研究動機

第一節 研究動機

幾何課程一直被國內外所重視，美國數學教師協會(National council of Teachers of Mathematics, NCTM)在 1989 將空間感(spatial sense)視為數學教學的 中心目標之一，並於 2000 年將「幾何與空間感」列入課程標準中。而本國的國 民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域(教育部，2008)亦編列幾何學習課程，

每階段的學習目標如下：第一階段(國小一至二年級)要學習「簡單圖形之認識」。

第二階段(國小三至四年級)則慢慢發展以角、邊要素認識幾何圖形的能力，並能 以操作來認識幾何圖形的性質。第三階段(國小五至六年級)能認識簡單平面與立 體形體的幾何性質，並理解其面積或體積之計算。第四階段(國中一至三年級)要 學習三角形及圓的基本幾何性質，認識線對稱與圖形縮放的概念，並能學習簡單 的幾何推理。可見幾何能力的培養，在學校數學學習，佔有重要的地位。

然而，我們生活的空間是三度空間，是我們最熟悉的，也是我們最需要瞭解 的，但依照現今 99 課綱所編排的數學教材，於高二上開始幾何的課程，在高二 下才將空間課題放進學生的學習教材。而高二上第三章的單元是向量，開始學生 平面向量概念的建立，並於高二下，利用平面向量的概念引進空間向量的概念，

亦透過利用筆當作直線、紙當作平面，來讓學生學習抽象空間概念，再緊接著學 習平面方程式單元。會依如此之順序來編排教材內容的原因是因為空間概念較為 複雜，需先學習過一度空間(數線)及二度空間(平面坐標、平面幾何)的先備知識，

才能有較好的學習效果。其實這樣的學習順序，與古希臘數學家歐幾里得所著幾 何原本是相似的。該書共 13 卷，前 10 卷都是關於整數、有理數及平面幾何的數 學，直到第 11 卷才開始討論空間。

然而，文獻中有關高中幾何課程的教學之相關研究大多數都是針對向量單

元，較少對平面方程式單元進行研究，而針對平面方程式單元的相關研究也較著 重於學生解題錯誤類型的分析，均未對於學生是否精熟單元概念來做探討。然而 平面方程式概念之精熟與否，可能將會影響到同一冊中所有學生均需學習的後面 單元—空間中的直線及三元一次聯立方程組的學習，例如：平面與直線兩者的相 交情形、三個平面的關係等。其實在 99 課綱當中，平面方程式這個章節是社會 組與自然組學生共同需要學習的教材，其餘的章節兩組的範圍則有些許不同，表 示平面方程式概念是繼向量單元後，在學習幾何課程時非常重要的基礎。

過去，在探討各年齡層的學生們在幾何空間學習的個別差異時，有研究指出 空間能力測驗、空間視覺測驗及立體圖成就表現男生表現顯著優於女生，也有研 究顯示男、女學生的空間能力測驗、空間知覺和視覺層面、空間方位測驗及立體 剖面圖測驗表現無顯著差異，可見文獻中對於男、女生在幾何學習表現是否有差 異的主題上，並無定論。而平面方程式這個幾何空間單元，男、女學生在相關概 念的精熟上是否有差異有其探討的必要。另外考量學生在類組上的不同，有研究 針對「函數與方程式」或「空間中的直線與平面」單元進行不同類組的研究，研 究結果顯示自然組表現優於社會組，卻亦有針對「矩陣基本運算及應用」單元的 研究指出自然組與社會組學生表現並無顯著差異。那麼在學習平面方程式單元，

自然組與社會組學生在相關概念的精熟上是否有差異亦有其探討的必要，因為若 能了解不同類組的學生在概念精熟上的差異，在教學實務上將會很有幫助。

透過評量，教師能立即看到不同程度之學生在答題表現上的差異，但是對於 答題總分相同的學生，在概念的精熟上有可能不同，無法由總分判定學生精熟了 哪些概念，或已具備哪些能力。但是，教師若能停下來看看試題所涵蓋的概念，

是可以看出些端倪，便可以知道哪些概念對某種程度的學生較為容易，但對另一 種程度的學生而言，卻是略嫌困難。教學主要目標是幫助學生學會平面方程式的 所有概念，但對於未精熟任何概念的學生，一次將所有概念全部交由學生學習，

要他(她)能精熟全部概念屬性是有困難的，因此若能了解不同程度的學生在各概 念屬性的精熟情形，就能評估學生下一階段能精熟哪些概念屬性並予以加強，會

有較好的學習效果。

關於平面方程式整體概念屬性的學習，應有其順序性，有些概念對學生而言 是較早精熟的概念，而某些概念則是較晚精熟的概念，因此透過分析全體學生的 概念精熟組型的主要類型，可建構出學習歷程中這些概念彼此間的階層關係。概 念階層的建立能了解到學生概念學習的順序，在教學中教師能參考此概念階層來 協助學生進行學習。然而，男、女學生或是自然組、社會組學生在學習這些概念 的歷程上，概念精熟順序可能有所不同，其差異性為何，亦值得進一步探討。

近年來國內教育對於學生學習成效的評量，已不再只利用傳統的紙筆測驗來 評量學生，因為傳統測驗僅有分數的高低排序，老師無法單憑學習者的得分高低 就知道他(她)在學習上有那些概念的認知上較容易發生錯誤，也因此較難對學生 進行補救教學，來改善學生在學習上的問題。學者 Nichols (1994)指出傳統評量 理論無法提供的訊息，可透過認知診斷評量來達成，而認知診斷評量需結合認知 科學與心理計量學。認知診斷評量可以透過受試者對試題的作答反應組型，去推 論出可能的認知歷程與知識結構狀態，這些訊息可以幫助老師及學生進行「教」

與「學」，而且對增進學習者的學習成效將有助益。

教學過程中，老師若能掌握學生的學習現況，能了解學生對於教材所涵蓋的 主要概念的精熟情形，在教學上將會更為順暢。而近年來有關平面方程式之教學 的研究，大多著墨於診斷學生在學習該單元的概念時會有哪些錯誤類型，較少去 診斷學生精熟了哪些概念。本研究希望能利用認知診斷模型對評量資料加以分 析，以了解學生在平面方程式相關概念的精熟情形，希望本研究的結果能提供教 學現場的老師們在教學實務上的回饋與參考，也能對從事數學教育之研究者有所 幫助。