理解的困難度。此兩種形式與中西方的數學發展，以及學 生幾何證明閱讀理解層次的路徑可互相對應，都表現出兩種不同的理解路徑。而數學證明文 本是以證明與應用定理為內容，但是數學和科學文本中的證明意義不同。數學證明著重由前 提至結論(定理)的推理，科學證明著重規則意義的解說。所以，本研究將數學文本的編排 在引出定理後才區分為證明優先或應用優先。也就是說，介紹定理後接著證明，還是介紹定 理後接著應用。

.

144

.數學文本編排之影響 陳雅華、楊凱琳

五、研究目的與研究問題

本研究特別在「應用優先」以及「證明優先」兩種文本編排方式下，探討學生自行閱讀

不同編排方式的「勾股定理」文本對其在「勾股定理」的概念、程序和解題表現的影響。另 外，也比較學生自行閱讀文本與沒有閱讀文本之表現。此用意在於檢驗學生是否不需透過教 學，也可以在自行閱讀文本的情況下產生學習的效果。 依上述目的所擬訂的研究問題是:考量學生的起點行為下，學生在「閱讀勾股定理應用

優先文本」、「閱讀勾股定理證明優先文本」與「沒有文本」下回答概念、程序與解題等三

面向的問題之表現有何差異?

貳、文獻探討

一、勾股定理

" 從現存書籍來看，中國算學中對勾股術的討論以《周髒算經》及〈九章算術〉為最早。 透過《周髒算經〉及〈九章算術> '可以知道「勾股術」在西漢、東漢時期對於解決生活中 相關的應用問題，已有相當程度的發展，但是都尚未談及理論性的證明(黃清揚，

2001

)。 自〈九章算術》之後，歷代皆有數學家對勾股測量問題進行著述研究，但直到魏晉時期中國 數學在理論上才有較大的發展。其中趙爽和劉徽被認為是中國古代數學理論體系的開端，趙 爽是中國古代對數學定理和公式進行證明最早的數學家之一，他提出門|白楊惠后，

2002) :

勾股各自乘併之為弦實，開方除之即弦，素弦圖又可以勾股相乘為朱實二，倍之為 朱實四，以勾股之差自相乘為中黃實，加差實，亦成弦實。 趙爽的「弦圖」是商高定理在中國數學史上較為正式的證明。

西方國家將勾股定理稱之為「畢達哥拉斯定理 J

(

Pythagorean theorem)

，即使沒有確鑿

的證據顯示，大家仍相信是畢達哥拉斯(Pythagoras，而OBι-480B.C. )發現此定理的，或至少 是最先證明它的。亞歷山大前期出現數學的黃金時期，其最具代表表d性人物之一的幾何學家歐 幾里德 (Euclid' 約 3指60嗨B. C 幾何學做系統化、理論化的總結整理，建立起一套嚴密密、的、具邏輯演繹推理的體系，寫成l日

3

卷的歐式《幾何原本> 0 <幾何原本〉利用公理法建立起一套邏輯演繹數學體系，是數學史 上第一個公理體系，主宰西方數學直至非歐數學興起，對整個西方數學的發展影響深遠，它 在西方數學史的地位，可與《九章算術〉在中國數學史的地位相互媲美(王鼎勳， 2006) 。

陳雅華、楊凱琳 數學文本編排之影響﹒ 145

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D版本 E版本 3-1 平方根與其 2-1 平方根與近 近似值 似值 3-2 根式的運算 2-2 根式的運算 3-3 勾股定理與 2-3勾股定理 距離公式

二、各版本教科書在「勾股定理」的分析比較

本研究針對目前國中數學領域教科書發行的五個版本，分別為 A 版、 B 版、 C 版、 D 版、 E 版。所參考之教科書版本均為九十六學年度國中三年級上學期教育部審核通過之樣書，並參 考 2003 年版數學能力指標分年細目與「勾股定理」相關之細目及國中數學教科書版本分析 (晝北縣政府，

2005)

，針對「勾股定理」之章節內容順序、勾股定理的證明、數學名詞等屬 性整理如表 l 所示。不同版本除了平方根和畢氏定理的順序不同外，也會採用不同的方法證 明畢氏定理或是以不同的數學名詞來介紹畢氏定理。畢氏定理的證明在所有的版本中，皆排 在畢氏定理的應用之前。 表 l 各版本在「勾股定理」之屬性分析 屬性分析 A版本 B版本 C版本 2-1 平方根與近 2-1 畢氏定理 2-1 三次方根的 似值 2-2 平方根與近 意義 章節內容 2-2 根式的運算 似值 2-2 根式的四則 順序 2-3 勾股定理 2-3 根式的運算 運算 2-4 畢氏定理的 2-3 勾股定理 應用 採用〈周脾算介紹中國數學介紹「百牛定使用中國數學以〈周髒算經〉 經〉中的「弦圖」家趙爽的證明理」的由來，以家趙爽的證明的記載說明勾 勾股定理 來推導出勾股方式。 代數方式推導方式，由測量棋股定理，並引出 的證明 定理。 勾股定理。 竿高來引入勾劉徽對勾股定 股定理。 理的證明。 單元名稱為勾單元名稱為畢單元名稱為勾單元名稱為勾單元名稱為勾 股定理，課文中氏定理，課文中股定理，課文中股定理，課文中股定理，課文中 數學名詞有介紹商高定有介紹商高定有介紹勾股弦有介紹商高定有介紹畢氏定 理、畢氏定理。理、勾股定理。定理、畢氏定理、畢氏定理。理。 理、百牛定理。 B 版本將勾股定理的內容，分成兩個單元，其中在2-1 畢氏定理的單元中，因為尚未學到 平方根的意義及運算，因此在2-1 單元內的例題，只限於直角三角形邊長為整數的狀況。本研 究之研究對象選定為國中一年級學生，而國一學生尚未學習根號的意義與運算，因此，本研 究在編製文本與前、後測試卷時，題目設計也鎖定在有理數。事實上，這也符合數學史上畢 氏定理先於平方根概念發展的歷程。 各版本教科書均為「證明優先」的編排形式，在應用勾股定理公式解題前，先介紹「勾 股定理」的證明。各版本均由正方形的分割切入，利用圖形拼合、面積的變化與代數推理的

.

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.數學文本編排之影響 陳雅華、楊凱琳 方式來推導出「勾股定理 J' 證明方式偏向「非形式化」的證明方式。而「非形式化」的證明 方式在文本的編排位置上較彈性，即使是放在文本的一開頭，學生應可運用其既有知能來瞭 解相關的內容，比較適合國中生的幾何思考層次(

van Hiele

,

1986) 。本研究在設計「證明優 先」與「應用優先」兩種不同編排順序的文本時，在證明方法的部分也採用「非形式化」的 證明方式，使用東漢末年中國數學家趙爽在〈周牌算經〉中的「弦圖 J' 參考 A 版教課書活動 設計的問題，以問答方式來編製文本中「勾股定理」的證明內容。

三、文本編排對閱讀理解的影響

美國學者 Dee-Lucas 和 Larkin

( 1990

)分別找了一些未修過或只修過一學期大學物理的學

生，進行「證明優先」與「規則優先」文本研究。研究發現，讀者在閱讀「證明優先」的文

本時會花較多的時間閱讀證明過程，在閱讀「規則優先」的文本時會花較多的時間在閱讀公 式、原則。也就是說，讀者認為段落的開頭部分較重要，因此會花較多的時間在文本的開頭。 而讀者一般認為「規則優先」的文本結構比較合乎常情且普遍地使用它，縱使在閱讀完「證 明優先」的文本後，也較常使用「規則優先」的結構做總結。當讀者閱讀到「規則優先」文 本時，比較能去預測相關重點的句子，讀者認為要點原則( core-principle) 的句子比要點證明

(

core-proof)的句子重要，即使它們實質上陳述相同的資訊。這也就是為什麼不論閱讀「證 明優先」還是「規則優先」文本，讀者依舊用「應用優先」的結構做總結。就立即性記憶而 言， ，-規則優先」文本比「證明優先」文本更有利;但就長時間記憶而言，兩種結構就無顯著 差異。

Yang

、 Lin 和 Wang (2008) 曾針對一個證明題的編排方式探討幾何證明中的書寫方式為 「兩欄式 J (two-column) 與「列陳式 J (line-by-line) 對學生閱讀理解的影響，研究結果顯示 並沒有顯著差異。他們的研究是針對一個證明題之證明過程的編排方式來做探討，而本研究 目的是探討學生閱讀較長的文本敘述，內容包含勾股定理之證明與應用題，在編排順序的設 計上是分成「證明優先」與「應用優先 J '藉以瞭解學生在閱讀不同類型的文本時，是否能透 過自行閱讀即顯著提升其數學能力的表現。 另外有關科學文本的部分，有些研究是從文章的性質與結構，探討學生閱讀過程中的邏 輯性推論或是相關知識統整性推論(鄭春薯， 1996) 。研究發現，學生多半在讀完一個完整的 句子時即做推論，且一般在文章開始和結束時所產生的閱讀推論可能比其他段較多，當文章 比較長時，後面幾段的閱讀推論，可能比其他段較少。也有些研究從語言學觀點出發，探討 學生的科學文本斷詞能力與閱讀理解作答表現之間的關係(洪緯玲， 2005) 及研究探討含有 零代詞(

zero pronoun

)的教科書對於學生閱讀理解的影響(許慶堂， 2006) 。研究發現，學生 在閱讀含有零代詞的科學文本時，即使文章的內容完全相同，可是學生尋找到的零代詞所指 對象卻多半並不相同，因此會讓學生衍生出許多不相同的解釋，並對課文內容產生不同的理 解;高能力的學生在閱讀含有零代詞的科學課文時，其理解能力會比低能力的學生好。

陳雅華、楊凱琳 數學文本編排之影響﹒ 147

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由經濟合作發展車由截(

Organisation for Economic Co-operation and Development

,

OECD

)發 起的國際學生成就評量計畫 (Programme

for International Student Assessment

,

PISA) 中，以情 境、文本和閱讀歷程作為評量閱讀素養的三個要素(

OECD

,

2006)

，三個要素都可視為影響學 生閱讀表現的重要變項。其中閱讀歷程包含提取訊息、掌握主要文意、發展詮釋、反思和評 估文本內容，以及反思和評估文本形式，這些歷程也可視為評量學生閱讀表現的面向。在閱 讀理解的相關研究中，有的研究偏向提取訊息、掌握主要文意的閱讀表現，例如，柳雅梅和 黃秀霜 (2007 )曾以認字、語音分析、詞彙理解和句子理解作為評量學生閱讀理解的面向; 有的研究偏向發展詮釋、反思和評估文本內容的閱讀表現，例如，陳世文和楊文金(2006

)

曾將推理及應用作為評量學生閱讀表現的兩種面向，其研究結果顯示，依系統功能語言學設 計的科學文本比傳統文本更能促進學生的閱讀理解。

本研究將依據 National

Assessment of Educational

Progress 數學能力 (National

Assessment

of Educational Progress

[NAE呵， 2002 )所涵蓋的概念性瞭解(

conceptual

understanding) 、程序 性知識 (procedural knowledge) 和解決問題(

problem solving)

，作為閱讀理解表現的面向，此 三面向可歸屬於偏向發展詮釋、反思和評估文本內容的閱讀歷程。

參、研究方法

一、研究設計 本研究係採取量化資料為主的研究方法，探討學生自行閱讀「證明優先」與「應用優先」 兩種不同文本對其有關勾股定理的概念、程序和解題表現有何影響。研究可分兩個階段，第 一階段主要是設計研究所需之研究工具;第二階段主要是進行本研究之實驗活動。

(一)第一階段

參閱文獻及各版本教科書在「勾股定理」的內容，由本研究自編設計勾股定理之「證明 優先」、「應用優先」文本及相關的前、後測試卷。在前、後測試卷初步完成後，分別找二班 學過與二班未學過勾股定理的班級進行試測，並將所蒐集之資料統整後，用SPSS 12.0 統計套 裝軟體進行內部一致性 α 係數考驗與各題目鑑別度分析，進一步修正完成有關勾股定理的數 學能力前、後測試卷。另外，藉由2 位數學教育專家針對各題在雙向細目表內勾選適合各題 的屬性。

(二)第二階段

使用最後修正完成之「應用優先」與「證明優先」文本及前、後測試卷進行實驗活動， 兩組實驗組與一組對照組的實驗時間均為連續2 節課，在第 1 節課中，兩組學生均接受前測 試卷測驗以取得前測成績，測驗時間為25 分鐘。實驗組六個班級接著進行自行閱讀文本活動 (不進行教學介入) ，奇數座號同學閱讀「證明優先」文本、偶數座號同學閱讀「應用優先」

.

148

.數學文本編排之影響 陳雅華、楊凱琳 文本，閱讀時間為 30 分鐘。閱讀後讓學生接受後測試卷測驗以取得後測成績，後測試卷作答 時學生可以參閱所閱讀之文本內容;而對照組在這 30 分鐘內照其原課表所排的非數學科目和 進度上課，也於第 2 節課接受後測試卷測驗以取得後測成績，後測試卷作答時學生沒有閱讀 任何文本內容。三組學生的後測測驗時間均為 25 分鐘。本研究利用 SAS 軟體先計算任 2 題間 的四分相關(

tetrachoric

correlations) 再進行因素分析，以作為本測驗工具的構念效度之佐證; 再藉由因素負荷與原始分數標準化，重新計算研究對象在前後測之概念、程序和解題面向上 的分數;此分數將視為評估學生在「勾股定理」的概念、程序和解題表現之依據。 二、研究對象與背景 本研究採用方便取樣方式，研究對象主要是彰化縣郊某國民中學的一年級學生，選取六

個不同數學教師的班級作為實驗組，進行勾股定理之「證明優先」與「應用優先」文本之自

行閱讀的活動(不進行教學介入)與活動施行前後的測驗，另外安排四個班級作為對照組， 沒有閱讀文本只進行前後測的測驗。該國中一年級共有二十個班級，每個班級學生約 35 人(採 取亂數異質編班)。就一般教師的教學經驗而言，雖然勾股定理課程一般是安排在二年級上 學期進行教學，但以國一下學生的既有知能並非完全無法理解該單元相關的內容。因為學生 在國小的幾何曾經學習過的直角三角形與正方形之邊長與面積概念，此可作為閱讀理解勾股 定理教材的基礎。另外，研究者選取尚未學習國二勾股定理的國一學生作為研究樣本的好處 在於，若研究結果顯示，只提供文本即可達到優於不提供文本的效果，如此可說服數學教師 讓學生在學習前自行閱讀適當的文本，即可產生顯著的學習成效。本研究中， A 組代表「閱讀 證明優先文本」的組別、 B 組代表「閱讀應用優先文本」的組別、 C 組代表「沒有閱讀文本」

的組別，共三個組別，扣除無效樣本之後，

A 組有 103 人、 B 組有 99 人、 C 組有 140 人。

三、資料處理與分析

(一)前後測試卷編碼與給分 由於本研究所設計有關勾股定理的數學能力前、後測試卷，並非全是選擇題，因此，需 對學生在非選擇題上的作答情形進行編碼，以 l 代表答對、 O 代表答錯。本研究在判斷對、錯 時採取較嚴格的給分標準，在非選擇題的問題上必須寫出正確的理由或計算過程才得 1 分。 從中挑選一班由 2 位數學教師評分，評分結果都一樣，即評分者一致性為 100% 。

(二)前後測試卷計分方法

由於前測的目的是希望在考量學生起點行為的情況下，再比較不同實驗處理的結果。因 此，將以前測的總分作為評估學生起點行為之依據。而後測的目的是希望比較不同的實驗處 理對學生在概念、程序和解題三面向上的表現之影響有何不同，所以，將後測各題在概念、 程序和解題三個面向的因素負荷做加權以計算學生在各面向的得分，依此得分作為評估學生

陳雅華、楊凱琳 數學文本編排之影響﹒ 149

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後測時有關「勾股定理」數學能力表現。

(三)資料分析

在完成所有的施測後，將作答不完整的資料刪除後，根據前、後測資料進行問卷編碼， 研究者分別將資料建檔，以 SPSS 和 SAS 統計相關軟體加以分析。本研究主要採用多變量共 變數分析 (MANCOVA) 的方法，在考量學生有關直角三角形的既有概念、程序和解題能力 之情況下，比較閱讀不同文本與沒有閱讀文本之三個組別的概念性瞭解、程序性知識與解決 問題等能力有何差別。也以單因子變異數分析三組分別在概念、程序和解題表現面向的差異。 接著再進行多重比較，如果通過變異數相等的 Levene 檢定，則以 Scheffe 做事後比較的分析; 如果未通過變異數相等的 Levene 檢定，則以 Dunnett T3 做事後比較的分析。所有的檢定結果 皆採用 .05 為顯著水準。

四、研究工具

( -

)文本

1.內容 依據本研究之研究目的與參考目前國中數學領域教科書在勾股定理的內容來設計研究之 文本內容，內容介紹以「問答」方式呈現;希望學生在閱讀文本時，在問題或目標導向下思 考文本內容以提升個人的概念、程序和解題，避免只是逐字逐句地閱讀文本內容而不知如何 主動思考文本的內容。文本內容包含三部分: (1)勾股眩名詞和關係的引入 圖 1 是「證明優先」文本中勾股弦名詞和關係的引入，I 應用優先」文本和其不同處在於

將圖 1 中圖(二)的 a 、 b 、 C 關係說明改成直述句，亦即:可以得到三邊長的關係為

c

2

_=a

2

斗

b

2

_{。也就是說}

_{， I 證明優先」文本在此時尚未明確呈現三邊長的關係'而「應用優先」文本}

已直接陳述。 (2) 勾股定理的證明之引入 圖 2 是一開始引入勾股定理證明的部分，I 證明優先」和「應用優先」文本在這部分的內 容是一樣的。兩種編排方式的證明都採用東漢末年中國數學家趙爽在〈周體算經〉中的「弦 圖 J .由正方形的分割切入，利用圖形拼合、面積的變化與代數推理的方式來推導出「勾股定 理」。 (3) 勾股定理的應用題 共有 3 題題目，第 1 題是已知一個直角三角形的兩邊，求第三邊;第2 題是較複雜的直 角三角形圖形，已知兩邊求第三邊;第3 題是梯子移動問題。「證明優先」和「應用優先」文 本在這部分的內容是一樣的(詳圖3) 。

.

150

.數學文本編排之影響 陳雅華、楊凱琳

B

弦，

_'股 '

勾

C

A

圖(一)

B

C

所謂的勾、股、弦指的是直角三角形的三個邊長。中國古書將 直角的兩邊，短邊稱之為「勾 J '長邊稱之為「股 J '直角三角形的 斜邊稱為「弦 J '如圖(一)所示。 圖(二)則是我們目前一般的稱法，將直角的兩邊均稱為股， 直角的對邊稱為斜邊。若假設兩股長分別為 a 、 b' 斜邊長為 C '我 們想要探討 a 、 b 、 c 的關係?現在讓我們來看看下面的介紹。 圖 1 勾股弦名詞和關係的引入 將四個兩股長為 a 、 b' 斜邊為 c 的相同直角三角形，拼成一個四邊形 ABCD' 如下圖所示， 觀察圖形並試著回答下面的問題:

B

C

c

c

A

a

b

a

b

a

b

a

b

【思考提示】若觀察四邊形 ABCD 的圓形，發現: 四邊形 ABCD 的面積= (四個全等的直角三角形)

+

(一個小正方形) ，因此我們試著想: 可不可以透過面積的角度來思考它們之間是否有什麼關係存在?進一步是否能看出直角三角形

a

、 b 、 c 三邊的關係? 圖2 勾股定理的證明之引入

陳雅華、楊凱琳 數學文本編排之影響·

151 •

例題 1

:

有一直角三角形的一股長為 24 ，斜邊長為 25 '求男一股的長?

例題 2:

如圖所示 'DABC 、 DADE 與DDEC 均為直角三角形，其中 AB

=

15 ' BC

=

20 ' DC

=17'

DE=15' 請問: AE 的長為多少? (請寫出計算過程)

C

E

安史­ E司 公尺 O 例題 3

:

如下圖，圳、高把長 2.5 公尺的梯子放在離牆腳 0.7 公尺處。如果小高覺得梯子架得太高 了，想要降低 0.4公尺，貝目小高應該如何移動梯子，才能達到這個目標? 4 車回 AUHH

I--•

0.7

地面 圖3 勾股定理的應用題

.

152

.數學文本編排之影響 陳雅華、楊凱琳 2. 編排方式 本研究所需之「證明優先」與「應用優先」文本在內容上是相同的，均包含上述三部分， 只是編排順序不同。「證明優先」文本之內容順序為:勾股弦名詞和關係的引入、勾股定理 的證明、勾股定理的應用題 r 應用優先」文本之內容順序為:勾股弦名詞和關係的引入、勾 股定理的應用題、勾股定理的證明。

(二)概念、程序和解題(勾股定理單元)前、後測試卷

1.設計架構 本研究參閱自行編製之交本內容、各版本教科書之範例題目、歷屆基本學力測驗題目、 全美中學數學分級能力測驗 (American

Mathematics Competitions

,

AMC) 之題日，並依據 NAEP 數學能力所涵蓋的概念性瞭解、程序性知識和解決問題三面向，設計有關勾股定理的 前、後測試卷。概念性瞭解包含能辨識、舉例或描述某一概念，程序性知識包含能選擇與執 行合適的運算過程，解決問題包含提出問題、運用推理分析來處理問題、檢驗答案等;詳細 內容與範例請見表 2 。其中前測的問題 4 、後測的問題 5 和 7 分別改編自自編文本中的例題卜 2 干日 3 。 表 2 NAEP 三種數學能力說明 數學能力 概念性瞭解(

conceptual

understanding)

程序性知識(

procedural

knowledge)

解決問題 (problem

solving)

NAEP的詮釋與例子說明 詮釋:指學生能辨識以及利用模型、圖形或符號等不同方式來表達 出某一數學概念，或舉出與此概念相關的例子或反例來說明。 例子:知道若三角形中有一角為直角，則稱此三角形為直角三角 形，直角的兩邊為股、對邊為斜邊，斜邊是最大邊。 詮釋:指學生能在計算的過程中，選擇適當的程序並正確執行;同 時能用模式或符號來檢驗所使用的程序是否正確。

例子:若x為正數，且 x

2

₊

₂₄

2

₌

₂₅

2

，能算出x=7 。

詮釋:指學生能從所得的資料中分析辨識而形成問題，並能充分瞭 解這些資料，連用相關的知識、推理能力以及採取適合的策 略來找出答案;同時，也有能力去驗證所得答案的合理性與 正確性，進而將之推廣應用。 例子:有一梯子長為 13公尺，靠在牆邊，梯腳距離牆壁為5公尺，請 問梯子頂端距離地面多少公尺?

數學文本編排之影響﹒ 153

•

陳雅華、楊凱琳

2. 概念、程序和解題(勾股定理單元)前、後測試卷預試版

(1)鑑別度 依據郭生玉(1 985 )提供鑑別度的鑑別標準進行試題評鑑，前、後測試卷(預試版)之 各題目鑑別度請見附錄一和二。由於題目敘述較長，所以只會標示主要題幹部分，其餘部分 用 I... J 表示。綜合前、後測試卷之鑑別度分析結果，除了前測試卷的問題 9 (亦為後測的 問題的外，其餘均為優良試題，所以刪除此題。並且為了避免學生只是受限於計算能力並非 無法解題，也刪除答對率小於 10%的問題，即後測試卷的問題 9 。 (2)信度 在信度考驗方面，採用內部一致性。onbach'sα 係數來檢驗前、後測試卷(預試版)之信 度。前測試卷(預試版)共有 140 份樣本數，其中無效樣本數有 6 份，有效樣本數為 134 份， 信度分析結果為 .85 。後測試卷(預試版)共有 130 份樣本數，其中無效樣本數有 3 份，有效 樣本數為 127 份，信度分析結果為 .74 。結果顯示前、後測試卷(預試版)具備了良好的信度。 (3) 專家效度 本研究請 2 位數學教育專家針對後測試卷的前 7 題，分析解決各題所需要的主要數學能 力面向。 2 位數學教育專家認為針對本測驗內容，屬於概念性瞭解的問題之特徵是具有直角三 角形的概念心像、定義及其衍生的性質，屬於程序性知識的問題之特徵是具備完全平方數(正 整數和正小數)的根式運算，屬於解決問題的問題之特徵是分析或釐清潛在條件以進行計算 或推理。表 3 呈現 2 位數學教育專家對各題所勾選的能力面向之聯集，未有相同歸類的問題 包含問題 l 和南題 4 。某位數學教育專家認為問題 1 表面看起來是測驗學生的概念，但學生在 回答此題時，似乎只需依直角三角形定義中辨別是否具有直角的條件即可，所以又像是一種 程序性知識。該數學教育專家也認為問題 4 的歸類，必須依學生所使用的解題策略以決定偏 向概念或偏向程序，前者是學生瞭解勾股定理的道理而推論相似形面積皆有此關係，後者是 學生計算各直角三角形面積才推得。 概念、程序和解題(勾股定理單元)後測試卷之雙向細目表 數學能力 勾股定理相關內容 表 3 問題卜問題2 、問題4 、問題6 問題卜問題卜問題4 、問題小問題7 問題4 、問題小問題6 、問題7 概念，性瞭解 程序性知識 解題

3.概念、程序和解題(勾股定理單元)前、後測試卷正式版

本研究的前後測試卷內容架構一樣，皆包含勾股定理的概念、程序和解題。根據預試版

LFtL

.

154

.數學文本編排之影響 陳雅華、楊凱琳 的分析結果，只以前測的八個問題和後測的七個問題作為本研究的分析資料。 (1)信度 前、後測試卷(正式版)在進行大樣本施測之後，共有 356 份樣本數，其中無效樣本數 有 14 份，有效樣本數為 342 份。前測試卷信度分析結果為 .68 '後測試卷信度分析結果為 .74 。 (2)構念效度 本研究以後測 7 題間的四分相關進行三因子的因素分析，此三因子的總解釋變異量為

97

.4

2%

'整體因素結構分析結果如表4 。第一個因子主要包含原本專家效度為解題和程序的 第 5 題;此外，原本專家效度為解題和概念的問題 2 和問題 6 在第一因子的因素負荷都小 於.30 。所以，可將第一因于視為偏向程序的能力。第二因于主要包含原本專家效度為概念的 第 2 題與為概念和程序的第 1 題，所以可將第二因子視為偏向概念的能力。第三因子主要包 含原本專家效度為解題和程序的第 5 題和第 7 題，而第一因于已視為偏向程序的能力，所以 可將第三因于視為偏向解題的能力。 表 4 後測試卷的因素矩陣 後;jllj題號 11 勻/且司、 νλ 『 因素負荷量a

2

.73

.78

3

.57

.62

.59

.34

5

.91

6

.4

4

7

.72

註:萃取方法: Image 成分分析。旋轉方法:

Equamax

a 小於 .30 之因素負荷量省略不計

.39

.52

.60

第 4 題如同專家所預測的結果，同時偏向程序能力和概念因子，但是此題在解題因子的 因素負荷量不高，可能的原因是此題為選擇題，所以學生可基於計算結果或概念即判斷正確 選項。而原本屬於程序面向的第 3 題在解題因子的因素負荷量也很高，有可能是因為本測驗 與解題面向有關的題目大都需要學生運用執行計算的能力。

陳雅華、楊凱琳

肆、研究結果

數學文本編排之影響﹒ 155

•

本文以 A 組代表「閱讀證明優先文本」的組別、 B 組代表「閱讀應用優先文本」的組別、 C 組代表「沒有閱讀文本」的組別。

一、 A 、 B 、 C 三種實驗處理與學生表現分析

以各題在概念、程序與解題三個因素負荷加權後，計算 A 、 B 、 C 三組學生在概念、程序 與解題的得分表現。表 5 呈現後測中各組在三面向得分的平均與標準差，從表中可發現無論 是何種面向，平均得分由高至低依序都是 B 組、 A 組和 C 組。不過，仍需要透過進一步的統 計檢定並考量前測的差異下才能下定論。 表 5 各組後測試卷得分的平均與標準差 數學能力 平均(標準差) 概念 程序 解題 證明優先 (A)

N=103

.90 ( .88)

1.1

6

(1.

22)

.87 ( .90)

組別 應用優先 (B)

N=99

1.

06 ( .8

7)

1.3

4

(1.1

6)

1.

04 ( .90)

沒有文本刊)

N=140

.73 (

.66)

.53 ( .56)

.5

3 ( .52)

以學生的前測分數作為共變量，透過單因子多變量共變數分析三組學生在概念、程序和 解題後測表現上是否有顯著差異。A 、 B 、 C 三組的組內迴歸係數同質檢定達到顯著水準

(

Wilks'λ 之 F=3.11

'p=

.005)' 因此無法繼續進行共變數分析。故將原先視為連續變量的 前測資料改成次序性變量，將所有施測學生依據前測答對題數分成高、中、低三組(分別為 答對 2 題以上、僅答對 1 題、 O 題) ，各組人數分別為 111 、 103 、 128 人。如此各組人數相差 不大，也比較不會使得三組的檢定力差異太大。以閱讀不同文本(A 、 B 、 C 三組)為因子 1

'

前測試卷答對題數高、中、低為因子 2 進行二因子多變量變異數分析。結果顯示閱讀不同文 本與前測試卷高、中、低之間有顯著交互作用存在 (F=3.62 ， p

<

.001)' 因此進行單純主要 效果的分析。由於本研究之目的是探討不同文本對數學能力之影響，故依學生在前測試卷的 答對題數分成高、中、低三組做單純主要效果分析。

二、 A 、 B 、 C 三種實驗處理下，低程度學生概念、程序和解題表現

表 6 呈現 A 、 B 、 C 三組中，低程度學生在概念、程序和解題表現得分的平均與標準誤。 根據獨立樣本單因子多變量變異數分析結果得知，不同實驗處理的組別在概念、程序和解題 表現的平均數有顯著差異( Wilks'λ 之 F=3.08'

p=

.006) 。透過單因子變異數分析結果得知，

.

156

.數學文本編排之影響 陳雅華、楊凱琳 表 6 前測低程度學生在後測試卷得分的平均與標準誤 數學能力 平均(標準誤) 概念 程序 解題 誼明優先 (A)

N=38

.16 ( .06)

.29 ( .08)

.18 (

.06)

組別 應用優先 (B)

N=34

.32 ( .06)

.54 ( .08)

.38 ( .06)

沒有文本 (C)

N=56

.20 ( .05)

.16 ( .0

7)

.13 (

.05)

三組只在程序和解題表現面向有顯著差異，參見表7 。進行多重比較的結果顯示，在程序性知 識面向，只有 B 組顯著優於 C 組 (p 立 .005) ，其餘兩組間都沒有顯著差異;在解決問題面 向，也是只有B 組顯著優於C 組 (p= .01) 。 表 7 前測低程度學生在概念、程序和解題面向的ANOVA 分析 數學能力表現

df

F

概念

2

1.95

程序

2

6.47

解題

2

5.59

p

.15

.01

.01

三、 A 、 B 、 C 三種實驗處理下，中程度學生概念、程序和解題表現

表 8 呈現 A 、 B 、 C 三組中，中程度學生在概念、程序和解題表現得分的平均與標準誤。 根據獨立樣本單因子多變量變異數分析結果得知，不同實驗處理的組別在概念、程序和解題

表現的平均數有顯著差異 (Wilks'λ 之 F=2.84

'p=

.011) 。透過單因子變異數分析結果得

知，三組只在程序和解題表現面向有顯著差異，參見表9 。進行多重比較的結果顯示，在程序 性知識面向， A 組顯著優於 C 組 (p=

.03

7)

，以及 B 組顯著優於 C 組 (p=

.015)

， A 、 B 兩組間沒有顯著差異;在解決問題面向，任兩組間都沒有顯著差異。 數學能力 平均(標準誤)

念序題

概程解

誼明優先 (A)

N=30

88 (

.1

0)

1.

08 (

.1

6)

.84 ( .11)

沒有文本 (C)

N=41

.78 (

.09)

.55 (

.1

3)

.53 (

.1

0)

陳雅華、楊凱琳 數學文本編排之影響﹒ 157

•

表 9 前測中程度學生在慨念、程序和解題面向的 ANOVA 分析 數學能力表現

df

F

p

概念

2

.55

.580

程序

2

5

.3

1

.006

解題

2

3

.3

1

.041

四、 A 、 B 、 C 三種實驗處理下，高程度學生概念、程序和解題表現

表 10 呈現 A 、 B 、 C 三組中，高程度學生在概念、程序和解題表現得分的平均與標準誤。 根據獨立樣本單因子多變量變異數分析結果得知，不同實驗處理的組別在概念、程序和解題 表現的平均數有顯著差異 (Wilks'λ 之 F=I 1.44'

P

<

.001) 。透過單因子變異數分析結果得 知，三組在概念、程序和解題表現面向皆有顯著差異，參見表 11 0 進行多重比較的結果顯示， 在概念性瞭解面向 'B 組顯著優於 C 組 (p=

.001)

，其餘兩組間皆沒有顯著差異;在程序性 知識面向， A 組與 B 組皆顯著優於C 組 (p

<

.001 ,

p=

.001)

， A 、 B 兩組間沒有顯著差異; 在解決問題面向， A 組與 B 組皆顯著優於C 組 (p=

.001

,

p

<

.001)

， A 、 B 兩組間沒有顯 著差異。 數學能力 平鉤(標準誤)

念序題

.概程解 誼明優先 (A)

N=35

1.

72 (

.11)

2

.1

7 (

.15)

1.

65 ( .11)

沒有文本 (C)

N=43

1.3

7 (

.10)

.99 (

.1

4)

1.

04 (

.1

0)

表 11 前測高程度學生在概念、程序和解題面向的ANOVA 分析 數學能力表現

df

F

概念

2

26.93

程序

2

8.33

解題

2

17.05

p

.00

.00

.00

.

158

.數學文本編排之影響

一、結論

恆、結論與建議

陳雅華、楊凱琳 研究結果顯示，閱讀不同文本與學生程度之間存在顯著的交互作用。比較自行閱讀「證 明優先文本」和「沒有閱讀文本」時;在前測低程度學生數學能力表現上並無顯著差異;讀 「證明優先文本」較有助於提升前測中程度學生的程序性知識表現;而且也較有助於提升前 測高程度學生的程序性知識和解題表現。另一方面，比較自行閱讀「應用優先文本」和「沒 有閱讀文本」時;讀「應用優先文本」較有助於提升前測低程度學生的程序性知識和解題表 現;且較有助於提升前測中程度學生的程序性知識表現，同時也較有助於提升前測高程度學 生的概念瞭解、程序性知識和解題表現。綜合學生閱讀這兩種文本的表現後，研究者發現透 過自行閱讀文本(測驗時未收回文本) ，並不一定就有利於提升此三種程度的學生在概念、 程序和解題等數學能力的表現。 二、討論 研究發現不同程度或知識背景的學生在閱讀不同編排順序的文本時，所獲得的成效也有 所不同。例如:低程度學生在閱讀「證明優先文本」時，其解題表現和沒有閱讀文本時是無 顯著差異的，但是高程度學生在閱讀「證明優先文本」時，其解題表現是顯著優於沒有閱讀 文本時。本研究雖然未有直接證據顯示自行閱讀「應用優先文本」比「證明優先文本」更有 助於提升學生的數學能力表現。但是，當這兩種文本分別與「沒有閱讀文本」比較時，即發 現閱讀「證明優先文本」時有較佳表現的情況也都出現在閱讀「應用優先文本」時。但是， 閱讀「應用優先文本」時有較佳表現的情況就不見得也出現在閱讀「證明優先文本」時。例 如，-應用優先文本」有助於提升低程度學生概念瞭解、程序性知識和解題的表現。因此， 我們認為「應用優先」比「證明優先」擁有更多較有利的證據。 上述結果並未支持類比 Dee-Lucas 和 Larkin (1990) 發現下所形成的猜測，-證明優先」 文本比「應用優先」文本更有助於提升概念性瞭解或解題的表現。此猜測的基本假設是:閱 讀「證明優先」的學生理論上會花比較多的時間在理解勾股定理的證明，所以在閱讀勾股定 理的證明過程後，對於公式的來龍去脈、應用的條件有較清楚的概念。但是研究數據顯示並 沒有支持這樣的猜測，可能的原因除了學科本質與研究對象的差異外，包含: (一)研究設 計讓學生可以參考文本來回答後測試卷，因此學生在看到測驗題目時，可以不受限於記憶， 依據題目資訊再找尋相關的文本內容: (二)閱讀「證明優先」文本的學生被假設為花較多 時間閱讀推理的過程，而閱讀「應用優先」文本的學生被假設為花較多時間看定理的應用; 這樣的閱讀焦點也有可能影響其回答問題時的思考模式，即前者解答過程著重推論各步驟間 的道理，而後者解答過程著重算得結果或直接猜測答案。在此猜測的兩種原因有其重要的意

陳雅華、楊凱琳 數學文本編排之影響﹒ 159

•

涵;處於資訊量爆增且易取得的時代裡，學生所需的能力必須包含選擇與重組既有的資訊以 面臨挑戰，所以探討學生如何運用可取得的資料來釐清個人的數學認知或加強解決數學問題 的能力都是值得進一步研究 O 再者，文獻上通常探討文本編排對讀者理解或閱讀策略的影響， 較少探討不同文本編排對讀者思考意向(

thinking

disposition) 的影響。也就是說，探討如何透 過文本的設計以改變學生思考目標、對數學學習的看法或以不同方式挑戰數學的意願仍是有 待開創的研究方向。 研究者對前測未答對任何1 題的 2 位個案學生進行非正式唔談，1 位閱讀「證明優先」文 本， 1 位閱讀「應用優先」文本。發現閱讀「證明優先」文本的個案不知道「證明優先」文本 的證明部分要表達什麼，一開始的閱讀理解就顯得困難重重，隨即失去閱讀興趣，並認為自 己接下來一定也看不懂，因此想要隨便看看或停止閱讀。但是，閱讀「應用優先」文本的個 案，一開始即接受平鋪直述的勾股定理式子，接著看勾股定理的公式怎麼用、如何解題，比 較不會半途而廢。因此，我們假設「應用優先」文本比「證明優先」文本更有助於提升解題 的表現。本研究結果沒有直接證據支持這樣的假設;只是對三種程度的學生而言，，-應用優 先」比「證明優先」擁有更多較有利的證據。自行閱讀兩種文本間未有顯著差異的結果，可 能受限於本研究依學生前測分群後的樣本數並不大，未來將可增加受試學校以及人數以得到 更明確的統計結果。或是以其未學過的勾股定理作為前測內容，較不利於仔細區分學生的程 度。叉或者是沒有提取訊息、掌握主要文意的理解面向作為後測試題之一，這兩個面向有可 能是這兩種文本影響學生閱讀理解之處。 另外，從非正式唔談前測未答對任何一題的2 位個案學生中，發現其事後都偏好「應用優 先」的文本，而且不太願意主動閱讀「證明優先」的文本。再類比語言閱讀理解歷程(

Gagn'e

,

Yekovich

,

C. W.

,

& Yekovich

,

F. R.

,

1993)

,

，-應用優先」文本也是讓學生從字詞字義的理解開

始，再循序漸進至推論理解或監控的層次;尤其是對於與文本相關既有知識薄弱的學生，更 需要這樣的引導使其先作表層或工具性理解再進一步去做深層或關係性理解 (Skemp， 1976) 。 所以依據目前既有的證據，無論在認知或情意上，都可優先考膚讓學生自行閱讀「應用優先」

文本。

三、建議

基模理論 (Schema the。可)

(Schmidt

,

1975) 強調學生背景知識的重要性，認為背景知識 較多的學生，通常會有較多發展良好的基模可用來納入新知識，也較能選擇適當的基模知識 來學習新知。此外，此理論亦強調學習者若對所閱讀的文本格式較熟悉，在與文本互動時所 啟動的基模知識可能較多。因此即便是背景知識相似的學生，在閱讀文本時也會展現出不同 的閱讀理解結果，極可能是文本格式所造成的差異。本研究結果顯示，學生的閱讀理解確實 受到背景知識的影響，而且與文本編排方式間也有交互作用。本研究在未納入文本難度、閱

.

160

.數學文本編排之影響 陳雅華、楊凱琳 讀技巧、思考風格或自我概念等變因的情況下，發現「證明優先」或「應用優先」兩種文本 編排所造成的影響並沒有顯著的差異。往後的研究即可再深入探討除了背景知識外，文本編 排因素結合其他因素後對學生閱讀理解的影響。 文獻上較少以正面方式討論學習者自行閱讀數學文本的效果，大部分都在探討學生閱讀 數學的困難點。然而本研究做了一些改變，從本研究證據顯示不同程度的學生還是可以在老 師尚未教學介入前，透過自行閱讀數學文本，藉由一邊讀一邊回答問題提升其既有的數學能 力。但是，不同程度的讀者和不同編排方式的文本使得讀者受惠的面向也不同。所以，建議 數學教師應重視在課堂上提供學生閱讀課本的時間，以增加學生主動思考、自己學習的機會。 往後的研究也可進一步以老師、學生的觀點深入探討閱讀數學文本的相關議題;例如:為何 一般數學教師並不安排時間或教導學生如何閱讀課本?是認為學生能力不夠?還是認為沒有 教學上的必要性?以學生的角度叉如何看待閱讀數學文本?是認為沒有必要自行閱讀數學文 本，直接聽老師講解就好?還是認為自行閱讀數學文本對學習數學沒有任何幫助? 對所有的學生而言，自行閱讀與沒有閱讀文本主要的差異是程序性知識表現。因此，當 學生接觸到勾股定理單元時，建議教師先幫助學生回憶與此單元相關的既有概念和補充完全 平方數的根式運算知識，之後讓學生自行閱讀「應用優先」的文本。大部分學生閱讀證明時 會面臨較多的困難，本研究基於自我調整學習模式(

Pintrich

,

2000)

，建議教師此時可考慮引 入閱讀推論策略或理解監控的需求，使其在閱讀時能察覺文章架構、預測學習內容或使用提 問等策略(

Singer

&

Donlan

,

1982)

，以達成更為主動與有意義的閱讀學習。相信在教學中若 能一方面藉由文本編排增進學生的閱讀理解，一方面藉由閱讀策略教學協助學生閱讀數學文 本，對於學生在數學閱讀的興趣與數學學習的效果都將有所助益。 數學文本所涵蓋的內容主要以數學相關的概念與方法為主，其表徵方式會採用較多非一 般語言所見的數學符號;並且依循特有的數學結構與邏輯組織，不同於一般生活中常見的敘 述文或論說丈。但是參閱現有的教科書後，不難發現以直述的方式介紹公式、例題解答、定 理或是證明還是占據較多的篇幅，較少出現以問題導向的方式引導學生思考數學概念或方 法，如此的文本設計可能不利於學生的閱讀理解。本研究即基於這樣的考量以「問答」方式 設計文本內容 (Rickards

&

Denner

,

1978)

，希望學生在閱讀文本時有其目標以對內容有較完 整的思考脈絡進而提升其閱讀理解成效，不要陷入文本的字詞中而未察覺統整摘要的必要 性。透過非正式唔談，也有個案學生表示對於這樣的文本比其使用的課本更有助於其閱讀理 解。所以，建議教師在教學上如果想透過閱讀促進學生的數學學習，可以以問答方式編修現 有的教科書作為設計閱讀數學教材的起點。

陳雅華、楊凱琳

參考文獻

數學文本編排之影響.

161 •

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164

.數學文本編排之影響 陳雅華、楊凱琳

附錄一

概念、程序和解題表現(勾股定理單兀)

前測試通各題目鑑別度分析

題目 答對 答對 鑑別 試題

人數

率 度 評鑑 問題 1 :下列三角形中，請你判斷: (1)直角三角形有 ...(2) 等

47

35%

.4

5

非常 腰三角形.. _優良 問題2: 若有兩個直角三角形，都有一個邊是 5 '另一個邊是

44

33%

.6

非常

3.... ..

優良 問題上請計算下列題曰:(1 )152_=.

₅₅

_41%

₇₆

非常 優良 問題4: 如圖，有一梯子長為 13公尺，靠在牆邊，梯腳距離牆 e 非常 壁為5公尺....

46

34%

.88

優良

問題 5: 如圖所示 'DABC 、 DADE 與DDEC 均為直角三角形，

42

31%

.86

非常 其中 AB=8.... 優良 問題6: 下圖梯形 ABCD 的上®

BC =

15 公分，若高為 8 公 非常

34

25%

.82

分

優良 問題 7: 將一正方形切割成甲、乙兩塊梯形，如下圖(一)所

33

25%

.53

非常 乃尺... 優良 問題 8: 如下圖，小高把長 2.5 公尺的梯子放在離牆腳1.5公尺

32

24%

非常 處...

78

優良 問題 9: 哈利開著新買的敞運車出門上班，停在路邊的停車格

3

2%

.24

尚可 內...

陳雅華、楊凱琳 數學文本編排之影響﹒ 165

•

附錄二

概念、程序和解題表現(勾股定理單兀)

後測試看各題目鑑別度分析

題目 答對 答對 鑑別 試題

人數

率 度 評鑑 問題 1 :下列三角形中，請你判斷: (1)直角三角形有... .(2)等

47

37%

.4

8

非常 腰三角形... 優良 問題2: 若有兩個直角三角形，都有一個邊是 5 '另一個邊是

39

31%

.58

非常

3...

優良 問題3: 請計算下列題曰:

(1)15

2

₌

78

61%

71

非常 優良 問題4: 在一個邊長為 X 、 y 、 Z的直角三角形之二邊向外各作

60

47%

.57

非常 一個等腰直角三角形... 優良

問題 5: 如圖所示 'DABC 、 DADE 與DDEC 均為直角三角形，

52

41%

.81

非常 其中 AB=8.... 優良 問題6: 將一正方形切割成甲、乙兩塊梯形，如下圖(一)所

24

19%

.51

非常 河可... 優良 問題 7: 如下圖，小高把長 2.5 公尺的梯子放在離牆腳1. 5公尺

33

26%

.74

非常 處... 優良 問題 8: 哈利開著新買的敞運車出門上班，停在路邊的停車格

1%

14

劣 內 "".4'

問題9: ...請問圖(一)和圖(二)兩圓所團出的環狀面積，

5

4%

.37

優良 哪一個較大?

.

166

.數學文本編排之影響

Joumal of Research in Education Sciences

2010

,

55(2)

,

141-166

陳雅華、楊凱琳

The Effects of Self-Reading and Text

Layouts on Seventh Graders' Mathematical

Performance about

“

Pythagorean Theorem"

Ya-Hua Chen

Hsiushui Junior High School

,

Changhua County

Teacher

Abstract

K缸-Lin

Yang

Depa此ment

of Mathematics

,

National Taiwan Normal University

Assistant Professor

.

The purpose of this study aims at understanding the effects of reading texts by oneself with

different layouts on 7th graders' mathematical performance about

“

Pythagorean Theorem." This

study designed

“

proof-first" and

“

application-first" texts

,

and instruments for testing mathematical

performance about

“

Pythagorean Theorem." After collecting pre-test and post-test data

,

the

statistical method of ANCOVA was mainly used to analyze experimental data. The results showed

that the interaction between text layouts and students' mathematical abilities was statistically

significant

,

and that students

,

who read a mathematical text by themselves as testing in mathematics

related to the text

,

did not necessarily perform better than students

,

who did not read the

mathematical text by themselves as testing.

Keywords: text layout

,

hypotenuse-leg theorem

,

Pythagorean theorem

,

reading