高中二年級學生在平面方程式概念學習之認知診斷分析
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(2) 謝. 誌. 首先我要感謝我的指導教授 蔡蓉青老師，她非常耐心、用心的在指導我， 不論在論文架構、寫作過程，給予我許多有建設性的建議和幫助，也不時鼓勵我， 給予我持續衝下去的動力，讓我能順利完成論文，在此致上最誠摰的謝意！ 此外我還要感謝 曹博盛老師和 郭伯臣老師，百忙之中抽空擔任口試委員， 並對我的論文提出良好的建議，使論文能夠更加完善。 再來要感謝我在內中的好友凱翔，一直麻煩你幫我看試題、問卷，給了我相 當多的建議，以及感謝高三老師健祥、凱玲，亦對試題提出許多看法，還有感謝 幫忙我進行施測的數學科老師健中、中文、淑英、瑞媛、惠玲、麗琇、建銘，也 要感謝詠梅老師幫我看寫得不怎麼樣的英文，花了些心思幫忙修改，謝謝你們！ 接著要感謝研究所的同學敏媛、堅榮，我們一起互相打氣，一起互相前進。 最後，感謝我的家人。感謝我的老婆美玲、岳父根旺及岳母月娥細心的幫我 照顧小孩，讓我能專心投入論文的寫作。感謝我的媽媽琨玉、弟弟光旺在精神上 鼓勵我支持我，給我力量。感謝我的大女兒郡萱，一句「爸比加油」，讓我更精 神百倍，想要快點寫完論文，好好陪伴妳。感謝小女兒郡嬅的誕生，一同參與我 論文的完成。 謹將此論文獻給所有關心我、協助我的師長、家人及朋友們。. 魏光亮. 謹誌. 2012 年 6 月.
(3) 摘要 本研究旨在利用認知診斷模型來分析評量資料，以了解高中二年級學生在學 習平面方程式的概念之精熟情形，並探討不同性別與不同類組的學生在各概念屬 性的精熟是否有顯著差異。再依學生所精熟的概念個數，進一步分析程度不同的 學生在各個概念屬性的精熟上有何差異，以了解哪些是他們下一步應該強化的概 念。最後將學生依其認知屬性精熟狀況進行分群，以建構學習平面方程式的認知 概念間的階層關係，並探討性別或類組不同的子群體是否在學習的認知概念階層 有所不同。本研究選取台北市的一所高中二年級共二十個班級為樣本，學生素質 為 PR92，共計 660 個學生。 本研究的主要結果為： 一、高中二年級學生在平面方程式相關概念屬性的精熟情形 1.可透過公式的背誦去記憶的概念表現優於需要理解之概念的表現。 2.垂直概念的表現優於平行概念的表現。 3.男女學生在各概念屬性精熟度無顯著差異。 4.不同類組的學生除了在平面方程式的表示法的概念無顯著差異外，其餘各 屬性自然組學生的精熟情形皆顯著優於社會組學生。 二、高中二年級學生在平面方程式概念屬性精熟個數的分布及程度不同學生在各 概念屬性的精熟情形 1.在測驗所涵蓋的十一個概念中，精熟十個概念屬性的群體人數比例最多， 超過八成的學生精熟平面方程式一半以上的概念屬性。 2.「平面方程式的表示法」及「與平面垂直的向量為平面法向量」這兩個概 念屬性的精熟比例，不因學生所精熟的概念個數增加而有所提升。 3.學生對於概念的精熟應有順序性，對於程度不同的學生，教師進行補救教 學時進行強化或優先精熟的概念應該有所不同。 三、平面方程式相關概念屬性的階層關係 本研究首先建構平面方程式的概念屬性間的階層關係，並發現不同性別及不 同類組的學生在平面方程式單元的概念精熟過程不盡相同。 最後根據本研究的結果，提出有關教師在平面方程式單元的教學及未來研究 的建議，以供參考。 關鍵字：概念屬性、精熟程度、精熟組型、概念階層. I.
(4) Abstract The purpose of this study is to use the cognitive diagnosis model to analyze the assessment data, so as to understand the senior high second grade students’ mastery of the concept of plane equation. Meanwhile, it is to investigate if there are significant differences between students of different genders and majors in terms of their mastery of each attribute. We further analyze how students with different numbers of mastered attributes perform in the mastery of each attribute, in order to conclude which concepts should be further strengthened for students with different levels of mastery. Finally, the students are clustered based on their cognitive mastery status to construct the hierarchical relationship between the attributes of cognitive learning in plane equation. We also investigate if there are differences in the hierarchy of learning cognitive concepts between students of different genders and majors. The sample of this study is 20 classes of second grade students, numbered 660 in total, in a senior high school in Taipei City, and these students are ranked PR92 in senior high school entrance exam. The main conclusions of this study are as follows: 1. About senior high school second grade students’ mastery of the related attributes of plane equation: (1) The performance of reciting the formula of the concept is better than that of understanding the concept. (2) The performance of the concept of perpendicular is better than that of the concept of parallel. (3) There is no significant difference between male and female students in their mastery of various attributes. (4) There is no significant difference between students with different majors in their mastery of “the representation of plane equation”. However, as to the rest of the attributes, the mastery of natural science majors is significantly better than that of the social science majors. 2. About the distribution of the number of plane equation concept attributes that senior high school second grade students master and the kind of concept attributes that different levels of students master: (1) Among the 11 concepts covered in testing, the largest proportion of the students fall in the mastery group of 10 attributes, and more than 80% of the students master more than half of the attributes of plane equation. (2) As for the following two attributes, “representation of the plane equation” II.
(5) and “The plane normal vector is vertical of the plane.” , the proportion of mastery does not increase for students with larger number of mastered attributes. (3) The concepts that students are expected to familiarize should be ordered. In remedial instruction, teachers should strengthen or prioritize the mastery of the concepts differently according to students’ various levels. 3. Hierarchical relationship between the concept attributes of plane equation: In this study, the first step is to construct a hierarchical relationship between the concept attributes of plane equation, and to find the different learning patterns in concept mastery of plane equation for students of different genders and majors. Finally, the study puts forward suggestions for senior high school teachers and future studies based on its main findings. Keywords: attribute, level of mastery, mastery pattern, and hierarchy of attributes. III.
(6) 目 次 第一章 緒論.................................................................................................................. 1 第一節 研究動機.................................................................................................. 1 第二節 研究目的與研究問題.............................................................................. 4 第三節 名詞解釋.................................................................................................. 5 第四節 研究限制.................................................................................................. 6 第二章 文獻探討.......................................................................................................... 7 第一節 數學概念的學習與教學.......................................................................... 7 第二節 平面方程式的相關研究........................................................................ 11 第三節 認知診斷模式........................................................................................ 14 第四節 不同性別與不同類組的學生在數學學習的相關研究........................ 20 第五節 概念階層及其相關研究........................................................................ 23 第三章 研究方法........................................................................................................ 27 第一節 第二節 第三節 第四節. 研究流程................................................................................................ 27 研究樣本................................................................................................ 29 研究工具................................................................................................ 30 資料分析方法........................................................................................ 40. 第四章 結果與討論.................................................................................................... 43 第一節 高中二年級學生在平面方程式相關概念屬性的精熟情形................ 47 第二節 高中二年級學生在平面方程式概念屬性精熟個數的分布及程度 不同學生在各概念屬性的精熟情形.................................................... 59 第三節 平面方程式相關概念屬性的概念階層關係........................................ 66 第五章 結論與建議.................................................................................................... 87 第一節 結論........................................................................................................ 87 第二節 建議........................................................................................................ 91 參考文獻...................................................................................................................... 94 一、中文文獻...................................................................................................... 94 二、西文文獻...................................................................................................... 97 附錄............................................................................................................................ 100 附錄一 精熟試題全部或部分概念屬性的群體在該題答對率的估計值.... 100 附錄二 預試測驗試題與概念屬性的 Q 矩陣 ............................................... 110 附錄三 預試試卷............................................................................................ 111 附錄四 正式測驗試題與概念屬性的 Q 矩陣 ............................................... 113 附錄五 正式試卷............................................................................................ 115 附錄六 高中二年級學生學習平面方程式之認知概念屬性的調查問卷.... 117. IV.
(7) 表 次 表 表 表 表 表 表 表. 2-1 99 年普通高級中學課程綱要 (數學 IV) ...................................................... 11 2-2 測驗試題數與 g 值範圍的雙向細目表 ......................................................... 18 3-1 99 年普通高級中學課程綱要 (數學 IV) ...................................................... 30 3-2 平面方程式預試測驗試題的概念屬性內容 ................................................. 31 3-3 平面方程式預試測驗試題與概念屬性的 Q 矩陣 ........................................ 32 3-4 平面方程式預試測驗試題的知識向度與認知歷程向度之雙向細目表 ..... 33 3-5 預試結果信度分析 ......................................................................................... 34. 表 表 表 表 表. 3-6 預試試題難易度與鑑別度分析 ..................................................................... 36 3-7 平面方程式正式測驗試題與概念屬性的 Q 矩陣 ........................................ 37 3-8 平面方程式正式測驗試題的知識向度與認知歷程向度之雙向細目表 ..... 37 3-9 概念屬性補充說明 ......................................................................................... 38 4-1 全體學生、男學生、女學生、自然組學生及社會組學生在平面方程式. 各測驗試題的答對率...................................................................................... 43 表 4-2 高二學生在平面方程式測驗各概念屬性的精熟百分比 ............................. 48 表 4-3 男、女學生對學習平面方程式概念屬性之精熟百分比 ............................. 50 表 4-4 自然組、社會組學生對學習平面方程式概念屬性之精熟百分比 ............. 51 表 表 表 表 表 表 表 表 表. 4-5 性別及類組在 C1 的精熟與否之顯著性....................................................... 52 4-6 性別及類組在 C2 的精熟與否之顯著性....................................................... 52 4-7 性別及類組在 C3 的精熟與否之顯著性....................................................... 53 4-8 性別及類組在 C4 的精熟與否之顯著性....................................................... 53 4-9 性別及類組在 C5 的精熟與否之顯著性....................................................... 54 4-10 性別及類組在 C6 的精熟與否之顯著性..................................................... 54 4-11 性別及類組在 C7 的精熟與否之顯著性 ..................................................... 55 4-12 性別及類組在 C8 的精熟與否之顯著性..................................................... 55 4-13 性別及類組在 C9 的精熟與否之顯著性..................................................... 56. 表 表 表 表 表 表 表 表 表. 4-14 性別及類組在 C10 的精熟與否之顯著性................................................... 56 4-15 性別及類組在 C11 的精熟與否之顯著性 ................................................... 57 4-16 精熟概念個數不同的學生之人數比例 ....................................................... 60 4-17 精熟概念個數不同的學生在各概念屬性的精熟百分比 ........................... 61 4-18 全體學生精熟組型的分布 ........................................................................... 67 4-19 全體學生群集與認知概念屬性的顯著表 ................................................... 69 4-20 男、女學生精熟組型之分布 ....................................................................... 71 4-21 男學生群集與認知概念屬性的顯著表 ....................................................... 73 4-22 女學生群集與認知概念屬性的顯著表 ....................................................... 73. 表 4-23 自然組、社會組學生精熟組型之分布 ....................................................... 78 表 4-24 自然組學生群集與認知概念屬性的顯著表 ............................................... 81 V.
(8) 表 4-25 社會組學生群集與認知概念屬性的顯著表 ............................................... 81. VI.
(9) 圖 次 圖 圖 圖 圖 圖 圖 圖. 2-1 數學概念的學習過程 ..................................................................................... 10 2-2 受試者 i 對試題 j 的作答反應程序圖(de la Torre, 2009) ............................. 16 3-1 研究流程圖 ..................................................................................................... 28 3-2 分群樹狀圖 ..................................................................................................... 41 3-3 概念階層圖 ..................................................................................................... 42 4-1 男、女學生對學習平面方程式概念屬性之精熟百分比折線圖 ................. 50 4-2 自然組、社會組學生對學習平面方程式概念屬性之精熟百分比折線圖 . 51. 圖 圖 圖 圖 圖. 4-3 精熟屬性個數與人數比例直方圖 ................................................................. 60 4-4 全體學生對平面方程式的概念階層圖 ......................................................... 70 4-5 男學生對平面方程式的概念階層圖 ............................................................. 74 4-6 女學生對平面方程式的概念階層圖 ............................................................. 75 4-7 男學生概念階層圖 ......................................................................................... 76. 圖 圖 圖 圖. 4-8 女學生概念階層圖 ......................................................................................... 76 4-9 自然組學生對平面方程式的概念階層圖 ..................................................... 82 4-10 社會組學生對平面方程式的概念階層圖 ................................................... 83 4-11 自然組學生概念階層圖 ............................................................................... 84. 圖 4-12 社會組學生概念階層圖 ............................................................................... 84. VII.
(10) 第一章 第一節. 緒論 研究動機. 幾何課程一直被國內外所重視，美國數學教師協會(National council of Teachers of Mathematics, NCTM)在 1989 將空間感(spatial sense)視為數學教學的 中心目標之一，並於 2000 年將「幾何與空間感」列入課程標準中。而本國的國 民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域(教育部，2008)亦編列幾何學習課程， 每階段的學習目標如下：第一階段(國小一至二年級)要學習「簡單圖形之認識」。 第二階段(國小三至四年級)則慢慢發展以角、邊要素認識幾何圖形的能力，並能 以操作來認識幾何圖形的性質。第三階段(國小五至六年級)能認識簡單平面與立 體形體的幾何性質，並理解其面積或體積之計算。第四階段(國中一至三年級)要 學習三角形及圓的基本幾何性質，認識線對稱與圖形縮放的概念，並能學習簡單 的幾何推理。可見幾何能力的培養，在學校數學學習，佔有重要的地位。 然而，我們生活的空間是三度空間，是我們最熟悉的，也是我們最需要瞭解 的，但依照現今 99 課綱所編排的數學教材，於高二上開始幾何的課程，在高二 下才將空間課題放進學生的學習教材。而高二上第三章的單元是向量，開始學生 平面向量概念的建立，並於高二下，利用平面向量的概念引進空間向量的概念， 亦透過利用筆當作直線、紙當作平面，來讓學生學習抽象空間概念，再緊接著學 習平面方程式單元。會依如此之順序來編排教材內容的原因是因為空間概念較為 複雜，需先學習過一度空間(數線)及二度空間(平面坐標、平面幾何)的先備知識， 才能有較好的學習效果。其實這樣的學習順序，與古希臘數學家歐幾里得所著幾 何原本是相似的。該書共 13 卷，前 10 卷都是關於整數、有理數及平面幾何的數 學，直到第 11 卷才開始討論空間。 然而，文獻中有關高中幾何課程的教學之相關研究大多數都是針對向量單 1.
(11) 元，較少對平面方程式單元進行研究，而針對平面方程式單元的相關研究也較著 重於學生解題錯誤類型的分析，均未對於學生是否精熟單元概念來做探討。然而 平面方程式概念之精熟與否，可能將會影響到同一冊中所有學生均需學習的後面 單元—空間中的直線及三元一次聯立方程組的學習，例如：平面與直線兩者的相 交情形、三個平面的關係等。其實在 99 課綱當中，平面方程式這個章節是社會 組與自然組學生共同需要學習的教材，其餘的章節兩組的範圍則有些許不同，表 示平面方程式概念是繼向量單元後，在學習幾何課程時非常重要的基礎。 過去，在探討各年齡層的學生們在幾何空間學習的個別差異時，有研究指出 空間能力測驗、空間視覺測驗及立體圖成就表現男生表現顯著優於女生，也有研 究顯示男、女學生的空間能力測驗、空間知覺和視覺層面、空間方位測驗及立體 剖面圖測驗表現無顯著差異，可見文獻中對於男、女生在幾何學習表現是否有差 異的主題上，並無定論。而平面方程式這個幾何空間單元，男、女學生在相關概 念的精熟上是否有差異有其探討的必要。另外考量學生在類組上的不同，有研究 針對「函數與方程式」或「空間中的直線與平面」單元進行不同類組的研究，研 究結果顯示自然組表現優於社會組，卻亦有針對「矩陣基本運算及應用」單元的 研究指出自然組與社會組學生表現並無顯著差異。那麼在學習平面方程式單元， 自然組與社會組學生在相關概念的精熟上是否有差異亦有其探討的必要，因為若 能了解不同類組的學生在概念精熟上的差異，在教學實務上將會很有幫助。 透過評量，教師能立即看到不同程度之學生在答題表現上的差異，但是對於 答題總分相同的學生，在概念的精熟上有可能不同，無法由總分判定學生精熟了 哪些概念，或已具備哪些能力。但是，教師若能停下來看看試題所涵蓋的概念， 是可以看出些端倪，便可以知道哪些概念對某種程度的學生較為容易，但對另一 種程度的學生而言，卻是略嫌困難。教學主要目標是幫助學生學會平面方程式的 所有概念，但對於未精熟任何概念的學生，一次將所有概念全部交由學生學習， 要他(她)能精熟全部概念屬性是有困難的，因此若能了解不同程度的學生在各概 念屬性的精熟情形，就能評估學生下一階段能精熟哪些概念屬性並予以加強，會 2.
(12) 有較好的學習效果。 關於平面方程式整體概念屬性的學習，應有其順序性，有些概念對學生而言 是較早精熟的概念，而某些概念則是較晚精熟的概念，因此透過分析全體學生的 概念精熟組型的主要類型，可建構出學習歷程中這些概念彼此間的階層關係。概 念階層的建立能了解到學生概念學習的順序，在教學中教師能參考此概念階層來 協助學生進行學習。然而，男、女學生或是自然組、社會組學生在學習這些概念 的歷程上，概念精熟順序可能有所不同，其差異性為何，亦值得進一步探討。 近年來國內教育對於學生學習成效的評量，已不再只利用傳統的紙筆測驗來 評量學生，因為傳統測驗僅有分數的高低排序，老師無法單憑學習者的得分高低 就知道他(她)在學習上有那些概念的認知上較容易發生錯誤，也因此較難對學生 進行補救教學，來改善學生在學習上的問題。學者 Nichols (1994)指出傳統評量 理論無法提供的訊息，可透過認知診斷評量來達成，而認知診斷評量需結合認知 科學與心理計量學。認知診斷評量可以透過受試者對試題的作答反應組型，去推 論出可能的認知歷程與知識結構狀態，這些訊息可以幫助老師及學生進行「教」 與「學」，而且對增進學習者的學習成效將有助益。 教學過程中，老師若能掌握學生的學習現況，能了解學生對於教材所涵蓋的 主要概念的精熟情形，在教學上將會更為順暢。而近年來有關平面方程式之教學 的研究，大多著墨於診斷學生在學習該單元的概念時會有哪些錯誤類型，較少去 診斷學生精熟了哪些概念。本研究希望能利用認知診斷模型對評量資料加以分 析，以了解學生在平面方程式相關概念的精熟情形，希望本研究的結果能提供教 學現場的老師們在教學實務上的回饋與參考，也能對從事數學教育之研究者有所 幫助。. 3.
(13) 第二節. 研究目的與研究問題. 根據上述研究動機，本研究的研究目的與研究問題如下：. 壹、研究目的. 本研究的研究目的分述如下： 一、探討高中二年級學生在平面方程式各概念屬性的精熟程度，並探討不同性別 或類組的學生在各概念屬性的精熟程度之差異情形。 二、探討高中二年級學生在平面方程式概念屬性精熟個數的分布，並探討不同程 度的學生在平面方程式各概念屬性的精熟情形。 三、探討平面方程式各概念屬性間的階層關係，並探討不同性別或類組的學生在 學習歷程中習得這些概念之階層關係的差異情形。. 貳、研究問題. 依據研究目的，本研究的研究問題分述如下： 一、高中二年級學生在學習平面方程式的概念屬性之精熟程度為何？不同性別或 類組的學生在各概念屬性之精熟程度是否有顯著差異？ 二、高中二年級學生在平面方程式概念屬性精熟個數的分布為何？精熟之概念個 數不同的學生在平面方程式各概念屬性的精熟情形為何？ 三、平面方程式各概念屬性間的階層關係為何？不同性別或類組的學生學習歷程 之概念階層關係有哪些異同？. 4.
(14) 第三節. 名詞解釋. 壹、平面方程式 平面方程式單元為高二下學期課程，依據99課綱編列內容，涵蓋平面的法向 量、兩平面的夾角、點到平面的距離。 貳、概念屬性 概念屬性在本研究指的是解答試題時，所需具備的知識，包含概念性知識及 程序性知識。. 參、認知診斷模式 認知診斷模式是一種結合認知科學與心理計量學的方式，這種評量方式可以 透過受試者對試題的作答反應組型，而推論出其認知歷程與知識結構的可能狀 態，顯現出學生是否精熟某種技能或概念的訊息，本研究所使用的認知診斷模式 為G-DINA。. 肆、集群分析 將比較相似的樣本聚集在一起，形成集群(cluster)。本研究利用概念屬性來 做分類，對樣本進行初步分群，並計算每一群的重心，將每個觀察值歸入距重心 最近的那一群。相對距離愈近的，相似程度愈高，歸類成同一群組。本研究使用 的是華得法(Ward’s法)，此法計算群內的變數和，使同一群內的觀察值的變異數 和最小，不同群之間觀察值的變異數和最大。. 伍、概念階層 概念間常以上屬、下屬概念的上下階層結構形成有意義的系統。本研究所指 的概念階層是指學習平面方程式時，概念與概念間精熟的先後順序。. 5.
(15) 第四節. 研究限制. 壹、本研究之樣本僅限於台北市某高中二年級全體學生，學生素質約為 PR92， 故研究結果只能推論至素質及背景相似之高中學生，不宜推論至任意地區或 學校的學生。. 貳、本研究探討的主題為高中二年級學生在平面方程式的學習表現，並未探究不 同的學習環境對學習者是否有影響，不同的學習氣氛、學習者的學習動機與 態度、不同教師及不同教學方式都可能影響學習成效，本研究無法對這些變 項進行控制。. 參、本研究探討的內容僅止於針對平面方程式的教材，討論不同性別及不同類組 學生在學習該單元的概念理解表現，至於其他單元內容是否有相似的情形， 無法進行推論。. 6.
(16) 第二章 文獻探討 本研究為高中二年級學生在學習平面方程式的認知概念診斷分析，因此有必 要先探討數學概念及平面方程式單元的相關文獻，再回顧本研究所使用的認知診 斷模式相關文獻、不同性別與不同類組在數學單元學習的文獻，最後希望能建立 起學習平面方程式的概念階層關係，因此亦回顧概念階層之文獻探討。本章共分 為五節，第一節為「數學概念的學習與教學」，第二節為「平面方程式的相關研 究」 ，第三節為「認知診斷模式」 ，第四節為「不同性別與不同類組的學生在數學 學習的相關研究」，第五節為「概念階層及其相關研究」。. 第一節. 數學概念的學習與教學. 壹、數學概念的形成 「概念」這個字眼用得很廣泛，但不易精確定義。Skemp(1979)指出要形成 一個概念就必須先有實際經驗，而這些經驗又有某些相似性、共通性，而概念的 形成過程一般稱為抽象化，即「抽象」就是概念的形成過程。概念依據抽象的程 度，可分不同的層次，最低階的層次又稱為「初級概念」是直接由感官經驗得來 的概念，如黑色、三角形、…等。由數個初級概念再抽象所得的概念為「次級概 念」 ，如顏色、圖形、…等。經由不斷的抽象，概念將有階序關係，而「低階序」 經由循序漸近的抽象上去，將形成「高階序」。因此學生學習時，教師應從較具 體的低階序概念出發，盡量提供生活中的經驗，再將概念抽象上去習得高階序概 念，而不是直接告知學生，這樣對學生的學習是有幫助的。 而概念的形成過程，Skemp(1979)指出有下列五個重要的特徵： 一、意識(realization)：意識過程是指一個新的概念，透過環境經由感官輸入 7.
(17) 概念結構，此時新的概念與概念結構中的任一概念都沒有聯繫上。 二、同化(assimilation)：同化過程是指在概念結構中找出與新概念相類似的 概念。 三、擴張(expansion)：擴張過程是指以概念結構中已有的概念來領悟這新的 概念，使其成為概念結構中的一部分。 四、分化(differentiation)：分化過程是指分辨新的概念與一些已有概念之間 的異同處。 五、重建(re-construction)：重建過程是指當問題的情境改變時，已建立的概 念結構雖具有相關性，卻不適用於此情境，此時必須重建個體的概念結 構。 Henderson(1970)指出數學概念是屬於抽象概念，如數學上會學習到的分數、 多項式、複數、極限及機率…等均是抽象概念。張新仁(1989)認為數學概念是 學習數學的基礎，數學除了計算能力外還有概念理論的部份。蘇慧娟(1998)認 為數學的學習是新舊經驗的聯結，建立新概念前，必須先建立先前的概念，而 這些先前概念本身又有先前概念，因此複習舊有的知識，為有效的教學策略。 鄭毓信(1998)亦指出數學概念與相對應的事物或現象之間存在一般和特殊 的關係，需由現實中的概念抽象出相對應的數學概念，即由不同層次的特殊關 係經抽象後變為同一層次的一般關係。而形成數學概念時特有的抽象思維反 應，不再只是某一特定事物或現象的特徵，而是某一類事物或現象的特性。 Sfard(1991)將數學概念分成操作性概念(operational conception)與結構性概 念(structural conception)。其中操作性概念可被過程或行動所表徵，結構性概念 可視為物件。她認為大部份的人以操作性概念作為獲得新數學概念的第一步， 藉由一連串的活動來獲得新概念的存在性，之後概念會被視為一個靜態的結 構，在處理數學概念時會被視為整體，而且操作性概念(operational conception) 發展會先於結構性概念(structural conception)的發展，並認為從操作性概念轉化 為結構性概念是一個緩慢且困難的過程。Sfard 將概念的過程分為「內化」、「壓 8.
(18) 縮」及「物化」三層次，發展順序需按照內化壓縮物化進行，若某一層次 未達成，將無法前進至下一層次。而且，當一個概念達到物化時，此概念又可 當成另一個物件，再被操作，再次經過內化壓縮物化的過程，又可形成另 一個較高的概念，經過多次內化壓縮物化的過程，可提升更高階的概念層 次。. 貳、數學概念的學習 Ausubel(1918)指出，在學生學習新概念形成新知識時，他會先用自己既有的 要領概念去核對新概念，並試圖納入自己的認知結構中，同化後成為自己的知 識。因此，要領概念具有吸收同化新概念的功用，在學習新知識前，如果能先將 新知識中的主要概念提出來，使之與學生既有的要領概念相結合，將有助於學習 (張春興，民 83)。 Skemp(1987)對於概念的學習提出兩個原則： 一、要學習的概念階級，已經超過個人現有的最高概念階級時，不能用定義 的方式來進行溝通，只能蒐集相關的例子、提供其經驗，再靠學習者自 己抽象來形成概念。 二、在數學學習過程中，有的例子有時或多或少又含有其他概念，因此，我 們在提供例子時，必須先確定學生這些預先的概念已經形成了。 楊弢亮(1997)指出數學概念是抽象、思辨的，而且數學的方法也是抽象、思 辨的，因此在教學時，應從實際事例和學生現有的知識，引入新的概念。對於較 容易混淆的概念，教師要能引導學生比對概念間的異同性，並提出概念的引入可 採用下列方式： 一、採用與學生生活經驗相關的素材。 二、利用教材所提供的感性材料。 三、由定義引入，再用感性材料加以証實。 四、由舊概念引入新概念。 9.
(19) 鄭君文、張恩華(1991)將學習數學概念分為「概念形成」與「概念同化」。 概念形成是指對具體事物的抽象，而概念同化指的是學生對新知識的聯繫，概念 形成與概念同化這兩種方式通常是一起使用的，過程如圖 2-1 觀察實例 歸納實例共同的. 找出新的概念與. 本質屬性，並與. 原知識結構中的. 直接揭示. 直接揭示的本質. 知識之聯繫. 概念的本. 屬性相比較. 形成新. 納入概. 概念. 念系統. 質屬性. 圖 2-1. 數學概念的學習過程. 因此，對於學生概念的學習，我們必須知道學生已經了解什麼以及學生如何 進行學習。而且上述學者的觀點均認為，新概念的學習，是建立在舊概念的基礎 上，教學時應確認學習者對於舊概念是否已穩固，而且在其學習過程中，若能提 供多樣化的例子，讓學生循序漸進的方式進行學習，讓新的概念納入原有的認知 結構中，那麼概念系統將更加完整。. 10.
(20) 第二節. 平面方程式的相關研究. 在學習「平面方程式」的概念前所需要的先備知識，依照表 2-1 中 99 年普 通高級中學課程綱要數學 IV 所顯示的，包括了空間概念、空間向量的坐標表示 法、以及空間向量的內積和外積。上述內容中向量部分的內容占了很大的篇幅， 可見向量概念的建立相當的重要。. 表 2-1. 99 年普通高級中學課程綱要. 主題. 子題. 內容. 一、. 1.空間概念. 1.1空間中兩直線、兩平面、及直. 空間. 2.空間向量的坐標表示法 3.空間向量的內積. 向量. 4.外積、體積與行列式. (數學 IV). 線與平面的位置關係 2.1空間坐標系：點坐標、距離公 式 2.2空間向量的加減法、係數乘 法，線性組合 3.1內積與餘弦的關聯、正射影與 高、柯西不等式、兩向量垂直 的判定 4.1外積與正弦的關聯、兩向量所 張出的平行四邊形面積 4.2三向量所張出的平行六面體 體積 ◎4.3 三階行列式的定義與性質. 二、 空間中 的平面 與直線. 1.平面方程式 2.空間直線方程式 3.三元一次聯立方程組. 1.1 平面的法向量、兩平面的夾 角、點到平面的距離 2.1 直線的參數式、直線與平面 的關係 ◎2.2 點到直線的距離、兩平行 線的距離、兩歪斜線的距離 3.1 消去法 ◎3.2 三平面幾何關係的代數判 定. 11. 備註. ◎ 代 表 該 單 元 僅 為 自 然 組 、 而 非 社 會 組 學 生 之 教 材.
(21) 因此向量的學習過程不可忽視，而對於向量的相關研究有江淑美(1985)對高 一學生進行錯誤類型的研究，發現在平面向量單元，有部份學生對於向量的大小 及方向概念不清楚，未建立起始點、終點、正逆方向的向量觀念，並且不習慣透 過來操作解題。林進發(2001)對高二及高三的學生進行錯誤類型的研究，發現學 生在學習平面向量單元有認知錯誤，而認知錯誤的原因為是對於向量的先備知識 不足即向量有大小及方向，以及對於舊知識兩數相乘與新知識兩向量內積做不當 的連結，造成學習錯誤。陳俊廷(2002)對高二及高三的學生進行錯誤類型的研 究，發現學生在學習空間向量單元時，有下列錯誤類型：不了解空間向量大小及 方向、對於向量與線段做錯誤的連結、對空間中平面的表徵方式不明白及缺乏空 間中點、線、面等幾何圖形的想像力，造成學習困難。李永貞(2008)對高二的學 生進行錯誤類型的研究，發現向量概念學習上，有向量記號使用概念錯誤、向量 加減運算概念的錯誤及向量內積概念的錯誤等三大類的錯誤類型。而向量記號使 _____\. _____\. 用概念錯誤是將向量當成線段來使用，如 AB 5 ，因此也會造成 BA 5 的不 當概念產生。向量加減法運算概念的錯誤造成的原因，是未能正確的將兩向量始 點及終點位置做連接求兩向量相加或相減，而且會將兩向量的相加減當成長度相 加減。向量內積概念的錯誤則是將兩向量當成兩數相乘，以及向量公式 ___\ ___\. ___\. a b a. ___\. b cos 未能了解其意義。. 由上述研究，發現學生學習時常會將舊知識與新知識做不當的連結，而且向 量基本的觀念仍有部份學生未能熟悉，那麼後續平面方程式的學習，是有可能因 為向量學習不佳而有影響，因此本研究會將學習平面方程式單元時，應具備的向 量概念一併列入試題中，以了解學生是否具備向量單元的概念。 有關平面方程式的研究，根據研究者搜尋文獻時，發現相關研究較少，而且 亦是做錯誤類型的研究。以平面方程式單元做錯誤類型研究的有陳基正(2007)對 高二及高三學生進行的研究，發現學生有下列錯誤類型： 一、空間向量的夾角錯誤：求兩向量的夾角時未能自定空間坐標系求解。 12.
(22) 二、平面方程式法向量錯誤：未能利用已知兩點，求得此兩點的垂直平分面法向 量。 三、點到平面距離錯誤：未能正確使用公式求解。 四、兩平面夾角錯誤：應有兩個夾角，只求得一個夾角。 五、兩平行平面的距離錯誤：未能正確使用公式求解。 六、平面中直線方程式與空間中平面方程式不當連結：認為空間中 2x+y=4 是直 線。 陳基正並指出學習平面方程式單元有下列錯誤的原因： 一、公式概念不清產生的錯誤：公式的背誦可以幫忙解題，但學生常常不知道公 式的使用時機及如何正確使用公式。 二、受舊有概念影響而產生不當連結錯誤：空間中方程式 2x+y=4 為平面方程式， 誤認為舊有概念的直線方程式。 三、忽視題目中已知條件或答案完備性產生錯誤：不清楚平面夾角有兩個。 四、題目所給條件或數據作不當連結：求空間中兩點 A(1, 1, 2)、B(3, 5, 0)的垂直 平分面方程式，會將點 A 或點 B 當成所求平面上的點。. x y z 五、自創推論：求空間中點 P(3, －6, 12)到平面 E： 1 的距離時，直接 3 6 6 x y z 將點 P 代入 求解。 3 6 6 上述研究均指出，學生在學習平面方程式單元內容，不管是向量(先備知識) 或是平面方程式部份，均有學習上的錯誤。而且這幾年的評量工具中，有較多著 墨於錯誤類型的研究，以了解學習單元內容有哪些迷思概念，但對於學生在學習 過整個單元時，無法對個別學生或是全體學生所學概念的精熟度做診斷分析。本 研究為求了解學生對平面方程式概念的精熟情形，提出 G-DINA 模式進行診斷分 析，透過分析學生的測驗資料，了解學生的認知概念組型，底下將介紹 G-DINA 認知診斷模式。. 13.
(23) 第三節. 認知診斷模式. 為了了解教學成效，教師在教學過程，會進行診斷測驗以了解學習者的學習 狀況，而傳統測驗的結果只是測驗分數，雖可以將學生的能力在團體中所佔的相 對位置表示出來，卻無法顯示學生精熟哪些認知概念或是技能，幫助學生或老師 更加了解分數的意涵，讓學習過程進行的更有效率（Sheehan, 1997） 。學者Nichols (1994)亦指出傳統評量理論無法提供有效的訊息，教師在進行診斷評量時，就無 法真正知道哪些是學習者學習錯誤的地方，於是他提倡應將認知科學(cognitive science)與心理計量學(psychometrics)兩者結合，發展出新的診斷評量方法，協助 教師得到充分的資料，幫助學習者學習。這種新的診斷評量方法，Nichols將它 稱為認知診斷評量(cognitively diagnostic assessment, CDA) (涂金堂，2003)。而認 知診斷模式能將受試者的認知變量做量化的分析，以了解受試者的認知概念的狀 態，讓測驗評量不只是一個分數，反而能根據受試者在測驗的表現，瞭解受試者 具備了哪些技能列表或認知屬性(Junker & Sijtsma，2001)。 隨著科技的發達、電腦輔助軟硬體的進步，過去幾年來，國外研究開發多種 不同的認知診斷模式(cognitive diagnostic models, CDMs)。例如：Fischer(1973, 1974)提出的線性邏輯測驗模式(linear logistic test model, LLTM)。Tatsoka(1983)提 出規則空間模式(rule space model, RSM)。Adams, Wilson, & Wang；Reckase(1997) 提出多維度補償模式(multidimensional compensatory IRT models)。Embretson (1997)提出多成份潛在特質模式( multicomponent latent trait model, MLTM)。而每 個模式均有其適用的時機，研究者需根據自己的需求採用適當的模式。本研究將 採G–DINA模式來進行研究，而G–DINA模式是DINA模式的一般化模型，於2011 年由de la Torre所提出，底下將透過DINA模式來介紹G–DINA模式。 在2001年Junker & Sijtsma的研究開啟了DINA模式(The deterministic inputs, noisy “and” gate model)廣泛的被應用，此模式依據受試者答對與否，認定受試者 是否具備試題所測量的認知屬性，若缺少任一個認知屬性則會答錯，但是在實際. 14.
(24) 的答題的情形，受試者具備試題應有的認知屬性，但可能會因粗心(slip)而答錯， 也可能受試者缺乏試題中某些應有的認知屬性，經由猜測(guessing)而答對。因 此，答對試題的機率會受到「粗心(slip)」和「猜測(guess)」兩個試題參數的影響。 DINA 模式答對試題的機率模式如下：. . 1ij. P(Yij 1| ij ) (1 s j ) ij g j 其中，. ij . K. ik ik. k :Q jk 1. Q jk. k 1. s j P(Yij 0 | ij 1) g j P(Yij 1| ij 0). Yij：第i個受試者在第j題試題的反應。 ηij：第i個受試者是否具備答對第j題試題所需要的概念，如全部具備其 值為1，反之，若受試者缺少一個以上答對第j題試題所需要的概 念，其值為0。 αik：第i個受試者在第k個認知屬性的有無，如具備該屬性其值為1，若 無則為0。 sj：受試者具備回答第j題試題所需的認知屬性，卻因粗心而答錯該題的 機率。 gj：受試者不具備回答第j題試題所需的認知屬性，卻因猜測而答對該題 的機率。. 從DINA模式的定義中可知該模式將受試者分為兩類，一類是完全具備了答 對試題的所有認知屬性，另一類則是缺少了試題的某個或某些的認知屬性，若答 15.
(25) 對會被歸類於猜測而答對的機率。但是在實際教學現場，受試者i若具備試題j的 認知屬性，作答試題j時應該答對，卻可能因為粗心而寫錯。另一個可能是受試 者i不具備試題j的認知屬性，做答試題j時卻答對，是因為猜測答對表示。底下即 為受試者i對試題j的反應程序圖 αij=(αi1, αi2,…,αik). Qjk=(Qj1, Qj2,…,Qjk). ηij 0. 1. gj. 1–sj Yij. 圖 2-2. 受試者 i 對試題 j 的作答反應程序圖(de la Torre, 2009). 綜合以上所述，DINA模式的定義是CDMs中較為簡單且易於解釋的模式， 因為受試者作答試題時錯誤的機率，只考慮兩個參數「粗心參數(slip)」及「猜 測參數(guess)」 (de la Torre & Douglas, 2004)。 DINA模式將答對試題的受試者分為兩種群體：一為完全具備答對該試題的 所有認知屬性且不粗心，另一為缺少了一個以上的認知屬性卻答對。對於後者的 群體，受試者是缺乏答對試題的一個、二個、多個概念，甚至是缺乏所有的概念， 就答對機率而言都當成是猜測答對，均視為同類的受試者，但在實際的教學現 場，受試者是有程度的差別，不會將他們視為同一類型的受試者，因此de la Torre(2011)提出DINA模式的一般化模式，稱為G-DINA模式。不再是將受者一分 為二，而是先列出所要測量的最大概念數，假設有最大概念數為n，就會有2n種 的概念組型，每一道試題所要測量的概念就是這2n種的概念組型的其中一種，其 答對試題的機率方程式如下。. P(Yij 1| ij *) j 0 k j1 jklk k j k K *. K *. 16. K j *1. jkk lklk j12. Kj*. . Kj* k 1. lk.
(26) 其中， δj0：試題j的截距。 δjk：試題j對αk的主要影響。 δjkk'：試題j對αk與αk '的交互影響。 δj12…K j*：試題j由αk到αk'的交互影響。. 這些參數在模式上的意義如下. δ0：表示答對機率的底線，即不具備任何答題所需概念時的答對機率。 δk：表示精熟單一概念αk時，所能影響的答對機率。 δkk'：表示1個階層的交互作用效果，即同時具備概念αk及αk'時，所能影 響的答對機率。 δ12…K*：表示精熟全部概念時，所能影響的答對機率。. 以測量試題有3個概念為例，假設答對該題所需概念的矩陣為(1, 1, 1)，則受 試者的概念認知狀態為{(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1)}這八種，但是DINA模式會將受試者分為{(1, 1, 1)}及{(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)}兩種群體。即{(1, 1, 1)}群體是DINA模 式視為具備所有認知屬性而答對題目的一群，{(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)}等7種認知狀態DINA模式視為不完全具備所有認知屬 性而答對題目的另一群，但G-DINA模式將後者視為7種不同的認知屬性。以 G-DINA模式來看，當δj0與δj12…K j*不為0，而δjk與δjkk'均為0時，就是DINA模式。 因此，DINA為G-DINA的其中一種特殊情形，而G-DINA為一般化模式。. 因為DINA模式因為只考慮兩個參數「粗心參數(slip)」及「猜測參數(guess)」 ， 所以較為簡單且易於解釋，但是並不是所有的測驗均適用，以本研究而言，將受 17.
(27) 試者資料使用de la Torre以Ox（Doornik, 2003）程式編寫的DINA模式程式碼，進 行分析，得到猜測參數(g)情形如表2-2為測驗試題數與g值範圍的雙向細目表。. 表 2-2. 測驗試題數與 g 值範圍的雙向細目表 g值範圍. 測驗試題數. 0.8~1. 0.7~0.8. 5. 2. 測驗題共13題，經由DINA模式分析，有高達7題答對視為猜對機率超過0.7，而 且檢視這些題目，亦發現難易度指數0.8以上的試題，其g值大多數也都是0.8以 上。若將「難度較低而受試者答對就認為是用猜的」，這是較不合理的認定，教 學現場也不會這麼做，是否表示DINA模式較不適用？那麼改採G-DINA模式來解 釋，是否就較為合理？底下將由第j道試題含蓋α1, α2, α3三個概念，來討論DINA 模式的g值及對應的G-DINA模式的值。 以DINA而言，受試者不完全具備α1, α2, α3的概念而答對該試題的g值為 gj=P(Yij=1|α1, α2, α3不全為1) 以G-DINA而言，受試者不完全具備α1, α2, α3的概念而答對該試題有下列7種 機率值，如下 p1=P(Yij=1|α1=0, α2=0, α3=0). p2=P(Yij=1|α1=1, α2=0, α3=0). p3=P(Yij=1|α1=0, α2=1, α3=0). p4=P(Yij=1|α1=0, α2=0, α3=1). p5=P(Yij=1|α1=1, α2=1, α3=0). p6=P(Yij=1|α1=1, α2=0, α3=1). p7=P(Yij=1|α1=0, α2=1, α3=1). 有時受試者未必具備該題的所有概念，就可以答對該題，例如 p5 即受試者具備 α1, α2, 但不具備 α3 的概念而答對的機率，將 DINA 模式的猜對，換成 G-DINA 的這 7 種答對機率來說明，更能讓人信服，本研究將採用 G-DINA 模式進行研究。 18.
(28) 由於 G-DINA 為 de le Torre 於 2011 年所提出的模式，目前國內已有研究者 從事有關數學單元或概念的研究。黃楷智(2011)對國中生進行二次函數的研究， 利用動態幾何系統 GeoGebra 教學後，利用 G-DINA 模式診斷不同學業能力學生 （高、中、低）三種層次在哪些概念、技能達到精熟，是否有顯著差異。吳毓文 (2011)對國小二年級學童進行時間概念的研究，以了解國小二年級學童對於時鐘 概念的理解情形、不同年齡對時間概念理解是否有差異以及學童分群後各群間的 差異情形。 本研究將利用 G-DINA 模式診斷出學生學習平面方程式的概念組型，討論全 體學生對各概念屬性的精熟情形，亦希望能了解不同性別對於平面方程式各屬性 的精熟情形是否有顯者差異，以及實務上，高二均會面臨需教不同類組(社會組、 自然組)學生的情形，對於這兩類組學習各屬性的精熟度，是否有顯著差異，亦 為本研究範圍。下節中將介紹不同性別與不同類組的學生，在學習數學單元或相 關概念時之差異情形。. 19.
(29) 第四節. 不同性別與不同類組的學生在數學學習的相 關研究. 壹、數學學習與性別的相關研究 平面方程式單元為空間幾何單元之一，在學習此一單元時，是否會因性別不 同而有顯著差異？國內外有關空間幾何的文獻，大多數研究的是有關空間能力的 範疇，彙整國內外有關性別與空間能力之研究，分別說明如下： Guay & McDaniel(1977)以研究者自編的空間能力測驗對小學孩童進行研 究，發現高層次能力的試題男生表現顯著比女生好。Alansari, Deregowski & McGeorge(2008)以空間視覺測驗對5到9歲的孩童進行研究，發現男生在測驗的表 現顯著優於女生。Geiser, Lehmann & Eid（2008）以心像旋轉測驗對學生進行研 究，發現9到15歲的男生表現顯著優於女生。 劉俊祥(2000)以機械製圖科學生為研究對象，研究學生空間能力與立體圖成 就表現，發現男生在空間能力測量上顯著高於女生，且男生在立體圖成就表現測 驗上顯著高於女生，而且男生與女生的空間能力測量與立體圖成就表現測驗有顯 著相關。梁勇能(2000)以大台北地區國二學生為研究對象，研究學生之空間能 力，發現男生在空間能力的表現上顯著優於女生。吳煥昌(2001) 對機械製圖科 三年級學生進行研究，發現男生在「空間能力量表」之表現優於女生之表現。男 生在「展開圖學習成就量表」之表現優於女生之表現。且學生在「展開圖學習成 就量表」及「空間能力量表」之表現有顯著正相關。 上述的空間能力研究均為男生表現顯著優於女生。亦有研究發現，空間能力 在男、女學生學習上沒有顯著差異。 Guay & McDaniel(1977)以研究者自編的空間能力測驗對小學孩童進行研 究，發現低層次能力的試題男、女生表現無顯著差異。Seng & Chan(2000)對新加 坡的國小孩童進研究，發現男女生的整體空間能力沒有顯著差異。Rilea、 20.
(30) Roskos-Ewoldsen & Boles(2004)以108位成年人為研究對象發現，就空間知覺層面 和空間視覺層面而言，男女生的表現沒有顯著差異。Alansari、Deregowski & McGeorge(2008）以5到9歲的學童進行研究，發現男、女生在空間方位的表現未 達顯著水準。 廖焜熙(1999)指出數學學習必須具備基礎的空間能力，空間能力與數學學習 有直接的相關性，研究發現結果發現，男、女生空間能力無太大差異，未達顯著 相關。蔣家唐(1995)在視覺空間認知能力測驗的研究發現，男女生的成績，在不 限定作答時間的前提下，未達顯著水準。吳文如(2004)以國中學生為研究對象， 發現發現男、女國中學生在空間能力的整體表現，並未達到顯著水準。魏春蓮 (2005)以國小四年級學童為研究對象，研究學童學習立體展開圖，發現男女學童 在空間能力測驗的表現沒有顯著差異。廖雅如(2006)以國小六年級學童為研究對 象，研究學童對立體剖面圖學習情形，發現男女學童在立體剖面圖測驗的表現沒 有顯著差異。 由上述研究發現，有關性別與空間能力的關係，國內外學者及研究者的研究 結果並不相同，因此，不同性別的高中學生，在平面方程式的學習上是否有顯著 差異，仍有待進一步的研究與探討。. 貳、數學學習與類組的相關研究 現行的高中學制是採高一不分組，高二則分成社會組與自然組，有些學生選 類組是因為興趣所致，較為積極學習數學，當然數學成就也就相對的較好(姚如 芬，1993)。亦有不少的學生，是因為理科及數學科學習成就不佳，而選擇社會 組。本研究探討的是高中二年級學生對平面方程式的學習表現，並了解不同類組 的學生在這個單元的學習表現上的差異，彙整過去討論數學學習與類組之間關係 之研究，分別說明如下： 陳俊廷(2002)針對「空間向量」單元診斷數學概念的學習情形，探討高中二、 三年級學生對空間向量與空間幾何數學概念的認知是否正確，並發現不同類組的 21.
(31) 學生有下列的差異性： 一、向量內積基本性質之概念測驗顯示，自然組學生表現優於社會組。 二、空間立體圖之概念測驗顯示，自然組學生表現優於社會組。 三、空間向量垂直之概念測驗顯示，社會組學生表現優於自然組。 四、空間幾何與三垂線性質之概念測驗顯示，自然組學生表現優於社會組。 五、空間中平面表徵方式之概念測驗顯示，自然組學生表現優於社會組。 六、直線與平面關係之概念測驗顯示，部份試題自然組學生表現優於社會 組，亦有部份試題社會組學生表現優於自然組。 七、點與xy平面對稱之概念測驗顯示，自然組學生表現優於社會組。 八、決定平面條件之概念測驗顯示，自然組學生表現優於社會組。 陳俊廷的錯誤類型研究指出，大多數空間中直線與平面的概念自然組表現較 社會組好，僅「空間向量垂直」與「直線與平面關係」的概念社會組表現有優於 自然組的情形。 黃雅琪(2005)針對「矩陣基本運算及應用」單元診斷數學概念的學習情形， 探討高中三年級學生在矩陣單元學習錯誤的原因，發現： 一、在基本的矩陣運算和概念上，根據測驗錯誤人數的比較，兩類組學生無 明顯差異，但自然組計算錯誤的情形較社會組頻繁。 二、對於矩陣應用方面的試題，社會組學生的思考邏輯部分較欠缺。 劉嘉琪(2007)以「函數與方程式」單元進行研究，診斷高三自然組與社會組 學生的學習情形發現自然組學生在測驗中，不論是「概念性知識」、「程序性知 識」或「總分」均顯著優於高三社會組學生。 由上述研究發現，有關數學學習與類組的關係，大多數相關研究顯示自然組 在數學學習的表現上較社會組好，亦有一些研究顯示兩者無顯著差異，而且僅有 黃雅琪的研究顯示計算錯誤情形，自然組學生較社會組學生來的頻繁，可知結果 並不相同，因此，不同類組的高中學生，在平面方程式單元的學習上是否有顯著 差異，仍有待進一步的研究與探討。 22.
(32) 第五節. 概念階層及其相關研究. 概念階層是指概念間常以上屬、下屬的結構關係，形成有意義的系統(陳重 源，2010)。位於下屬的層次，為學習者較早學到的概念，可能為較簡單的概念， 而位於上屬層次的概念，學習者較後面的階段才能學會。透過學習者的概念階層 關係，可了解到學習者的認知結構，概念習得過程。而常見的概念階層結構分析 法有：概念構圖(concept mapping)、試題關聯結構(item relational structure, IRS)、 次序理論(ordering theory, OT)、詮釋結構模式(interpretive structural modeling, ISM) 等。上述方法主要是想從元素或試題的關係中，找出上下屬關係，以說明受試者 的概念屬性結構。而運用ISM是相當有效的一個方法，可將元素關係做系統化分 析(林原宏，2005)。 詮釋結構模式(ISM)為Warfield(1976)所提出，透過二維矩陣的數學運算，以 呈現系統內元素間的關聯性及多層級的結構化階層(multilevel structural hierarchy)，是一種社會系統工學中彙整訊息的建模方法。而日本學者佐藤隆博 (1980)在「構造學習法」提出ISM分析法在教育上的應用，將學習者腦中思考的 概念要素，當成單位結構，用具體的圖形或數值表示學習者的認知結構(引自吳 育楨，2008)。之後，國際間開始有許多關於ISM的研究。 Hawthorme & Sage(1975)在高等教育課程計畫的意見整合上應用ISM法，有 效的呈現出計畫中實施方案的階層順序性。Lin, Wang and Chen(2006)應用ISM分 析法，將顧客對產品需求項目的相互依賴之結構關係清楚的呈現出來。吳信義 (1998)在職業教育基本電學科目上，應用ISM分析教學單元中，各要素的階層關 係，以建立單元的教學內容，減輕課程設計的負擔。鐘靜蓉(2002)以經濟學中的 「需求—供給」單元為實例，用ISM方法進行學習單元的結構分析，並利用電腦 重新編排學習項目順序，建構出學習單元的「學習地圖(learning map)」與「學習 路徑(learning path)」。鄭麗娜(2004)在國中小地理概念上，運用ISM分析法產生. 23.
(33) 有層次的結構化階層圖，以了解九年一貫課程中，現行各版本教材中社會領域所 涵蓋的地理概念。 但是ISM所定義的元素關係只限於二元關係，並不能完全適用於描述學習者 知識結構中概念間的關係。因此，林原宏(2005)提出了模糊取向的詮釋結構模式 (fuzzy approach of interpretive structural model)，改進了ISM模式只適用於二元資 料的限制，同時可呈現學習者個人化的知識結構。之後，林原宏又將模糊取向的 詮釋結構模式進行改良，並與與洪文良、黃國榮共同合作，提出概念詮釋結構模 式(concept advanced interpretive structural modeling, CAISM)並設計出應用軟體。 此程式經由計算，可以得到受試者數學概念間的關係矩陣，並利用ISM的階層結 構運算法則，利用數值和圖形結構，呈現個人化的概念階層結構（Lin, Hung & Huang，2006），從而得知個人化的知識結構圖。 關於CAISM的研究如下： 王佩芬(2008)以國小四年級學童為研究對象，以自編的「國小四年級小數概 念試題」為研究工具，應用CAISM分析學童小數概念的知識結構，同時利用模 糊集群分析方法，將學童分群，以探討各群在小數概念的知識結構特性。發現： 一、由概念階層結構圖之概念間的上、下位關係，可以瞭解到學童較易精熟 與較不易精熟的概念，從概念間的指向，可得知較不易精熟的概念，其 下位概念有哪些，可提供教學者進行補救教學的參考資訊。 二、低精熟組的學童，因為小學基本概念不精熟，較易猜測答案，所以其概 念結構圖較紊亂，而且概念間的指向關係較異常，常不符合邏輯。 三、答對題數相同但反應組型不同的學童，除了精熟度有所不同之外，其小 數概念階層結構也不盡相同。 四、在進行補救教學前的概念結構圖不太符合邏輯性，分析其答案，發現學 童答錯的原因有可能是看錯選項、不瞭解題意或對概念的不熟悉而隨意 猜測答案，但仍然會造成相對應的概念精熟度下降，或使概念落在概念 結構圖的不同層次。 24.
(34) 戴筱玲（2008)以國小六年級學童為研究對象，以自編的「速率概念測驗」 為研究工具，應用CAISM分析學童速率概念。發現： 一、CAISM可有效表徵速率概念並進行概念結構分析。 二、不同群組的受試者其速率概念結構與試題內的解題策略都不盡相同。 三、根據個人化速率概念之概念詮釋結構圖其概念間連結指向的訊息，可提 供教學者進行補救教學的參考。 四、總分相同但反應組型不同的受試者對概念的精熟度與所採取的解題策略 皆有所差異。 五、不同群組間概念詮釋結構圖之相似度大多數都有明顯差異存在，教學者 可針對相似度差異顯著的不同群組實施適當的分組教學。 六、不同群組與專家的概念詮釋結構圖之相似度都有顯著的差異存在，顯示 六年級學童對速率概念的學習尚未達精熟階段。 江孟聰(2010)以國小五年級學童為研究對象，應用CAISM根據作答反應資料 了解學童幾何的概念階層結構圖，探討不同學習類型學生的概念階層結構圖之特 徵。發現： 一、藉由多元計分概念詮釋結構模式分析法，可繪製出受試者個人化的概念 階層結構圖，了解個別受試者的概念階層結構，並可用於不同學習類型 或不同答題反應組型的受試者的概念階層結構圖之比較與分析。 二、不同學習類型或不同反應組型受試者的幾何概念階層結構圖，其概念階 層數、階層內的概念屬性、概念間的連結指向皆有明顯的差異。 三、藉由個人化概念階層結構圖，可以瞭解不同學習類型的受試者在學習幾 何概念時，迷思概念及概念結構的差異。 四、從概念階層結構圖中的概念所在之階層位置可以得知，受試者較易精熟 及最難精熟的概念，並由兩兩概念的指向可得知受試者要精熟概念之上 下位關係順序。 五、答對題數相同但反應組型不同的受試者，其整體概念階層結構圖有所差 25.
(35) 異。 而數學領域上，國外亦有針對概念階層的研究。Chen、Gorin、Thompson & Tatsuoka(2008)以台灣TIMSS1999年八年級學生為樣本，進行規則空間方法的研 究，用來診斷TIMSS評估項目對應的學生認知能力和技能。經由診斷可了解每位 學生對於各屬性的精熟情形，將得到學生的認知概念組型，並將學生認知概念組 型分群後，透過受試者分群後的概念階層關係，所反映出學習的認知概念階層， 能以了解台灣學生的概念階層知識狀態。 以上研究結果均能繪出受試者的概念階層結構圖，並分析受試者的知識結 構，發現不同的受試者，其知識結構圖在連結指向及階層上有明顯差異，本研究 亦試圖建構出概念階層圖，以了解不同群體的概念階層知識狀態，研究結果將提 供課程編修、教學診斷及補救教學參考之用。. 26.
(36) 第三章. 研究方法. 本研究以研究者自編的平面方程式測驗為施測工具，對台北市某高中二年級 學生進行施測，以蒐集所需的研究資料。進一步地透過評量資料的分析，以回答 有關高中生在平面方程式概念學習之認知診斷相關的研究問題。以下說明我們所 採用的研究方法，內容共分為四節，第一節為研究流程，第二節為研究樣本，第 三節為研究工具，第四節為資料分析方法。. 第一節. 研究流程. 研究者先就教學現場學生的學習情形，提出感興趣的主題，經過與指導 教授討論並閱讀相關文獻後，確立研究目的為探討高中二年級學生學習平面 方程式概念表現之研究後，立即擬定研究架構，及蒐集相關的文獻，並和教 學現場的同事討論，以獲得相關的資訊。 平面方程式測驗試題的編製，是參考普通高級中學「數學」課程綱要、 高中二年級數學教材內容(包含課本及教師手冊)以及有關平面方程式的相 關文獻來進行。經由指導教授及三位數學科教師進行審題及修題後，選取一 班37位高中二年級學生進行預試施測，將測驗的結果進行分析，同時亦請不 同於預試前的兩位數學系教授及五位數學科教師再次審視試題，經由修正 後，編製成為正式施測的試題。 正式施測時，是以台北市某高中二年級學生為研究樣本，測驗時間為一 節課50分鐘，測驗試題需畫卡，測驗完畢後將資料由讀卡機，將作答結果檔 案輸出，進行資料分析。最後將分析結果撰寫研究報告，並提出個人的看法 供教師教學與未來研究的參考。本研究的流程圖如圖3-1所示。 27.
(37) 確定研究目的. 閱讀相關文獻. 確定研究架構. 編製測驗. 第一次專家審題、修題. 進行預試 第二次專家審題、修題 預試資料分析. 正式測驗編製完成. 正式施測. 資料處理與分析. 研究結論與建議 圖 3-1. 研究流程圖. 28.
(38) 第二節. 研究樣本. 本研究之目的為瞭解高中二年級學生對平面方程式的學習表現，研究對象採 立意取樣，以台北市某高中全校高二學生為研究樣本，該校學生的平均素質為 PR92，且高二學生共計20班。. 壹、施測樣本 為求自編平面方程式測驗試題內容設計、用字遣詞能讓受試者清楚題意，而 且不會因為試題難度太難而影響研究結果，因此在正式施測前先進行預試，並檢 視及修正試題。 預試樣本為台北市某高中某一個班級的高二學生。正式樣本與預試樣本不 同，為同校另19班的高二學生。施測時間由各班級的任課教師，依照自己的教學 進度安排，未進行統一施測，於100學年度下學期第二次段考前一週實施。. 29.
(39) 第三節. 研究工具. 本研究使用的工具為研究者根據研究架構自編的「平面方程式測驗」，底下 就自編測驗的編製、以及相關試題檢核方法進行說明。. 壹、測驗試題編製 本研究的測驗工具編製，是依據99普通高級中學課程綱要數學IV中「主題 二：空間中的平面與直線」之「子題1：平面方程式」所編列的教學目標，如表 3-1。此一主題內容，自然組與社會組學習範圍不同，以◎符號代表自然組需學 習而社會組不需學習的單元，其中平面方程式單元無◎，表示此子題是自然組與 社會組均需學習的基礎教材，故選擇此單元來進行研究。. 表 3-1. 99 年普通高級中學課程綱要. 主題. 子題. 內容. 1.平面方程式. 1.1 平面的法向量、兩平面的夾 角、點到平面的距離 2.1 直線的參數式、直線與平面的 關係 ◎2.2 點到直線的距離、兩平行線 的距離、兩歪斜線的距離. 二、 空間中 的平面 與直線. 2.空間直線方程式 3.三元一次聯立方程組. (數學 IV) 備註. 3.1 消去法 ◎3.2 三平面幾何關係的代數判定. 除了課程綱要之外，試題的編製也參考目前編製教科書及教師手冊的龍騰及 康熹出版社的編排設計及參考Anderson、Krathwohl、Airasian、Cruikshank、 Mayer、Pintrich、Raths與Wittroch(2001)等人出版的「學習、教育與評量的分類： Bloom教學目標分類的修訂版」(A taxonomy for learning, teaching, and assessing: A revision of Bloom’s taxonomy of educational objectives)一書，同時考量試題之知識 30.
(40) 及認知歷程向度來進行編製。 測驗試題內容共涵蓋十個概念屬性，如表3-2為平面方程式預試測驗試題的 概念屬性內容。試題編製過程，利用試題與概念屬性的Q矩陣如表3-3，表中內容 1表示試題有涵蓋該概念屬性，0表示試題無該概念屬性。整份測驗試題中，針對 每個屬性，均需有2題以上的試題測驗到該屬性，以確保該概念屬性不會因猜測 答對單一試題就判定為具備或精熟該認知屬性。例如：試題1、8、9及11均檢測 到概念屬性C2；而試題9及12則均檢測到概念屬性C9。. 表 3-2. 平面方程式預試測驗試題的概念屬性內容. 概念編號. 概念屬性內容. C1. 兩向量平行的意義：兩個非零向量，其中一個可寫成另一個的係 數積. C2. 向量內積與長度及夾角的關係： a b a. C3. 平面法向量的意義：與平面垂直的向量為平面法向量. C4. 向量(a, b, c)是平面方程式ax+by+cz+d=0的法向量. ___\ ___\. ___\. ___\. b cos . 點到平面的距離公式：點(x0, y0, z0)到平面方程式ax+by+cz+d=0的 C5 距離=. ax0 by0 cz0 d a 2 b2 c2. 兩平行平面的距離公式：兩平行平面ax+by+cz+d1=0與 d1 d 2. C6 ax+by+cz+d2=0的距離=. a b2 c2 2. C7. 兩相互平行平面的法向量互相平行. C8. 兩相互垂直平面的法向量互相垂直. C9. 兩不平行向量的外積為兩向量的公垂向量. C10. 兩平面夾的其中一角，為兩平面法向量的夾角. 31.
(41) 表 3-3. 平面方程式預試測驗試題與概念屬性的 Q 矩陣. 題. 概. 念. 屬. 性. 號. C1. C2. C3. C4. C5. C6. C7. C8. C9. C10. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 2. 1. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 3. 0. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 4. 1. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 5. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 6. 1. 0. 0. 1. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 7. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 8. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 9. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 1. 1. 10. 1. 0. 0. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 11. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 1. 12. 0. 0. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 1. 0. 我們同時從「Bloom教學目標分類的修訂版」中的知識向度及認知歷程向度 兩個角度，將試題做認知概念層次的分類，如表3-4為平面方程式預試測驗試題 的知識向度與認知歷程向度之雙向細目表。其中知識向度分為四種層次：事實知 識、概念知識、程序知識及後設認知知識；認知歷程向度分為六種層次：記憶、 了解、應用、分析、評鑑及創造。分析時主要針對教材內的描述，以動詞、名詞 兩部分加以分解，其中「動詞」通常陳述學習結果中認知歷程的表現，而「名詞」 則為學習結果中的知識內涵(鄭蕙如、林世華，2004)。舉例來說：. 試題：若平面 E 同時與兩平面 E1：x–y+2z=3、E2：2x–y+z=0 垂直，且過點 A(0, 1, 1)，則下列何者為平面 E 的方程式？. (A) 3x–2y+3z=1. (B)x+y+3z=4. (E)x+2y–z=1. (C)3x+y+z=2 (D)x+3y+z=4. 解答此題所牽涉的概念屬性為：能理解向量(a, b, c)是平面方程式 ax+by+cz+d=0 的法向量，及認出兩相互垂直平面的法向量互相垂直 與兩不平行向量的外積為兩向量的公垂向量，以解決平面方程式的相 32.
(42) 關問題。 依據 Bloom 修訂版中對於知識向度與認知歷程向度的說明，此題所牽涉的 各概念屬性在這兩個向度的分類判別如下： 一、理解向量(a, b, c)是平面方程式 ax+by+cz+d=0 的法向量 認知歷程向度：2.1 詮釋(數字表徵的轉換) 知識向度：概念知識 二、認出兩相互垂直平面的法向量互相垂直與兩不平行向量的外積為 兩向量的公垂向量 認知歷程向度：4.2 組織(能認出情境中這些元素是如何統整在一起) 知識向度：程序知識. 表 3-4. 平面方程式預試測驗試題的知識向度與認知歷程向度之雙向細目表 認. 知. 歷. 程. 向. 度. 知識向度 記憶. 了解. 應用. 分析. A.事實知識 (1). B.概念知識. (2) (3) (4) (5) (6) (7). C.程序知識. (8) (9) (10) (11) (12). D.後設認知 知識. 註：( )代表題號. 33. 評鑑. 創造.
(43) 貳、審題與修題 測驗試題編製完成後，除了與指導教授討論外，另請任教五年以上三位本校 教師逐一審視試題，將試題修正後，成為預試試卷。. 參、預試結果分析 以台北市某高中一個高二班級學生，共37人為預試樣本，進行施測，每份試 卷施測時間約為一節課40分鐘。依據預試結果，進行信度、難易度及鑑別度分析。. 一、信度分析 將學生在預試的作答結果輸入SPSS19.0統計軟體進行信度分析，結果顯示整 份測驗試卷的Cronbach α係數為0.71，並由表3-5知，各試題項目刪除時的 Cronbach α值並未明顯變大，因此正式施測時題目均予以保留。. 表 3-5. 預試結果信度分析 項目刪除時的 Cronbach's. 項目刪除時的 Cronbach's. 試題. 試題 Alpha 值. Alpha 值. 1. .691. 7. .692. 2. .741. 8. .717. 3. .720. 9. .647. 4. .651. 10. .677. 5. .699. 11. .700. 6. .649. 12. .679. 34.
(44) 二、難易度分析 進行難度分析的主要目的在於確定每一道試題的難易程度，以刪除過難或不 適合之試題。本研究的試題難易度計算方式，是先將受試者的分數由高至低排列 後，取高分部份30%計算答對率PH，取低分部份30%計算答對率PL，以 P . PH PL 2. 代表每一題的試題難易度指數。而P值愈高，表示試題難度較低，試題較簡單； P值愈低，表示試題難度較高，試題偏難。 (郭生玉，民87)。 進行鑑別力分析的目的在於確定每一道試題是否具有區分能力高低的作 用。而內部一致性分析就是在了解各試題的功能是否和整個測驗的功能相符合， 即個別試題的反應若與總分有一致性，那麼題目就有某程度的效度(郭生玉，民 87)。本研究鑑別力分析方法，採用D=PH－PL，其中D為鑑別力指數即鑑別度， PH與PL分別為上述高、低分部份30%的答對率。 一般常用的評鑑原則是先選出鑑別度較高的試題，再從中選出難易度較適中 的題目，美國測驗學者Ebel(1979)提出一套鑑別力評鑑標準，認為鑑別度0.4的試 題為非常優良試題、鑑別度介於0.3到0.39的試題為優良試題、鑑別度介於0.2到 0.29的試題尚可、鑑別度低於0.19的試題則需修改或予以淘汰。至於難易度指數 以接近0.5的試題為最適宜，而Chase(1978)提出選擇題的標準難易度指數應以0.4 到0.8為最佳試題(郭生玉，民87)。預試結果各題的難易度指數與鑑別度，分別列 於表3-6。 由表3-6可以看出所有試題的難易度指數介於0.55到0.91之間，且鑑別度的範 圍是從0.18到0.73都有。檢視鑑別度為0.18的試題2及試題8，其難易度指數均為 0.91。至於鑑別度為0.27的試題為試題1及試題5，其難易度指數分別為0.77與 0.86，而其餘試題均為鑑別度大於0.3的優良試題。. 35.
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