LoRaWAN A類效能分析

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(1)國立臺灣師範大學電機工程學系碩士論文. 指導教授：黃政吉博士. LoRaWAN A 類效能分析 Performance Analysis for LoRaWAN Class A. 研究生：陳庭玉. 撰. 中華民國一零八年七月.

(2) LoRaWAN A 類效能分析學生：陳庭玉. 指導教授：黃政吉. 國立臺灣師範大學電機工程系碩士班. 摘要長距離廣域網路(Long Range Wide Area Network，LoRaWAN)是新興的低功耗廣域網路(Low Power Wide Area Networks，LPWAN)技術其中之一。其主要目標是實現物聯網(Internet of Things，IoT)。由於它操作在工業、科學、和醫學(Industrial Scientific Medical Band，ISM)頻段上，因此對於封包傳送有嚴格的占空比規定。此外，Pure ALOHA 是用於 LoRaWAN A 類設備之通道存取。之前的研究不是沒有考慮占空比問題，就是在分析中忽略封包若遭遇碰撞需要重新傳送的問題。因此，在本研究中，我們分析了 LoRaWAN A 類設備在網路中封包傳輸的延遲。在我們的分析中，將同時考慮了由於碰撞引起的封包重傳以及占空比之規定，並提出所對應的 M / G / 1 排隊模型，以計算封包延遲的平均值與延遲機率分布。我們以數值結果呈現分析的準確性。. 關鍵字：物聯網、低功耗廣域網路、長距離廣域網路、占空比、排隊模型。. I.

(3) Performance Analysis for LoRaWAN Class A. Student：Chen, Ting-Yu. Advisor：Dr. Huang, Jeng-Ji. Department of Electrical Engineering National Taiwan Normal University ABSTRACT. Long range wide area network (LoRaWAN) is one of emerging technologies for low power wide area networks (LPWANs). Its main objective is to realize Internet of things (IoTs). Since it operates on the ISM band, there is a strict rule of a duty cycle for packet transmissions. Besides, a pure ALOHA is used for a LoRaWAN class A device to access channels. Previous works either fail to address the issue of a duty cycle or neglect packet collisions in their analysis. In this thesis, we analyze the delay of a packet transmission in a LoRaWAN class A network. In our analysis, packet retransmissions due to collisions are considered and an M/G/1 queueing model taking into account the duty cycle is utilized to calculate not only the mean of packet delay but also its distribution. Numerical results are given to show the level of accuracy of our analysis.. Keywords—IoTs, LPWANs, LoRaWAN, duty cycle, M/G/1, ALOHA multichannel access.. II.

(4) 誌謝. 我很開心即將在我的碩士研究生涯中畫上一個句號。首先要感謝我的指導教授-黃政吉博士。在這兩年中，老師培養我獨立思考、判斷問題、以及解決問題的能力，讓我可以充分利用資源，來發展並充實自我。過程中有過辛苦難熬的階段，但過程卻是能讓我獲得非常寶貴的經驗。並且，不僅在學業上用心指導，也在生活上給我許多關懷。所以，不論是現在的研究過程中或是未來進入職場後，老師培養並引導我的方式都讓我受益良多，故在此表達我誠摯的感謝與敬意。. 接著，也要感謝已經畢業的學姊，王姵文。在我碩一時期給我許多的幫助，在研究上給我許多建議、適時鼓勵我、並分擔我的壓力。我很開心能有這緣分認識學姊；也謝謝我的同儕，邱昱瀚。在數學方面能與我討論，讓我可以發現不曾注意到的細節。. 然後，也想感謝我養的兩隻貓咪，在我壓力很大的時候，療癒我的身心靈。裝萌的樣子，便讓我瞬間壓力少了大半。. 最後，感謝我的含辛茹苦的父母，支持我完成碩士班的學業。. III.

(5) 目錄摘. 要 .............................................................................................................. I. ABSTRACT ....................................................................................................II 誌謝 .............................................................................................................. III 目錄 ............................................................................................................. IV 圖目錄 ...................................................................................................... VII 表目錄 ........................................................................................................IX 第一章緒論 ................................................................................................... 1 1.1. 物聯網與低功耗廣域網路 ................................................................ 1. 1.1.1 用途與特色.................................................................................... 1 1.1.2 頻段 ............................................................................................... 5 1.1.3 系統架構 ....................................................................................... 6 1.1.4 三個類型 ....................................................................................... 7 1.2. LORAWAN 通道存取 ........................................................................ 9. 1.2.1 子通道 ........................................................................................... 9 1.2.2 展頻因子 ....................................................................................... 9 1.2.3 上下鏈與重傳 .............................................................................. 10 1.2.4 占空比 ......................................................................................... 11 1.2.5 資料碼框 ..................................................................................... 13 1.3. 研究動機 ......................................................................................... 14. 1.3.1 先前的研究與評論 ...................................................................... 14 1.3.2 論文動機 ..................................................................................... 15 1.4. 章節安排 ......................................................................................... 15 IV.

(6) 第二章相關背景知識 ................................................................................. 16 2.1. 重要相關文獻 ................................................................................. 16. 2.1.1. LoRaWAN A 類的延遲與 MAC 層性能分析.............................. 16 2.1.2. LoRaWAN 通道存取的數學模型 ............................................... 17 2.1.3. 老年護理應用的智能無線尋呼感測器網路 ............................... 18 2.1.4. 其他相關文獻 .............................................................................. 20 2.2. 重要的機率分布 ............................................................................. 26. 2.2.1 幾何分布(Geometric)隨機變數 ................................................... 26 2.2.2 卜瓦松分布(Poisson)隨機變數 ................................................... 27 2.3 第三章 3.1. ALOHA 通訊規約[15] .................................................................... 29 分析方法 ...................................................................................... 32 系統模型與假設 ............................................................................. 32. 3.1.1. 多個設備通道存取 ...................................................................... 32 3.1.2. 設備之通道存取 .......................................................................... 33 3.1.3. 重要假設 ..................................................................................... 36 3.2. 設備的傳輸效能 ............................................................................. 37. 3.2.1. 平均延遲分析 .............................................................................. 37 3.3. 封包之隊伍等待時間機率分布 ...................................................... 43. 3.3.1. 離開時間點系統機率分布 .......................................................... 43 3.3.2. 等待時間機率分布 ...................................................................... 47 3.4 第四章 4.1. 碰撞機率 ......................................................................................... 52 數值結果與討論 .......................................................................... 53 封包平均延遲 ................................................................................. 54. 4.1.1. 計算方式與參數設定 .................................................................. 54 V.

(7) 4.1.2. 模擬方式 ..................................................................................... 55 4.1.3. 結果與討論.................................................................................. 58 4.2. 系統大小機率分布.......................................................................... 58. 4.2.1. 計算方式 ..................................................................................... 58 4.2.2. 模擬方式 ..................................................................................... 59 4.2.3. 結果與討論.................................................................................. 59 4.3. 等待時間機率分布.......................................................................... 60. 4.3.1. 分析部分 ..................................................................................... 60 4.3.2. 模擬部分 ..................................................................................... 61 4.3.3. 結果與討論.................................................................................. 61 4.4. 碰撞機率 ......................................................................................... 62. 4.4.1. 分析部分 ..................................................................................... 62 4.4.2. 模擬部分 ..................................................................................... 62 4.4.3. 結果與討論.................................................................................. 64 第五章. 結論.............................................................................................. 66. 附錄一 ....................................................................................................... 67 附錄二 ....................................................................................................... 70 參考文獻 ................................................................................................. 73 自傳 ............................................................................................................. 75. VI.

(8) 圖目錄圖 1-1-1 ：IoT 環境示意圖[9]。 ................................................................... 2 圖 1-1-2：新興的專有 LPWA 技術[1]。 ........................................................ 3 圖 1-1-3：LoRaWAN 網路架構[11]。 ............................................................ 7 圖 1-1-4：LoRaWAN 設備類型[5]。 ............................................................. 8 圖 1-2-1：美國上下鏈通道示意圖[5]。 ......................................................... 9 圖 1-2-2：A 類終端設備之接收時槽[5]。 ................................................... 10 圖 1-2-3：設備在單一通道上傳送示意圖[10]。 ......................................... 12 圖 1-2-4：設備在多個通道上傳送示意圖[10]。 ......................................... 12 圖 1-2-5：設備在不同子頻帶上傳送示意圖[10]。 ..................................... 12 圖 1-2-6：LoRaWAN 碼框格式[8]。 ........................................................... 14 圖 2-1-1：通道存取[7]。 .............................................................................. 18 圖 2-1-2：無線呼叫感測器網路架構[3]。 ................................................... 19 圖 2-1-3：重傳方案[3]。 .............................................................................. 19 圖 2-1-4：無線呼叫感測器網路節點的分層組織[3]。 ............................... 20 圖 2-1-5：ANMSRM 模組的資源管理框架[2]。 ........................................ 22 圖 2-1-6：A 類終端設備發送數據的過程[4]。 ........................................... 23 圖 2-1-7：LoRa 發射器的訊號頻率隨時間的演變[7]。 ............................. 25 圖 2-4-1：純 ALOHA 協定之封包碰撞示意圖[7]。 ................................... 30 圖 3-1-1：設備之通道存取示意圖。 ........................................................... 32 圖 3-1-2：設備資料封包傳送之示意圖。 ................................................... 34 圖 3-1-3：S 服務時間的累積分布函數(τA = 5 sec)。 ............................... 36 圖 3-3-1：等待時間之修正示意圖。 ........................................................... 50 圖 4-1：系統大小演進圖。 .......................................................................... 54 圖 4-2：單一設備模擬程式流程圖。 .......................................................... 55 VII.

(9) 圖 4-3：隊伍中等待時間。 .......................................................................... 56 圖 4-4：系統平均大小。 ............................................................................. 57 圖 4-5：平均等待時間。 .............................................................................. 57 圖 4-6：方法一之封包離開時間點系統大小的機率分布。 ........................ 59 圖 4-7：方法二之封包離開時間點系統大小的機率分布。 ........................ 60 圖 4-8：三種不同成功機率之等待時間機率分布。 ................................... 61 圖 4-9：多個設備程式流程圖。 .................................................................. 63 圖 4-10：多通道 ALOHA 隨機存取的封包成功機率。 ............................. 64 圖 A-1：系統大小 n 演進示意圖。 ............................................................. 71. VIII.

(10) 表目錄表 I：LPWA 技術之比較。 ............................................................................ 4 表 II：歐洲 863-868 MHz 頻段[5]。 ........................................................... 6 表 III：歐盟 863-880 MHz ISM 頻段的數據速率[8]。 .............................. 25 表 IV：參數設定表。 ................................................................................... 53 表 V：符號表。 ............................................................................................ 67 表 VI：重要文獻符號表。 ........................................................................... 68 表 VII：英文縮寫表。 ................................................................................. 68. IX.

(11) 第一章緒論在本章中，首先在 1.1 節介紹物聯網與 LPWA，其中包含頻段、系統架構等。其次在 1.2 節說明 LoRaWAN 通道存取，其中包含展頻因子、占空比等，然後在 1.3 節陳述本論文之研究動機。1.4 節則是章節安排。. 1.1. 物聯網與低功耗廣域網路. 1.1.1 用途與特色物聯網(Internet of Things，IoT)是指物物相連，每個裝置都可以透過網路來互相交換訊息，具有跨產業的概念。因為物聯網是由人類、動植物、元件、機器等所組成的大型網路以提供應用服務[16]，像是追蹤機械 (Tracking machinery)、回報錯誤(bug report)、以及發出服務警示(alerter service)等。近年來，越來越多日常物品也會透過網際網路連線到雲端，形成所謂的「物聯網」。物聯網的環境如圖 1-1-1 包含：環境監測(Environmental Monitoring) 、智能水網 (Smart Water Network) 、智能交通系統 (Smart Transportation System)等。. 低功耗廣域網路(Low Power Wide Area Networks，LPWAN)是一種以低數據速率進行長距離通訊的無線網路。LPWAN 之所以受到許多關注，主要在於能夠提供分布在廣大地理區域內，低功耗設備實惠的網路連結[1]。因此，物聯網可透過低功耗廣域網路來實現。. 1.

(12) 圖 1-1-1 ：IoT 環境示意圖[9]。. LPWAN 大致分成五個主要技術，其中包含 SIGFOX、LoRa、INGENU、 TELENSA、與 QOWISIO，如圖 1-1-2。以下，我們按照頻段、傳輸的速度、調變、傳送的距離、以及 MAC 等方面比較它們的區別，並整理如表 I。關於它們詳細的技術內容，可參考[1]。 . 頻段的方面：一般使用低於 1 GHz 的頻段，只有 INGENU 是唯一使用 2.4 GHz 頻段。. . 數據速率方面：SIGFOX 使用超窄頻帶，可有效利用頻寬並實現極低的雜訊，從而實現高接收器靈敏度，超低功耗和廉價的天線設計。所有這些好處都是以最大吞吐量僅 100 bps 做為代價，也就是設計了輕量化的通訊協定，因此限制了 SIGFOX 應用範例的數量。相對地，LoRa 數據速率則會根據展頻因子的不同，而有不同的速率，也就是以距離作為代價去挑選適合的展頻因子。. . 調變的方面：每個技術都不盡相同，但須注意 LoRa 透過特殊的啁啾 2.

(13) 圖 1-1-2：新興的專有 LPWA 技術[1]。展頻(Chirp Spread Spectrum，CSS)技術提供雙向通訊，該技術在較寬的通道頻寬上擴展窄帶輸入訊號。產生的訊號具有類似噪聲的特性，使其更難以檢測。TELENSA 則設計了一種專有的 UNB 調變技術，該技術以低數據速率，操作於免執照的子頻段。 . 在傳送距離方面：各技術也依據在城市與鄉村而有不同的範圍。. . 在通道數量方面，以 SIGFOX 最多。LoRa 則根據國家規定而有不同數量的通道。在 TELENSA 技術中，則無明確交代有多少數量之通道。. . 媒體存取控制層(Medium Access Control，MAC)方面：SIGFOX 與 LoRa 皆使用 Pure ALOHA， INGENU 則是分碼多重存取 (Code Division Multiple Access，CDMA)，而 TELENSA 沒有清楚表明所使用之 MAC 協定。. LPWAN 以低成本、低功耗設備、可提供廣域覆蓋為設計目標，主要特點如下[1]： . 長距離，覆蓋範圍廣，可達數十公里； 3.

(14) 表 I：LPWA 技術之比較。. . 低功耗操作，電池壽命可長達 10 年；. . 低數據速率，占用頻寬小，傳輸數據量少，通訊頻率低；. 閘道器或基地台覆蓋範圍廣，大多數技術操作在子頻帶(Sub-GHz Band)，網路訊號穿透力強。. 須注意由於 QOWISIO 在[1]中並無詳細清楚介紹該技術的相關內容，因此將不在表中進行比較。另外，由於本論文以 LoRaWAN 之 A 類型為基礎，以下詳細介紹該技術之其他內容。. 4.

(15) 長距離廣域網路(Long Range Wide Area Network，LoRaWAN)是一種新興協議，可實現低複雜度的無線通訊。本協定操作於在工業的、科學的和醫學的頻段(Industrial Scientific Medical Band，ISM)的低功率廣域網路技術。 LoRaWAN 採用簡單的 ALOHA 通道存取方式，其核心技術架構和特性已擴展到多個新興產業的應用，例如農業(Agriculture)、家庭自動化與安全 (Home Automation & Safety) 、智能電表 (Smart Metering) 、物流追踪 (Logistics)、災害監測(Disaster monitoring)等[1] 。. 1.1.2 頻段 LPWAN 技術大多使用所謂 sub-GHz 頻帶，並且是免執照的 ISM 頻段運行。在低功耗預算情況下提供強大和可靠的通訊。這是由於較低頻的訊號可經歷較少的衰減。sub-GHz 頻段相較於 2.4GHz，其擁擠程度較低。這是因為 2.4GHz 頻帶是大多數流行的無線技術所使用，例如：Wi-Fi、藍牙、 ZigBee、甚至其他家用電器。所以，LPWAN 可以在遠距離和低功耗的通訊有更高的可靠性。依照各國規定在 ISM 頻段分配會有所不同，舉例來說： . 歐洲：863-868 MHz；. . 美國：902-928 MHz；. . 中國：779-787 MHz；. . 韓國：920-923 MHz；. . 台灣：920-925 MHz。. 從規範[5]可得知各個國家所使用之頻段數量也不盡相同，例如：歐洲國家使用 6 個頻段，美國使用 8 個頻段，中國使用 6 個頻段等。表 II 列出了歐洲所使用之 6 個頻段的詳細內容。. 5.

(16) 表 II：歐洲 863-868 MHz 頻段[5]。. 1.1.3 系統架構在[1]及[5] 中提到，LoRaWAN 由節點、閘道器、伺服器所組成，如圖 1-1-3，其特點如下： . 星形拓樸，且設備不需要浪費能源來偵聽設備；. . 閘道器為中繼轉傳的角色；. . 終端設備分成 A、B、C 三類，皆是雙向通訊；. . LoRaWAN 的數據速率可從 0.3 kbps 至 50 kbps。值得注意的是數據速率的選擇需要在通信範圍和訊息傳送時間之間做取捨，並且不同數據速率的通訊不會相互干擾碰撞；. . 使用展頻技術，在同通道可用不同展頻因子(Spectrum Factor，SF)傳送；. . 適應數據速率(Adaptive Data Rate，ADR)可個別設定數據速率。但須注意的是，設備須為靜止不動。並且只要可以的話，應啟用 ADR 方案以延長終端設備的電池壽命，並最大化網路容量。. 6.

(17) 圖 1-1-3：LoRaWAN 網路架構[11]。. 1.1.4 三個類型在[2]、[4]、[8]中提到，以及[5]中定義了三種不同類型的通訊協定，也就是 A、B、C 三類。LoRa™是 Semtech 開發用於遠程低功耗低數據速率應用的無線調變。圖 1-1-4 說明了 LoRaWAN 的 MAC 層三種類別。. LoRa 網路區分基本 LoRaWAN，也就是雙向終端設備 A 類；以及可選功能，也就是有預定接收時槽的雙向終端設備 B 類以及具有最大接收時槽的雙向終端設備 C 類。並且，所有 LoRaWAN 終端設備都必須實現 A 類功能。三種類型說明如下： . A 類終端設備：允許雙向通訊。每個終端設備的上鏈傳輸後是兩個短的下鏈接收窗口。終端設備會根據自身通訊需求，具有基於隨機時間的小變化（ALOHA 類型的協議）。此 A 類操作僅適用於終端設備發送上鏈傳輸後不久，需要來自伺服器的下鏈通訊應用的最低功率終端設 7.

(18) 圖 1-1-4：LoRaWAN 設備類型[5]。. 備系統。任何其他時間從伺服器進行的下鏈通訊一定等到下個預定的上鏈傳送成功後才可進行； . B 類終端設備：允許接收更多時槽。除了 A 類隨機接收窗口外，B 類設備還會在預定時間打開額外的接收窗口。為了使終端設備可以在預定時間打開接收窗口，必須從閘道器接收時間同步信標(beacon)。這允許伺服器知道終端設備何時正在監聽；. . C 類終端設備：幾乎連續打開接收窗口，並僅在發送時關閉。C 類終端設備因此比 A 或 B 類使用更多電力，為伺服器到終端設備通訊提供最低延遲。. 本論文分析 A 類設備傳輸延遲，以使得設備在必要時候可改用 B、C 類。. 8.

(19) 1.2. LoRaWAN 通道存取. 1.2.1 子通道. 圖 1-2-1：美國上下鏈通道示意圖[5]。 LoRaWAN 網路可根據閘道器配置，運行在多個通道。通道數分配取決於區域限制和網路選項；例如：歐洲有 16 個通道，如圖 1-2-1，而美國的上鏈有 64+8 個通道，下鏈有 8 個通道[5]。為了可以使用星形的網路拓墣以及長距離範圍，閘道器需要高容量，而影響容量的因素包含通道數量、數據速率、封包長度等。根據法規占空比(band duty cycle)和設備占空比 (device duty cycle)之規定，我們第三章分析中，在子通道數量上，將使用 6 個子通道，以計算延遲。關於占空比說明，將在稍後 1.2.4 節做詳細介紹。. 1.2.2 展頻因子 LoRa 支援多種展頻因子，展頻因子範圍為 7-12，用來決定範圍和數據速率之間的權衡。較高展頻因子以較低的數據速率為代價提供長距離，反之亦然。儘管增加展頻因子可以提高信雜比(Signal-to-noise ratio，SNR)，但會導致更長的傳輸時間。雖然使用更大的頻寬可縮短傳輸時間，卻會降低接收器的最大靈敏度[8]。在本論文第三章的分析中，我們參考[6]所提供之參數，因此在展頻因子的選擇上，使用了較低的數據速率，可提供長距離的展頻因子 12。 9.

(20) 1.2.3 上下鏈與重傳. 圖 1-2-2：A 類終端設備之接收時槽[5]。. LoRaWAN 支援利用上鏈以提供下鏈傳送時機的訊息傳遞；從終端設備到網路的訊息稱為上鏈，反之稱為下鏈。LoRaWAN 最常使用上鏈，以便感測器可以向應用伺服器回報。在某些條件下，使用下鏈訊息向感測器提供確認訊息，以清楚地表明訊息已到達網路，並被轉傳到應用伺服器。下鏈訊息還可用於控制感測器的設置，例如調整其更新頻率或設備上的任何其他設置；下鏈訊息的另一個應用可以是控制像是閥門或鎖的驅動器。但是如果要發送下鏈，這些訊息理論上是沒有回應的。為了確保下鏈已到達，可以通過上鏈發送確認訊息，因此應用伺服器會收到感測器已收到新的設置通知。以 A 類終端設備為例，上鏈訊息透過終端設備，由一或多個閘道器轉傳到網路伺服器，而每一個下鏈訊息則由網路伺服器，透過單個閘道器轉發至終端設備。. 每次上鏈傳輸後，終端設備會打開兩個短接收窗口。在上鏈傳輸結束後，會安排的一個時間間隔，然後緊接著接收窗口的開始時間，如圖 1-22 為 A 類終端設備之接收時槽。RX1 接收窗口使用與上鏈相同的頻率通道，而在數據速率方面是上鏈的數據速率之函數。RX2 接收窗口則使用固定的 10.

(21) 頻率和數據速率，儘管該使用的頻率和數據速率可透過 MAC 命令進行調整。若網路打算發送下鏈訊息到終端設備，在兩個接收窗口其中之一的開始處，會初始化傳輸。在其他方面，終端設備只要遵守當地規則並符合 LoRaWAN 規範，便可進行監聽、發送其他協議、或在 LoRaWAN 發送和接收窗口之間進行任何活動。. 在重傳的部分，如果端點沒有在上鏈傳輸之後立即，接收到在兩個接收窗口其中之一所傳送的下鏈 ACK 碼框，則可在第二個接收窗口後至少 ACK_TIMEOUT 秒，重新發送碼框。該重傳必須在另一個通道上完成，並且必須遵守傳輸的占空比限制。如果在接收窗口期間接收到 ACK 下鏈，則終端設備就可以在新通道上自由地發送新的碼框。. 1.2.4 占空比 LoRaWAN 的關鍵要素之一是使用占空比(duty cycle)，這是為了符合免執照操作的要求[6]。[5]中定義終端設備必須遵循所使用的子頻帶和本地法規的最大發送占空比，而每個子頻帶的最大發送占空比是區域特定的。閘道器使用 DutyCycleReq 命令，以指示終端設備的最大合併傳輸占空比 (aggregation duty cycle)。合併的發送占空比是對應於所有子頻帶上的發送占空比。終端設備發送占空比的計算方式為 δ =. 1 2𝑀𝑎𝑥𝐷𝑢𝑡𝑦𝐶𝑦𝑐𝑙𝑒. .. 目前，LoRaWAN 規範使用占空比，以符合歐洲電信標準協會(European Telecommunications Standards Institute，ETSI)之規定。因此，LoRaWAN 強制執行每個子頻帶占空比限制。換言之，並且在某個子頻帶傳送之碼框，會記錄封包傳送時間點以及封包傳送持續時間，使得接下來𝑇𝑜𝑓𝑓 秒的期間，不能再使用相同的子頻帶。儘管在某個子頻帶不可使用的期間，設備仍可 11.

(22) 圖 1-2-3：設備在單一通道上傳送示意圖[10]。. 圖 1-2-4：設備在多個通道上傳送示意圖[10]。. 圖 1-2-5：設備在不同子頻帶上傳送示意圖[10]。. 在另一個子頻帶上發送。如果所有子頻帶都不可用，則設備必須進一步在傳輸之前等待。在第三章中，我們將使用1%的法規占空比作為傳送的限制，因此會有𝑇𝑜𝑓𝑓 = 200秒的時間，設備不可在同一個子頻帶上傳送。. 關於占空比，我們以[10]之範例做介紹，如圖 1-2-3。當設備在一個通道上，每 10 個時間單位發送 2 個時間單位時，該設備的占空比為 20％；當設備在 3 個通道而不是 1 個通道上發送時，每個單獨的通道仍然佔用 20 ％，但該設備現在每 10 個單位可傳輸 6 個時間單位，其占空比為 60％，如圖 1-2-4。若 3 個通道分別位於 2 個不同的子頻帶，如圖 1-2-5。由於每 12.

(23) 個獨立的通道都具有 20％的占空比，但頻帶 1 每 10 個時間單位使用 2 個時間單位，也就是 20%，而頻帶 2 則是每 10 個單位使用 4 個時間單位，或 40％。因此，可以得知每個設備在每個通道上皆有相同的設備占空比。. 接著，法規占空比的限制，根據[5]所規定其不可傳送之時間 𝑇𝑜𝑓𝑓 = 𝑇𝑖𝑚𝑒𝑂𝑛𝐴𝑖𝑟 𝑏𝑎𝑛𝑑 𝑑𝑢𝑡𝑦 𝑐𝑦𝑐𝑙𝑒. − 𝑇𝑖𝑚𝑒𝑂𝑛𝐴𝑖𝑟，但我們在 3.1 節將會詳細說明法規占空比將. 不被限制。. 1.2.5 資料碼框由於 LoRaWAN 專為低功耗低速率通訊而設計，因此難以使用身形巨大的 TCP / IP。所以，LoRaWAN 可使得由感測器和驅動器的應用程序，透過閘道器通訊[8]。. 在 PHY 層中，LoRaWAN 碼框起始為前導碼，如圖 1-2-6。除了同步功能之外，前導碼(Preamble)定義了封包的調變方案，封包的其餘部分被調變為與封包有相同的展頻因子。前導碼之後是物理層標頭(header)和標頭循環冗餘校驗(Cyclic redundancy check，CRC)，整個是 20 bit 長。而碼框的其餘部分，則使用物理層標頭中所指定的碼率進行編碼。標頭還包含像是負載長度之類的訊息以及碼框中是否存在負載 16 bit CRC。須注意僅上鏈碼框包含負載 CRC。. MAC 標頭之後是碼框的標頭。在第三章中，我們所使用之資料封包長度 L 為固定的 64 bytes [8]，或 512 bits。由於展頻因子 12 對應的通道傳輸入速率 R 為 250 bps，因此封包傳送時間𝑇𝑡𝑥 = 13. 𝐿 𝑅. =. 512 250. = 2.048 ≒ 2秒。.

(24) 圖 1-2-6：LoRaWAN 碼框格式[8]。. 研究動機. 1.3. 本節會比較與本論文相關文獻間的差別，並針對我們的研究之重要性加以說明. 1.3.1 先前的研究與評論在[6]中，假設指數到達間隔時間，提出在占空比限制下的分析模型，. 以研究上鏈吞吐量的性能。但是，他們的分析沒有考慮碰撞問題。以外， [6]允許可以一次傳送多個封包。但我們認為如此將使得設備必須具備多個收發器，增加硬體複雜度與成本，不符合 LPWA 之設計本意。因此，我們提出設備一次僅傳送一個封包，以符合 LPWA 低功率低成本之系統環境。 [7]考慮有回應訊息模式下的 LoRaWAN 網路，並提出數學模型，以準確預. 估封包錯誤率。然而，發現他們並未考慮到占空比限制。 14.

(25) 1.3.2 論文動機先前的研究依據不同的需求而有不同解決問題之方法。因為 LoRaWAN 是操作在 ISM 頻段上，所以我們認為在 LoRaWAN 不可忽視的是頻帶之占空比以及設備之傳輸效能。因此，在後面的章節中，我們將介紹在占空比限制下，單一設備以及多個設備的通道存取；進而利用 M/G/1 分析平均的系統大小、等待時間機率分布，並根據 ALOHA 計算封包碰撞機率。. 1.4. 章節安排. 本研究針對 LPWAN 之 LoRaWAN 無線存取技術進行討論，探討封包傳送之碰撞機率，並利用 M/G/1 排隊模型計算封包延遲。其餘部分組織如下：第二章是說明相關背景知識；第三章介紹了我們的分析方法；第四章為數值結果和討論；第五章得出了我們的結論，最後為參考文獻與附錄。. 15.

(26) 第二章相關背景知識在本章中，我們介紹一些背景知識，其中包含：2.1 節重要相關文獻； 2.2 節重要機率分布；以及 2.3 節 ALOHA 通訊規約。. 2.1. 重要相關文獻近年來，許多研究探討 LoRaWAN 的相關技術，如：通道存取技術[4]、. 封包碰撞[7]、占空比限制[8]、以及子頻帶選擇[6]等問題。除此之外，提出許多研究方法，如：[2]、[3]、[6]等。我們將介紹幾篇重要文獻之研究方法，以成為實現我們研究之基礎。. 2.1.1. LoRaWAN A 類的延遲與 MAC 層性能分析 [6]提出了分析模型以研究 LoRaWAN 上鏈之性能。該模型包含子頻帶的選擇(sub-band selection)和子頻帶結合(sub-band combining)。LoRaWAN 是一種新興協議，在 ISM 頻段中是使用長距離(Long Range，LoRa)調變，進行低複雜度的無線通訊這些免執照的頻段在最大發射功率、占空比、以及頻寬等，都受到法規的約束。為了符合無執照操作的要求，LoRaWAN 的關鍵要素之一：使用占空比進行傳輸。這是因為占空比可有效地限制網路的吞吐量和延遲。. 此外，由於某些應用，需要高可靠性；而在其他應用則需要低延遲。可同時支持大量的低成本和低複雜度設備，仍然是重要的問題。因此，給定某種類型的應用服務，需要分析哪種方案最為合適，也就是所謂適應數據速率(Adaptive Data Rate，ADR)方案。該方案允許網路伺服器選擇數據 16.

(27) 速率和每個網路節點所使用的通道。須注意移動的節點應使用其固定的初始數據速率。這是因為移動將導致無線電環境快速變化，而數據速率管理目前並未實施。. [6]假設當兩個或多個設備嘗試在同一通道中使用相同的展頻因子，並且同時發送的時候會發生碰撞；而不同的展頻因子是完全正交的。此外， [6]也假設封包在無須回應訊息的情況下進行傳送。因此，[6]不考慮封包的重傳。須注意所有的設備都是 A 類設備，並且皆成功加入網路並傳送訊息。. 值得注意的是[6]設備占空比建立為 M / D / c 排隊模型，並從排隊理論中，獲得傳送的等待時間和每個子頻帶的服務比率。雖然設備占空比的等待時間，可以透過非對稱 M / D / c 的排隊模型來計算。但是為了簡化分析， [6]使用 M / M / c 排隊理論以獲得近似。從這邊可以得知[6]允許一次傳送多個封包。但是，由於一次傳送多個封包，會明顯增加硬體的複雜度以及成本。因此，在本論文的研究中，將考慮一次僅傳送一個封包。另外，須注意我們的研究也參考了[6]的相關參數，分別為頻寬 125 kHz、展頻因子 12、以及設備占空比為 0.05 (5%)。. 2.1.2. LoRaWAN 通道存取的數學模型 [7]考慮 LoRaWAN 重傳，並指出它是該技術中最薄弱的部分。這是因為該問題會加劇重傳的失敗機率。該論文主要貢獻是數學模型，該模型可以準確地計算封包錯誤率；而且，有回應訊息的模式下，說明為什麼使用 ALOHA 的計算方式，會低估碰撞機率。. 17.

(28) 圖 2-1-1：通道存取[7]。 LoRaWAN 網路使用多個無線通道。例如，在歐洲，可使用三個主要通道和一個下鏈通道。為了傳送資料碼框，一些通道被保留用於數據傳輸，稱為主通道；而下鏈通道被保留用於閘道器對資料碼框的回應；除此之外，並且主通道也用於節點向閘道器發送加入請求，如 1.2.3 節所介紹。如圖 21-1，當節點有需要被傳送的數據時，它隨機選擇一個主通道。接著，以非時槽 ALOHA 模式(Pure ALOHA)，將碼框發送到閘道器。在傳送之後，節點打開兩個短接收窗口，也就是會在接收器上打開一段時間。其中，第一個窗口用於上鏈傳輸的通道中，而第二個窗口用於下鏈通道中。如果上鏈傳輸需要確認，在此期間會期望可以接收到回應。須注意若節點在第一個接收窗口期間成功接收到碼框回應訊息，則節點不會打開第二個接收窗口。. 2.1.3. 老年護理應用的智能無線尋呼感測器網路 [3]提出一個基於 LoRaWAN 的智能無線尋找呼叫感測器網路(Wireless Paging Sensor Networks，WPSNs)的封包傳輸模型，以支援即時老人護理應用。該模型透過馬可夫離散時間 M / M / 1 排隊系統，以計算星形拓撲通訊於老年人護理中的性能。圖 2-1-2 為無線呼叫感測器的網路架構，由一個閘道器、多個呼叫器節點、以及腕錶節點組成。[3]也提出一個群集分配策略。透過該策略，可以將成功傳送速率最大化，並且在能量消耗方面，滿 18.

(29) 圖 2-1-2：無線呼叫感測器網路架構[3]。. 圖 2-1-3：重傳方案[3]。. 足服務品質(Quality of Service，QoS)約束要求。. 圖 2-1-3 為呼叫器節點向閘道器傳送封包，以發起服務請求之重傳方案。閘道器收到該請求封包後，會轉傳到相關的腕錶節點。而當傳輸過程中遭遇碰撞時，呼叫器將重傳該封包兩次。這是因為呼叫器和腕錶節點若 19.

(30) 圖 2-1-4：無線呼叫感測器網路節點的分層組織[3]。. 利用多通道的隨機存取，在碰撞發生時，會需要採用該重傳方案。. 如前所述，當房間中的老年人發起傳輸請求時，呼叫器會將該請求封包訊息發送到閘道器。網路中有多個呼叫器節點和多個腕錶節點。當閘道器收到封包時，將發出蜂鳴警報聲，並在 LED 屏幕上顯示房間號碼，以通知工作人員。如圖 2-1-4，由於每個工作人員對一組老年人負責，每個工作節點只接收來自同一群集的封包，而其他群集的封包將被丟棄。因此，這種群集分配可有效地降低封包碰撞率。. 2.1.4. 其他相關文獻 [1]為評論(tutorial)論文，介紹不同的 LPWA 的設計目標和技術。LPWA 是利用低成本的低功耗設備提供廣域覆蓋。一些新興 LPWAN 技術之標準化活動，是藉由不同的標準開發組織所執行；如：電機電子工程師學會 20.

(31) (Institute of Electrical and Electronics Engineers，IEEE)、網際網路工程任務組 (Internet Engineering Task Force ， IETF) 、第三代合作夥伴計畫 (3rd Generation Partnership Project ， 3GPP) 、歐洲電信標準協會 (European Telecommunications Standards Institute ，ETSI)，以及工業聯盟(industrial consortia)等。而關於個人 LPWAN 技術，如：LoRa 聯盟、WEIGHTLESSSIG、DASH7 聯盟等，這些組織也注意到 LPWAN，而採用相似的技術，因此會有相似的限制跟挑戰。. [2]考慮一個結合 802.11ah 及 LoRaWAN 技術的網路佈署，並提出了一個框架，以作為 802.11ah 和 LoRaWAN 互連。此框架允許網路和物聯網提供商，在執行決策階段，可視情況實施各種政策方案其中之一。單模式可支援兩種無線電存取技術(Radio Access Technologies，RAT)其中之一，而多模式可同時支援兩種無線電存取技術，且支援終端設備操作於不同的類別。. 根據 802.11ah 的建議，包含兩種類型的設備：流量指示圖(Traffic Indication Map，TIM)設備和非 TIM 設備。每個設備的配置，可根據應用類型、所需功率級別、服務品質(Quality of Service，QoS)、或其他因素而調整。屬於某一群組的 TIM 設備，會在該群組的存取窗口存取介質；而非 TIM 設備，則可以長時間休眠，而不需要聽任何信標(beacon)。. 21.

(32) 圖 2-1-5：ANMSRM 模組的資源管理框架[2]。如一般的 LoRaWAN 的架構，閘道器居中做為設備與伺服器轉傳的角色。LoRaWAN 支援 A、B、C 三種類型的終端設備。所有 LoRaWAN 終端設備都必須實現 A 類功能。A 類為最低功耗的終端設備，而儘管 C 類設備有最佳之即時性，但功率消耗最高。. 若設備支援多模 802.11ah-LoRaWAN 功能，但是由於兩個系統並沒有很好的匹配功能，因此[2]提出 802.11ah 混合模式。[2]引入一個存取網路/ 模式選擇和資源管理 (Access Network / Mode Selection and Resource Management，ANMSRM)的模組，如圖 2-1-5，以最佳化 RAT。LoRaWAN 網路伺服器、無線區域網控制器(Wireless LAN Controller，WLC)、以及 ANMSRM 模塊，可從 LoRaWAN 和 802.11ah 網路節點獲得所需要的性能參數，以判斷將使用哪一種網路進行資料傳輸。 22.

(33) 圖 2-1-6：A 類終端設備發送數據的過程[4]。. [4] 主要討論 LoRaWAN 中，A 類設備的存取過程。LoRaWAN 的架構是典型的星型拓撲，其中 LoRa 閘道器擔任中繼轉傳的角色。閘道與伺服器的連接是透過標準的 IP 網路，而節點，或終端設備在上鏈與下鏈兩個方向上，與一個或多個閘道器通訊。A 類終端設備採用純 ALOHA 存取模式。該存取模式有低通道使用率、高存取延遲、高碰撞機率等問題，所以[4]提出了一種增強的存取機制，即動態退避機制(Dynamic Backoff Mechanism)。增強的存取機制會根據用戶的數量，調整倒數窗口的大小。此外，節點會隨機的選擇上鏈通道及展頻因子用於傳輸，傳輸之後的節點會打開兩個接收窗口。. 23.

(34) A 類節點的存取過程如圖 2-1-6 所示。整個過程由 A 類節點啟動，節點隨機選擇其中一個上鏈通道和展頻因子。傳送後，節點會打開兩個連續的接收窗口，如圖 2-1-6 所示 RX1 與 RX2 的兩個時間區間。在 DATA 傳送結束後，RX1 窗口在一秒後打開，閘道器會送出兩個確認信號 ACK1 和 ACK2。ACK1 使用節點的上鏈數據相同的通道的數據速率；ACK2 則使用唯一的下鏈通道，並採用與下鏈通道相對應的數據速率。如果終端設備接收到其中任何一個 ACK，則數據傳輸可以成功；否則，節點將執行倒數機制以進行下一次重傳。. [8]對 LoRaWAN 操作進行分析，主要貢獻為通道存取的性能評估，並指出 LoRaWAN 規範的弱點，提出解決方案以改善 LoRaWAN 性能。[8]提到 LoRaWAN 規範於 2015 年出版以來，只有少數論文探討其性能且多數的研究都高估了網路容量。因此，[8]以更現實的條件，評估 LoRaWAN 網路性能。 LoRaWAN 節點使用 LoRa 技術與閘道器進行通訊。此技術使用啁啾展頻(Chirp-Spread Spectrum，CSS)的調變。由於該調變技術具有相對較低的傳輸功率要求以及來自通道衰減效應的固有穩健性，例如：多徑(multipath)、衰落(fading)、都普勒(Doppler、以及帶內干擾(in-band jamming interferers) 等，所以廣泛用於軍事和安全通訊。該調變如圖 2-1-7 所示，在 LoRa 中，每個符號可表示為正弦訊號，其頻率在窗口 BW 內圍繞中心頻率 𝑓𝑐 週期性變化。頻率因此從某個值開始，增加到最大值，再下降到最小值，然後繼續增長直到達到初始值，以完成一次循環。該調變之處理增益可以抵抗干擾和雜訊。. 24.

(35) 圖 2-1-7：LoRa 發射器的訊號頻率隨時間的演變[7]。. 表 III：歐盟 863-880 MHz ISM 頻段的數據速率[8]。. 較高的展頻因子 (Spreading factor，SF)有較低的比特率，但具有較高的靈敏度。例如，當 SF = 7 時，在 125 kHz 通道中，Semtech SX1276 LoRa 設備可以接收-125 dBm 的傳輸；但是當 SF = 12 時，靈敏度則為-137 dBm。這種調變和編碼方案的明顯特徵為：LoRa 設備可以正確地接收在同一通道中具有不同展頻因子的兩個重疊傳輸。. 此外，即使在兩個或以上同時傳輸使用相同展頻因子，只要訊號功率的差異高於 3 dB，就可以正確地接收其中最強大的一個，如表 III 列出了歐洲 EU 863-870 MHz ISM 頻段不同展頻因子的數據速率。 25.

(36) 2.2. 重要的機率分布在本節中，會介紹我們的研究會使用的機率分布。透過一些推導過程，. 可說明該機率分布的一些重要的結果，如：期望值、變異數、與 z 轉換。. 2.2.1 幾何分布(Geometric)隨機變數如果每次試驗的成功機率是 p，則需要 x 次試驗中，第 x 次才得到成功的機率是： 𝑃𝑋 (𝑥 ) = (1 − 𝑝)𝑥−1 𝑝,. 𝑥 = 1,2,3, …. (2.1). 期望值如下。令1 − 𝑝 = 𝑞，則 ∞. E[X] = ∑ 𝑥 ∙ 𝑞 𝑥−1 𝑝 𝑥=1 ∞. = p ∙ ∑ 𝑥 ∙ 𝑞 𝑥−1 𝑥=1 ∞. 𝑑 = 𝑝∙ ∑ 𝑞𝑥 𝑑𝑞 𝑥=1. 𝑑 𝑞 𝑑𝑞 1 − 𝑞 1 =𝑝∙ (1 − 𝑞 )2 1 = . 𝑝. =𝑝∙. ∞. E[X(X − 1)] = ∑ 𝑥 (𝑥 − 1)𝑞 𝑥−1 𝑝 𝑥=1 ∞. = 𝑝𝑞 ∑ 𝑥(𝑥 − 1)𝑞 𝑥−2 𝑥=1 ∞. 𝑑2 𝑥 = 𝑝𝑞 ∑ 2 𝑞 𝑑𝑞 𝑥=1. 26. (2.2).

(37) ∞. 𝑑2 = 𝑝𝑞 2 ∑ 𝑞 𝑥 𝑑𝑞 𝑥=1. 2. = 𝑝𝑞. 𝑑 𝑞 𝑑𝑞 2 1 − 𝑞. = 2𝑝𝑞 (1 − 𝑞 )−3 =. 2(1 − 𝑝) . 𝑝2. (2.3). 接著，可得變異數為 Var[X] = E[𝑋 2 ] − (E[X])2 = E[X(X − 1)] + 𝐸 [𝑋] − (E[X])2 2(1 − 𝑝) 1 1 2 = + −( ) 𝑝2 𝑝 𝑝 1−𝑝 = . 𝑝2. (2.4). 最後，幾何分布 z 轉換推導如下： ∞. K(z) = ∑ 𝑘𝑖 𝑧 𝑖 𝑖=0 ∞. = ∑(1 − 𝑝)𝑖−1 𝑝 ∙ 𝑧 𝑖 𝑖=1. = (1 − 𝑝)0 𝑝 ∙ 𝑧 1 + (1 − 𝑝)1 𝑝 ∙ 𝑧 2 + ⋯ = 𝑝𝑧(1 + (1 − 𝑝)𝑧 + (1 − 𝑝)2 𝑧 2 + ⋯ ) =. 𝑝𝑧 . 1 − (1 − 𝑝)𝑧. (2.10). 2.2.2 卜瓦松分布(Poisson)隨機變數卜瓦松分布適合描述單位時間內隨機事件發生的次數的機率分佈[12]。稍後在第三章，我們將假設封包的到達為卜瓦松程序。該隨機變數之機率 27.

(38) 分布為： 𝑒 −𝜆 𝜆𝑥 , 𝑥!. 𝑃𝑋 (𝑥 ) =. 𝑥 = 1,2,3, …. (2.5). 期望值之推導為： ∞. ∞. 𝑒 −𝜆 𝜆𝑥 𝜆 ∙ 𝜆𝑥−1 −𝜆 E[X] = ∑ 𝑥 =𝑒 ∑ = 𝑒 −𝜆 ∙ 𝜆 ∙ 𝑒 𝜆 = 𝜆. 𝑥! 𝑥! 𝑥=0. (2.6). 𝑥=1. 由於E[𝑋 2 ] = 𝐸 [𝑋 (𝑋 − 1)] + 𝐸 [𝑋]，因此 ∞. ∞. 𝑒 −𝜆 𝜆𝑥 𝑒 −𝜆 𝜆𝑥 E[𝑋(𝑋 − 1)] = ∑ 𝑥 (𝑥 − 1) =∑ . (𝑥 − 2)! 𝑥! 𝑥=0. (2.7). 𝑥=2. 令𝑗 = 𝑥 − 2, 可得 ∞. 𝑒 −𝜆 𝜆𝑗 E[𝑋(𝑋 − 1)] = 𝜆 ∑ = 𝜆2 . 𝑗! 2. (2.8). 𝑗=0. 我們可得知Var[X] = E[𝑋 2 ] − (E[X])2 = E[𝑋 (𝑋 − 1)] + 𝐸 [𝑋] − (𝐸[𝑋])2 ，於是 Var[X] = 𝜆2 + 𝜆 − 𝜆2 = 𝜆. 由此，可得知E[X] = Var[X] = 𝜆.. 接著，卜瓦松之 z 轉換推導如下： ∞. K(z) = ∑ 𝑘𝑖 𝑧 𝑖 𝑖=0 ∞. 𝑒 −𝜆 𝜆𝑖 𝑖 =∑ ∙𝑧 𝑖! 𝑖=0. 𝑒 −𝜆 𝜆0 0 𝑒 −𝜆 𝜆1 1 = ∙𝑧 + ∙𝑧 +⋯ 0! 1! 𝜆0 𝜆1 = 𝑒 −𝜆 ( ∙ 𝑧 0 + ∙ 𝑧 1 + ⋯ ) 0! 1! = 𝑒 −𝜆 𝑒 𝑧𝜆 28. (2.9).

(39) = 𝑒 𝑧𝜆−𝜆 .. 2.3. (2.11). ALOHA 通訊規約[15] ALOHA 網路(ALOHAnet，ALOHA)，是由美國夏威夷大學所開發的實. 驗性電腦網路系統，為世界上第一個無線資料網路，可透過行動電話及 WiFi 這兩種介質來通訊。ALOHA 協定屬於隨機存取協議(Random Access Protocol) 中的一種，屬於開放式系統互連通訊參考模型 (Open System Interconnection Reference Model，OSI)中的資料連結層(Data Link Layer)。它分為純 ALOHA 協議(Pure ALOHA)，以及分段 ALOHA(Slotted ALOHA) 協定。由於我們的研究將使用純 ALOHA 協定進行分析，因此針對該協定進行說明[15]： . 當資料封包需傳送時，傳輸點會立即傳送至通訊頻道；. . 接收點在收到資料封包後，會向傳輸點發送 ACK；. . 如果接收的資料封包有錯誤，接收點會向傳輸點發送 NACK；. . 當兩個傳輸點同時向通道傳送資料封包時會發生碰撞，當此情況發生時，兩個傳輸點須各別等待一段隨機長度的時間後，嘗試重傳直到成功為止；. . 每個設備的等待時間是隨機的且不相同，只是為了避免資料封包的反覆的碰撞；. . 假設所有封包長度一致，純 ALOHA 的吞吐量最大化。. 29.

(40) 圖 2-4-1：純 ALOHA 協定之封包碰撞示意圖[7]。. 若有以下假設[15]： . 𝑇𝑓 ：封包傳送的時間；. . S：每個𝑇𝑓 的平均成功傳輸次數；. . G：每個𝑇𝑓 傳輸的平均封包數量；. 由於封包是固定長度，且該通道無雜訊，錯誤僅由碰撞造成。假設封包產生是卜瓦松隨機程序。G 代表𝑇𝑓 內嘗試傳輸的總數，或𝐺 = 𝜆𝑇𝑓，在時間的間隔長度為 t，有 k 個到達的機率如下式： (𝜆𝑡)𝑘 𝑒 −𝜆𝑡 𝑃𝑘 (𝑡) = . 𝑘! 其中，𝜆是封包到達率。. 30. (2.12).

(41) 如圖 2-4-1，傳送中會遭受碰撞的時間是 2𝑇𝑓 。因此，成功傳送的機率為： 𝑃0 (2𝑇𝑓 ) = 由於λ =. 𝐺 𝑇𝑓. (𝜆 ∙ 2𝑇𝑓 )0 𝑒 −𝜆∙2𝑇𝑓 = 𝑒 −2𝐺 . 0!. ，因此純 ALOHA 成功傳送的機率是𝑒 −2𝐺 。. 31. (2.13).

(42) 第三章. 分析方法. 本章介紹我們提出的分析方法。首先，3.1 節介紹系統模型，其中包含多個設備的通道存取、單一設備的資料傳送、系統假設。然後，根據所提出之模型與假設，我們在 3.2 節中討論設備的傳輸效能，其中主要利用 Pollaczek-Khintchine (P-K)公式，以計算資料封包平均延遲；接著，3.3 節分析封包延遲的機率分布；最後，3.4 節探討資料封包的碰撞機率。. 圖 3-1-1：設備之通道存取示意圖。. 3.1. 系統模型與假設. 本節將介紹所考慮之系統模型與分析方法中所採用之假設。. 3.1.1. 多個設備通道存取 32.

(43) 首先，本論文考慮 LoRaWAN 之 A 類系統中，使用相同展頻因子 s 之設備，且假設這些設備的總數量為 N，如圖 3-1-1 所示。如 1..1.3 節網路架構所提到，設備所產生之資料封包都必須上傳至閘道器。假設第 i 個設備之封包產生為卜瓦松隨機程序(Poisson process)，速率為λ𝑖 (個/秒)；而且，由於設備占空比與封包因碰撞而重新傳送，封包被服務的速率為𝜇𝑖 (個/秒)。在稍後 3.1.2 節可知，這些設備可分別以 M/G/1 建立數學模型。此外，令 𝜆. 𝜌𝑖 = 𝑖 ，則𝜌𝑖 必須小於 1，以確保系統存在穩定狀態(steady state)。關於這 𝜇𝑖. 個限制，在第四章中，將有更詳盡的討論。. 如 1.2.4 節所述，設備必須遵循設備占空比與法規占空比的規定，以傳送資料封包。然後該資料封包以 ALOHA 的通道存取機制與其他設備競爭通道資源。若資料封包與其他封包發生碰撞，則該封包傳送為失敗(failure)；如圖 3-1-1，兩個紅色封包的傳送過程中，與對方的一部分在時間軸上發生重疊，則兩個封包傳送皆為失敗。但是，若資料封包的傳送並未與其他封包發生碰撞，則封包傳送為成功(success)；如圖 3-1-1 中綠色封包代表成功的傳送。在 3.2 與 3.3 節中，我們先假設封包成功傳送機率為獨立的 (independent) p，其中0 < p < 1。根據這個假設，我們便可利用 M / G / 1，以分析設備之傳輸效能，如封包延遲(packet delay)等。然後，在 3.4 節中，將考慮多個設備，根據傳統的 ALOHA 分析方式，以計算該機率p。. 3.1.2. 設備之通道存取接下來，我們以圖 3-1-2 說明設備中資料封包的傳送。首先，假設資料封包 0、1、2 分別隨機產生於時間點𝑡0 , 𝑡1 , 𝑡2。為了方便說明，假設資料封包 0 產生時，所有子頻帶均可使用。該設備若隨機選取子頻帶 1 進行傳送， 𝐿. 傳送時間為𝑇𝑡𝑥。𝑇𝑡𝑥 的計算為𝑇𝑡𝑥 = ，其中 L (bits)為封包大小，R (bits/sec) 𝑅. 33.

(44) 圖 3-1-2：設備資料封包傳送之示意圖。為通道傳輸速率。由於該封包在產生的同時立即被傳送，其隊伍中等待的延遲(queueing delay) 𝑊𝑞,0 = 0。然而，該資料封包第一次傳送因發生碰撞而失敗，必須進行重傳。但是，由於設備占空比(device duty cycle)的緣故，該重新傳送必須延後至(𝑡0 + 𝜏𝐴 )方可進行，其中𝜏𝐴 為設備占空比的時間長度。在此等待過程中，資料封包 1 產生，並暫存於緩衝器中。𝜏𝐴 的計算為 𝜏𝐴 =. 𝑇𝑡𝑥 𝛿𝐴. ，如前所述，𝑇𝑡𝑥 為一個封包的傳輸時間；而𝛿𝐴 為設備占空比。須注. 意法規占空比(band duty cycle)的限制，並未出現在上面的說明當中。這是因為稍後 3.1.3 節中，本研究的其中一個假設可使得該限制無須被考慮。之後，資料封包 0 在第一次重傳後成功，且資料封包 1 也在第一次傳送即成功。它們的離開時間分別為𝑡0′ 與𝑡1′，如圖 3-1-2 所示。值得注意的是資料封包 1 的隊伍等待延遲𝑊𝑞,1 = 𝑡0′ − 𝑡1 > 0。. 另一方面，資料封包 2 於𝑡2 產生。由於𝑡2 > 𝑡1′，該資料封包可因此在產 34.

(45) 生時立即被傳送；換句話說，其在隊伍中等待的延遲𝑊𝑞,2 = 0。然而，由於法規占空比的緣故，子頻帶 1、2、3 均無法使用，資料封包 2 於是由其餘子頻帶隨機挑選其中之一進行傳送，假設結果為子頻帶 4。由於資料封包 2 第一次傳送便成功，與之前類似，儘管該成功傳送發生於(𝑡2 + 𝑇𝑡𝑥 )，下一個封包至少必須等待至(𝑡2 + 𝜏𝐴 ) = 𝑡2′ 時方能被傳送。須注意在圖 3-1-2 中 𝛿1,2 = 𝑡2 − 𝑡1′ > 0代表資料封包 2 被傳送前，設備的空閒時間。. 透過前面資料封包傳送之介紹，我們接下來推導服務時間機率分布。首先，令隨機變數X為一個封包的傳送次數，包含最後一次成功的傳送。如前所述，由於假設封包成功傳送之機率 p 為獨立的，因此可得𝑃{𝑋 = 1} = 𝑝(1 − 𝑝)0 ；𝑃{𝑋 = 2} = 𝑝(1 − 𝑝)1；以此類推，𝑃{𝑋 = 𝑘} = 𝑝(1 − 𝑝)𝑘−1 ，其中 𝑘 = 1, 2, ⋯ 。顯然X 為參數是p 的幾何分布隨機變數 (Geometrically distributed random variable)。因此，X 的累積分布函數(cumulative distribution function，CDF)如下： ⌊𝑥⌋. 𝐹𝑋 (𝑥 ) = {𝑃{𝑋 ≤ 𝑥 } = ∑ 𝑝(1 − 𝑝). 𝑘−1. = 1 − (1 − 𝑝)⌊𝑥⌋ ,. 𝑥 ≥ 1,. (3.1). 𝑘=1. 0,. 𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒.. 其中⌊∙⌋為地板函數(floor function)。. 接著令隨機變數 S 代表封包被服務之時間，並且用𝐹𝑆 (∙)表示該服務時間的累積分布函數；而且，根據圖 3-1-2，可得S = X ∙ 𝜏𝐴 。所以，我們可以獲得𝐹𝑆 (∙)如下： 𝑡 ⌊ ⌋ 𝑡 𝜏𝐴 , ( ) 1 − 1 − 𝑝 𝐹𝑆 (𝑡) = 𝐹𝑋 (⌊ ⌋) = { 𝜏𝐴 0,. 𝑡 ≥ 𝜏𝐴 , 𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒,. (3.2). 𝐹𝑆 (∙)函數如圖 3-1-3 所示，其中τA = 5 sec。可以發現，與 X 一樣，S 為離散的隨機變數。因此，S 的累積分布函數呈現有如階梯般地在τA整數倍的 35.

(46) 圖 3-1-3：S 服務時間的累積分布函數(τA = 5 sec)。. 位置往上跳一格。而且，往上跳的高度，恰為該位置所對應的機率。. 3.1.3. 重要假設為了簡化分析，本論文有以下的假設： . 相較於[6]，我們假設設備只配備一個傳輸裝置，因此一次僅處理一個封包；. . 假設設備資料封包之產生為卜瓦松的隨機程序；. . 假設封包長度(L)是固定的[8]；. . 若子通道總數量為 c，我們假設c × 𝜏𝐴 > 𝜏𝑅 。如圖 3-1-2 之說明可知，封包的傳送因此不需要考慮法規占空比，而使得 3.2 與 3.3 節的數學分析是可行的。這是因為若每個通道都使用過一次，顯然地已超過法規占空比所規範的時間；. . 假設設備的展頻因子 s 是固定不變的，且使用相同展頻因子的設備數 36.

(47) 量𝑁𝑠 為定值； . 由於系統操作在免執照的工業的、科學的和醫學的頻段 (Industrial Scientific Medical Band，ISM band)，除了 LoRaWAN 的設備之外，還會有其他設備會造成電磁波干擾，而使得封包傳送失敗。然而，我們忽略通道雜訊及干擾，封包失敗僅由於碰撞所造成；. . 如前所述，假設封包機率 p 是獨立的。在第四章中，我們將透過模擬驗證這個假設是否正確；. . 假設設備的輸出程序(output process)是卜瓦松隨機程序。同樣的，我們也將在第四章中與模擬結果進行比較與驗證。另外，若單一個設備的輸出程序為卜瓦松隨機程序，參數為λ′𝑖 ，則多個設備合併的輸出程序也會是卜瓦松隨機程序，參數為λ′ = ∑ λ′𝑖 [13]；. . 在 3.4 節的分析中，我們忽略 ACK 與封包可能發生碰撞。. 3.2. 設備的傳輸效能. 本節中，我們將利用 M/G/1 模型之 P-K 公式，計算封包平均延遲。. 3.2.1. 平均延遲分析在 M/G/1 排隊模型的數學分析中，不再使用如 M/M/1 所使用之馬可夫程序(Markov Process)。這是因為服務時間長度 S 已不再假設為指數分布，而可以是任意的機率分布。儘管無法使用馬可夫程序進行分析，但卻可以在這個非馬可夫程序中，嵌入一個馬可夫鏈(Markov chain)，即嵌入的馬可夫鏈(Imbedded Markov chain)。一個嵌入的馬可夫鏈可證明在服務完成的時間點，可構成馬可夫鏈。關於這點，稍後將於數學式(3.3)時進一步說明。本論文因此將集中注意力在服務完成的時間點。 37.

(48) 所謂 M/G/1，或使用單一服務器，以處理卜瓦松程序的輸入和一般服務時間長度(general service)的排隊模型，可簡單說明如後。M 代表封包到達是卜瓦松程序；G 表示服務時間長度為一般的隨機分布；換句話說，服務時間長度可以是任意的機率分布，並且是獨立的、相同機率分布的隨機變數(independent and identically distributed，iid)；1 代表服務通道數量，並遵循先到先服務(First In, First Out，FIFO)的方式。. 如前所述，到達過程是參數為λ𝑖 的卜瓦松程序。令X(𝑡𝑖 )表示嵌入之隨機程序，其中X為系統中客戶的數量，且𝑡1 , 𝑡2 , 𝑡3 , …等代表完成服務的離散時間點。由於𝑡𝑖 是第 i 個客戶完成服務的時間點，因此X(𝑡𝑖 )代表該客戶離開時，系統剩餘的客戶數量。除此之外，由於𝑡𝑖 為離散的，X(𝑡𝑖 )可另表示為 𝑋𝑖 。所以，當n > 0時，可以得到[13]： 𝑋𝑛+1 = {. 𝑋𝑛 − 1 + 𝐴𝑛+1 (𝑋𝑛 ≥ 1), (𝑋𝑛 = 0), 𝐴𝑛+1. (3.3). 其中𝑋𝑛 是第 n 個客戶剛離開時，系統中剩餘的客戶數量；𝐴𝑛+1 是第 n+1 個客戶被服務的期間，客戶到達的數量。若第 n 個離開時，仍有𝑋𝑛 ≥ 1客戶在系統中，則當第 n+1 個離開時，很明顯地，剩餘的客戶數量為𝑋𝑛+1 = 𝑋𝑛 − 1 + 𝐴𝑛+1。另一方面，若第 n 個離開時，沒有剩餘的客戶，也就是𝑋𝑛 = 0；則當第 n+1 個離開時，剩餘的數量應等於𝐴𝑛+1；也就是說，第 n+1 個客戶既不被𝑋𝑛 所計數，亦不出現於𝑋𝑛+1中。須注意由於客戶到達為卜瓦松程序，因此𝐴𝑛+1為獨立，於是(3.3)為一個馬可夫鏈。. 令隨機變數𝑆 (𝑛+1)表示為第 n+1 個客戶的服務時間。由於根據先前 iid 的假設，該時間長度與當時的隊伍長度無關，或每次的服務時間長度都是獨立的。因此，之後以 S 表示一個客戶的服務時間長度。於是，如(3.2)， ⌊. 𝑡. ⌋. S 的累積分布函數，為𝐹𝑆 (𝑡) = 1 − (1 − 𝑝) 𝜏𝐴 , 𝑡 ≥ 𝜏𝐴 .。由於封包到達是卜 38.

(49) 瓦松程序，隨機變數𝐴𝑛+1 僅與服務時間 S 相關，與隊伍現況或開始被服務的時間點皆不相關。所以，之後會簡單地以 A 來表示。於是可獲得以下條件機率[13]： Pr{𝐴 = 𝑎|𝑆 = 𝑡 } =. 𝑒 −𝜆𝑡 (𝜆𝑡)𝑎 𝑎!. .. (3.4). 由於在一個時間區間 t 內，事件發生的次數與 t 成正比，可得𝜆𝑡為該區間內發生次數的平均值。根據(3.4)，可計算： ∞. Pr{A = a} = ∫0 Pr{𝐴 = 𝑎|𝑆 = 𝑡 } 𝑑𝐹𝑆 (𝑡). (3.5). 然後，帶入(3.2)之結果，我們可將(3.5)改寫為： ∞. 𝑒 −𝜆𝑘𝜏𝐴 (𝜆𝑘𝜏𝐴 )𝑎 Pr{A = a} = ∑ (1 − 𝑝)𝑘−1 𝑝 . 𝑎!. (3.6). 𝑘=1. 但是，我們這邊無法進一步獲得P{A = a}的完整解(closed-form solution)。儘管如此，我們可以計算 A 的期望值，其詳細過程如下： ∞. E[A] = ∑ 𝑎 Pr{A = a} 𝑎=0 ∞. ∞. 𝑎=0. 𝑘=1. 𝑎𝑝 =∑ ∑ 𝑒 −𝜆𝑘𝜏𝐴 (𝜆𝑘𝜏𝐴 )𝑎 (1 − 𝑝)𝑘 ( ) 𝑎! 1 − 𝑝 ∞. ∞. = ∑ 𝑒 −𝜆𝑘𝜏𝐴 (1 − 𝑝)𝑘 ∑ 𝑘=1. 𝑎=0. 𝑝 (𝜆𝑘𝜏𝐴 )𝑎 (𝑎 − 1)! (1 − 𝑝). ∞. ∞. 𝑘=1. 𝑎=1. (𝜆𝑘𝜏𝐴 )𝑎−1 𝑒 −𝜆𝑘𝜏𝐴 (1 − 𝑝)𝑘 𝑝 (𝜆𝑘𝜏𝐴 ) ∑ =∑ (1 − 𝑝) (𝑎 − 1)! ∞. (1 − 𝑝)𝑘 𝑝 (𝜆𝑘𝜏𝐴 ) =∑ (1 − 𝑝) 𝑘=1. =. 𝜆𝜏𝐴 . 𝑝. (3.7). 須注意這個 A 的平均值也可從稍後的(3.13)所獲得，並可驗證我們這邊的 39.

(50) 推導過程是正確的。. 接下來，我們利用(3.5)與(3.6)計算連續兩個離開時間點之狀態轉換機率(state transition probability)如下： Pr{𝑋𝑛+1 = j|𝑋𝑛 = i} = Pr{A = j − i + 1} ∞ −𝜆𝑡 (. ∞. 𝑒 𝜆𝑡)j−i+1 𝑒 −𝜆𝑘𝜏𝐴 (𝜆𝑘𝜏𝐴 )𝑗−𝑖+1 ∫ 𝑑𝐹𝑆 (𝑡) = ∑ (1 − 𝑝)𝑘−1 𝑝 ( ) j − i + 1 ! (𝑗 − 𝑖 + 1)! = 0 𝑘=1. 𝑗 < 𝑖 − 1, 𝑖 ≥ 1;. 0. {. 𝑗 ≥ 𝑖 − 1, 𝑖 ≥ 1;. (3.8) 其中，𝑋𝑛 = i表示前一個離開時間點，系統大小是 i；𝑋𝑛+1 = j表示目前這個離開時間點，系統大小是 j。因此，{𝑋𝑛+1 = j|𝑋𝑛 = i}與{A = j − i + 1}是相同的事件，因此機率相等。若𝑋𝑛 = 0時，代表系統狀態將持續一段時間保持為零，直到有新的客戶到達。所以，對於𝑖 = 0與𝑖 = 1而言，它們的轉換機率是相同的。稍後，(3.15)之推導將利用(3.8)之結果。. 接下來，我們計算系統的平均長度 L，主要利用所謂的平均值分析法 (mean value analysis)。一旦得到 L，可以接著利用 Little’s Formula，獲得其他測量，如平均等待時間 W。首先，仍假設有一個客戶剛要離開，且假設系統已來到穩態機率分布的階段。我們可改寫(3.3)為[13]： 𝑋𝑛+1 = 𝑋𝑛 − 𝑈(𝑋𝑛 ) + 𝐴,. (3.9). 其中 𝑈(𝑋𝑛 ) = {. 1 0. 𝑋𝑛 > 0, 𝑋𝑛 = 0,. (3.10). 很明顯地，(3.10)與(3.3)是相同的。. 由於系統為穩態，所以可以針對這些隨機變數進行期望值的運算。於 40.

(51) 是，𝐸[𝑋𝑛+1 ] = 𝐸[𝑋𝑛 ] = 𝐿(𝐷)，其中，上標的(D)表示離開的時間點，而非一般時間點所對應的系統平均長度 L。因此，(3.9)可改寫為[13]： 𝐿(𝐷) = 𝐿(𝐷) − 𝐸 [𝑈(𝑋𝑛 )] + 𝐸 [𝐴].. (3.11). 由於𝐿(𝐷) 經過刪減後無法得知其值為何，故必須用其他方式獲得。稍後會在數學式(3.15)進一步說明。上式經過整理後如下[13]： 𝐸 [𝑈(𝑋𝑛 )] = 𝐸[𝐴].. (3.12). 然後，類似 (3.5)，可得： 𝐸 [𝑈 (𝑋𝑛 )] = 𝐸 [𝐴] ∞. = ∫ 𝐸 [𝐴|𝑆 = 𝑡 ]𝑑𝐹𝑆 (𝑡) 0 ∞. = ∫ 𝜆𝑡𝑑𝐹𝑆 (𝑡) = 𝜆𝐸 [𝑆] = 0. 𝜆 ≡ 𝜌. 𝜇. (3.13). (3.13)中的𝜌為服務 1 個客戶時，平均會抵達多少個客戶。值得注意的是，為了讓系統處於穩態，必須讓使用率ρ < 1。. 接著，將(3.9)平方可得[13]： 2 𝑋𝑛+1 = 𝑋𝑛2 + 𝑈 2 (𝑋𝑛 ) + 𝐴2 − 2𝑋𝑛 𝑈(𝑋𝑛 ) − 2𝐴𝑈(𝑋𝑛 ) + 2𝐴𝑋𝑛 . (3.14) 2 ] 由於穩態，所以E[𝑋𝑛+1 = E[𝑋𝑛2 ]。整理後可得[13]：. 0 = 𝐸 [𝑈 2 (𝑋𝑛 )] + 𝐸 [𝐴2 ] − 2𝐸 [𝑋𝑛 𝑈(𝑋𝑛 )] − 2𝐸 [𝐴𝑈(𝑋𝑛 )] + 2𝐸 [𝐴𝑋𝑛 ]. (3.15) 根據(3.10)之𝑈 (𝑋𝑛 )的定義，可得：𝑈 2 (𝑋𝑛 ) = 𝑈 (𝑋𝑛 )、𝑋𝑛 𝑈(𝑋𝑛 ) = 𝑋𝑛 ；另外，由於A, 𝑈 (𝑋𝑛 )，以及A, 𝑋𝑛 皆為獨立，可得：𝐸 [𝐴𝑈(𝑋𝑛 )] = 𝐸 [𝐴]𝐸[𝑈 (𝑋𝑛 )] = 𝜌2，以及𝐸 [𝐴𝑋𝑛 ] = 𝐸 [𝐴]𝐸 [𝑋𝑛 ] = 𝐿(𝐷) 𝜌。因此，我們可得到[13]： 0 = 𝜌 + 𝐸 [𝐴2 ] − 2𝐿(𝐷) − 2𝜌2 + 2𝐿(𝐷) 𝜌,. (3.16). 或是 𝐿(𝐷) =. 𝜌−2𝜌2 +𝐸[𝐴2 ] 2(1−𝜌). 接著，由於 41. .. (3.17).

(52) 𝐸 [𝐴2 ] = 𝑉𝑎𝑟[𝐴] + (𝐸[𝐴])2 = 𝑉𝑎𝑟[𝐴] + 𝜌2 .. (3.18). 𝑉𝑎𝑟[𝐴] = 𝐸[𝑉𝑎𝑟 [𝐴|𝑆]] + 𝑉𝑎𝑟[𝐸 [𝐴|𝑆]].. (3.19). 其中，. 關於(3.18)，補充說明如下： 𝐸[𝑉𝑎𝑟[𝐴|𝑆]] = 𝐸[𝐸 [𝐴2 |𝑆]] − 𝐸 [(𝐸 [𝐴|𝑆])2 ].. (3.20). 2. 𝑉𝑎𝑟[𝐸 [𝐴|𝑆]] = 𝐸 [(𝐸 [𝐴|𝑆])2 ] − (𝐸[𝐸 [𝐴|𝑆]]) .. (3.21). 將(3.19)與(3.20)相加可得： 2. 𝐸[𝑉𝑎𝑟 [𝐴|𝑆]] + 𝑉𝑎𝑟[𝐸 [𝐴|𝑆]] = 𝐸[𝐸 [𝐴2 |𝑆]] − (𝐸[𝐸 [𝐴|𝑆]]) = 𝐸 [𝐴2 ] − (𝐸 [𝐴])2 = 𝑉𝑎𝑟[𝐴].. (3.22). 因此，(3.18)可表示為下式[13]： 𝑉𝑎𝑟[𝐴] = 𝐸 [𝜆𝑆] + 𝑉𝑎𝑟[𝜆𝑆] = 𝜌 + 𝜆2 𝜎𝑆2 ,. (3.23). 其中，𝜎𝑆2 是服務時間的變異量(variance)。該變異量可透過(3.2)之𝐹𝑆 (∙)計算獲得，其結果為𝜎𝑆2 =. 2 𝜏𝐴 (1−𝑝). 𝜆𝜏𝐴. 𝑝2. 𝑝. 。另一方面，根據(3.7)、(3.13)，可知𝜌 =. 。. 然後，透過(3.16)、(3.17)、(3.22)，我們可得到： 𝐿. (𝐷). 𝜌2 + 𝜆2 𝜎𝑆2 =𝜌+ 2(1 − 𝜌) 𝜏 2 (1 − 𝑝) 𝜌2 + 𝜆2 ∙ 𝐴 2 𝑝 =𝜌+ 2(1 − 𝜌) 𝜌2 + 𝜌2 (1 − 𝑝) =𝜌+ 2(1 − 𝜌) =𝜌+. 𝜌2 (2−𝑝) 2(1−𝜌). .. 42. (3.24).

(53) 3.3. 封包之隊伍等待時間機率分布. 一般來說，M/G/1 無法獲得等待時間之機率分布。然而，由於本論文之服務時間 S 為具有無記憶性(memoryless)之特性幾何分布，使得我們可以計算該機率分布。在本節中，我們首先計算系統大小之機率分布。然後，再利用與幾何分布相關之巴斯卡 (Pascal)機率分布，或稱為負二項式 (negative binomial)機率分布，以計算封包隊伍等待時間機率分布。. 3.3.1. 離開時間點系統機率分布在這一節中，我們推導在穩態中，客戶完成服務時間點之系統大小的機率分布。令𝜋𝑛 表示客戶離開時間點的機率分布。𝜋𝑛 通常與任意時間點之系統大小機率分布𝑝𝑛 不同。然而，對於 M / G / 1 來說，可證明𝝅和𝐩是相同的。關於該證明，詳見附錄二。首先，令𝐏 = [𝑝𝑖𝑗 ]表示兩個離開時間系統大小的機率轉移矩陣，其中 𝑝𝑖𝑗 = Pr{第 n + 1 離開時間點大小是 j |第 n 離開時間點大小是 i} = Pr{𝑋𝑛+1 = 𝑗|𝑋𝑛 = 𝑖 }.. (3.24). 由(3.8)： ∞. 𝑒 −𝜆𝑚𝜏𝐴 (𝜆𝑚𝜏𝐴 )𝑗−𝑖+1 𝑝𝑖𝑗 = ∑ (1 − 𝑝)𝑚−1 𝑝 𝑗 ≥ 𝑖 − 1, 𝑖 ≥ 1. (3.25) (𝑗 − 𝑖 + 1)! 𝑚=1. 為了簡化數學表示式，另定義： 𝑘𝑛 = Pr{n 在服務時間 S = t 期間到達} = ∑∞ 𝑚=1. 𝑒 −𝜆𝑚𝜏𝐴 (𝜆𝑚𝜏𝐴 )𝑛 𝑛!. 可以看出𝑝𝑖𝑗 = 𝑘𝑗−𝑖+1 ,，因此：. 43. (1 − 𝑝)𝑚−1 𝑝.. (3.26).

(54) 𝑘0 𝑘1 𝑘2 𝑘0 𝑘1 𝑘2 𝑷 = [𝑃𝑖𝑗 ] = 0 𝑘0 𝑘1 0 0 𝑘0 [⋮ ⋮ ⋮. ⋯ ⋯ ⋯, ⋯ ⋯]. (3.27). 其中，在(3.8)時提過，對於i = 0與i = 1來說，他們的轉換機率是一樣的。因此，可以發現(3.27)中，P 的第一列與第二列完全相同。假設系統可達到穩態，則穩態機率向量𝝅 = {𝜋𝑛 }可寫成： (3.28). π = π𝐏.. 接著，根據(3.27)與(3.28)，展開式如下：. [𝜋0. 𝜋1. 𝜋2 … ] = [𝜋0. 𝜋1. 𝑘0 𝑘0 𝜋2 … ] 0 0 [⋮. 𝑘1 𝑘1 𝑘0 0 ⋮. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮. 𝑘𝑖 𝑘𝑖 𝑘𝑖−1 ⋮ 𝑘0. 𝑇 𝜋0 𝑘0 + 𝜋1 𝑘0 𝜋0 𝑘1 + 𝜋1 𝑘1 + 𝜋2 𝑘0 = , ⋮ 𝜋0 𝑘𝑖 + 𝜋1 𝑘𝑖 + ⋯ + 𝜋𝑖 𝑘1 + 𝜋𝑖+1 𝑘0 [ ] ⋮. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯]. (3.29). 其中，𝐴𝑇 代表 A 之轉置矩陣(transpose matrix)。因此，可將𝜋𝑖 表示為： 𝜋𝑖 = 𝜋0 𝑘𝑖 + ∑𝑖+1 𝑗=1 𝜋𝑗 𝑘𝑖−𝑗+1 ,. 𝑖 = 0,1,2, ⋯.. (3.30). |𝑧| ≤ 1.. (3.31). 然後，其生成函數可以寫成： 𝑖 ∏(𝑧) = ∑∞ 𝑖=0 𝜋𝑖 𝑧 ,. 而K(z)亦可以類似的方式獲得如下： ∞. 𝐾(𝑧) = ∑ 𝑘𝑖 𝑧 𝑖 𝑖=0 ∞. ∞. 𝑒 −𝜆𝑘𝜏𝐴 (𝜆𝑘𝜏𝐴 )𝑖 (1 − 𝑝)𝑘−1 𝑝 ∙ 𝑧 𝑖 = ∑∑ 𝑖! 𝑖=0 𝑘=1. 44.

(55) ∞. = ∑𝑒. ∞ −𝜆𝑘𝜏𝐴. (1 − 𝑝. )𝑘−1. 𝑝 ∑ 𝑧𝑖. 𝑘=1. 𝑖=0. (𝜆𝑘𝜏𝐴 )𝑖 𝑖!. ∞. = ∑ 𝑒 −𝜆𝑘𝜏𝐴 (1 − 𝑝)𝑘−1 𝑝 ∙ 𝑒 𝑧𝜆𝑘𝜏𝐴 𝑘=1 ∞. = ∑ 𝑒 −𝜆𝜏𝐴 (1−𝑧)𝑘 (1 − 𝑝)𝑘−1 𝑘=1. = 𝑒 −𝜆𝜏𝐴 (1−𝑧)𝑝(1 + 𝑒 −𝜆𝜏𝐴 (1−𝑧)(1 − 𝑝) + 𝑒 −𝜆𝜏𝐴 (1−𝑧)2 (1 − 𝑝)2 + ⋯ ) 𝑒 −𝜆𝜏𝐴 (1−𝑧)𝑝 = . 1 − 𝑒 −𝜆𝜏𝐴 (1−𝑧) (1 − 𝑝). (3.32). 須注意，(3.32)的推導過程中，我們隱含假設等比級數之公比𝑒 −𝜆𝜏𝐴 (1−𝑧) (1 − 𝑝) < 1。以下，我們驗證該假設永遠為真。 𝑒 −𝜆𝜏𝐴 (1−𝑧)(1 − 𝑝) < 1 1 ⟹ 𝑒 −𝜆𝜏𝐴 (1−𝑧) < 1−𝑝 1 ⟹ −𝜆𝜏𝐴 (1 − 𝑧) < ln ( ) 1−𝑝 1 ln ( ) 1−𝑝 ⟹ (1 − 𝑧) > −𝜆𝜏𝐴 1 ln ( ) 1−𝑝 ⟹z< + 1. 𝜆𝜏𝐴 因為(1 − p) < 1，可得ln (. 1. ) > 0。根據(3.31)，由於|z| ≤ 1，(3.33)因. 1−𝑝. 此必定成立。換言之，(3.32)之推導是正確的。. 最後，將(3.30)做 z 轉換，以獲得𝜋𝑖 之生成函數： ∞. ∞. 𝑖+1. ∏(𝑧) = ∑ 𝜋𝑖 𝑧 𝑖 = ∑ (𝜋0 𝑘𝑖 + ∑ 𝜋𝑗 𝑘𝑖−𝑗+1 ) 𝑧 𝑖 𝑖=0. (3.33). 𝑖=0. 45. 𝑗=1.

(56) ∞. ∞ 𝑖+1 𝑖. = ∑ 𝜋0 𝑘𝑖 𝑧 + ∑ ∑ 𝜋𝑗 𝑘𝑖−𝑗+1 𝑧 𝑖 𝑖=0. 𝑖=0 𝑗=1 ∞. ∞ 𝑖+1. = 𝜋0 ∑ 𝑘𝑖 𝑧 𝑖 + ∑ ∑ 𝜋𝑗 𝑘𝑖−𝑗+1 𝑧 𝑖 𝑖=0. 𝑗=1 𝑗=1 ∞. ∞. = 𝜋0 𝐾(𝑧) + ∑ ∑ 𝜋𝑗 𝑘𝑖−𝑗+1 𝑧 𝑖 𝑗=1 𝑖=𝑗−1 ∞. ∞. = 𝜋0 𝐾(𝑧) + ∑ 𝜋𝑗 ∑ 𝑘𝑖 ′ 𝑧 𝑖. ′ +𝑗−1. 𝑖 ′ =0. 𝑗=1 ∞. ∞. = 𝜋0 𝐾 (𝑧) + ∑ 𝜋𝑗 𝑧 𝑗−1 ∑ 𝑘𝑖 ′ 𝑧 𝑖. ′. 𝑖 ′ =0. 𝑗=1 ∞. 1 = 𝜋0 𝐾(𝑧) + ( ∑ 𝜋𝑗 𝑧 𝑗 ) 𝐾(𝑧) 𝑧 𝑗=1. = 𝜋0 𝐾(𝑧) + (. ∏(𝑧) 𝜋0 − ) 𝐾(𝑧), 𝑧 𝑧. (3.34). (3.34)經整理後，可得[13]： ∏(𝑧) =. 𝜋0 (1−𝑧)𝐾(𝑧) 𝐾(𝑧)−𝑧. (3.35). .. 使用∏(1) = 1與 L’Hopital’s 規則，並利用 K(1)=1 和K ′ (1) = λ(1/μ)，可得： (3.36). 𝜋0 = 1 − ρ. 於是[13]： ∏(𝑧) =. (1−𝜌)(1−𝑧)𝐾(𝑧) 𝐾(𝑧)−𝑧. ,. (3.37). 將𝐾(𝑧)的結果帶入∏(𝑧)可得： 𝑒 −𝜆𝜏𝐴 (1−𝑧)𝑝 1 − 𝑒 −𝜆𝜏𝐴 (1−𝑧) (1 − 𝑝) 𝑒 −𝜆𝜏𝐴 (1−𝑧)𝑝 −𝑧 1 − 𝑒 −𝜆𝜏𝐴 (1−𝑧) (1 − 𝑝). (1 − 𝜌)(1 − 𝑧) ∏(𝑧) =. (1 − 𝜌)(1 − 𝑧)𝑒 −𝜆𝜏𝐴 (1−𝑧)𝑝 = −𝜆𝜏 (1−𝑧) 𝑒 𝐴 𝑝 − 𝑧(1 − 𝑒 −𝜆𝜏𝐴 (1−𝑧)(1 − 𝑝)) 46. (3.38).

(57) 於是，根據(3.38)之結果，將∏(𝑧)對 z 依序微分，便可分別得到𝜋𝑖。換言之， 𝜋𝑖 =. 𝑖 𝑑 ∏(𝑧). 𝑑𝑧. 𝑖. (3.39). | 𝑧=0. 𝑑𝑛 f(x). 其中，. 𝑑𝑥 𝑛. 代表將f(x)對 x 做 n 次微分。然而，由於(3.38)之∏(𝑧)過於複雜，. MATLAB 僅可應付至𝑖 = 25左右。稍後我們將介紹另一種遞迴的方法，可以無限制地計算𝜋𝑖 。. 3.3.2. 等待時間機率分布上一節(3.39)中𝜋𝑖 之計算是將∏(𝑧) 對 z 依序微分，以獲得離開時間點的系統大小機率分布。然而，如前所述，由於∏(𝑧)微分過程過於複雜，因此 MATLAB 的計算，微分次數超過 24 次後就非常困難。所以，我們仍利用 π = πP，但並非是透過計算反矩陣來獲得π，過程詳述如後。首先，根據 (3.29)，寫出對應項次，可得： 𝜋0 𝑘0 + 𝜋1 𝑘0 = 𝜋0 , 𝜋0 𝑘1 + 𝜋1 𝑘1 + 𝜋2 𝑘0 = 𝜋1 ,. (3.40). 𝜋0 𝑘2 + 𝜋1 𝑘2 + 𝜋2 𝑘1 + 𝜋3 𝑘0 = 𝜋2 ⋮ 接著，將上面各個等式移項整理後： (1 − 𝑘0 )𝜋0 , 𝑘0 (1 − 𝑘1 )𝜋1 − 𝜋0 𝑘1 𝜋2 = , 𝑘0 (1 − 𝑘2 )𝜋2 − 𝑘2 (𝜋0 + 𝜋1 ) 𝜋3 = . 𝑘0 𝜋1 =. (3.41). ⋮ 可以發現𝜋1 為𝜋0 之關係式。𝜋2 則為𝜋1 與𝜋0 之關係式；然而，由於𝜋1 為𝜋0 之關係式，𝜋2 可以表示為𝜋0 之關係式。同理，𝜋3 亦可以表示為𝜋0 之關係式。 47.