結論

依據本研究所探討的問題，得到下列幾點結論，描述如下：

壹、高中二年級學生在平面方程式相關概念屬性的精熟情形 一、公式的背誦表現優於概念理解的表現

「向量內積與長度及夾角的關係」與「兩平行平面的距離公式」均為公 式的背誦，若能將公式記得，並能運用將會有不錯表現，研究結果發現 全體有約 85%的學生精熟。但是需經由理解的「兩向量平行的意義」、「平 面方程式的表示法」、「平面法向量的意義與特性」、「兩不平行向量的外 積為兩向量的公垂向量」及「兩平面夾的其中一角，為兩平面法向量的 夾角」答對情形就相對減低很多，精熟人數比例約 65%。

二、垂直概念的表現優於平行概念的表現

平面方程式單元前所學的內容為向量單元，在向量單元常出現垂直概 念，本單元亦常提到垂直，如平面法向量與平面垂直、兩平面垂直。但 是平行的概念，相較垂直的概念，提到的頻率就較低，因此造成垂直概 念的表現優於平行概念的表現。

三、不同性別的學生，對各概念屬性的精熟情形

所有概念屬性的精熟人數比例，除「點到平面的距離公式(C6)」的概念 男、女學生無差異外，其餘均是男學生精熟人數比例高於女學生。精熟 人數比例差距最較大者為平面方程式的表示法(C3)有 8.1%的差距、平 面法向量的意義與特性(C4)有 10.0%的差距與兩相互平行平面的法向量 互相平行(C8)有 8.8%的差距，但是經過二元迴歸分析後，男女生對各 概念屬性的精熟情形無顯著差異。

四、不同類組的學生，對各概念屬性的精熟情形

所有的概念屬性的精熟人數比例，均為自然組學生高於社會組學生，且 精熟百分比的差距從 5.8%到 19.3%不等，但是經過二元迴歸分析後，

兩類組學生對各概念屬性的精熟情形，除了平面方程式的表示法(C3) 無顯著差異外，其餘各屬性均達顯著差異。

貳、高中二年級學生在平面方程式概念屬性精熟個數的分布及程度不同學生在各 概念屬性的精熟情形

一、人數比例最多者是精熟十個概念屬性的群體

人數比例最多者是精熟 10 個概念屬性，佔了總人數的 20.1%，顯示有 最多的學生在學習平面方程式概念時，仍有 1 個屬性還未能精熟。

二、超過八成的人數比例是精熟平面方程式一半以上的概念屬性

本研究共 11 個概念屬性，而精熟 6 個以上概念屬性人數比例能達到 84.2%，表示有超過八成的學生對於平面方程式的概念學習，已經能精 熟一半以上的概念屬性。

三、概念屬性 C3 與 C4 不因精熟概念個數的增加而精熟人數比例提升 此兩個概念為平面方程式的表示法(C3)及與平面垂直的向量為平面法 向量(C4)，是學生常發生的錯誤，在精熟概念個數多時，仍有可能未能 精熟，反而有可能某些學生精熟概念個數少時，而能精熟這兩個屬性。

四、學生對於概念的精熟應有順序性，例如精熟五個概念以下的學生，教師 進行補救教學時可以先加強 C2、C5、C7、C9 及 C10 這五個平面方程 式單元的概念

精熟 5 個以下的概念個數，總人數比例有 16.8%，這種程度的學生是需 加強補救的，其精熟的概念屬性 C2、C5、C7、C9 及 C10 這五個人數 比例較高，對學生而言應該是較容易精熟，教學時應優先針對這些概念 予以補強，再慢慢加強 6 個以上較有可能精熟的概念屬性，循序漸進，

將有助於學生學好此單元的所有概念屬性。

參、平面方程式相關概念屬性的概念階層關係

一、不同性別對學習平面方程式概念階層之相同處

(一)向量(a, b, c)是平面方程式 ax+by+cz+d=0 的法向量(C5)的概念是最 先精熟的概念。

(二)平面法向量的意義與特性(C4)及兩相互垂直平面的法向量互相垂直 (C9)的概念需熟，需在精熟 C5 概念後才能精熟。

(三)兩向量平行的意義(C1)與兩相互平行平面的法向量互相平行(C8)這 兩個概念的精熟順序是先精熟 C1 後才精熟 C8。

(四)點到平面的距離公式(C6)的概念在較高階層時能精熟。

(五)兩相互平行平面的法向量互相平行(C8)的概念位於最高階層，即最 後才能精熟。

二、不同性別對學習平面方程式概念階層之相異處

(一)女學生在最低階層無精熟任何屬性，但男學生最低階層會精熟 2 個 以上的屬性，而且其中一個屬性為向量(a, b, c)是平面方程式

ax+by+cz+d=0 的法向量(C5)的概念屬性。

(二)向量內積與長度及夾角的關係(C2)與兩平行平面的距離公式(C7)這 兩個概念，男生先精熟 C2 後精熟 C7，女生則先精熟 C7 後精熟 C2。

顯示出男生能記得較早之前的概念公式(C2)，而女生對現階段正在 學習的公式(C7)較易記住。

(三)平面方程式的表示法(C3)與兩不平行向量的外積為兩向量的公垂向 量(C10)這兩個概念，男學生比女學生更早精熟。

(四)點到平面的距離公式(C6)與兩平行平面的距離公式(C7)這兩個概 念，一部份同時精熟此二概念，另一部份男學生先精熟 C7 後才精 熟 C6。而女學生則是先精熟 C7 後才精熟 C6。

(五)向量內積與長度及夾角的關係(C2)與兩平面夾的其中一角，為兩平 面法向量的夾角(C11)這兩個概念時，男學生先精熟 C2 後才精熟 C11。而女學生一部份同時精熟此二概念，另一部份先精熟 C2 後才 精熟 C11。

三、不同類組對學習平面方程式概念階層之相同處

(一)向量(a, b, c)是平面方程式 ax+by+cz+d=0 的法向量(C5)的概念是最 先精熟的概念。

(二)在次階層時，能同時精熟向量內積與長度及夾角的關係(C2)與兩平 行平面的距離公式(C7)這兩個概念。

(三)平面方程式的表示法(C3)的概念，在具備 C2、C5 及 C7 的概念後的 下一階層能精熟。

(四)平面法向量的意義與特性(C4)與兩相互平行平面的法向量互相平行 (C8)這兩個概念是最後才精熟的概念。

(五)向量內積與長度及夾角的關係(C2)與兩平面夾的其中一角，為兩平 面法向量的夾角(C11)這兩個概念的精熟順序是先精熟 C2 後才精熟 C11。

(六)點到平面的距離公式(C6)時，在每個階層均可能精熟。

四、不同類組對學習平面方程式概念階層之相異處

(一)社會學生在最低階層無精熟任何屬性，但自然學生最低階層會精熟 2 個以上的屬性，而且其中一個屬性為向量(a, b, c)是平面方程式

ax+by+cz+d=0 的法向量(C5)的概念屬性。

(二)兩相互垂直平面的法向量互相垂直(C9)及兩不平行向量的外積為兩 向量的公垂向量(C10)這兩個概念，自然組學生均比社會組學生早一 階層精熟這兩個概念。

(三)兩向量平行的意義(C1)概念，社會組學生要在較高的階層才精熟此 概念，但自然組學生在較低的次階層已精熟。

(四)兩不平行向量的外積為兩向量的公垂向量(C10)及兩平面夾的其中 一角，為兩平面法向量的夾角(C11)這兩個概念的精熟順序，自然組 學生先精熟 C10 後精熟 C11，但社會組學生先精熟 C11 後精熟 C10。

(五)兩向量平行的意義(C1)與兩相互平行平面的法向量互相平行(C8) 這兩個概念的精熟順序，自然組學生先精熟 C1 後才精熟 C8，而社 會組學生一部份同時精熟此二概念，另一部份先精熟 C1 後才精熟 C8。