平面方程式相關概念屬性的概念階層關係

由上節透過精熟程度不同的學生對於各概念的精熟比例分析，能了解到學生 已精熟概念的個數與還有哪些是他們相對比較可能還未精熟的概念之間，似乎存 在極大的關聯性，發現關於平面方程式整體概念屬性的學習，應有其順序性。也 就是說，有些概念對精熟概念個數少的學生而言是就已精熟的，但另一些概念對 他們而言卻是較不易精熟的，因此透過分析全體學生的概念精熟組型的主要類 型，我們希望能建構出學習歷程中這些概念彼此間的階層關係。

壹、全體學生在學習平面方程式的概念階層

本研究探討的概念屬性有 11 個，因此受試者輸出後可能精熟與否的型態 (pattern)總共有 2¹¹=2048 種，經統計匯整後資料中共有 152 種不同的精熟組型。

例如：某生的精熟組型為 00110000000 表示該生精熟第三個(C3)及第四個(C4)概 念，其餘概念均未達精熟。底下先將全體受試者在多數人的精熟組型進行整理，

探討學生可能同時精熟哪些概念。因為我們希望利用這些主要精熟組型去找出這 些概念屬性背後的階層關係，所以所挑選出來的組型之人數不宜太少，如此一來 才會覺得該組型代表學生在學習歷程中的某種認知狀態。所以我們僅列人數最高 的十種主要精熟組型進行說明，其餘精熟組型比例偏低，人數比例列於其他欄，

未提出討論，另外因為未精熟任何概念的組型 00000000000 具有其在認知歷程上 為起點的獨特意義，我們特別增列它的人數及比例。

表 4-18 全體學生精熟組型的分布 精熟組型 人數 佔全體比例 11111111111 76 11.64%

11011111111 54 8.27%

11111011111 39 5.97%

01101110111 24 3.68%

11101111111 22 3.37%

11001111111 20 3.06%

11011010111 17 2.60%

01101010111 13 1.99%

11111011110 13 1.99%

11111111101 10 1.53%

11111011101 10 1.53%

00000000000 10 1.53%

其他 345 52.83%

由表 4-18 全體學生較多人數的精熟組型，可看出最多比例 11.64%的人數精 熟平面方程式所有概念屬性。人數次之的有 8.27%，僅未精熟第三個(C3)概念屬 性，表示學生已能熟悉平面方程式單元的所有運算，但對於平面方程式的表示法 卻未能精熟，此點與陳俊廷(2002)研究相符，有些學生仍有這種認知錯誤，這是 學生常犯的錯誤類型之一。

同樣只未精熟一個概念(C6)的人數比例有 5.97%，這些學生未能將點到平面 的公式熟記，有可能公式對學生而言是較難以背誦的。僅未精熟 C1、C4 及 C8 的人數比例有 3.68%，其中 C1 與 C8 均為平行概念屬性，而 C4 是平面法向量的 意義與特性。平行概念可能在教學上提及的次數不多，才造成有不少比例的學生 同時未精熟 C1 及 C8 這兩個屬性，而 C4 是課堂中老師均會強調的概念，造成未 精熟的原因，有可能是因為與向量垂直概念相互混淆，而上述三個概念均為需理 解的概念，顯示出學生確實不易精熟此類概念。對於恰涵蓋上述兩類未精熟概念 的精熟組型，即同時未精熟 C1、C4、C6 及 C8 的人數比例亦有 1.99%，顯示有 一定比例的學生，對這 4 個概念有可能同時不精熟，故於教學時應加以注意。僅

單一概念(C4)不精熟者人數比例有 3.37%的比例，同時不精熟 C3 與 C4 概念的人 數比例有 3.06%，同時不精熟 C3、C6 及 C8 的比例有 2.60%，同時不精熟 C6 及 C11 概念的人數比例有 1.99%。至於不精熟 C10、同時不精熟兩個概念 C6 與 C10 及未精熟任何概念的人數比例均為 1.53%，並列人數比例第十高，需注意的是，

未精熟任何概念的人數比例其人數比例亦為第十高，顯示有一定比例的學生，未 能專注於課堂中，以致於未能精熟任何概念屬性，本研究的學生程度 PR92，學 習能力應不會太差，若有此情形，教師應多加關注學生，了解其問題所在，幫助 學生進行學習。對於上述未精熟的概念屬性總的來看，似乎學生對於 C1、C3、

C4、C6 及 C8 等概念的學習上較難以精熟。

上述討論中我們僅列出人數比例最多的十個主要精熟組型，其餘未列出討論 的精熟組型，人數比例總和為 52.83%，表示有高比例零散的精熟組型，為了能 將全部學生的精熟組型進行分析，於是採用集群分析法依學生的概念精熟組型進 行分群，希望在同時考量高比例的零散組型的情況下，將所有組型分出幾個主要 的精熟組型，透過將學生依概念精熟組型進行分群所得的結果，來建構這些概念 間的階層關係，以反映出學習的認知概念階層關係。底下將就依建構的概念階層 進行分析與說明。

研究者先利用「階層集群分析法」，來決定將全體學生進行分群時大概的分 群數，再利用「K 平均數集群分析法」分群，最後再進行二元迴歸分析，來決定 最佳的分群數，其中表 4-19 為全體學生的群集與認知概念屬性之二元迴歸分析，

表格內的數字為顯著性。分群的目的是希望能分出群體與群體間的差異性最大，

而本研究是利用概念屬性來分群，因此分群時概念屬性達顯著的個數愈多，表示 愈能分出差異性最大的群體。

表 4-19 全體學生群集與認知概念屬性的顯著表

分幾群 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11

概念屬性

達顯著個數

8 群 .000 .000 .314 .000 .390 .005 .000 .000 .028 .000 .891 8

9 群 .000 .000 .000 .000 .009 .000 .000 .248 .052 .170 .517 8

10 群 .000 .083 .104 .000 .010 .000 .671 .001 .519 .147 .007 7

11 群 .015 .000 .280 .664 .000 .000 .002 .444 .000 .037 .000 8

12 群 .000 .024 .083 .566 .909 .527 .000 .000 .000 .000 .000 7

由表 4-19 得知，將全體學生分 8、9 及 11 群時，均有 8 個概念屬性達顯著 水準，是分群中達顯著最多者。由於在上節之分析中，得到 C3 這個概念似乎是 不管精熟情形如何的學生，都有可能是對它精熟或不精熟，故考慮 C3 在群集間 不顯著的組數，換句話說，我們先刪去群數 9 群的分法。另外概念 C4 在上節分 析中亦呈現有不隨精熟個數增加而增加其精熟比例的現象，故最後決定視分 11 群為最佳分群方式，分群的全體學生總人數為 653 人。圖 4-4 為全體學生的認知 概念屬性群體的概念階層圖，概念階層圖中，每一群後面括弧中的數字，分別為 精熟的概念個數與該集群的人數。如「全體學生對平面方程式的概念階層圖」的 第 2 群，該集群精熟 10 個概念屬性且集群人數有 85 人。

由圖 4-4 依據人數較多的群體所反映學習平面方程式的概念階層關係，可看 出全體學生最先精熟的概念屬性為 C5，下一層次將精熟 C2、C7 及 C9 概念屬性，

再提高一層次可精熟 C1、C3 及 C10 概念屬性，而最後精熟的概念屬性則有 C4、

C6、C8 及 C11。

從第一節的分析結果中，我們知道不同族群的學生在某些概念屬性的精熟比 例有所不同，然而是否他們的學習歷程獲這些概念的階層關係也會受到受試者背 景或個別差異而有所不同，值得我們進一步探討。所以本節接下來將針對不同性 別及不同類組的學生，建構平面方程式單元相關概念在這些子群體的學習歷程中 的概念階層，並討論這些概念階層間的異同。

圖 4-4 全體學生對平面方程式的概念階層圖

貳、不同性別的學生對學習平面方程式的概念階層

為了要建構平面方程式相關概念在男、女學生的學習歷程中的階層關係，首 先我們針對這兩個子群體，分別找出他們主要的概念精熟組型。然而男、女學生 這兩個群體中人數最多的前十個精熟組型不盡相同，所以為了比較上的方便，我 們選擇只要男學生或女學生至少有一個性別佔該群體全體人數比例的 2%以上，

就將其列入表 4-20 中以進行比較。

表 4-20 男、女學生精熟組型之分布

精熟組型 男學生 女學生

人數 佔全體比例 人數 佔全體比例 11111111111 43 13.35% 33 9.97%

11011111111 27 8.39% 27 8.16%

11111011111 25 7.76% 14 4.23%

11101111111 13 4.04% 9 2.72%

01101110111 12 3.73% 12 3.63%

11001111111 11 3.42% 9 2.72%

11011010111 9 2.80% 8 2.42%

11111011110 9 2.80% 4 1.21%

11111011101 8 2.48% 2 0.60%

01101010111 5 1.55% 8 2.42%

00000000000 3 0.93% 7 2.11%

其他 157 48.75% 198 59.81%

由表 4-20 男、女學生較多人數的精熟組型中，在精熟組型 11101111111 與 01101110111 的人數比例上，男生前者較高，女生後者較高，男生在人數比例 2%

以上的精熟組型均高於女生人數比例，全部概念精熟的組型，男、女學生的人數 比例分別為 13.35%與 9.97%，顯示男學生有比女學生多 3.38%的比例能完全掌握 平面方程式的概念。

而僅 C3 概念不精熟的精熟組型，男、女學生的人數比例分別為 8.39%與 8.16%，男、女學生比例上無太大差異。僅 C6 概念不精熟的精熟組型，男、女

學生的人數比例分別為 7.76%與 4.23%，男學生較女學生多 3.53%，顯示學習平 面方程式的概念時，能精熟不含 C6 的所有概念，男學生的人數比例較女學生來 得多。而僅 C4 概念不精熟的精熟組型，男、女學生的人數比例分別為 4.04%與 2.72%，男學生較女學生多 1.32%，僅些微差距。

未精熟 C1、C4 及 C8 此三個概念的精熟組型男、女學生的人數比例分別為 3.73%與 3.63%、未精熟 C3 及 C4 此兩個概念的精熟組型男、女學生的人數比例 分別為 3.42%與 2.72%及未精熟 C3、C6 及 C8 此三個概念的精熟組型男、女學 生的人數比例分別為 2.80%與 2.42%，人數比例上男、女學生無太大差異。

除上述七種精熟組型人數比例大於 2.00%外，男學生在未精熟 C6 與 C11 及 未精熟 C6 與 C10 精熟組型的人數比例上分別有 2.80%及 2.48%，但女生在這兩 種精熟組型的人數比例就較少分別只有 1.21%及 0.60%。

反觀女學生精熟組型除上述七種精熟組型外，亦有人數比例大於 2.00%者，

女生在同時未精熟 C1、C4、C6 與 C8 的精熟組型及均未精熟任何概念屬性的精 熟組型，人數比例分別為 2.42%及 2.11%，男學生的人數比例較低僅 1.55%及 0.93%。

在全體的精熟組型時，已討論 C4、C6 及 C8 是學生可能較難精熟的概念屬 性，而女生同時不精熟此三個概念及 C1 的精熟比例較男生高些。需要注意的是，

未精熟任何概念屬性的精熟組型，女生的人數比例有 2.11%，表示這些女學生在 學習平面方程式的概念上是有困難的，未能學會任何概念，男生的比例則較低，

都應予補救。

上述討論的精熟組型其人數比例，男學生或女學生至少有一個性別佔該群體 全體人數比例的 2%以上，其餘未列出討論的精熟組型，男、女學生人數比例分 別為 48.75%與 59.81%，顯示有高比例零散的精熟組型，為了能將全部學生的精 熟組型進行分析，於是採用集群分析法依學生的概念精熟組型進行分群，來建構 這些概念間的階層關係，以反映出學習的認知概念階層關係。底下依男、女生建

上述討論的精熟組型其人數比例，男學生或女學生至少有一個性別佔該群體 全體人數比例的 2%以上，其餘未列出討論的精熟組型，男、女學生人數比例分 別為 48.75%與 59.81%，顯示有高比例零散的精熟組型，為了能將全部學生的精 熟組型進行分析，於是採用集群分析法依學生的概念精熟組型進行分群，來建構 這些概念間的階層關係，以反映出學習的認知概念階層關係。底下依男、女生建