以 Maxwell 電磁動量模型的重塑認識其感應電動勢理論
的建立過程
梁立國
輔英科技大學 環境工程與科學系 sc013@fy.edu.tw （投稿日期：民國 106 年 10 月 31 日，接受日期：106 年 12 月 08 日） 摘要：Maxwell 在 1864 年到 1865 年間發表第三篇關於電磁場理論的論文，文中 將 Faraday 的電緊張狀態以電磁動量的力學形式類比，並藉由電磁動量變化產生 感應電動勢的力學機制，讓磁通量變化產生感應電動勢的數學形式說明更加容易 理解；1874 年 Maxwell 再以帶有慣量的差速齒輪傳動過程敘述電磁動量如何讓主 要線圈的電流變化轉換為次要線圈的感應電動勢；在此，我模仿 Faraday 製作一 感應電流產生模型及模擬 Maxwell 敘述完成一個具有大的轉動慣量差速齒輪模 型，力學模型讓感應電動勢隨著電磁動量變化的數學型式說明更加具體簡明。文 中，我們更可以體會 Maxwell 在長達二十年的時間裡，讓抽象科學現象與數學理 論進入感官體驗的努力過程。 關鍵詞：電磁動量、差速齒輪慣量、感應電動勢、Maxwell 方程式壹、 前言
1819 年 Oersted1,2發現帶電流導線對磁針起了偏轉的運動，1820 年安培又發現兩條帶電 流且平行的導線具有相互吸引的力，Ampere 進一步發現如果將磁體方向、電流方向與導線 受力方向合併考慮可得到重要的 Ampere 定律；1832 年 Faraday 發表他的電磁感應研究結果： 他將一組線圈繞在鐵環的一側並接上自己發明的電流計，另一組線圈繞在鐵環的另一側並接 上電池，面面俱到的量測了電磁感應許多相關物理性質。Maxwell3以 Ampere 與 Faraday 的工作為基礎下，嘗試以數學形式將電磁現象的涵義開
展出來，在 1855-1865 年間提出三篇論文：第一篇以電緊張函數(electrotonic function)取代法 拉第電緊張狀態(electrotonic state)的敘述，並以數學形式描述法拉第力線的產生；第二篇以 渦旋分子(molecular vortices )模型持續對電緊張函數說明，並以此理解長直導線產生磁力線的
機制，也因此得到光是起源於電磁現象的波動與位移電流的概念；第三篇則以電磁動量 (electromagnetic momentum)力學形態取代電緊張函數，說明電磁現象傳遞介質的特性，並完 備了 Maxwell 電磁現象敘述的數學方程。1874 年 Maxwell 在其巨著電磁通論發表後，再度設 計了電磁動量力學模型，對他艱澀難懂的電磁理論做說明。 在這篇論文裡，我模仿法拉第製作電磁感應模型，感受法拉第對現象呈現的精巧表現； 並依據 Maxwell 對電磁動量力學模型的相關敘述，完成一個具有大的轉動慣量的力學模型， 實際操作此模型，體驗 Maxwell 解釋其電磁理論中關於數學方程式的說明過程，深刻體會理 論形成的艱辛，與其讓理論為人們認識的費心。 而在模型製作過程與認識裡，我們也可深切理解，在 Maxwell 電磁理論這座人類宏偉大 廈的根基裡，實際包含許多科學與技術發展過程的內涵，包括：蒸汽機動力的傳送、流體力 學的類比、電緊張狀態與向量勢發展、電磁波的發現、乙太模型與光速的理論值等。
貳、 文獻探討
Faraday4 從廣泛的實驗研究中構想出電磁作用的力線圖，並猜想帶電流導體之間與磁體 之間的周圍必存在著類似靜電荷(static charge)的出現會導致導體周圍電荷分布改變的現象， Faraday 將電流導體與磁體空間這樣的現象稱之為電緊張狀態，當導線在此電緊張狀態下移 動時導致感應電動勢的發生。此外，為了瞭解兩線圈間感應電流的發生，製作了第一個電流 計，電流計是由兩個反向固定的磁針（以抵銷地磁的作用）做成，其中一個磁針懸掛在感應 電流流經的線圈，隨著電流方向、大小的不同，磁針做不同幅度、方向的擺動，Faraday 以 此電流計對兩線圈的感應電流做了非常多的認識，包括：電流方向、大小、線圈圈數、線圈 間的物質、甚或線圈間的相互運動等。 Maxwell 依據 Faraday 電緊張狀態的概念，在 1855 年到 1865 年間提出三篇論文， 在 1855-1856 年的第一篇論文中，Maxwell 將電磁現象與流體力學類比，具體以電緊張函數α (electrotonic function)作為電緊張狀態的數學描述，以 B (1) 表明：繞任意曲面邊界的電緊張強度量度了穿過該曲面的磁力線數 B。又以 t (2) 表明：導體任意基元上的電動力ε可用該基元上的電緊張強度α的變化率量度；兩個敘 述具體以數學式子描繪法拉第的力線圖與感應電動勢發生。 在 1861-1862 年的第二篇論文中，Maxwell 以分子渦旋力學模型說明電緊張函數5。如圖 1，通電流的長直導線附近大的渦旋分子排列起來，不同層的渦旋分子間細微粒子擔任類似 變速箱內的惰輪，靠近導線的渦旋分子受到導線內電流由左向右移動的影響，導線上方 a 層 的渦旋分子以逆時鐘旋轉，下方 a 層的渦旋分子以順時鐘旋轉，磁力線因而產生，即式(1)，並依右手定則繞著導線；上方 b 層的渦旋分子受到細微電粒子（惰輪）傳動，也以逆時時鐘 旋轉，但是轉速較慢，磁力線的產生亦較弱。 圖 1：Maxwell 渦旋分子模型示意 當長直導線電流向右啟動瞬間，a 層渦旋分子的轉動角動量較 b 層渦旋分子大，讓細微 電粒子受到向左的切力，於是產生向左移動的感應電動力；當電流穩定時，ab 層渦旋分子均 穩定轉動，細微電粒子（惰輪）也在固定位置傳動，感應電動力即不存在；當電流終止的瞬 間，a 層渦旋分子角動量跟著停止，b 層渦旋分子則維持原有的轉動，讓細微電粒子受到向右 的電動力。 此時，對環繞電流 b 層的渦旋分子產生磁場 B 的安培定律則為 B =μI’/2πr，其中 I’為 導線電流與細微電粒子移動的和，r 為磁力線與導線的距離，μ為介質之磁導係數。 Maxwell 渦旋分子力學模型清楚地說明磁力線的產生與幾個方程式的直觀感覺，並以此 發現細微粒子移動是我們對位移電流的初步認識；將渦旋分子比喻成彈性體的概念，再觀察 電磁現象的傳播方向、磁力線的方向、感應電動勢的方向，計算彈性波的速率與光速相差無 幾，得到「光是媒質中起源於電磁現象的橫波」。 1865 年 Maxwell 提出第三篇論文：電磁場的動力學理論，文中主要有四個具體的論述： 關於近距作用介質的特性、存在於感應電流與耦合系統間的機制---電磁動量、說明 20 個電 磁場變量的 20 個方程式（後縮減為四個 Maxwell 方程式）、以方程式廣泛討論各項電磁現象 的發生；第三篇論文繼牛頓力學後，成為人類科學史上理論珍品之一。 圖 2：Maxwell 電磁動量力學模型
1874 年 Maxwell 設計了電磁動量力學模型進一步說明第三篇論文裡電磁動量的動作機 制。如圖 2， Maxwell 讓力學模型中的差速齒輪帶有可以變化的轉動慣量（飛輪）以類比於 兩線圈間的介質，作為耦合系統過程裡的電磁動量，左輪套上一橡膠圈阻力以類比於次要線 圈的負載。當右輪開始轉動時，飛輪加速，左輪因差速齒輪的動作機制而產生與右輪反向的 運動，象徵次要線圈產生的反向感應電動勢；右輪等速轉動時，飛輪亦等速轉動，左輪因橡 膠圈阻力而無法轉動，象徵次要線圈並無感應電動勢生成；右輪停止轉動時，飛輪減速，左 輪因差速齒輪的動作機制而產生與右輪同向的運動，象徵次要線圈產生的感應電動勢；左輪 （感應電動勢）在整個過程中與飛輪（電磁動量）透過差速齒輪機制的互動可以牛頓第三運 動定律呼應，即 t P F (3) 其中 P 為飛輪的動量，F 為左輪所受的力（與動量變化反向）；在電磁感應公式裡則可寫為 t E (4) 其中α為介質的電磁動量，E 為次要線圈所受的感應電動勢（與電磁動量變化反向）。因此， 力學模型便與感應電流現象類比起來。如果對式(4)的兩邊取 curl，則得到 t B c E 1 (5) 此即為 Maxwell 電磁理論關於感應電動勢的方程式。 在此，我利用變壓器的第二線圈接上微安培計與 LED 燈，理解感應電流大小與方向的變 化，重現 Faraday 感應電流模型；並以大慣量的鋁環代替電磁動量力學模型中的可調變慣量， 讓 Maxwell 對式(3)、式(4)數學理論說明更為簡單易懂。
參、 感應電流模型與電磁動量力學模型製作及演示
一、感應電流模型製作
（一） 表 1 說明感應電流模型製作所需的材料。 （二） 變壓器由多組線圈構成，以較細且多圈的線圈串連 3.7 伏特鋰電池、白熾燈泡與開關， 作為主線圈。 （三） 以較粗且圈數少作為串連微安培電流計之次要線圈，可以產生較大的感應電流，以方 便觀察。 （四） 為了增加感應電流方向性變化的效果，可另選擇一組次要線圈，將二極體 LED 反向 並聯後串連於第二次要線圈。圖 3 為完成模型。二、感應電流模型演示
（一） 按下開關 ON，主線圈白熾燈泡漸漸亮起，紅光 LED 瞬間閃亮後熄滅，微安培電流指 針偏向一邊後漸漸歸零，顯示兩個次要線圈僅在通電瞬間有感應電流發生。 （二） 主線圈白熾燈泡持續發亮，顯示主要線圈電流持續穩定流動，兩個次要線圈的微安培 電流計與 LED 燈均無反應，顯示兩個次要線圈雖有主要線圈的磁場通過，並無感應 電流發生。 （三） 按下開關 OFF，主線圈白熾燈泡漸漸熄滅，藍光 LED 瞬間閃亮後熄滅，微安培電流 指針偏向另一邊後漸漸歸零，顯示兩個次要線圈僅斷電瞬間有感應電流發生，且通電 方向與步驟（一）反向。 表 1：感應電流模型製作所需的材料 編號 類別 內容 1 變壓器線圈 銅線粗細明顯可見者佳 2 微安培電流計 指針可分辨正負方向 3 白熾燈泡 6V1W 4 開關 5 鋰電池 3.7 伏特 6 LED 紅、藍各一個 (a) (b) 圖 3：(a)感應電流模型，(b)線路圖。三、電磁動量力學模型製作
（一） 表 2 說明電磁動量力學模型製作所需的材料。 （二） 將直立的兩塊壓克力鑽孔後，以氯仿固定在另一塊壓克力適當位置作為模型的座。 （三） 兩組輪與桿以 AB 膠黏著後穿過直立壓克力、彈簧，再與齒輪接合。 （四） 鋁圈、鋁圈橫桿黏著後穿過另兩個差速齒輪（勿膠合），再卡於步驟（三）兩齒輪間。 （五） 為左輪加入橡膠圈，作為次線圈的電阻類比。 （六） 為防止鋁圈在運動中脫落，可截一小段透明壓克力管接於鋁圈橫桿上。 （七） 電磁動量力學模型完成如圖 4。四、電磁動量力學模型演示
（一） 電磁動量力學模型與感應電流模型元件的類比說明：右輪（主線圈）、左輪（次要線 圈）、黑色橡膠圈（次要線圈負載）、鋁圈（電磁動量、鐵片）、差速齒輪（傳動的力 學機制）。 （二） 如圖 5，當右輪啟動時（主要線圈啟動電流），鋁圈（電磁動量、介質）加速轉動，左 輪（次要線圈）因差速齒輪動作而產生與鋁圈反向的轉動（反向電流）。 （三） 如圖 6，當右輪穩定轉動時（主要線圈啟動電流穩定），鋁圈（電磁動量、介質）維持 穩定，左輪（次要線圈）因黑色橡膠圈（次要線圈負載）的阻力而停止轉動，亦即無 感應電流的產生。 （四） 如圖 7，當右輪停止轉動時（主要線圈電流關閉），鋁圈（電磁動量）減速，左輪（次 要線圈）因差速齒輪動作而產生與鋁圈減速方向相反的轉動（反向電流）。 （五） 在步驟（二）（三）（四）過程中，我們看到左輪受力 F 產生的轉動方向與鋁圈的動量 P 變化可寫成 F = - ∂P/∂t，與感應電動勢 E = - ∂α/∂t 有著類比的特性。如果對感應電 動勢 E 取 curl E，則得到 curl E=- ∂B/∂t。表 2：電磁動量力學模型製作主要的材料 編號 類別 內容 1 壓克力座 以三塊厚壓克力組合 2 垂直契合的差速齒輪 兩對 3 輪與桿 兩組 4 鋁環與鋁環橫桿 外徑 12 公分 5 彈簧 兩個、讓差速齒輪契合 6 橡膠圈 讓次線圈產生阻力 7 AB 膠 8 氯仿 壓克力接著劑 圖 4：電磁動量力學模型完成圖 慣量鋁環 主要線圈 \ 次要線圈 \ 橡膠阻力 差速齒輪
圖 5：啟動電流時，電磁動量加速方向為順時鐘，感應電流為逆時鐘方向。 註：以實體黑箭頭表示加速轉動方向。 圖 6：電流不變時，電磁動量順時鐘等速，感應電流因橡膠阻力而為零。 註：以白色箭頭表示等速轉動。 圖 7：關閉電流時，電磁動量加速方向為逆時鐘（減速），感應電流為順時鐘方向。 註：以實體黑箭頭表示加速轉動方向。
肆、 教學應用
一、關於科學史
（一） 經典力學裡，超距作用始終佔著主導的地位，直到 Faraday 的力線圖形，近距作用開 啟了挑戰。Maxwell 的數學形式與其幾個力學模型的想像，讓近距作用更為具體，是 場理論濫觴的重要過程。 （二） 向量勢 A（vector potential）普遍且突然出現在理工系所關於電磁學理論的課程裡，透 過電磁動量的演示與媒介，讓我們清楚知道此物理量實際出自法拉第的電緊張狀態， 經過 Maxwell 豐富的想像力而有了數學形式的具體應用與物理意義。 （三） 在確定電磁現象具有波動形式後，乙太作為傳遞波的介質，多次出現在近代物理學的 教學論證裡，渦旋分子與電磁動量是以太的具體模型之一。 （四） 電磁波的發展歷史：1831 年 Faraday 發表電磁感應實驗，1855 年到 1865 年 Maxwell 理論形成，1887 年 Hertz 證實 Maxwell 理論裡預言的電磁波。 （五） 愛因斯坦推崇 Faraday 與 Maxwell 為十九世紀最偉大的科學家，透過感應電流模型與 電磁動量力學模型可深度體會 Faraday 實驗與 Maxwell 理論具體內容。二、關於電磁學相關理論的教學
（一） 感應電流模型的製作：變壓器由數種不同粗細與線圈數組成，不同科系的學生均可模 仿製作類似的教具，親自體驗電磁感應發生過程中，線圈數、線圈粗細、LED 燈的方 向性、變壓器製作原理，甚或磁感應材料（鐵片）扮演的角色，甚或製作更多變化且 更輕易操作的感應電流模型。 （二） 基於對電流導線積分巨觀形式的向量勢 A 是可想像的6，至於微觀形式，在現今的電 磁學理論則完全是抽象數學形式，電磁動量力學模型則可說明這樣的微觀存在。 （三） 向量勢 A 的微觀形式也出現在古典力學與量子力學關於場動量7 (Field Momentum)的 敘述裡，超導體磁通量子與規範轉換(Gauge Transformatin)也需要這樣微觀形式敘述。伍、 結論
一、 關於感應電動勢模型製作：因以手指按壓開關的速度較慢，導致磁通量變化率很小，主 線圈應選擇圈數較多且細的線圈以取得較大的磁場，粗且圈數少的次要線圈取得較多的 電流，並產生可觀測的電流變化。 二、 汽車差速齒輪與電磁動量力學模型的差異：汽車差速齒輪不帶有慣量，次要轉輪則由地 面提供阻力，當引擎動力傳至其中一輪時，另一輪則適時配合轉動，並在轉彎時提供差 速所需的條件。Maxwell 賦予差速齒輪可變的轉動慣量（類比於不同的磁性材料）及次 要轉輪橡膠阻力（類比於第二線圈的負載電組），讓電磁感應現象以力學型態表現出來， 進一步說明其電磁感應的數學形式。 三、 關於重塑的電磁動量力學模型：差速齒輪可變的轉動慣量被改為具固定大慣量鋁環，在演示的表現上，可體會出增加慣量可增加電磁感應效果，橡膠阻力則降低電磁感應效果。 四、 電磁動量力學模型形成過程：在論文中我們可清楚認識 Maxwell 電磁動量力學模型成型 的漫長過程，他們包括：對 Faraday 力線的數學敘述（即電緊張旋度函數）、渦旋分子 的轉動慣量、電磁動量的力學類比。 五、 蒸汽機動力傳動過程的認識：渦旋分子模型在 1861 年提出，模仿了蒸汽機動力傳動， 電磁動量力學模型於 1874 年設計，以機動車輛輪子受力驅動過程模擬感應電動勢， Maxwell 關於電磁學理論的形成提供了在科學進程裡，技術發展是不可或缺的實際例子。 六、 數學形式 8對物理現象說明的艱難：Maxwell 的電磁學方程式在當時是非常難理解的， 數學模型發展由電緊張旋度函數ヽ渦旋分子ヽ到電磁動量說明，1873 年出版《電磁通論》 後，再於 1874 年提出電磁動量力學模型類比，讓我們深刻體會：具體以數學理論說明 抽象物理現象是一項艱難的過程，而對電磁動量力學實體模型的製作則加深了這樣的印 象，也確實讓理論成為感官可體會的形式。
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The Processing Knowing of the Theory of Inducing Emf from
the Hands-on Workings of the Maxwell Electromagnetic
Momentum Model
Lih-Kuo Liang
Department of Environmental Science and Engineer, Foo Yin University
sc013@fy.edu.tw
Abstract
Maxwell published the third paper on the theory of electromagnetic field between 1864 and 1865. In this paper, Faraday's tension of electricity is analogous to the mechanical form of electromagnetic momentum, and the mathematical form of the emf generated by the change of electromagnetic flux is more easily to be understood by the mechanism of the variation of the electromagnetic momentum; In 1874, Maxwell designed an electromagnetic momentum mechanical model similar to the differential gears but with a variable inertia moment to describe how the electromagnetic field from the main coil converts to the secondary coil and induces emf. I imitate an inducing current generation model that Faraday ever made and simulate a mechanical model of electromagnetic momentum as the Maxwell's narration. These models make the mathematical description of the inducing emf more concisely and easily known. In this paper, we can also experience the effort processing by Maxwell in twenty years to make the abstract physical phenomena and mathematical theory into the sensation of experience.
