在考慮衰減常數存在下，相位反轉Rat-Race分合波器之設計

國

立

交

通

大

學

電機學院 電信學程

碩

士

論

文

在考慮衰減常數存在下，

相位反轉 Rat-Race 分合波器之設計

Lossy Phase Inverter

Rat-Race Coupler Design

研 究 生：張世賢

指導教授：孟慶宗 教授

在考慮衰減常數存在下，

相位反轉 Rat-Race 分合波器之設計

Lossy Phase Inverter

Rat-Race Coupler Design

研 究 生：張世賢 Student：Shih Hsien Chang

指導教授：孟慶宗 Advisor：Dr. Chin Chun Meng

國 立 交 通 大 學

電機學院 電信學程

碩 士 論 文

A Thesis

Submitted to College of Electrical and Computer Engineering National Chiao Tung University

in partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of

Master of Science in

Communication Engineering Jan 2007

Hsinchu， Taiwan， Republic of China

在考慮衰減常數存在下，

相位反轉 Rat-Race 分合波器之設計

學生 : 張世賢 指導教授 : 孟慶宗

國 立 交 通 大 學

電 機 學 院 電 信 學 程 碩 士 班

摘 要

本篇論文主要是介紹phase inverter rat-race 分合波器在標準 Si 製程上的實現，

將衰減的因素考量進來，運用理論推導出此分合波器的 S 參數的公式，並且依據 此公式設計一個具有相同相位，相同功率輸出的分合波器，以及要達到輸入阻抗 匹配所需的條件。 由於Si substrate 沒有地的參考平面，所以我們將以 CPW，CPS 的方式來實 現傳輸線，另外被動元件的實現需要比較大的面積，因此要將它做進IC 內，需要 運用一些技巧來讓面積縮小，例如λ/ 4的長度可以以繞線方式 (spiral)或是利用

lump 元件來達成，而3 / 4λ 的相位反轉功能也可以利用 phase inverter 來取代。 利用推導出來的公式與實際實現的數據結果做進一步的分析比較並配合傳輸線的 電路分析模型而得出此分合波器在積體電路中有關衰減的相關參數如 R、L、G、C

Lossy Phase Inverter

Rat-Race Coupler Design

student : Shih Hsien Chang Advisor : Dr. Chin Chun Meng

Degree Program of Electrical and Computer Engineering

National Chiao Tung University

ABSTRACT

This paper realized a broadband transformer-type rat-race coupler using a

standard silicon process and analyzed this coupler under the loss condition.

In this coupler, CPW, CPS are used to implement the transmission line

since Si substrate doesn’t have backend ground plane. Also a phase inverter

is employed not only to extend the operation bandwidth but also to provide

balanced outputs for overcoming the magnitude imbalance resulting from a

lossy substrate. The operation frequency of this monolithic rat-race coupler

with the size of 1 mm

2

is extremely wide from 5 GHz to 23 GHz.

誌 謝

完成這本碩士論文時，有種「呼，終於結束了」的喜悅與滿足。直到完成 時，我才發現原來作論文不如想像中的容易。和工作比起來，研究學問需要更嚴 謹的思考與辨證。 首先，我想感謝孟慶宗老師在論文上的指導與建議，讓我成長許多，也感謝 郭仁財老師，張志揚老師，黃瑞彬老師，以及劉致為老師在百忙之餘能夠來參 加學生的口試，並且給予寶貴的建議 使我受益良多。 也非常感謝聖哲，在完成這論文的過程當中給予熱心的協助與解惑，讓這篇 論文能夠更順利地完成。 最後，我想感謝我的家人和支持我的朋友們。如果沒有你們的支持與鼓勵 ，也不會有今天寫致謝中的我。 張世賢 謹誌 民國九十六年

目 錄

中文提要………i 英文提要………ii 誌謝………iii 目錄………iv 圖目錄………vi 一. 緒論 ………1 1.1 研究動機………1 1.2 論文組織………1 二. 射頻積體電路製程技術介紹………2 2.1 前言………2 2.2 以GaAs 製程實現 90°分合波器 ………2 2.3 被動元件在矽製程上實現的方法………3 2.3.1 使用高電阻率的矽基體………3 2.3.2 利用質子佈植的方式提高矽基體某些區域的電阻率…………5 2.3.3 CMOS MEMS………5 2.3.3.1 以CMOS MEMS 製程技術實現電感製作………5

2.3.3.2 CMOS MEMS 電感運用於 VCO 電路上 ………6

2.3.4 絕緣層上覆矽(SOI)………6

2.3.5 使用 inter-connect metals 實現微帶線(Microstrip Line)…………7

三. 衰減性相位反轉rat-race 分合波器的 S 參數推導與設計 ………9 3.1 前言………9 3.2 具對稱結構之四埠分合波器的 S 參數矩陣通式………9 3.3 Rat-race 分合波器的發展介紹………13 3.3.1 傳統無衰減性rat-race 分合波器………13 3.3.2 無衰減性具相位反轉之rat-race 分合波器………19 3.4 衰減性相位反轉 rat-race 分合波器之 S 參數公式推導………23 3.4.1 衰減性傳輸線之電路分析 ………23 3.4.2 衰減性相位反轉之rat-race 分合波器的 S 參數………23 3.5 特殊範例 ………27

3.5.1 無衰減之 S 參數公式 ………27 3.5.2 相同長度，傳播常數與特性阻抗的環臂(ring)………28 3.5.2.1 環臂長為λ/ 4時的輸入阻抗匹配條件 ………29 四. 實驗結果 ………31 4.1 實驗參數粹 ………31 4.2 應用於Gilber mixer 上的可行性 ………32 五. 結論 ………34 參考文獻 ………35 附錄一. Hyperbolic Function………37 自傳 ………40

圖 目 錄

圖一.(a)2-section 集成式 90°分合波器電路圖.(b)在 GaAs 積體上的實現圖(c) 90°分合波器之實驗數據(輸出相位差)………2 圖二.(a)集成式 90°分合波器電路圖.(b)90°分合波器實現圖. (c)90°分合波器的輸相位差(d) 90°分合波器的 S 參數………3 圖三.(a) 90°分合波器示意圖與各埠定義.(b)正規化電容耦合電路原型 (c)在(b)中加入電感耦合之電路原型………4 圖四.(a)90°分合波器在高阻抗矽基體的實現圖. (b)實驗數據-S 參數與輸出相位差………4 圖五.2-pole CPW 濾波器………5 圖六.2-pole CPW 濾波器實驗數據(a)加入質子佈植製程. (b)無質子佈植製程………5

圖七.(a)CMOS MEMS 製作解說圖.(b)CMOS 積體上的 電感電路實現(c)實驗數據………6

圖八.VCO 電路實現圖(a)正面圖.(b)反面………6

圖九.CMOS MEMS 電感運用於 VCO 電路上後的實驗結果………6

圖十.SOI CMOS 技術的剖示圖………7 圖十一.以SOI 技術製作之 STP inductor 實現圖………7 圖十二.(a)STP inductor 資料.(b)量測與模型數據圖 ………7 圖十三.在標準矽製程上實現微帶線(Microstrip Line)………8 圖十四.(a)微帶線 layout 與剖面圖.(b)模擬結果………8 圖十五.具對稱結構之四埠分合波器之示意圖………9 圖十六.分合波器之偶模示意圖………10 圖十七

.

分合波器之奇模示意圖 ………10 圖十八.無衰減rat-race 分合波器 ………13 圖十九.(a)port1，port4 為入射波之進入埠.(b)port2，port3 為入射波之進入埠(c)A-A 平面為開路(d)even mode 等效電路…………14

圖二十.(a)port1，port4 為入射波之進入埠，(b)port2，port3 為入射波之進入埠(c)A-A 平面為短路(d)odd mode 等效路 ………15

圖二十一、任意環臂長無衰減rat-race 分合波器………16

圖二十二.任意環臂長度的Even mode 等效電路………16

圖二十三.任意環臂長度的odd mode 等效電路 ………16

圖二十五.無衰減性具相位反轉之分合波器………19 圖二十六.無衰減性具相位反轉之分合波器之even mode 等效電路…………20 圖二十七.無衰減性具相位反轉之分合波器之odd mode 等效電路 …………21 圖二十八.衰減性傳輸線之電路分析模型………23 圖二十九.衰減性相位反轉之rat-race 分合波器 ………24 圖三十.衰減性相位反轉分合波器之偶模等效電路………25 圖三十一.衰減性相位反轉分合波器之奇模等效電路………25 圖三十二. ˆz 與λα 的關係圖 ………29 圖三十三.衰減性相位反轉rat-race 分合波器實作圖 ………31 圖三十四.S 參數與頻率關係圖………31 圖三十五.相位反轉與頻率之關係圖………31 圖三十六.α、β、Z 與頻率關係圖………32

一、 緒 論

1.1 研究動機

隨著通訊產業蓬勃發展，使得人們對於通訊產品的需求量大增，也因此促成通 訊技術的日新月異.由於個人無線通訊如Wireless LAN，Bluetooth，3G 具備可移動 性以及方便性，所以相關的產業也是大受歡迎，各種手持式裝置搭配無線通訊的 功能，促使通訊元件也朝向小型化，而為了成本與整合的考量，未來會趨向單一 晶片(SOC)來實現。 在過去，由於半導體技術的限制，阻礙了單晶射頻積體電路(RFIC)的發展，間 接地也阻礙了個人移動通訊的普及，時至今日，許多先進的半導體技術不斷地克 服技術上的障礙，不但對單晶射頻積體電路的發展有重大的貢獻，也讓大部分屬 於個人移動通訊的裝備達到輕、薄、短、小的商業要求。然而由於單晶射頻積體 電路的高頻特性，往往必須選用特殊的半導體製程，才能達到設計的要求，不過 在市場與價格的競爭下，將單晶射頻積體電路實現在標準 CMOS 的製程上已經是一 種趨勢，一來是讓單一晶片的實現成為可能，二來則是採用較受歡迎的製程有助 於價格的降低，增加市場競爭力。 然而，由於 CMOS 的製程，材料是以 Si 為基礎，具較低電阻率，加上 Si 製程 沒有地平面，射頻傳輸線無法以微帶線實現，會對高頻訊號造成無法忽略的衰減 和影響，使得實驗出來的結果和理想的數據間有明顯的差距，於是將衰減的變數 放入設計的考慮會是目前研究的重點。

1.2 論文組織

本論文內容分為五章，第一章為導論，說明研究動機與論文結構。第二章介 紹射頻被動元件的製程技術(例如砷化鍺或是其它非標準矽製程)以及其優缺點。第 三章首先會先介紹rat-race 分合波器的歷史發展，在此之前，過去對於分合波器的 研究都是假設為無衰減性，而如今我們將要把衰減因素考量進來，再進一步推導 出具有相位反轉(phase inverter)的 rat-race coupler 的 S 參數矩陣. 並且設計一個具

有相等功率和相位輸出並且達到輸入阻抗匹配rat-race coupler。第四章利用第二章

所推導出來結果來與實驗數據比對，進而粹取出晶片內部的 R，G，L，C 求得衰

二. 射頻被動元件製程技術介紹

2.1 前言

將射頻電路實現在積體電路內是產業的趨勢，由於矽製程的高頻特性不易掌 握，而且基板(substrate)為耗損性(Lossy)材料，所以射頻積體電路(RF IC)的製作往 往需要利用特殊的製程，例如 SiGe， GaAs，此類製程具有良好的高頻特性；但 是相對於邏輯電路的標準矽製程的大量應用，這類製程的成本也相對高出許多， 加上將來單晶片的整合趨勢，出現了一些將射頻積體電路實現在矽製程上的研 究，本章的重點就是在介紹將射頻被動元件實現在矽基體上的方法。

2.2 以 GaAs 製程實現 90°分合波器

圖一與圖二為兩個在GaAs 製程上實現 90°分合波器的研究[1]，[2]，由於 GaAs 具有良好的高頻特性，所以適合用於高頻電路的製作，但是由於被動元件(電感) 需要用掉大部分的面積，所以我們以繞線(spiral)的方式縮小面積來實現電感. (a) (b) (c) 圖一.(a)2-section 集成式 90°分合波器電路圖.(b)在 GaAs 積體上的實現圖 (c) 90°分合波器之實驗數據(輸出相位差)

(a) (b) (c) (d) 圖二.(a)集成式 90°分合波器電路圖.(b)90°分合波器實現圖.(c)90°分合波器的輸 出相位差(d) 90°分合波器的 S 參數

圖一、圖二的實驗數據顯示在GaAs 製程上所實現的 90°分合波器在 ISM band

上有良好的表現(輸出相位差接近 90°)。但是由於 GaAs 是特殊半導體製程，所以 成本較高，也不利於與其他系統晶片的整合，所以會希望將射頻積體電路以矽製 程來製作。

2.3 被動元件在矽製程上實現的方法

由於矽製程沒有像 GaAs 製程擁有 backside 地參考平面，無法用微帶線來實 現傳輸線，所以會以 CPW， CPS 方式實現傳輸線，然而矽製程的耗損特性卻是 需要去克服的困難，目前所使用來克服這樣的困難的方法，包括：利用高阻抗的 基體，質子佈植方式，CMOS MEMS 與 SOI (substrate on insulator) 目的都是在於 提高矽基體的阻抗，減少耗損。以下就是一些例子：

2.3.1 使用高電阻率的矽基體

使用高阻抗的矽基體(Si substrate)實現 90°分合波器[3]，如圖三，亦能使操作

頻率提高，但是由於高阻抗的矽基體其電阻率大致在(1 KΩ-cm)左右，較 GaAS 小 (10 MΩ –cm)，所以表現比 GaAs 的製程差，而且可操作頻率亦相對較低，如圖四

的數據顯示。而且高電阻率的基體也易造成主動元件的latch-up 現象。 圖三 (a) 90°分合波器示意圖與各埠定義.(b)正規化電容耦合電路原型 (c)在(b)中加入電感耦合之電路原型 (a) (b) 圖四.(a) 90°分合波器在高阻抗矽基體的實現圖. (b)實驗數據-S 參數與輸出相位差

2.3.2 利用質子佈植的方式提高矽基體某些區域的電阻率

在製造過程中，以高能量將質子佈植於矽基體上破壞矽的晶格的方式亦可提 高矽基體的部份區域的電阻率(resistivity)，作為射頻電路使用[4]，如圖五，為一個 以質子佈植(ion implantation)實現的 2-pole CPW 濾波器實現圖，從圖六(a)，(b)的 實驗數據比較得知，使用質子佈植的製程的確可以得到一個 CPW 的 2-pole 濾波 器。但是目前此類的製程僅止於實驗階段，在工業上的應用上並不可行。 圖五.2-pole CPW 濾波器 圖六.2-pole CPW 濾波器實驗數據(a)加入質子佈植製程.(b)無質子佈植製程 2.3.3 CMOS MEM 2.3.3.1 以 CMOS MEMS 製程技術實現電感製作 利用後段製程技術，在電路完成後，將被動元件下方的矽基體挖空，來

提高此區域的電阻率，減少耗損，此為MEMS 技術，圖七為使用 CMOS MEMS 後製

程來實現的電感[5]，從數據上可以看出電感有好的 Q 值。

(c)

圖七.(a)CMOS MEMS 製作解說圖.(b)CMOS 積體上的電感電路實現 (c)實驗數據

2.3.3.2 CMOS MEMS 電感運用於 VCO 電路上

圖八將以CMOS MEMS 後製程製作的電感運用於 VCO 的電路上面[6]。

(a) 為正面圖，而(b)為反面圖，在(b)中有三處基體被挖空處為電感所在置。 CMOS MEMS 的方式可以運用於矽製程上，但是需要多一道 MEMS 的製程，成本 也較

標準矽製程來的高。

圖八.VCO 電路實現圖(a)正面圖.(b)反面

2.3.4 絕緣層上覆矽(SOI) 圖十為 SOI CMOS 的技術解說圖，它是在製造過程中，會在電晶體週圍做出 氧化矽絕緣溝道，讓電晶體與週圍的結構完全隔離，這個介電隔離層會減少晶片 整體的雜散分佈電容，同時改善剩餘電容的線性特性。因此矽晶絕緣體技術可以 降低晶片內部雜訊所造成的失真，減少頻率更高時的電流損耗，同時增加電晶體 的響應速度。

圖十一與圖十二為以 SOI 製程製作的STP(Single-tune， multiple metal levels in Parallel)電感的實現圖與量測數據[7]。但是 SOI 的技術來自於 IBM，並不是每 個晶圓廠都有提供，而且價格也較昂貴;在電子產品商業化，價格便宜的要求上， SOI 製程無疑會對降低成本的要求產生障礙以及整合上的困難。

圖十.SOI CMOS 技術的剖示圖

圖十一.以SOI 技術製作之 STP inductor 實現圖

圖十二.(a)STP inductor 資料.(b)量測與模型數據圖 2.3.5 使用 inter-connect metals 實現微帶線(Microstrip Line)

backside 的地參考平面，所以如果要在以微帶線方式實現傳輸線時，可以利用相鄰 金屬層，以其中一層來當地平面，就可以做出微帶線， 如圖十三[8]，但是因為低 介電常數的關係會使微帶線的需要的面積較大，而且寬度過細會造成衰減過大， 此技術並不可行於標準矽製程上。 圖十三.在標準矽製程上實現微帶線(Microstrip Line) 圖十四. (a) 微帶線 layout 與剖面圖.(b)模擬結果

三、衰減性相位反轉 rat-race 分合波器的

S 參數推導與設計

3.1 前言

近年來，由於無線通訊的普及，使得無線通訊系統的需求大量成長，對於單晶 微波積體電路(MMIC)與射頻積體電路(RFIC)的通訊元件需求量也持續的增加。 而 技術的發展也讓被動元件可以實現在射頻積體電路內。

功率分波器(Power divider)與方向耦合器(Directional coupler)為電路中極重要 的零組件。其中常見的 180 度的分合波器rat-race coupler 或是 Marchand balun 可以 產生相同相位與相同功率，在single-to-differential 的電路需求上是一種良好的選 擇。 在本章節中我們將以rat-race coupler 來做討論，並且實現在積體電路上。另外 若希望被動電路做在 IC 上，所佔據的面積將會非常大，所以利用phase inverter 來 微小化分合波器的面積，然而在silicon 製程上，由於衰減已是不可忽略，所以加 入衰減常數的運算亦是此章節的重點。

3.2 具對稱結構之四埠分合波器的 S 參數矩陣通式

本章節將先求出具有對稱結構的四埠分合波器的 S 參數矩陣與其在 Even/Odd mode 底下 S 參數矩陣之間的關係式。 圖十五為一個具有對稱結構之四埠被動分合波器， 1 2 3 4

a a a a

, , ,

為 port 1， port 2，port 3，port4 的輸入電壓，b b b b_{1 2 3 4}, , , 為port 1，port2，port 3，port4 的輸

出電壓.而根據S 參數的定義，S 為在輸出埠的輸出波電壓與輸入埠的入射波電壓 的比，亦即 = j ji i b S a 2

a

2

b

a

1

b

1 4

a

4

b

3

b

3

a

圖十五.具對稱結構之四埠分合波器之示意圖

4e

b

4e

a

1e

a

1e

b

2e

a

2e

b

3e

a

3e

b

a

3o 3o

b

1o

a

1o

b

2o

b

2o

a

4o

a

4o

b

圖十六. 分合波器之偶模示意圖 圖十七. 分合波器之奇模示意圖 在even mode 時，我們同時在

a

_1e與

a

_2e或

a

_3e與

a

_4e各輸入1V 電壓， 1 , 2 , 3 , 4 ,e e e e b b b b 為在各埠的輸出電壓，則有下列兩種結果: 1 2 3 4 1 2 11 1 22 2 1 2 1 2 11 22 4 3 41 4 32 3 1 2 4 3 41 32 , ; , , ; , 1, 0;

(e-1)

e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e

b

b

a

a

b

b

a

a

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a

a

S

b S

b

b

b S

S

S

b S

b

b

b S

S

= = = = = = = = = = = = = = = =

1 2 3 4 4 3 44 4 33 3 4 3 3 4 33 44 1 2 14 1 23 2 4 3 1 2 14 23 0, 1; , ; , , ; ,

(e-2)

e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e

a

a

a

a

b

b

S

b S

b

a

a

b

b S

S

b

b

S

b S

b

a

a

b

b S

S

= = = = = = = = = = = = = = = = 在odd mode 時，我們同時在

_a

_1o與

_a

_2o，或

_a

_3o與

_a

_4o分別輸入1V 與-1V 電壓， 1 , 2 , 3 , 4 ,e e e e b b b b 為在各埠的輸出電壓，則可得到在odd mode 底下相關的 S 參數， 有 以下兩種結果: 1 2 3 4 1 2 11 1 22 2 1 2 1 2 11 22 4 3 41 4 32 3 1 2 4 3 41 32 , ; , , ; , 1, 1, 0;

(o-1)

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

b

b

a

a

b

b

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a

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b S

b

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b S

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−

1 2 4 3 4 3 44 4 33 3 4 3 4 3 33 44 1 2 14 1 23 2 4 3 1 2 14 23 , ; , , ; , 0, 1, 1;

(o-2)

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

b

b

a

a

b

b

a

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b S

b

b

b S

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S

b S

b

b

b S

S

= = = = − = − = − = = = = = − = − = = = = −

−

接著利用重疊原理.將even mode 的(e-1)，(e-2)和 odd mode 的(o-1)，(o-2)的結果相 加減，目的是讓四個埠中，只有一個埠有入射波，而其他埠沒有入射波，只有輸 出，因此可以得到以下四種情況: 當第一埠為輸入埠 2; 0; 1 2 3 4 ; 1 1 1 11 11 ; 2 2 22 22 2 11 11 ; 3 3 32 32 3 ₄₁ 41 ; 4 4 4 ₄₁ 41 11 11 1 _, 11 ₂ 1 11 11 2 21 ₂ 1 3 41 41 31 ₂ 1 4 41 1 (e-1) + (o-1) e o e o e o e o _e o e o e o e o e o e o e o e o e o

a

a

a

a

S

b

b

b

S

S

b

b

b

S

S

S

S

b

b

b

S

S

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S

b

b

b

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S

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a

S

S

b

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a

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S

S

S

a

b

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a

= = = = = + = − = − = + + = = − = = − = = = =

+ =

−

=

+

=

− =

+

=

+

=

41 41 2 e o

S

+

S

當第二埠為輸入埠 2; 0; 2 1 2 4 ; 1 1 1 11 11 ; 2 2 22 22 2 11 11 ; 3 3 32 32 3 ₄₁ 4 4 4 4 41 41 11 11 1 12 ₂ 2 11 11 2 22 ₂ 2 3 41 41 32 ₂ 2 41 4 42 2

(e-1) -(o-1)

e o e o e o e o _e o e o e o e o e o e o e o e o e o e

a

a

a

a

b b

b

S

S

S

b

b

b

S

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b

b

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a

S

S

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S

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S

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a

= = = = = − = − = + = + = − − = = + = = + = = = =

+

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−

=

+

=

−

=

−

=

41 2 o

S

−

當第三埠為輸入埠 3 1 2 4 1 ₁₄ 14 2 ₁₄ 14 3 44 44 4 ₄₄ 44 14 14 1 13 3 14 14 2 23 3 3 44 44 33 3 4 4 43 3 2; 0; ; 1 1 ; 2 2 23 23 ; 3 3 33 33 4 4 2 2 , 2

(e-2) - (o-2)

o e o e o e o e e o e o e o e o e o e o e o e o e o

a

a a a

S

b

b

b

S

S

b

b

b

S

S

S

S

b

b

b

S

S

S

S

b

b

b

S

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S

b

S

a

S

S

b

S

a

b

S

S

S

a

b

S

a

= = = = = − = + = + = − − = = + = = + = = = =

− =

+ =

−

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+ =

−

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4 44 _; 2 e o

S

−

S

當第四埠為輸入埠 2; 0; 4 1 2 3 ; 1 1 1 14 14 ; 2 2 2 23 23 14 14 ; 3 3 33 33 3 ₄₄ 44 4 4 4 ₄₄ 44 14 14 1 _, 14 ₂ 4 14 14 2 _, 24 ₂ 4 3 44 _{44 ,} 34 ₂ 4 4 44 4

(e-2) + (o-2)

e o _e o e o e o e o e o e o _e o e o e o e o e o e o

a

a a

a

S

b

b

b

S

b b

b

S

S

S

S

S

b

b

b

S

S

S

S

b

b

b

S

S

S

b

S

a

S

S

b

S

a

b

S

S

S

a

b

S

a

= = = = = + = − = + = − = − = + + = = − = = − = = =

+ =

− =

+

=

+ =

44 _{44 ;} 2 e o

S

+

S

= 最後我們可以得到對於任何對稱結構的四埠被動分合波器的[S]參數矩陣與其在 even mode 和 odd mode 下的 S 參數矩陣之間的關係式:

[ ]

11 11 11 11 14 14 14 14 11 11 11 11 14 14 14 14 41 41 41 41 44 44 44 44 41 41 41 41 44 44 44 44

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

e o e o e o e o e o e o e o e o e o e o e o e o e o e o e o e o

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

+

−

−

+

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

₋

₊

₊

₋

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

=⎢

₋

₊

₊

₋

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

+

−

−

+

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

(3.1)

3.3 Rat-race 分合波器發展介紹

一般的rat-race coupler 在沒有考量衰減的情況下，有幾點特性:(1)當相鄰環臂 (ring arm)終端接到負載時，輸入阻抗與環臂的特性阻抗匹配，(2)兩輸出臂是互相 隔絕的，(3)決定輸入埠，輸出訊號可以相差 0°或 180°，(4)變化環臂阻抗可以有效 決定輸出功率的比值。

傳統的rat race coupler 由於所需要的面積較大，在設計 RFIC 時，需要一些縮 小面積的技巧，相位反轉(phase inverter)亦是其中常用到的技巧之一，又由於在 silicon 製程下，傳輸線的衰減無法忽略，因此我們加入衰減常數，也就是說傳播 常數γ 為複數，不再為之前一般運算上假設為理想傳輸線的純虛數，來推導 S 參數。 3.3.1 傳統無衰減性 rat-race 分合波器

圖十八為無衰減的rat-race 分合波器，YO為終端阻抗，而Y Y 為兩環臂的特 a, b 性電抗(characteristic admittance)[9]。 3 4 o λ 4 o λ 4 o λ 4 o λ Yb Ya Y =1_o Y =1_o Y =1_o Y =1_o Yb Ya 圖十八. 1 4 波長無衰減rat-race 分合波器

將此結構依對稱分成even mode 與 odd mode 來運算 Even mode:

Yb Ya 2e=1 a a1e=1 1e=1 b 2e=1 b 3e b b_4e Yb Ya Yb Ya 4e=1 a 3e=1 a 1e=1 b 2e=1 b 3e b b4e Yb Ya (a) (b) Yb Ya Yo Yo 4 o λ 8 o λ 3 8 o λ Yb , 4 o Ya λ -_{jYb jYb} (c) (d)

圖十九.(a)port1， port2 為入射波之輸入埠，(b)port3， port4 為入射波之輸入埠 (c)A-A 平面為開路(d)even mode 等效電路

由圖十九之(d)我們可以得到 even mode 下的 ABCD 矩陣，

2 1 ( ) b a a b b e a a a Y j Y Y A B C D Y Y j Y Y Y − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ _{⎢ ⎥} = ⎢ ⎥ _{⎢ ⎥} ⎣ ⎦ ₊ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

[ ]

b a e a b Y Y Y j Y Y − ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 並且將其轉換成even mode 的 S 參數矩陣

[ ]

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 b a b a b a b a e a b a b b a b a Y Y j Y j Y Y Y Y Y S j Y Y Y j Y Y Y Y Y ⎡ − − + − ⎤ ⎢ _{+ + + +} ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ _{− − − −} ⎥ ⎢ ⎥ + + + + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (3.2)

Odd mode:

Yb Ya 2o=1 a a1o=-1 1o b 2o b 3o b _b4o Yb Ya 4o=-1 a 3o=1 a 1o b 2o b 3o b b4o Yb Ya Yb Ya (a) (b) Yb Yo Yo 4 o λ 8 o λ 3 8 o λ Ya Yb

, 4 o Y a λ jYb −_jYb (c) (d)

圖二十.(a)port1， port2 為入射波之進入埠，(b)port3， port4 為入射波之進入埠 (c)A-A 平面為短路(d)odd mode 等效電路

由圖二十之(d)，我們可以得到 odd mode 下的 ABCD 矩陣

2 1 ( ) b a a b b o a a a Y j Y Y A B C D Y Y j Y Y Y ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ _{⎢ ⎥} = ⎢ ⎥ _{⎢ − ⎥} ⎣ ⎦ ₊ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

[ ]

b a o a b Y Y Y j Y Y ⎡ ⎤ = ⎢ ₋ ⎥ ⎣ ⎦

[ ]

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 b a b a b a b a o a b a b b a b a Y Y j Y j Y Y Y Y Y S j Y Y Y j Y Y Y Y Y ⎡ − − − − ⎤ ⎢ _{+ + + +} ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ _{− − − +} ⎥ ⎢ ⎥ + + + + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (3.3) 從(3.1)式,當第一埠為輸入埠時，則 11 21 31 41 2 2 1 _{2 2} ; ; 0; 2 2 2 2 2 2 1 1 1 Y Y_{a j Y j Y} b b a S S S S Y Y_a Y Y_a Y Y_a b b b − − ₋ = = = = + + + + + + 第三埠為隔離埠，S₃₁=0。 若當第四埠為輸入埠時，

14 24 34 44 2 2 1 2 2 ; 0; ; 2 2 2 2 2 2 1 1 1 Y Y j Y_a j Y_{b b} a S S S S Y Y_a Y Y_a Y Y_a b b b − − − − = = = = + + + + + + 第二埠為隔離埠，如果Y_a2 Y2 1 b + = ，可以得到完美輸入阻抗匹配。 以上結果為我們將環臂長設定在λ/ 4時，所得到的答案，接下來，我們將環臂長為 / 4 λ 的條件擴展為任意長度，而各環臂角長度如圖二十一為,θ_{1 4}− =θ_{2 3}− =θa， 3 4 b θ ₋ = ，θ θ_{1 2}− =3θ_b,此時終端阻抗依然為1

θb

Yb Ya Y =1_o Y =1_o Y =1_o Y =1_o

a

θ

θ 3 _b Yb Ya a

θ

圖二十一、任意環臂長無衰減rat-race 分合波器

將此結構依對稱分成even mode 與 odd mode.如圖二十二與圖二十三，被分割的兩

臂，長度分別為θb 2與3θb 2，

,

Ya a

θ

3

tan

2

jYb

θ

b

jYb

tan

1

₂

θ

b

圖二十二. 任意環臂長度的 Even mode 等效電路

,

Ya a

θ

3

cot

2

jYb

θ

b

−

cot

1

2

jYb

θ

b

−

圖二十三. 任意環臂長度的 odd mode 等效電路

將even mode 與 odd mode 的 ABCD 矩陣轉換成⎡ ⎤_{⎣ ⎦}Y .得到結果如下:

(

)

(

)

(

)

(

)

3 11 2 1 44 2 14 41 3 11 2 1 44 2 14 41 tan cot tan cot csc cot cot cot cot csc O e b b a a e b b a a e e a a o b b a a o b b a a o a a Y j Y Y Y j Y Y Y Y jY Y j Y Y Y j Y Y Y Y jY θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ = − = − = = = − + = − + = = 再將再將⎡ ⎤_{⎣ ⎦}Y 轉換成⎡ ⎤_{⎣ ⎦}S ， 可以得到S 參數矩陣 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 1 3 1 1 3 2 2 2 2 2 2 11 2 2 3 1 3 1 3 1 2 2 2 2 2 2

1 tan tan cot tan tan tan tan

1 tan tan cot tan tan tan tan 2 cot

a b b b a b a b b b b b e a b b b a b a b b b b b a a Y Y Y Y jY S Y Y Y Y j Y Y θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ − + − + + − = ⎡ ⎤ + − + + + _⎣ + − _⎦ (3.4)

( ) ( ) 14 41 2 2 3 1 3 1 3 1 1 2 2 2 2 2 2 2 csc

1 tan tan cot tan tan tan tan 2 cot

e a a e a b b b a b a b b b b a a j Y S S Y Y Y Y j Y Y θ θ θ θ θ θ θ θ θ − = = ⎡ ⎤ + − + + + _⎣ + − _⎦ (3.5) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 1 3 1 3 1 2 2 2 2 2 2 44 2 2 3 1 3 1 3 1 2 2 2 2 2 2

1 tan tan cot 2 tan tan tan tan

1 tan tan cot tan tan tan tan 2 cot

a b b b a b a b b b b b e a b b b a b a b b b b b a a Y Y Y Y jY S Y Y Y Y j Y Y θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ − + − + + − = ⎡ ⎤ + − + + + _⎣ + − _⎦ (3.6) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 1 3 1 1 3 2 2 2 2 2 2 11 2 2 3 1 3 1 3 1 2 2 2 2 2 2

1 cot cot cot cot cot cot cot

1 cot cot cot cot cot cot cot 2 cot

a b b b a b a b b b b b o a b b b a b a b b b b b a a Y Y Y Y jY S Y Y b Y Y j Y Y θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ − + + + − − = ⎡ ⎤ + − − + − _⎣ + + _⎦ (3.7) ( ) ( ) 14 41 2 2 3 1 3 1 3 1 2 2 2 2 2 2 2 csc

1 cot cot cot cot cot cot cot 2 cot

a a o o a b b b a b a b b b b b a a j Y S S Y Y b Y Y j Y Y θ θ θ θ θ θ θ θ θ − = = ⎡ ⎤ + − − + − _⎣ + + _⎦(3.8) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 1 3 1 3 1 2 2 2 2 2 2 44 2 2 3 1 3 1 3 1 2 2 2 2 2 2

1 cot cot cot cot cot cot cot

1 cot cot cot cot cot cot cot 2 cot

a b b b a b a b b b b b o a b b b a b a b b b b b a a Y Y Y Y jY S Y Y b Y Y j Y Y θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ − + + + − − = ⎡ ⎤ + − − + − _⎣ + + _⎦(3.9) 從(3.1)式當第一埠為輸入埠時 11 11 11 11 11 21 14 14 31 14 14 41 ; 2 ; 2 ; 2 2 e o e o e o e o S S S S S S S S S S S S + = − = − = + = 當第三埠為輸入埠時 14 14 13 14 14 23 44 44 33 44 44 43 ; 2 ; 2 ; 2 2 e o e o e o e o S S S S S S S S S S S S − = + = + = − = 如果我們將_{rat-race 分合波器的長邊 3 b}θ _{改為 b}θ + ，終端阻抗為π Z 時，如圖二十₀ 四

Yb Ya Yo b θ +π b θ

a

θ

Yo Yo _Yo Yb

a

θ

Ya 圖二十四、長環臂長為θb+π 之rat race 分合波器 接著將其代入(3.4)~(3.9)，可以得到:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 11 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 14 41 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2

1 cot tan cot tan cot

1 cot tan cot tan cot 2 cot

2 csc

1 cot tan cot tan cot 2

e a b a b a b b b b b e a b a b a b b b b b a a a a e a b a b a b b b b b Y Y Y Y jY S Y Y Y Y j Y Y j Y S S Y Y Y Y j Y Y θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ − − − − + + = ⎡ ⎤ + + + − + _⎣ − − _⎦ − = = + + + − + − −

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 44 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 cot

1 cot tan cot tan cot

1 cot tan cot tan cot 2 cot

a a a b a b a b b b b b e a b a b a b b b b b a a Y Y Y Y jY S Y Y Y Y j Y Y θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ − − − − − + = ⎡ ⎤ + + + − + _⎣ − − _⎦

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 11 2 2 _{1 1 1 1} 2 2 2 2 14 41 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2

1 cot tan cot tan cot

1 cot tan cot tan cot 2 cot

2 csc

1 cot tan cot tan cot 2

a b a b a b b b b b o a b a b a b b b b b a a a a o o a b a b a b b b b b Y Y Y Y jY S Y Y Y Y j Y Y j Y S S Y Y Y Y j Y Y θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ − − − − − + = ⎡ ⎤ + + + − + _⎣ − − _⎦ − = = + + + − + − −

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 44 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 cot

1 cot tan cot tan cot

1 cot tan cot tan cot 2 cot

a a a b a b a b b b b b o a b a b a b b b b b a a Y Y Y Y jY S Y Y Y Y j Y Y θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ − − − − + + = ⎡ ⎤ + + + − + _⎣ − − _⎦ 而S 參數之關係式如下： 11 11 11 11 11 21 14 14 31 14 14 41 ; 2 ; 2 ; 2 2 e o e o e o e o S S S S S S S S S S S S + = − = − = + = 14 14 13 14 14 23 44 44 33 44 44 43 ; 2 ; 2 ; 2 2 e o e o e o e o S S S S S S S S S S S S − = + = + = − = 所以 ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 11 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 0 0 0

1 cot tan cot

1 cot tan cot tan cot 2 cot 2

sin ( ) cos [tan( ) cot( )]

2 2

2cos ( cos sin )[tan( ) co 2 b a a b b b b a b a b a b b b b b a a b b a a a a b b a b a b a a a Y Y Y Y S Y Y Y Y j Y Y j Z Y Y Z Z Z Y jZ Y jY Z jZ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ − − − − = ⎡ ⎤ + + + − + _⎣ − − _⎦ − − − − = + + − 2 0 0 0 t( )] sin ( ) 2 b a a a a b j Y Z Z Y Z Z Y θ _{+ θ + +} (3.10)

(

)

(

)

31 41 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 2 csc

1 cot tan cot tan cot 2 cot 2

2cos ( cos sin )[tan( ) cot( )] sin ( )

2 2 a a a b a b a b b b b b a a b b a b a a a a a a a b S j Y S Y Y Y Y j Y Y jY Z jZ j Y Z Z Y Z Z Y θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ = − = ⎡ ⎤ + + + − + _⎣ − − _⎦ = + + − + + + (3.11)

(

)

(

)

(

)

1 1 2 2 21 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 0 0 0 0 34 tan cot

1 cot tan cot tan cot 2 cot

sin [tan( ) cot( )]

2 2

2cos ( cos sin )[tan( ) cot( )] sin ( )

2 2 b b b a b a b a b b b b b a a b b a b a b b a b a a a a a a a b jY S Y Y Y Y j Y Y Z Y jY Z jZ j Y Z Z Y Z Z Y S θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ + = ⎡ ⎤ + + + − + _⎣ − − _⎦ − + = + + − + + + = − (3.12) 由以上結果可以得知，當此分合波器環臂長邊長度改為 bθ + 時，無論頻率與θ 為π 何，當第一埠為輸入埠時，第二埠為隔離埠，此時長度不需要限制在四分之一波 長，這樣的結果暗示著如果將rat race 分合波器的長邊縮成和對邊短邊一樣長，然 後再加上一個180°的相位反轉，則不僅可以縮小 rat-race 分合波器的大小，並且也 讓頻寬更寬。 3.3.2 無衰減性具相位反轉之 rat-race 分合波器

由於傳統式的180° rat-race 分合波器需要3 / 4λ 的長度，並且操作頻寬較 窄，所以將180°相位反轉的功能以 phase inverter 方式實現[10]，如圖二十五，為 一無衰減之相位反轉rat-race 分合波器.其中終端阻抗為yo，兩環臂特性阻抗各為 1, 2

y y ，角長度各為θ θ₁, ₂. 如同前節方式，將其依對稱結構分為 even mode 以及 odd

mode， 圖二十六，圖二十七為其等效電路 180o 0

y

0

y

0

y

0

y

,

b b

y

θ

y

b

,

₂

b

θ

,

a a

y

θ

,

a a

y

θ

,

2

b b

y

θ

圖二十五.無衰減性具相位反轉之分合波器

θ = 1 tan 2 b b b y j

,

a a

y

θ

θ = − 2 tan 2 b b y b j 圖二十六.無衰減性具相位反轉之分合波器之even mode 等效電路

圖二十六為even mode 的等效電路，我們先求出此 even mode 的 ABCD 矩陣

1

2

2 1 2 1

1

cos sin sin

1

cos sin sin cos sin cos

a a a a a a a a a a a a a a b j j Y Y A B C D _e b b jY b b j b j Y Y θ θ θ θ θ θ θ θ θ ⎡ ₊ ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ _{⎢ ⎥} = ⎢ ⎥ _{⎢ ⎥} ⎣ ⎦ _{+ + +} ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (3.13)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

0 0 11 0 0 2 2 0 1 2 1 2 0 0 1 2 2 2 0 2 1 1 2 0 0 1 2

cos sin sin

2cos cos sin sin

e a a a a a a a a a a a a a B A CZ D Z S B A CZ D Z Z b b jZ b b jZ Z Y Y b b Z b b jZ b b jZ Z Y Y b b θ θ θ θ θ θ θ + − − = + + + − + + − + − − = + + + + + +

(

)

(

)

(

)

14 41 0 0 2 2 0 2 1 1 2 0 0 1 2 2 2

2cos cos sin sin

e e a a a a a a a S S B A CZ D Z Z b b jZ b b jZ Z Y Y b b θ θ θ θ = = + + + = + + + + + +

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

0 0 44 0 0 2 2 0 1 2 2 1 0 1 0 1 2 2 2 0 2 1 1 2 0 0 1 2

cos sin sin

2cos cos sin sin

e a a a a a a a a a a a a B A CZ D Z S B A CZ D Z Z b b jZ b b jZ Z Y Y b b Z b b jZ b b jZ Z Y Y b b θ θ θ θ θ θ θ − + + + = + + + − + + − + − − = + + + + + + 然後將(3.13)式換成 even mode 的 S 參數矩陣

[ ]

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

)(

)

11 14 41 44 2 2 2 0 1 2 1 2 0 1 2 0 11 2 2 2 0 1 2 0 2 1 0 14 41 2 2 0 1 2 0 2 1 0

cos sin sin 1

2cos cos sin sin 1

2

2 cos cos sin sin 1

e a a a a a a a e a a a a a a a a e e a a a a a a a S S S S S Z b b jZ b b jZ Y b b Z Y Z S Z jZ b b jZ Y b b Z Y Z S S Z jZ b b jZ Y b b Z Y Z θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − + + − + − − + = + + + + + + = = + + + +

(

+ +

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

2 2 2 2 0 1 2 2 1 0 1 2 0 44 _{2 2 2} 0 1 2 0 2 1 0

cos sin sin 1

2cos cos sin sin 1

a a a a a a a a e a a a a a a a a Z b b jZ b b jZ Y b b Z Y Z S Z jZ b b jZ Y b b Z Y Z θ θ θ θ θ θ θ − + + − + − − + = + + + + + +

圖二十七為odd mode 等效電路，重複前面步驟，可以得到 odd mode 的 ABCD 矩 陣，與 S 參數矩陣 θ = 1 tan 2 b b b y j

,

a a

y

θ

θ = − 2 tan 2 b b y b j 圖二十七. 無衰減性具相位反轉之分合波器之odd mode 等效電路 2 1 1 2 2 1

cos sin sin

1 1

cos sin sin cos sin cos

a a a a a a a a a a a a a a b j jY Y A B C D o _{b jY b b j b b j} Y Y θ θ θ θ θ θ θ θ θ ⎡ ₊ ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ _{⎢ ⎥} = ⎢ ⎥ _{⎢ ⎥} ⎣ ⎦ _{+ + + +} ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (3.14)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

0 0 11 0 0 2 2 0 1 2 2 1 0 0 1 2 2 2 0 1 2 2 1 0 0 1 2

cos sin sin

(2cos cos sin sin )

o a a a a a a a a a a a a a B A CZ D Z S B A CZ D Z Z b b jZ b b jZ Z Y Y b b Z b b jZ b b jZ Z Y Y b b θ θ θ θ θ θ θ + − − = + + + − + + − + − − = + + + + + + +

(

)

(

)

(

)

14 41 0 0 2 2 0 1 2 2 1 0 0 1 2 2 2

2cos cos sin sin

o o a a a a a a a S S B A CZ D Z Z b b jZ b b jZ Z Y Y b b θ θ θ θ = = + + + = + + + + + + +

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

0 0 44 0 0 2 2 0 1 2 2 1 0 0 1 2 2 2 0 1 2 2 1 0 0 1 2

cos sin sin

2cos cos sin sin

o a a a a a a a a a a a a a B A CZ D Z S B A CZ D Z Z b b jZ b b jZ Z Y Y b b Z b b jZ b b jZ Z Y Y b b θ θ θ θ θ θ θ − + − + = + + + − + + − + − − = + + + + + + +

[ ]

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

)(

)

11 14 41 44 2 2 2 0 1 2 2 1 0 2 1 0 11 2 2 2 0 1 2 0 2 1 0 14 41 2 2 0 1 2 0 2 1 0

cos sin sin 1

2cos cos sin sin 1

2

2cos cos sin sin 1

o o a a a a a a a o a a a a a a a a o o a a a a a a a S S S S S Z b b jZ b b jZ Y b b Z Y Z S Z jZ b b jZ Y b b Z Y Z S S Z jZ b b jZ Y b b Z Y θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − + + − + − − + = + + + + + + = = + + + +

(

+ +

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

2 2 2 2 0 1 2 1 2 0 1 2 0 44 2 2 2 0 1 2 0 2 1 0

cos sin sin 1

2cos cos sin sin 1

a a a a a a a a o a a a a a a a a Z Z b b jZ b b jZ Z b b Z Y Z S Z jZ b b jZ Y b b Z Y Z θ θ θ θ θ θ θ − + + − + − − + = + + + + + + 然後由(3.1)式可以得到此四埠相位反轉 rat-race 分合波器之 S 參數

(

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

41 14 14 14 2 2 2 0 1 2 1 2 0 2 0 0 0 0 31 41 41 21 12 11 11 1 1 2 2

2cos cos sin sin 1

2

2cos ( cos sin )[tan( ) cot( )] sin ( )

2 2 1 0 2 1 2 sin b e o a a a a b a a a a b a b a a a a a a a b e o e o a a S S S S Z jZ b b jZ Y b b Z Y Z jY Z jZ j Y Z Z Y Z Z Y S S S S S S S jZ b b θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ = = + = + + + + + + = + + − + + + = − = = = − − =

(

)

(

)(

)

2

(

2 2 2

)

0 1 2 0 1 2 0 2 0 0 0 0 34

2cos cos sin sin 1

sin [tan( ) cot( )]

2 2

2cos ( cos sin )[tan( ) cot( )] sin ( )

2 2 a a a a a a a a a a a b a b b a b a a a a a a a b Z jZ b b jZ Y b b Z Y Z Z Y jY Z jZ j Y Z Z Y Z Z Y S θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ + + + + + + − + = + + − + + + = −

由以上結果可以知道，port 3 為一隔離埠(isolation port)，而 phase inverter 亦可達成 180°相位移轉功能。如果θ₁=θ₂ =θ,則發現得出的結果與(3.10)，(3.11)，(3.12)相同 ,所以我們可以利用180°相位反轉來取代傳統 ra-race 分合波器的 180°長度。 ( ) ₍ ( ) _{)( )}

(

₍

)

₎

( ) ₍ ( ) _{)( )}

(

)

2 2 2 0 1 2 1 1 2 0 11 11 11 2 2 2 0 1 2 0 2 1 0 2 2 2 0 1 2 1 2 0 44 44 44 0 1 2 0 cos sin 1 1

2 2 cos cos sin sin 1

cos sin 1

1

2 2cos cos sin

a a a a a e o a a a a a a a a a a a a a a e o a a a a Z b b jZ Y b b Z Y Z S S S Z jZ b b jZ Y b b Z Y Z Z b b jZ Y b b Z Y Z S S S Z jZ b b jZ Y θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ − + + + + = + = + + + + + + − + + + + = + = + + + +

(

2 2 2

)

2 1 0 0 0 0 0 11 44 2 1 0 0 0 0 sin 1 2

sin ( ) cos [tan( ) cot( )]

2 2

2cos ( cos sin )[tan( ) cot( )] sin ( )

2 2 b a a a a b b a a a a b b a b b a a a a a a a b b b Z Y Z j Z Y Y Z Z Z Y jZ Y S S jY Z jZ j Y Z Z Y Z Z Y θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ + + − − − − = = + + − + + +

3.4 衰減性相位反轉 rat-race 分合波器之 S 參數公式推導

過去 rat-race 分合波器的發展皆是以理想傳輸線為運算基礎，也就是無衰減 的傳輸線，當我們使用相位反轉的方式來實現rat race 分合波器時,我們可以發現, 此種方式可以得到較寬的操作頻寬,而且面積也相對較小,但是如果衰減存在時, 是否依然還是可以得到一樣的結論呢? 接下來我們將衰減常數納入考慮，再來分 析其結果。 3.4.1 衰減性傳輸線之電路分析 首先，我們針對一段具有衰減的傳輸線作分析，如圖二十八，R 為單位長度 電阻(resistor)， L 為單位長度電感(inductor)， G 為單位長度電導(conductor)， C 為單位長度電容(capacitor)， _{V l t}ˆ_{( , ), ( )I l}ˆ _{為入射時的電壓電流，V l}ˆ_{( + ∇l t, ), (I l}ˆ _{+ ∇l)為}

入射波走過一段∇l距離時的電壓，電流。由 KVL 與 KCL 的運算，可以得到此傳

輸線的特性阻抗(characteristic impedance)Z與傳播常數(propagation constant)γ ，其

中[12]

(

) (

)

Z = R+ j Lω G+ j Cω (3.15)

(

R j L G

)(

j C

)

γ = + ω + ω (3.16) 並且得出此衰減性傳輸線的ABCD 矩陣 cosh( ) sinh( ) sinh( ) cosh( ) A B Z C D Y γ γ γ γ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ A A A A (3.17)

R z

∆

L z

∆

G l

∆

C l

∆

(

)

ˆ

_,

I l

+ ∆

l t

(

)

ˆ

_,

V l

+ ∆

l t

( )

ˆI l

( )

ˆ ,

V l t

+

−

−

+

l

∆

圖二十八. 衰減性傳輸線之電路分析模型 此時的 ABCD 矩陣因為帶有衰減常數，所以其元素,不再為單純的三角函數，而是 Hyperbolic 函數，有關於以下計算的相關公式，請參考附錄一。

3.4.2 衰減性相位反轉之 rat-race 分合波器的 S 參數 180o O

Z

O

Z

O

Z

O

Z

z , γ

ˆa a

z , γ

ˆa a

z , γ

ˆ

_b

_b

lb

z , γ

ˆ

_b

_b

la

lb

z , γ

ˆ

_b

_b

ˆ

z , γ

_b

_b

lb

lb

la

圖二十九.衰減性相位反轉之 rat-race 分合波器

圖二十九為一個衰減性的相位反轉(phase inverter) rat-race 分合波器.其中，兩臂長 各為l_a, 2l_{b ， 傳播常數為}γ γ_a, _b ; ; ₂ a a a _{a a} b b b _{b b} j j

l

l

γ

α

β

θ

β

γ

α

β

θ

β

= + = = + = , a b

α α 各為兩臂的衰減常數(attenuation constant)，β為相位常數(phase constant)。 為計算方便起見，我們將兩臂的特性阻抗

_{Z Z}

_{a b}

,

對 _{coupler 的終端阻抗 Z o 作} normalize。亦即: 0 0 ˆ a, ˆ b a b Z Z z z Z Z = =

然後將rat-race coupler 依對稱結構分成 even mod 及 odd mode，因為在 B 臂有一個 180°的 phase inverter，在對稱結構下的 even mode， odd mode，就化為 90°的 phase inverter. 圖三十為 phase inverter rat-race coupler 的 even mode 的等效電路，當開路 (open)的一端，也就是阻抗無限大時，走了 90°的距離後，就會變成短路(short)， 反

之，在圖三十一的odd mode 等效電路中，短路的一端走了 90°的距離後，就會變

成開路.由(3.17)與 ABCD 矩陣運算原理，我們可以得到 even mode 和 odd mode 的 ABCD 矩陣.

OPEN OPEN z , 㠈_{a a a}, l z , 㠈_{b b b}, l z , γˆ_{b b b}, l OPEN SHORT z , 㠈_{b b b}, l ˆz , γ_{b b b}, l z , 㠈_{a a a}, l 90o 圖三十.衰減性相位反轉分合波器之偶模等效電路 z , 㠈_{a a a}, l z , 㠈_{b b b}, l ˆz , γ_{b b b}, l z , 㠈_{a a a}, l z , 㠈_{b b b}, l ˆz , γ_{b b b}, l 90o 圖三十一.衰減性相位反轉分合波器之奇模等效電路

Even mode 的 ABCD 矩陣為

ˆ

1 0 cosh( ) sinh( ) 1 0

1 _{coth( ) 1} 1 _{sinh( ) cosh( )} 1 _{tanh( ) 1}

ˆ ˆ ˆ A B C D _e z l_{a a} l_a a a l_b l_a l_a l_b b a a b z_b z_a z_b γ γ γ γ γ γ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ˆ ˆ

cosh( ) _ˆ tanh( )sinh( ) sinh( )

ˆ ˆ

1 _{cosh( )[tanh( ) coth( )] sinh( )[}1 _{] cosh( ) coth( )sinh( )}

ˆ ˆ _ˆ2 ˆ za _z la lb la a la a _zb b a a z_a z_a la lb lb la la lb la a b b a a b a z_b z_b z_b zb γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ ⎡ ₊ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =_{⎢ ⎥} + + + + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (3.18)

Odd mode 的 ABCD 矩陣

ˆ

1 0 cosh( ) sinh( ) 1 0

1 _{tanh( ) 1} 1 _{sinh( ) cosh( )} 1 _{coth( ) 1} ? A B C D _o z l_{a a} l_a a a l_b l_a l_a l_b b a a b z_b z_a z_b γ γ γ γ γ γ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ ˆ ˆ

cosh( ) _ˆ coth( )sinh( ) sinh( )

ˆ ˆ

1 _{cosh( )[tanh( ) coth( )] sinh( )[}1 _{] cosh( ) tanh( )sinh( )}

ˆ ˆ _ˆ2 ˆ za _z la lb la a la a _zb b a a z_a z_a l_a l_b l_b l_a l_a l_b l_a a b b a a b a z_b z_b z_b zb γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ ⎡ ₊ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =_{⎢ ⎥} + + + + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (3.19)