數學概念的學習與教學

壹、數學概念的形成

「概念」這個字眼用得很廣泛，但不易精確定義。Skemp(1979)指出要形成 一個概念就必須先有實際經驗，而這些經驗又有某些相似性、共通性，而概念的 形成過程一般稱為抽象化，即「抽象」就是概念的形成過程。概念依據抽象的程 度，可分不同的層次，最低階的層次又稱為「初級概念」是直接由感官經驗得來 的概念，如黑色、三角形、…等。由數個初級概念再抽象所得的概念為「次級概 念」，如顏色、圖形、…等。經由不斷的抽象，概念將有階序關係，而「低階序」

經由循序漸近的抽象上去，將形成「高階序」。因此學生學習時，教師應從較具 體的低階序概念出發，盡量提供生活中的經驗，再將概念抽象上去習得高階序概 念，而不是直接告知學生，這樣對學生的學習是有幫助的。

而概念的形成過程，Skemp(1979)指出有下列五個重要的特徵：

一、意識(realization)：意識過程是指一個新的概念，透過環境經由感官輸入

概念結構，此時新的概念與概念結構中的任一概念都沒有聯繫上。

二、同化(assimilation)：同化過程是指在概念結構中找出與新概念相類似的 概念。

三、擴張(expansion)：擴張過程是指以概念結構中已有的概念來領悟這新的 概念，使其成為概念結構中的一部分。

四、分化(differentiation)：分化過程是指分辨新的概念與一些已有概念之間 的異同處。

五、重建(re-construction)：重建過程是指當問題的情境改變時，已建立的概 念結構雖具有相關性，卻不適用於此情境，此時必須重建個體的概念結 構。

Henderson(1970)指出數學概念是屬於抽象概念，如數學上會學習到的分數、

多項式、複數、極限及機率…等均是抽象概念。張新仁(1989)認為數學概念是 學習數學的基礎，數學除了計算能力外還有概念理論的部份。蘇慧娟(1998)認 為數學的學習是新舊經驗的聯結，建立新概念前，必須先建立先前的概念，而 這些先前概念本身又有先前概念，因此複習舊有的知識，為有效的教學策略。

鄭毓信(1998)亦指出數學概念與相對應的事物或現象之間存在一般和特殊 的關係，需由現實中的概念抽象出相對應的數學概念，即由不同層次的特殊關 係經抽象後變為同一層次的一般關係。而形成數學概念時特有的抽象思維反 應，不再只是某一特定事物或現象的特徵，而是某一類事物或現象的特性。

Sfard(1991)將數學概念分成操作性概念(operational conception)與結構性概 念(structural conception)。其中操作性概念可被過程或行動所表徵，結構性概念 可視為物件。她認為大部份的人以操作性概念作為獲得新數學概念的第一步，

藉由一連串的活動來獲得新概念的存在性，之後概念會被視為一個靜態的結 構，在處理數學概念時會被視為整體，而且操作性概念(operational conception) 發展會先於結構性概念(structural conception)的發展，並認為從操作性概念轉化 為結構性概念是一個緩慢且困難的過程。Sfard 將概念的過程分為「內化」、「壓

縮」及「物化」三層次，發展順序需按照內化壓縮物化進行，若某一層次 未達成，將無法前進至下一層次。而且，當一個概念達到物化時，此概念又可 當成另一個物件，再被操作，再次經過內化壓縮物化的過程，又可形成另 一個較高的概念，經過多次內化壓縮物化的過程，可提升更高階的概念層 次。

貳、數學概念的學習

Ausubel(1918)指出，在學生學習新概念形成新知識時，他會先用自己既有的 要領概念去核對新概念，並試圖納入自己的認知結構中，同化後成為自己的知 識。因此，要領概念具有吸收同化新概念的功用，在學習新知識前，如果能先將 新知識中的主要概念提出來，使之與學生既有的要領概念相結合，將有助於學習 (張春興，民 83)。

Skemp(1987)對於概念的學習提出兩個原則：

一、要學習的概念階級，已經超過個人現有的最高概念階級時，不能用定義 的方式來進行溝通，只能蒐集相關的例子、提供其經驗，再靠學習者自 己抽象來形成概念。

二、在數學學習過程中，有的例子有時或多或少又含有其他概念，因此，我 們在提供例子時，必須先確定學生這些預先的概念已經形成了。

楊弢亮(1997)指出數學概念是抽象、思辨的，而且數學的方法也是抽象、思 辨的，因此在教學時，應從實際事例和學生現有的知識，引入新的概念。對於較 容易混淆的概念，教師要能引導學生比對概念間的異同性，並提出概念的引入可 採用下列方式：

一、採用與學生生活經驗相關的素材。

二、利用教材所提供的感性材料。

三、由定義引入，再用感性材料加以証實。

四、由舊概念引入新概念。

鄭君文、張恩華(1991)將學習數學概念分為「概念形成」與「概念同化」。

概念形成是指對具體事物的抽象，而概念同化指的是學生對新知識的聯繫，概念 形成與概念同化這兩種方式通常是一起使用的，過程如圖 2-1

圖 2-1 數學概念的學習過程

因此，對於學生概念的學習，我們必須知道學生已經了解什麼以及學生如何 進行學習。而且上述學者的觀點均認為，新概念的學習，是建立在舊概念的基礎 上，教學時應確認學習者對於舊概念是否已穩固，而且在其學習過程中，若能提 供多樣化的例子，讓學生循序漸進的方式進行學習，讓新的概念納入原有的認知 結構中，那麼概念系統將更加完整。

觀察實例

歸納實例共同的 本質屬性，並與 直接揭示的本質 屬性相比較

找出新的概念與 原知識結構中的 知識之聯繫

形成新 直接揭示 概念

概念的本 質屬性

納入概 念系統